2019_1_5_compositos_macro_e_micromecanica

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Macro e micromecânica aplicadas 
aos materiais compósitos 
Disciplina: Materiais Compósitos 
Prof.: Fábio de O. Braga 
Graduação em Engenharia Civil 
Escola de Engenharia 
Departamento de Engenharia Civil (TEC) 
1. Revisão de propriedades 
elásticas 
Tipos de carregamento e suas deformações 
Tração Compressão 
1. Revisão de propriedades elásticas 
Tensão normal 
F = carga aplicada; 
A0 = área inicial da 
amostra. 
Deformação normal 
Δl = alongamento; 
l0 = comprimento inicial; 
li = comprimento final. 
F > 0 F < 0 
1. Revisão de propriedades elásticas 
Tipos de carregamento e suas deformações 
Tipos de carregamento e suas deformações 
Cisalhamento 
Cisalhamento 
(elemento plano) 
Tensão de cisalhamento de engenharia 
1. Revisão de propriedades elásticas 
Tipos de carregamento e suas deformações 
1. Revisão de propriedades elásticas 
Torção e detalhe das 
tensões cisalhantes 
Torção 
Tipos de carregamento e suas deformações 
1. Revisão de propriedades elásticas 
Tipos de carregamento e suas deformações 
Flexão 
1. Revisão de propriedades elásticas 
Tensões normais 
Tensões cisalhantes 
1. Revisão de propriedades elásticas 
• No primeiro gráfico, observa-se distintamente duas regiões: 
a) Uma região aproximadamente linear (inclinação 
aproximadamente constante); 
b) Uma região não-linear (inclinação decresce). 
• Observar que no segundo gráfico quase só há a região linear 
(material frágil). 
 
1. Revisão de propriedades elásticas 
• Definição do módulo de elasticidade (E), 
também conhecido como módulo de Young. 
 
1. Revisão de propriedades elásticas 
O módulo elástico tem a ver com a inclinação da 
curva tensão-deformação no regime elástico. 
É a rigidez do material. 
• Definição do módulo de cisalhamento (G). 
 
1. Revisão de propriedades elásticas 
Similar ao módulo de Young, mas devido a cargas de cisalhamento. 
1. Revisão de propriedades elásticas 
• O comportamento linear-elástico é descrito pela equação: 
 
 
• Onde: σ = tensão; E = módulo de elasticidade ou módulo 
de Young; ε = deformação; τ = tensão de cisalhamento; γ = 
deformação de cisalhamento; G = módulo de 
cisalhamento. 
• Esta equação é conhecida como “lei de Hooke”. 
• Para o aço, E = 210 GPa. 
• A deformação ε permanece enquanto a carga é mantida. 
Assim que a carga cessa, o material volta às dimensões 
iniciais. 
(tração e compressão) (cisalhamento) 
1. Revisão de propriedades elásticas 
1. Exemplo do cálculo do alongamento elástico: 
• Um pedaço de cobre originalmente com 305 mm de 
comprimento é puxado em tração com uma tensão de 276 
MPa. Se a sua deformação é inteiramente elástica, qual será o 
alongamento resultante? Considere o módulo de Young do 
cobre como 110 GPa. 
1. Revisão de propriedades elásticas 
• Quando uma tensão é imposta sobre uma amostra metálica ao 
longo do eixo da peça (eixo z), resulta em uma deformação εz. 
• Como resultado do alongamento, haverá uma contração nas 
direções x e y, perpendiculares à tensão aplicada (deformações 
εx e εy). 
• Se o material for isotrópico, εx = εy. 
• O coeficiente de Poisson (ν) é definido com a razão entre as 
deformações lateral e axial. 
• Os metais tem 0,25 < ν < 0,35. 
1. Revisão de propriedades elásticas 
2. Exemplo: Uma tensão de tração deve ser aplicada ao longo do eixo do 
comprimento de uma barra cilíndrica de latão, que tem um diâmetro 
de 10 mm. Determine a magnitude da carga necessária para produzir 
uma variação de 2,5 x10-3 mm no diâmetro se a deformação é 
puramente elástica. Considere Elatão = 97 GPa e νCu = 0,34. 
1. Revisão de propriedades elásticas 
1. Revisão de propriedades elásticas 
• As propriedades elásticas definidas até agora, módulo de Young (E), 
módulo de cisalhamento (G) e coeficiente de Poisson (v) são 
conhecidos como constantes de engenharia. 
• Elas definem totalmente o comportamento elástico do material. 
• A relação entre elas é: 
 
 
 
• Para materiais isotrópicos, estas constantes não variam com a 
direção. 
• Para materiais anisotrópicos, como a maioria dos compósitos, estas 
constantes variam com a direção, aumentando o número de 
constantes independentes (Exx, Exy, Exz, etc.). 
 
