Sistemas Digitais I - Poli - Exercício 2 - 2016 (álgebra booleana)

Prévia do material em texto

USP -ESCOLA POLITÉCNICA 
PCS - DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO E 
SISTEMAS DIGITAIS 
 
 
PCS - 3115 Sistemas Digitais I – 1o Semestre de 2016 
 
Exercícios para nota (respostas escritas à mão) 
Entrega até 29 de abril de 2.016 (sexta-feira), às 17:00, na Secretaria do PCS 
 
No. USP _________ Nome ___________________________________ Turma ____ 
 
 
1-) [2,0 pontos] Sabe-se que em uma álgebra de chaveamento as sentenças lógicas 
podem ser interpretadas por meio de expressões booleanas, havendo uma 
correspondência entre estas e circuitos físicos. Deriva-se daí que se pode interpretar 
e/ou realizar fisicamente as sentenças lógicas por meio de circuitos baseados em 
chaves elétricas, cuja abertura (ou fechamento) é controlada por uma variável X. 
Estas chaves podem estar fechadas (permitem a passagem de corrente, X = 1) ou 
abertas (não permitem a passagem de corrente, X = 0). Dois conjuntos distintos de 
chaves interconectadas são considerados “iguais” em termos de comportamento 
lógico, se permitem ou não a passagem de corrente, para os mesmos estados de todas 
suas chaves. 
Pode-se definir (obter) a operação lógica OU (E) por meio de duas chaves 
interconectadas em paralelo (série). Pode-se definir o nível 1 como uma “chave 
sempre fechada” e o nível 0 como uma “chave sempre aberta”. 
 
 
 
 
Pede-se que se realize o desenho esquemático de circuitos com chaves nas situações 
que se apresentam a seguir. 
 
 
1.a-) Para representar os seguintes axiomas: 
 
1.a.1-) Se X = 0, então ~X = 1; 
 
1.a.2-) 1 . 1 = 1; 
 
1.a.3-) 0 + 0 = 0; 
 
1.a.4-) 1 . 0 = 0; 
 
1.a.5-) 1 + 0 = 1. 
 
1.b-) Para representar os seguintes teoremas: 
 
1.b.1-) (X + Y) . Z = X . Z + Y . Z; 
 
1.b.2-) X . Y + Z = (X + Z) . (Y + Z); 
 
1.b.3-) X + 0 = X; 
 
1.b.4-) X . 1 = X; 
 
1.b.5-) X + X . Y = X. 
 
 
 
2-) [2,0 pontos] .De maneira equivalente ao disposto no Exercício 1 pode-se definir 
uma álgebra conjuntista onde os elementos desta álgebra são constituídos pelo 
conjunto potência PotS de um conjunto S qualquer. Por exemplo, se S = {a, b, c} 
então PotS = {φφφφ, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}}. As operações relacionadas 
são a União (correspondente à operação +), a Intersecção (correspondente à 
operação .) e o Complemento (correspondente à operação ~). Usando diagrama de 
Venn demonstre que: 
 
2.a-) X . Y + X . ~Y = X; 
 
 
2.b-) (X + Y) . (X + ~Y) = X. 
 
 
 
 
3-) [2,0 pontos] . Sabe-se que para uma função de chaveamento fn(x, y, ..., z) pode-se 
definir (obter) sua função dual fnDUAL(x, y, ..., z) da seguinte forma: 
 
fnDUAL(x, y, ..., z) = ~[fn(~x, ~y, ..., ~z)] 
 
Sabe-se que se duas funções são idênticas em termos funcionais elas compõe uma 
identidade. Há um teorema que comprova que se duas funções são iguais (são uma 
identidade) as funções duais destas também são uma identidade (dita identidade 
dual). Dada a identidade a seguir encontre sua identidade dual: 
 
X . Y + X . Z = X . (Y + Z) 
 
4-) [2,0 pontos] Entre as técnicas conhecidas para a extração da primeira forma 
canônica (soma de mintermos) e da segunda forma canônica (produto de 
Maxtermos) de uma função de chaveamento encontra-se a identidade de Shannon. 
Também é possível atingir o mesmo objetivo aplicando-se uma operação lógica E 
(chamada comumente de multiplicação) de um termo produto da função com 1, de 
maneira que este 1 agregue ao termo produto a literal correspondente à variável que 
falta no termo produto. Por exemplo, imaginemos o termo produto ~x3 . x1 onde falta 
a literal correspondente a x2. Realiza-se a multiplicação por 1, onde 1 = (x2 + ~x2), 
obtendo-se os termos produto ~x3 . x2 . x1 e ~x3 . ~x2 . x1. De maneira análoga pode-
se aplicar uma operação lógica OU com 0 (chamada comumente de soma) a um 
termo soma da função para agregar ao termo soma a literal correspondente à variável 
que falta neste. 
 
