PMT3110 Lista 09 Gabarito 2016

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Introdução à Ciência dos Materiais para Engenharia – PMT 3110 
 
Lista de Exercícios 9 
Compósitos 
2016 
 
1. Um compósito é formado por partículas grandes de tungstênio no interior de uma matriz de cobre. As 
frações volumétricas do tungstênio e do cobre são 0,70 e 0,30, respectivamente. Estime o limite superior 
para o módulo de elasticidade específico do compósito. Utilize os dados fornecidos na tabela abaixo. 
 
 Densidade Relativa Módulo de Elasticidade (GPa) 
Cobre 8,9 110 
Tungstênio 19,3 407 
 
2. Um compósito com fibras contínuas e alinhadas, que possui área de seção reta de 970 mm
2
, está sujeito 
a uma carga externa de tração. As tensões suportadas pelas fases fibra e matriz são de 215 MPa e 5,38 
MPa, respectivamente, a força suportada pela fase fibra é de 76.800 N e a deformação longitudinal total do 
compósito é de 1,56x10
-3
. Determine: 
a) a força suportada pela fase matriz. 
b) o módulo de elasticidade do material compósito na direção longitudinal. 
c) os módulos de elasticidade para as fases fibra e matriz. 
 
3. Um compósito de fibra de vidro contém 70% em volume de fibra de vidro-E em uma matriz de epóxi. 
a) Calcule o percentual em peso das fibras de vidro no compósito. 
b) Determine a densidade do compósito. A densidade da fibra de vidro-E é de 2,54 x 10
6
 g/m
3
 e para o 
epóxi é de 1,1 x 10
6
 g/m
3
. 
 
Introdução à Ciência dos Materiais para Engenharia – PMT 3110 
 
Lista de Exercícios 9 
Compósitos 
2016 
 
Resolução: 
 
1. Podemos estimar o limite superior do módulo de elasticidade [Ec(u)] e a gravidade específica (ρc) do 
composto, utilizando a expressão: 
 
Ec(u) = VWEW+VCuECu 
 
Onde: Ec(u) = limite superior para o módulo de elasticidade do compósito, VW = fração volumétrica de 
tungstênio; VCu = fração volumétrica de cobre; EW = módulo de elasticidade do tungstênio; ECu = módulo de 
elasticidade do cobre 
 
(110)x(0,30) + (407)x(0,70) = 318GPa 
 
ρc = ρCuVCu + ρWVW 
 
Onde: ρc = densidade do compósito; ρCu = densidade do cobre; ρW = densidade do tungstênio 
(8,9)x(0,30) + (19,3)x(0,70) = 16,18 
 
O módulo de elasticidade específico = Ec(u)/ρc = 318GPa/16,18 = 19,65 GPa 
 
2. a) Para calcular a força suportada pela fase matriz precisamos determinar Vm (fração volumétrica da fase 
matriz). A fração volumétrica de fibra: Vf = Af / Ac 
σf = Ff /Af = Ff/(Vf x Ac) 
 
Vf =Ff / (σf x Ac)= 76.800N/ [(215x10
6
N/m
2
)(970mm
2
)(1m/1000mm)
2
]= 0,369 
 
Vm = 1 - Vf = 1 - 0,369 = 0,631 
 
Para a fase matriz: Vm = Am / Ac 
 
σm = Fm /Am = Fm / (Vm x Ac) 
 
Fm = σm x Vm x Ac 
 
Fm = (5,38x10
6
N/m
2
) x (0,631) x (0,970x10
-3
m
2
) = 3290 N 
 
Onde: Vf = fração volumétrica de fibra; Vm = fração volumétrica da matriz; σf = tensão na fibra; σm = tensão 
na fase matriz; Ff = força suportada pela fibra; Fm = força suportada pela matriz; Af = área de seção reta da 
fibra; Am = área de seção reta da fase matriz; Ac = área de seção reta do compósito 
 
b) Módulo de elasticidade do compósito na direção longitudinal (ECl), situação de isodeformação 
(εcompósito = εfibra = εmatriz = ε): 
ECl = σc / ε 
σc = (Fm + Ff) / Ac 
ECl = σc / ε = [(Fm + Ff) / Ac]/ε = (Fm + Ff) / ε Ac 
ECl = [(3290N)+(76.800N)] / [(1,56x10
-3
)x(970mm
2
)(1m/1000mm)
2
] = 52,9x,10
9
 N/m
2
 = 52,9GPa 
 
c) O módulo de elasticidade da fase matriz pode ser assim obtido: 
Em = σm / εm 
Para o estado de isodeformação, esforço aplicado na direção do alinhamento das fibras, 
εcompósito = εfibra = εmatriz = 1,56x10
-3
. 
Introdução à Ciência dos Materiais para Engenharia – PMT 3110 
 
 
Em = σm / εc = (5,38x10
6
N/m
2
) / (1,56 x 10
-3
) = 3,45 x 10
9
 N/m
2
 = 3,45 GPa 
 
De modo análogo, podemos calcular o módulo de elasticidade da fibra: 
Ef = σf / εf = σf / εc = (215 x 10
6
N/m
2
) / (1,56 x 10
-3
) = 1,38 x10
11
N/m
2
 = 138GPa 
 
Onde: ε = deformação; εf = deformação da fase fibra, εm = deformação da fase matriz; εc = deformação do 
compósito; σm = tensão na fase matriz; σf = tensão na fase fibra; σc = tensão no compósito; ECl = módulo de 
elasticidade do compósito na direção longitudinal; Ef = módulo de elasticidade da fibra; Em = módulo de 
elasticidade da fase matriz. 
 
3.a) Para 1 m
3
 de compósito, teríamos 0,70 m
3
 de fibra de vidro-E e (1,00-0,70) m
3
 = 0,30 m
3
 de epóxi. A 
massa de cada componente será: 
𝑚𝑣𝑖𝑑𝑟𝑜−𝐸 = 2,54 ∙
106𝑔
𝑚3
× 0,70𝑚3 = 1,77 ∙ 106𝑔 
e 
𝑚𝑒𝑝ó𝑥𝑖 = 1,1 ∙
106𝑔
𝑚3
× 0,30𝑚3 = 0,33 ∙ 106𝑔 
 
Assim, % em peso de fibra de vidro=
1,77∙106𝑔
(1,77+0,33)∙106𝑔
× 100 = 84,3% 
 
b) A densidade será: 
𝜌 =
𝑚
𝑉
=
(1,77 + 0,33) ∙ 106𝑔
𝑚3
= 2,10 ∙ 106 𝑔 𝑚3⁄