 
1. Revisão de propriedades elásticas 
1. Revisão de propriedades elásticas 
• Lei de Hooke generalizada para um estado de tensões 
tridimensional conforme figura: 
 
 
 
 
 
 
• (Considerando eixo x→1, y→2, z→3) 
• Pode ter até 81 componentes. 
1. Revisão de propriedades elásticas 
• Os componentes de tensão normal 
1. Revisão de propriedades elásticas 
• Os componentes de tensão 
Se considerado estado plano de tensões, temos que: 
𝜎𝑥 =
𝐸
1 − 𝑣2
(𝜀𝑥 − 𝑣𝜀𝑦) 
𝜎𝑦 =
𝐸
1 − 𝑣2
(𝜀𝑦 − 𝑣𝜀𝑥) 
𝜏𝑥𝑦 = 𝐺𝛾𝑥𝑦 
1. Revisão de propriedades elásticas 
• Matriz da Lei de Hooke para materiais isotrópicos 
contendo todas as constantes de engenharia. 
 
 
 
 
 
• Onde: 𝐴 =
𝐸
(1−𝑣²)
 
𝜎𝑥
𝜎𝑦
𝜎𝑧
𝜏𝑥𝑧
𝜏𝑦𝑧
𝜏𝑥𝑦
=
𝐴 𝑣𝐴 𝑣𝐴 0 0 0
𝑣𝐴 𝐴 𝑣𝐴 0 0 0
𝑣𝐴 𝑣𝐴 𝐴 0 0 0
0 0 0 𝐺 0 0
0 0 0 0 𝐺 0
0 0 0 0 0 𝐺
𝜀𝑥
𝜀𝑦
𝜀𝑧
𝛾𝑥𝑧
𝛾𝑦𝑧
𝛾𝑥𝑦
 
2. Princípios de micromecânica 
aplicados a materiais compósitos 
• As propriedades elásticas dos materiais são características 
mecânicas essenciais para a análise de tensões e o projeto de 
componentes estruturais. 
• Como visto na seção anterior, por meio das propriedades 
elásticas, é possível correlacionar as tensões (estímulo 
mecânico) às deformações (resposta do material ao estímulo). 
• Micromecânica é uma técnica que permite o cálculo das 
propriedades elásticas de um compósito a partir das 
propriedades elásticas de seus constituintes, desde que suas 
frações volumétricas sejam conhecidas. 
2. Princípios de micromecânica aplicados a materiais compósitos 
• Em micromecânica, as propriedades são definidas baseando-
se em dois eixos, um paralelo às fibras (eixo 1) e outro 
perpendicular (eixo 2). 
2. Princípios de micromecânica aplicados a materiais compósitos 
• Frações volumétricas: VF + VM + VV = 1 
• Ou em percentuais: %VF + %VM +%VV = 100% 
• Os índices F, M e V indicam, respectivamente, fibra, matriz e 
vazios. 
• Em compósitos estruturais de boa qualidade, VF deve ser 
baixa, idealmente VV < 1%. 
• Em compósitos poliméricos curados em autoclaves dentro de 
bolsas de vácuo, 0,1 < VV < 1% 
• Pode-se considerar que os vazios não contribuem para o peso 
dos compósitos, então mc = mF + mM 
2. Princípios de micromecânica aplicados a materiais compósitos 
Hipóteses simplificadoras 
• A matriz é considerada: 
• De comportamento mecânico linear e elástico; 
• Isotrópica homogênea; 
• Já as fibras devem ser: 
• De comportamento mecânico linear e elástico; 
• Homogêneas; 
• Perfeitamente alinhadas (paralelas umas às outras); 
• Igualmente espaçadas entre si. 
• Uma das consequências é que se pode utilizar a lei de Hooke nas 
relações entre tensões e deformações. 
2. Princípios de micromecânica aplicados a materiais compósitos 
Hipóteses simplicadoras 
• A unidade básica do compósito é conhecida como lâmina, contendo 
apenas uma camada de fibras. 
• As lâminas são consideradas: 
• Lineares elásticas; 
• Ortotrópicas; 
• Livres de tensões residuais; 
• A interface entre fibra e matriz na lâmina é considerada perfeita, 
isto é, quando a lâmina é tracionada na direção 1, as deformações 
londitudinais na lâmina (ε1), na fibra (εF) e na matriz (εM) tornam-
se idênticas. 
• Decorre também que as tensões normais na matriz na direção 2 
(σ2), a que atua nas fibras (σF) e a que atua na matriz (σM) são 
idênticas. 
2. Princípios de micromecânica aplicados a materiais compósitos 
• Caso 1: Carregamento longitudinal às fibras (direção 1) 
 
 
 
