[ Mat. Fin. ] P1 2017 com gabarito

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Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ
1a Prova de Matema´tica Financeira
Turma: MAD366 Prof. Rafael Santos 27/04/2017
Regras e informac¸o˜es:
• Qualquer ato que configure fraude (cola) ou intenc¸a˜o de fraude acarretara´ na reprovac¸a˜o com grau zero.
• So´ sera´ permitido que o aluno tenha consigo durante a prova os seguintes itens: La´pis, lapiseira, caneta, borracha,
re´gua, calculadora. O aluno que for pego portando algum outro objeto (principalmente celular) estara´ sujeito
a penalizac¸o˜es severas.
• Na˜o sera´ permitido que o aluno saia de sala durante a realizac¸a˜o de sua prova.
• Todas as respostas devem ser devidamente justificadas atrave´s de ca´lculos e/ou textos.
• Quando na˜o for informado explicitamente a periodicidade com que as capitalizac¸o˜es ocorrem, assuma que elas
ocorrera˜o na mesma periodicidade com a qual a taxa de juros foi informada.
• Quando na˜o for informado qual regime de capitalizac¸a˜o, utilize o regime composto. Ale´m disso, quando precisar
lidar com per´ıodos fraciona´rios nesse regime, utilize a convenc¸a˜o exponencial, a menos que seja pedido de forma
expl´ıcita que seja usada outra convenc¸a˜o espec´ıfica no exerc´ıcio.
• Quando for realizar arredondamentos nume´ricos, utilize no mı´nimo 4 casas decimais.
Questa˜o 1: (1,7 pontos) Considere o fluxo de caixa ilustrado na figura abaixo:
Calcule o saldo que esse fluxo apresenta em t = 90 dias, em cada uma das circunstaˆncias apresentadas abaixo:
(a) (0,8 ponto) Considerando regime de capitalizac¸a˜o simples com taxa de juros varia´vel de modo que no primeiro
meˆs a taxa seja 2% a.m. e nos meses seguintes seja 3% a.m.
(b) (0,9 ponto) Considerando regime de capitalizac¸a˜o composta com taxa de juros 15% a.s. capitalizada a cada
per´ıodo de 9 dias, e utilizando a convenc¸a˜o linear para lidar com per´ıodos fraciona´rios.
Questa˜o 2: (3,0 pontos) Considere que um indiv´ıduo tem uma d´ıvida que, a princ´ıpio, vai ser quitada com 2
pagamentos nos valores de R$ 5.000 e R$ 2.000, a serem pagos respectivamente daqui a 1 trimestre e daqui a 1 ano.
Nesse contexto, resolva os itens abaixo:
(a) (0,8 ponto) Suponha que o indiv´ıduo faz uma nova proposta: Ele deseja quitar toda essa d´ıvida com um u´nico
pagamento de valor X, a ser realizado daqui a 7 meses. Considerando regime de capitalizac¸a˜o simples, taxa de juros
de 5% a.t. e data focal hoje (ou seja, no tempo zero), calcule o valor de X.
(b) (0,8 ponto) Suponha que o indiv´ıduo faz uma nova proposta: Ele deseja quitar essa d´ıvida com dois outros
pagamentos, ambos com valor Y2 , um para ser realizado daqui a 4 meses e o outro daqui a 6 meses. Considerando
regime de capitalizac¸a˜o composta, taxa de juros bimestral de 6% e data focal daqui a 6 meses, calcule o valor de Y .
(c) (0,5 ponto) Caso escolhessemos outras datas focais para resolver os dois itens anteriores, ter´ıamos que o valor
de Log
[ | X2 − 5√Y | ] permaneceria o mesmo? Justifique
(d) (0,9 ponto) Considere que na d´ıvida original seja acrescido um terceiro de´bito de valor W a ser pago daqui a
480 dias. Calcule o valor de W sabendo que o prazo me´dio de pagamento, nesse cena´rio, vai ser igual a 10 meses; e
considerando uma taxa de juros efetiva de 25% a.a. com capitalizac¸o˜es realizadas mensalmente.
Questa˜o 3: (1,6 pontos) Considere um investimento em que o dinheiro rende a` uma taxa instantaˆnea varia´vel de
acordo com a func¸a˜o linear δ(t) = a+ b+ ct, com a,b,c constantes na˜o negativas e t expresso em anos.