Para a função que segue utilize os dois métodos propostos para extrair a primeira e a 
segunda, formas canônicas, da função dada: 
 
f(x3, x2, x1) = x3 . x2 + ~x2 . ~x1 
 
 
 
5-) [2,0 pontos] Três Acadêmicos de Oxford, A, B e C, colecionam livros e/ou manuscritos 
antigos, raros, de acordo com preferências pessoais. Mr. A coleciona trabalhos políticos do idioma 
Inglês e também novelas escritas em outras línguas estrangeiras (que não o Inglês). Mr. B coleciona 
toda espécie de trabalhos políticos, mas desde que estes não sejam novelas que foram escritas em 
Inglês. Ele também coleciona trabalhos em Inglês, mas desde que estes trabalhos não sejam novelas 
(ficções). Mr. C coleciona itens não ficcionais (ele detesta ficções, novelas, preferindo a realidade) 
e que sejam ainda, ou trabalhos escritos no seu idioma nativo (Inglês), ou trabalhos políticos 
escritos em idiomas estrangeiros (que não o Inglês). Encontre aqueles livros/manuscritos para os 
quais existe competição entre os Acadêmicos. Em outras palavras, determine quais são os livros 
desejados por dois quaisquer, entre os três Acadêmicos. Sugere-se montar o modelo do problema 
em termos de conjuntos adotando as seguintes definições iniciais: A = Conjunto de livros 
colecionados por Mr. A; B = Conjunto de livros colecionados por Mr. B; C = Conjunto de livros 
colecionados por Mr. C; Z = Conjunto de livros colecionados (desejados) por dois quaisquer, entre 
os três Acadêmicos. Por meio de operações de união, intersecção e complemento de conjuntos 
encontre a expressão de Z em função de A, B e C. Escolha e defina outros conjuntos que permitam 
modelar os desejos dos colecionadores e determinar a expressão dos conjuntos A, B e C em função 
destes. Sugere-se a adoção de letras mnemônicas – Se o conjunto for de obras Políticas adotar P, 
etc. Uma vez encontradas as expressões de A, B, C e Z por operadores conjuntistas, encontre as 
expressões Booleanas equivalentes, interpretando os conjuntos como variáveis Booleanas e os 
operadores união, intersecção e complemento como operadores Booleanos, “+”, “.” e complemento. 
Simplifique a expressão Booleana de Z, justificando cada passo relevante com a técnica usada (De 
Morgan, propriedade distributiva, Axioma, etc.) e interprete o resultado obtido para Z, resumindo o 
que há em comum entre os colecionadores. 
 
