Prova 2

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MAE 0116 Noc¸o˜es de estat´ıstica
Segunda Prova
Nome
Assinat.
No.USP
Prof. Vanderlei Bueno
Questa˜o Nota
1
2
3
4
Total
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Curso de Economia - FEA
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1. Um fabricante de bebidas pretende estimar a proporc¸a˜o de consumidores que bebem cerveja
escura.
A)(0,5 ponto) Qual o tamanho da amostra necessa´rio para que o erro cometido na estimac¸a˜o
seja no ma´ximo de 0,03 com probabilidade de ao menos 0,90?
B)(0,5 ponto) Se o produtor possui a informac¸a˜o de que a verdadeira proporc¸a˜o e´ menor do
que 0,3, e´ poss´ıvel diminuir o tamanho da amostra? de quanto?
C)(1,5 pontos) Em uma amostra aleato´ria de 680 consumidores, 170 responderam que bebem
cerveja escura. Use a aproximac¸a˜o normal e deˆ um intervalo de 0,95 de confianc¸a para a
verdadeira proporc¸a˜o de consumidores que bebem cerveja escura. Interprete o resultado.
Resoluc¸a˜o:
Seja p a proporc¸a˜o de consumidores que bebem cerveja escura.
A) n =? e γ = 0, 9→ z = 1, 64.
n = (
z
σ
)2.0, 25 = (
1, 64
0, 03
)2.0, 25 = 747, 1 ≈ 748.
B) Caso p < 0, 3 temos
n = (
z
σ
)2.0, 3.0, 7 = (
1, 64
0, 03
)2.0, 21 = 627, 6 ≈ 628.
Portanto o tamanho da amostra e´ diminuido de 120.
C) Se n = 680 e 170 consumidores bebem cerveja escura, temos a proporc¸a˜o amostral p̂ =
170
680
= 0, 25.
Como γ = 0, 95 temos z = 1, 96 e o intervalo de confianc¸a e´
(p̂− z
√
p̂(1− p̂)
n
; 0, 25 + 1, 96
√
0, 25.0, 75
680
) =
(0, 22; 0, 28)
Interpretac¸a˜o:
Se realizarmos um grande nu´mero desses intervalos, esperamos que em 0,95 das vezes o inter-
valo contenha o verdadeiro valor de p.
2. Uma Cia de Seguros notou que a me´dia dia´ria de acidentes em uma Magalo´pole e´ 15. Depois
de exaustiva campanha de educac¸a˜o no traˆnsito, para verificar se o nu´mero me´dio de acidentes
diminuiu, considerou uma amostra aleato´ria de 100 dias obtendo me´dia igual a 13 e desvio
padra˜o de 3 acidentes.
A)(0,5 ponto) Formule, adequadamente, um teste de hipo´teses.
B)(0,5 ponto) Interprete, no problema, o erro do tipo I e o erro do tipo II.
C)(1,0 ponto) Com n´ıvel de significaˆncia de 0,01, qual o valor de x, para rejeitar a hipo´tese
nula?
D) (0,5 ponto) Considerando sua resposta em C), qual a sua decisa˜o?
Resoluc¸a˜o:
A) Seja µ a me´dia de acidentes dia´rios. O teste e´:
H : µ = 15 X A : µ < 15.
B) Interpretac¸a˜o dos erros:
Erro I : Decidir que a me´dia de acidentes diminuiu quando na˜o diminuiu.
Erro II: Decidir que a me´dia de acidentes na˜o diminuiu quando diminuiu.
C) Em outras palavras e´ para construir a regia˜o cr´ıtica.
α = 0, 01 = P (erro I) = P (RejeitarH|H) = P (X ≤ c|X ∼ N(15; 9
100
)) =
P (Z <
c− 15
0, 3
) = P (Z >
15− c
0, 3
).
Portanto
A(15−c
0,3
) = 0, 99 e 15−c
0,3
= 2, 33 implicando que c = 14, 3. e´ o valor procurado.
D) Considerando que a regia˜o cr´ıtica e´
RC = {x : x < 14, 3}
e que o valor observado x = 13 esta´ na RC rejeitamos H.
3. Uma Seguradora gerencia um portifo´lio com 100000 apo´lices. A tabela abaixo mostra o
nu´mero de segurados que requisitaram o pagamento de sinistros em determinado ano de uma
amostra aleato´ ria de 1000 apo´lices .