(a) (1,0 ponto) Suponha b = 0. Calcule os valores das constantes a e c, sabendo que nesse investimento um capital
dobra de valor em 4 anos e que um capital de R$10.000 gera juros R$2.000 em 20 meses.
(b) (0,6 ponto) Suponha c = 0, a > 0, b > 0 e a 6= b. Nesse cena´rio o investimento sera´ equivalente a um investi-
mento com taxa instantaˆnea varia´vel por intervalos apresentando dois comportamentos diferentes? Justifique.
Questa˜o 4: (1,1 pontos) Considere que um indiv´ıduo vai antecipar em 100 dias o resgate de um t´ıtulo de cre´dito
no valor de R$20.000, na modalidade de desconto comercial simples e com taxa de desconto informada pelo banco
igual a 4% a.m. Depois disso, ele vai aplicar essa quantia resgatada em um investimento que vai render de acordo
com uma taxa over mensal de 6, 5%. Calcule qual o menor nu´mero de dias u´teis que e´ necessa´rio haver nesse prazo
de 100 dias, para que esse indiv´ıduo consiga ter lucro ao fim desses 100 dias (ou seja, para ter sido vantajoso para o
indiv´ıduo antecipar o resgate do t´ıtulo de cre´dito).
Questa˜o 5: (3,0 pontos) Marque verdadeiro ou falso para cada uma das afirmac¸o˜es abaixo. Se for verdadeiro,
justifique ou demonstre. Se for falso, apresente sua correc¸a˜o e justifique-a; ou apresente um contra-exemplo. Respostas
sem justificativa sera˜o automaticamente desconsideradas.
(a) (0,5 ponto) Considere que temos uma aplicac¸a˜o no regime composto por um per´ıodo de n /∈ N meses e que
a u´nica informac¸a˜o que desconhecemos sobre essa aplicac¸a˜o e´ sua taxa de juros (mensal). Pode-se afirmar que ao
calcularmos essa taxa considerando a convenc¸a˜o linear, iremos encontrar um valor menor do que se calculassemos
pela convenc¸a˜o exponencial.
(b) (0,5 ponto) Considere que dois capitais: um no valor P1 aplicado no meˆs n1 e outro no valor P2 aplicado no
meˆs n2, sa˜o equivalentes no tempo Te. Ale´m disso, denote por S1(t) e S2(t) os montantes associados a P1 e P2
respectivamente, no tempo t. Se temos n1 < n2 < Te, enta˜o podemos afirmar que S2(t) ≥ S1(t) para todo t > Te,
independente do regime de capitalizac¸a˜o utilizado.
(c) (0,5 ponto) Considere que temos uma aplicac¸a˜o de R$7.000 rendendo a uma taxa over h (mensal) e uma
aplicac¸a˜o de R$8.000 rendendo a uma taxa instantaˆnea de mesmo valor h (mensal). Podemos afirmar que existe pelo
menos um valor de h > 0 que faz com que o montante dessas aplicac¸o˜es consigam se igualar em tempo finito.
(d) (0,5 ponto) Dentre os diferentes tipos de taxas de juros apresentadas no curso, a taxa real e´ a u´nica que pode
apresentar valor negativo, pois ela esta´ associada a investimentos em que e´ poss´ıvel terminar o prazo da aplicac¸a˜o
com uma quantia de dinheiro inferior a que foi aplicada inicialmente.
(e) (0,5 ponto) Quando temos uma operac¸a˜o de desconto simples, com taxa declarada de desconto igual a i (mensal),
em que o indiv´ıduo antecipa o resgate de um t´ıtulo de cre´dito em n meses, podemos afirmar que o capital que sera´
resgatado antecipadamente ira´ coincidir com o valor que obter´ıamos ao regredir em n meses o valor nominal do t´ıtulo,
no regime simples e com mesma taxa i (mensal).
(f) (0,5 ponto) Considere que o especialista A e´ responsa´vel por gerenciar um fundo de investimentos de renda
fixa e o especialista B e´ responsa´vel por gerenciar um fundo de investimentos de renda varia´vel. Nesse caso podemos
afirmar que o especialista B esta´ exposto a um maior risco que o especialista A.
BOA PROVA!