Krïpesi|:ijr#3jïï*i"."ì{'#3È"'^à,NHARrADECoMpurAÇÀoE
Depêriamenlo de En9ênhaÍìa de Compúìâção
PCS - 3115 - Sistemas Dieitais I - 1" Semestre de 2016
Exercícios para nota (respostas escritas à mão)
de abril de 2.016 (sexta-feira), às 16:00, na Secretaria do PCSEntrega até 29
No. USP
1-) [2,0 pontos] .
2-) 12,0 pontosl .
3-) [2,0 pontos] .
4-) 12,0 pontosl .
Nome Turma
Pr:s 3liS 
€t.*ciritt Z ytc,,tc_ 
^ 
&r, Z ol( 6r
i!ï**iâ^^ <- (16'v\c1gl^,-) ) ox *õ 1 cll.
J,, 
-'ftttux> Ìo+trr^n^.,.a 1 .prwt rte1 t*,rc^ (=ü_.^riu,...líru",,.
-t-,*[t; .t-rftw /i!-ll^"=a- -{- cü 
-,$W pÕ&^r&) 1wri.- >e_
,1 ^V
^"ha1wrj?,Jì. 
'r*/cm r.u-,9),5r-',,-, {uta*ot s-maz@ -a
.rz,"Qtg:v l4* [*^^tf "lR- üü--.U l.r4.rr.._f_,;,.
.arl^ ,À"**u! f*n, &*/yu4*,^^ e,ff<, (+"Arr)u. ffi""*-
c.^- f :r,!r,ziQ,r.r,ro ".ae- *-*X{til-"J,- ,,bsn'üa (16 fi:t"u^t''- (r.-
pc.^*i..ii * r',^ffi" *t''l^Xt-<-^ @# "{'{t'úv +P
r"tw+" /46fl010
r.?a.u 1ne.trl*í,* 6gffi,ff.*z Çtì ê"&eç'í* À&-"ee"pzÈtÁ, ,luü @"'Át"+dlq
".{U^,..rL{' -u*^- -ffiw*ag *$-* *-.3.o..ra-,r'ifi-:,n^:,,:fo kíTr"â r '1.u gv'txalfr-
ó41 rltq-.: ì .O- pa,vrQ lr-Â.r" 'i.r (1t,J'úa;fu f,1/\t'. ;iJ ap-';irQS"*:
g;i*Ln', *itq fuJo" 5, {'f"4a1'+'+ 1,, n4)
F,':.{.,-.ir àq:\aü} a- t>,l''anc;.;a "oJ'FÃ 'i,r"t'-7 rú'.r*n)> n6tt'*^'atXà'l
-2r,.-^- f{}^.Qúa ( +ú"A1 . Fnar+o- o' 'níN t co^^+ /'Lu^-'-
,,,A^ri,4-.{r-2 p,,wa"'r . .} ,-',n-Q.0*."{Â}6?* '!otve* 4\4''s--,
o )rrfr, . c. etw.r-f ,o-^pz"hnprfÈr1r;[t;a; 
c4",/"< $tz,at'.,-ra- cd/^^)<:Õ
'-'7 
,,te^f,L ú:t* x=! 'gaAtual r'Ap*t1 t'tt"('t'7'c' w (AtÀi-!u -+/.1'^a24Ã"'"' b &
'c;n,:i-&o t** 
''&*w>"-'taa z)fr-^jpz 7^t 4tA&)^'\''
frt l
@j yr,.nr- ^r1u,uc.* 04 *7-^Íu c)4't &'1"vL.pa
a- X:C ,a^F6 F=l
x=o X. 1
/
--{ 
êr*--- .-*''g..*--,crìrrê
ttr
-rod.-ë
J J. J#=
C+O =o
o
,--O 15*t
-ì c t-L 
-*Õ â-l
! rO
dr)
.{"
*: 
_**{}***dd"ìq*r
[si ]
f;.^1, .34;JsyCr".. 
"" 
,rXú.tf ,fy,e,-uÒ
(x + Y) ?
)<
x.z +- Y.Z
XY+Z
v
X"t _ X
t*lo-= ï 
-P*-*
")<
ï-'-ê
--{
L-ó'
z
O---ì
I
-l-.Õ, J
x#c )<
Ã
"*o/*^*
Õ
X-..
.x
_1
-*c3 a.__-.
@ )p ,^^*i^t". .".d* ,n-Qo-ti ,-,a *reffi trltf,fu 
Lqt I
ta,+ exrrx. c-tO í fCcl;-- t- ^Llr^* )4)4_ ,1 1..- t- .
ço*yr[.^,fr" o...b on ah^^<m"T lffi^"-,*''*
c,o^.,üffi".ep fri* ,"-/-* P"fr,*r,J'U'""- çt't^á- s
ep+-ofueU-zn ,. Prn a,Nz-7Lt 1 nt S = í'19tcl t^frs @
pl;üs 
= í(,í*5,7 f i, 1r 3, í",bJ, 1-,.j l{ç.ú, í.,s,41J"
{<,1 Orya.nu1;ro ^n}..<^o-ut^.,rtq<,a zttfr .;, U.^^a'c$ (.t". f*-A"4
- 