No. de Sinistros: 0 1 2 3 4 5
No. de Apo´lices: 890 67 29 9 4 1
A seguradora quer verificar, a um n´ıvel de significaˆncia de 0,01 se a proporc¸a˜o de segurados
que requisitaram sinistros e´ maior do que 0, 1.
A)(0,5 ponto) Formule o teste de hipo´teses.
B)(1,0 ponto) Considere que a Seguradora adotou a regia˜o cr´ıtica
RC = {x|x ≥ 117}.
Qual o erro do tipo II do teste quando p = 0,3 (use a aproximac¸a˜o normal)?
C)(1,0 ponto) Qual e´ o n´ıvel descritivo do teste (use a aproximac¸a˜o normal)? Voceˆ rejeitaria
a hipo´tese ao n´ıvel de significaˆncia de 0,05? E ao n´ıvel de significaˆncia de 0,01?
Resoluc¸a˜o:
Seja p a proporc¸a˜o de segurados que requisitaram sinistro.
A) O teste e´
H : p = 0, 1 X A : p > 0, 1.
B) Se a regia˜o cr´ıtica e´
RC = {x|x ≥ 117}
onde x e´ o valor observado da varia´vel aleato´ria X definida como o nu´mero de segurados que
requisitaram sinistros, com distribuic¸a˜o binomial X ∼ B(1000, p), o erro do tipo II quando
p = 0, 3 e´:
β = P (X < 117|X ∼ B(1000, 0, 3)) = P (X ≤ 116|X ∼ B(1000, 0, 3)).
Como E[X] = 1000.0, 3 = 300 e V ar(X) = 300.0, 7 = 210 a distribuic¸a˜o binomial aproxima-se
da distribuic¸a˜o Y ∼ N(300; 210). Assim
β = P (Y ≤ 116) = P (Z ≤ 116− 300
14, 49
) = P (Z ≤ −12, 6) = 0.
C) O n´ıvel descritivo e´
P = P (X > 1000− 890|H) = P (X > 110|X ∼ B(1000, 0, 1)).
Como E[X] = 1000.0, 1 = 100 e V ar(X) = 100.0, 9 = 90 a distribuic¸a˜o binomial aproxima-se
da distribuic¸a˜o Y ∼ N(100; 90). Assim
P = P (Y > 100) = P (Z >
110− 100
9, 49
) = P (Z > 1, 05) = 0, 1469.
Como o n´ıvel descritivo e´ maior do que os valores de α propostos na˜o podemos rejeitar H, isto
e´, a amostra na˜o e´ significante para rejeitar H.
4. Os pesquisadores de marketing sabem que a mu´sica de fundo pode influenciar a disposic¸a˜o e
o comportamento de consumo dos clientes. Um estudo feito em um supermercado comparou
treˆs tratamentos: nenhuma mu´sica, mu´sica francesa com acordea˜o e mu´sica italiana de cordas.
Sob cada condic¸a˜o, os pesquisadores registraram as quantidades de garrafas de vinhos franceˆs,
italiano e de outras nacionalidades que foram compradas. Teste para o n´ıvel de significaˆncia
se a mu´sica e o tipo de vinho sa˜o associados.
V inho,Musica Nenhuma Francesa Italiana total
Frances 30 39 30 99
Italiano 11 1 19 31
Outros 43 35 35 113
total 84 75 84 243
A)(0,5 ponto) Formule um teste de hipo´teses adequado para o problema em questa˜o.
B)(1,0 ponto) Supondo que o comportamento do cliente e´ independente do tipo de mu´sica,
qual o nu´mero esperado de garrafas de vinho italiano comprados com a mu´sica italiana de
fundo? e com mu´sica francesa?
C)(1,0 ponto) Se o ca´lculo do qui-quadrado observado resultou χ2o = 18, 4, qual o n´ıvel descri-
tivo do teste? Qual a sua decisa˜o ao n´ıvel de significaˆncia α = 0, 01? E ao n´ıvel de significaˆncia
α = 0, 05?
Resoluc¸a˜o:
A) H: O consumo e´ independente do tipo de mu´sica.
A: O consumo depende do tipo de mu´sica.
B)
Eii =
31.84
243
= 10, 71 ' 11.
Eif =
31.75
243
= 9, 57 ' 10.
C) O n´ıvel descritivo e´
P = P (χ24 > 18, 4) = 0, 001.
Como o n´ıvel descritivo e´ menor do que os valores de α propostos rejeitamos H.