,a,tn4fi y) -- - 1-q/1^-i* (,yu,taçza ,/ , Wr^"4,,-
t!eagr<rr^- d" VQrvrr4, drptr'''fli :
X Y +x Y) = ><
(x+Y)"(x*D=X.
\
I
I
I
I
I
I
.
ìì xi ÌIt1
I
f*+4. ( *+V
!.
ì- \ .t a^
*Çn (*+v)
=\
/]a)
<^
/'-lJ(*LQ - 1.Q--
[a r t,- ,ê)
n* P*C* /-tx<l-<^
1+Cr-+e- o bfrr,
tçt I
l*V^ .-{.2 .4.u'.,rzt "^-"-S
44t* {ar Ja à^<A_
:r^
f,f'^" (,,,y,. ',;) à,(" ""N {,r*,.:
f ï'^'(' '{' \i) (2,{, õ)5-be-4e- T^" 44 àr,+,c,2 {t*ft .á ìàlpü-roo
",*- úr{t""^or {-wan,;o "-"lL c^>-pfu n.^ ,t âu,fr,L,&, .
tçí 
^^.--{urrpr=<, ol*^a" "^ &-flAvví. ,iy , ++ dtttc p"rfi
t+4ão,^ -<^ ila,lì),/"0,, ) o-J l,^3fu l*aiy aht^ â:/É
aõ ,r^^--<--, oâ,*fi,"ç.;1. ( árh ucí.I.fid^a. a- !) ' Nr.rlz-
a.- à&-Á.\<,-AP q aa{gw <,^-,<e^':h 446 ^'4!'fr/o,4 ,A^ol .
xY+xZ =X{Y+e)
4i'i9.,0.e\: i\m=,u,dd
--çffJ'(v,7>
: (f+ ï> , (í +7\
=F+Y) , C *+1\
€L 4 
"ao*Ii à1^&.!-, ,*,"u"ç*$.
( x+ y) , {x*7\ ï
,fÃ..*
{í'ii,ïyq1. x t v-}ã)
=7+affi
=x+(í,1\
= 
X+ LY ,1>
.:: x+y-A
-{.. :
X + y,u
c-^* S-8a^rrvrtt'ra*y - 
-í''''"'''$12 
"n r'ud'l 'eftt?t Ò M"*&'
cb.f,ltnla' r*r,,ú6 il(iur",Lo yoz ! Ã'Ao4 oz fii"-'-ez-11'nzt d,&
o*-.t-,- .(\> AÃ!14- y.r',ro"fr2 .bL1^ ,, JU6;u,4 fx"-. o'16r"2
' 
-#- Y t" n ,,, .. .r- rc, -'L-- 1o o ,u.tr].2-o-> 
-.*6tvx, clz- íJ^rt'> 0'< -a'^4L@ / 4<P--a*+/
-< 76r'.'-e7-trè-'Ìp y,ru'nr-- -ozffi"u'4 a ^4@)-@ '
Y^- d.- Wf T- *l* ^^h'aìY ür àôü *ít"d,'
f*N'Ã^\lú,- L,fi'"r; (",- J-q'-- c^ zeíoL- ,+ ,o,t'",':at
.U (^^f Q"t 'Qa^' '
$ {rypz}rtf>c3 . >Cz -t-
x-3.x2.
)( 3 )LZ.
i*e*&-g.D(: J
íê ;ïâ ïü
\' 
- \.. - "''.....i
.rrr É
(x) t ftl.q )rr
3 fa,u*ia (a^*tí^I.\.-Ç - -ãrw(dtít€,r7)
o t1*t=?3' r )g:.jf-$' * x3;@,ft-3
,nl&t 
.ft.16 -"-*--;;; ''
\ 
- ',-r\i. 5õ. ) " ( r.s ztz .1. >fJ )
{xz tüã) . (r,t*fr) ' />'z.=ïi)
".----1izj"\+,"./r'
Tz. ,x'J
fc;.nc* úì\ rtl*ç.#rtuar I "{&^,.*^ár,, - aç â 4vl*A'rl**...:,{ç,fe.--
Ariün'!*.fiarr* -
( tr< a)tz
ü* .v[t]vr,]'
I *\{ xi ?{z ).
tryu,-.r'. 
-i r - ,^ a) t-r,\r i ,'.,.--, ' .It*' . -\
(xtriì"C) (t3-JfYJ), /'l t'z*ã)
( x= +íz. tr,Ir) , ( rr= 'xzíe.;-r ) . (nrõ+ rtz+jïò
t-(Xi + r,s Ì>f!)r
-------r_-
'nlz
nz.v4Pfi-. ?3 ÍËOa*q,c-
(x:+re?+,fl) 
'(x*{
fo*r***r'o It'nft,eè,ç1
.(È*effi)
q.{- /..-\*-_--. -
nis
t"tt I
o-lT
,tfu>*^,.,aÍ.,.e 
',:". .f,,{le.^u".fi ok"!,ç, ,:*, 5&:i,,,r'ttçrr. - J gt-à+--**
(4,.^-çt+t (. <.,
>ci. { (J,rtzirc,) +- .* ! (otxz,r.r)
.ï'
x,r {:r.a +.ffi Ë) + >ì3 (ra ,.t)
)r 3 )óz + )ô3 ,:ïã^:õ + fr fz ÃL*\-*--r \- 
_lì, "l - 
*""""-\Í;'f 
-
Çi .f ti--,,r,or-,r) * ü { ú,s,,,=,1ì
)c..1, 
" 
2t.3.>cL +.:ïì ,)t3.2cL 
= 
>e:.:re-.;.ç,1
ft-evaffi ff ,,rur { oi "tr ü }}
\.-r Ìee*)r.3 .:e2 ^ :t 1\,**-_.,^- 
. -;,
A^AÉ
.h ),3 >ti,)í.!
-.ã1,-z--:ltvl'l
* :ca tt,z,ffi\-_--\ 
_-
/\Y1L
. lrÌ ?
* )r-: >(2.)( jt
<r**--1_.-=.-/
ftí7
+ >/B.?fZ ){}\**---'*-\.--
4*t1
4*rqr,- 0r. i.r ',r. i.l 5 )Cl XZ ,1- jã Eo I' ht
, {r, *[*r * fJi,"1, d!.81(: gf)cà 
. 
r*l
{', .k:s' Egj' { ** b=g's;:ü
--..;'-"t' 
I \- 
' 
" 
"- *"-')
t>
dvúï^ brLnqa- ,.$er.ffi$d"f#b
fxe +re t)Al, [)E ra+ij. t=trn#+:rr]"[r: *r7i*9]\---1,ru .*.----!.-.*--' 
-1\.--=.-,t 
--""--*-,
,vl t tvls Mz rã3
p*^*cf^ , t/ À1 l.t ; 2,3, 5 )
5-) [2,0 pontos] Três Acadêmicos de Oxford. A, B e C, colecionam livros e/ou manuscritos
antigos, Íaros, de acordo com preferências pessoais. Mr. A coleciona trabalhos políticos do idioma
lnglês e também novelas escritas em outras línguas estrangeiras (que não o Inglês). Mr. B coleciona
toda espécie de trabalhos políticos, mas desde que estes não sejam novelas que foram escritas em
Inglês. Ele também coleciona trabalhos em lnglês, mas desde que estes trabalhos não sejam novelas
(ficções). Mr. C coleciona itens não ficcionais (ele detesta ficções, novelas. preferindo a reaÌidade) e
que sejam ainda, ou trabahos escritos no seu idioma nativo (lnglês), ou trabalhos políticos escritos
em idiomas estrangeiros (que não o tnglôs). EncontÍe aqueles livros/manuscritos para os quais
existe competição entre os Acadêmicos. Em outras paÌavras, deterrnine quais são os Ìivros
desejados por dois quaisquer, entre os três Acadêrnicos. Sugere-se montar o modelo do problema
em termos de conjuntos adotando as seguintes definições iniciais: A = Conjunto de livros
colecionados por Mr. A; B : Conjunto de livros colecionados por Mr. B; C : Coniunto de livros
colecionados por Mr. C; Z = Conjunto de livros colecionados (dese.iados) por dois quaisquer, entre
os três Acadêmicos. Por meio de operações de união, intersecção e complemento de coniuntos
encontre a expressão de Z em função de A, B e C. Escolha e defina outros conjuntos que pemitam
modelar os desejos dos colecionadores e determinar a expressão dos conjuntos A, B e C em funçào
destes. Sugere-se a adoção de letras mnemônicas 
- 
Se o conjunto for de obras Políticas adotar P,
etc. Uma vez encontradas as expressões de A. B, C e Z por operadores conjuntistas, encontre as
expressões BooÌeanas equivalentes, interpretando os conjuntos como variáveis Booleanas e os
operadores união, intersecção e complemento como operadores Booleanos- complemento.
Simplìfique a expressão Booleana de Z. justificando cada passo relevante com a técnica usada (De
Morgan, propriedade dìstributiva. Axjoma. etc.) e interprete o resuÌtado obtido para Z. resumindo o
que há em comum entre os colecionadores.
ts-
Á - (.,$,.[""',;[." ']u Jü"r";i']' to&,c'r'erc^rl.r+"s lruf 4/r, A
rl u1'L.D
tv, ú
f - r-:1w-,'-G a do&-r-., 61Jli,'cre: t',tsu'I*s 'rs Ìêa'a,'.ar,^ </à
" 
-,?ffk E y #.r.{,Wi#W"f5X Try'
? --4!p'.Á-a* )'odvt +t I^c'buVLc' pc{il'-ttt-
7 
- 
ô*4rl^tro Jl,'.Qí^\'oi ç')srÁono4nz?ry'ao') *úa âr)1Á
t= (nns)U(/{na)u (anc)
\ì
ì, lt lì
t,
..^ÁD.ó'r!!w^r/l 
^'--^r,
T,1 3 Jui i.,,'..'. J* e 1,t lLlr LC. r â.
/tí'í^t-íP'nÇar l,t-.14^-L64.
A=CPnE) U(r,l nE)
o:(pa'@)tJ(en
€: tn[Lu(PnEI
),, 5à fr+tnr"le- t o t ctf'xtc7teL\ Ô *) fitL
eL: -.r.t ,'; ,--.-1u-^.62 6.ua.tì ^lc"t ai'cU Ça'ft',t, ç 1
7;-ê.ts+ a-e+15.6
Â: 
",e O tJ,lI 
= 
p.S7S +' É,il
)d= N (e oP,ã)
(t^-1'u, â: ru5rthru R, í3q' 6 to" ttcTvw'u{) & V, o'rvt"'|l't'
1,,r,r.0 4-, . .rt.,.rúí {'. "ï*" r ^ ì !\rY
v -- e, r í. i) + ü. Ãr {Ú, tttot6'"'; 
- 
,/ 1 ï;E=
,! : ? (F+E) + .='Ú : P'il +?'E +€'V P- lì rü''s)
B * i,.ú. (g+I) +p.E'+Ë'í; r'F'É+gFF tp'È+Ã'v**
É = il.Ê(p+1) + P,ElR+r) ç.- {*"*'(Í;'*
,rf; 141 11 :lB = r.,,r ,Ë + i'. t- [ x_ {r4+lì= zÍ
Ce rr'É) vAt pífi,Cua'o )Ì-eLorln'o ' ) ia1(" ç'{ 'ç1
="i,3 - r>'V) (v-'3\= rr'5
tr: .&l
"'lá"-nn-
1i. l \,!g,,'1t". J.^,q 6al
c.lNt',v,., ?* .
M)
r {, -+- t t*"tíJ44*,
.ttu, - t jf,u,,
v
c= N
d: l) ,1r-+ P) = F.Ë -t- ãJ.F
&^t :
-\ rt-.r-* p.e){"'e+ü'f + (ü'u +p'IJ'' 1-'--í?)f -- I {.,;' tu' r- )' l-LN "- r r'ç / I L'- .-- .-r ì
)-. ,."''Ï)'(t'rt t''E+í'z) + 
(ú't>+p'l)'(N E+ N't-)
Í : . p,,. * u" . E).1 ;.e " r, F + Ãi. e. { i: tEJ] * :o t1':'),ji : r È' ')
y':;tt,{-",',ã).f i'; * ? 7 r ií' P' L+ frí íJ + ti'È+tE)'tí'i+t'e)
I z r ?.*+ r-,í). I P ;' ( J + tJ ]* õ' € ( i + 
P! + r r? Ê t P' [ )' ri' € +Ã7''')
1 -: r ?-r r,r'.Ë) ' (p'ï 'ç fr'ú) *'( ü'8.+ r'i) 'rü'ã tú'P)
u 
=e e* fr'E)' &' 'tì-N'F) * 
(ü' ettr"rfi
z=<!,?.ii)-r"jjl}gÈ *+)ï x .3 )c\r\
,:+5r 
">1 
1ê) J >c t- { ã ü,nfr,t2'''Ç"sc^
, *.,r.3 rx.X t{J 
= [$Ë f v,õ f l3 ,xtX,U
f'r,-*-;-fe-"d-+' ç, .,",. u 'f,' ftu c ';; eQ4 iì , tJ x f tt"' /. ,
c
,t
.Y\Z: ap.J trvr':). r í ír,' E) + (e,;+u'E),{ín,È +^r,P) +
z = ï,t-+ P' ã' { 
e'i *a''! +ÃÍ' F)
C
t fr,Lrí";\