 
• F = FF + FM → σ1.A = σF.AF + σM.AM 
• Dividindo pela área total (A) da lâmina: 
• σ1 = σF.(AF/A) + σM.(AM/A) 
• Os termos (AF/A) e (AM/A) são as frações de área de fibras e matriz, 
que equivalem às frações volumétricas VF e VM, pois o comprimentodas fibras, matriz e da lâmina são únicos. 
2. Princípios de micromecânica aplicados a materiais compósitos 
• Aplicando-se a lei de Hooke: 
• E1.ε1 = EF. εF.VF + EM. εM.VM 
• Como as deformações da lâmina, fibra e matriz são idênticas: 
• E1 = EF.VF + EM.VM 
• Que é conhecida como Regra das Misturas. 
Impregnação manual: VF ~30%; 
Moldagem a vácuo: VF ~50%; 
Autoclave ou prepreg: VF~70%. 
2. Princípios de micromecânica aplicados a materiais compósitos 
• Caso 2: Carregamento perpendicular às fibras (direção 2): 
 
 
 
 
 
• Neste caso, as fibras e a matriz trabalham como molas em 
série, isto é, ΔL2 = ΔLF + ΔLM. 
• Sendo ΔL = ε.L → ε2 = (L2F/L2). ε2F + (L2M/L2). ε2M. 
• Como no caso anterior, os quocientes (L2F/L2) e (L2M/L2) 
equivalem às frações volumétricas VF e VM. 
2. Princípios de micromecânica aplicados a materiais compósitos 
• Aplicando-se a lei de Hooke e cancelando-se os termos de 
tensão (hipótese simplificadora), temos que: 
• 
1
𝐸2
=
𝑉𝐹
𝐸𝐹
+ (
𝑉𝑀
𝐸𝑀
) 
 
 
 
 
 
 
Até VF ~ 50% o reforço é 
desprezível, podendo-se admitir 
que E2~EM. 
2. Princípios de micromecânica aplicados a materiais compósitos 
• Para compósitos com fibras na forma de tecidos, mantas, ou 
preformas multidirecionais, os valores teóricos de E1 e E2 são 
considerados como limitantes superior e inferior do módulo 
de elasticidade do compósito. 
2. Princípios de micromecânica aplicados a materiais compósitos 
• Além dos dois módulos de elasticidade E1 e E2, uma lâmina 
com reforça unidirecional também apresenta dois 
coeficientes de Poisson. 
• O maior deles é ν12, ocorre quando a tensão é aplicada como 
abaixo: 
 
 
• O menor, ν21, ocorre quando a tensão é aplicada como abaixo: 
2. Princípios de micromecânica aplicados a materiais compósitos 
• ν12 também obedece à regra das misturas, então pode ser 
obtido a partir do coeficiente de Poisson das fibras (νF) e da 
matriz (νM), conforme abaixo: 
• ν1 = νF.VF + νM.VM 
• ν21 é normalmente medido por meio de cálculo, pela equação 
abaixo: 
•
𝐸1
𝐸2
=
𝑣12
𝑣21
 
• Por, fim propriedade elástica que falta é o módulo de 
cisalhamento (G), o qual relaciona as tensões de 
cisalhamento no plano da lâmina (τ12) com as deformações 
angulares (ϒ12). 
• 
1
𝐺12
=
𝑉𝐹
𝐺𝐹
+ (
𝑉𝑀
𝐺𝑀
) , sendo G12 ~ GM quando VF < 50%. 
2. Princípios de micromecânica aplicados a materiais compósitos 
• Apesar de simples, as equações de micromecânica para 
estimativa das propriedades elásticas são suficientemente 
precisas para uso no projeto de componentes estruturais em 
compósitos. 
• Em aplicações práticas, em decorrência das condições 
impostas pelos processos de fabricação, o valor máximo 
possível para frações volumétricas é de cerca de 70%. 
• Para valores superiores a 70%, não se pode garantir que todos 
os filamentos dos cabos de fibras empregados como reforço 
serão impregnados pela matriz. 
2. Princípios de micromecânica aplicados a materiais compósitos 
• Compósitos reforçados por partículas: 
• 𝐸𝑐𝑜𝑚𝑝ó𝑠𝑖𝑡𝑜 =
𝑉𝑃
0,67. 𝐸𝑀
1−𝑉𝑃
0,33(1−
𝐸𝑀
𝐸𝑃
)
+ 1 − 𝑉𝑃
0,67 . 𝐸𝑀 
• 𝐺𝑐𝑜𝑚𝑝ó𝑠𝑖𝑡𝑜 =
𝑉𝑃
0,67. 𝐺𝑀
1−𝑉𝑃
0,33(1−
𝐺𝑀
𝐺𝑃
)
+ 1 − 𝑉𝑃
0,67 . 𝐺𝑀 
2. Princípios de micromecânica aplicados a materiais compósitos 
• Exemplos de aplicação em micromecânica: 
3. Os módulos de elasticidade (E) dos materiais constituintes 
(fibra e matriz) do compósito de fibras de carbono T300/ 
matriz epóxi são: EFA = 231 GPa (módulo longitudinal das 
fibras de C); EFR = 20 GPa (módulo transversal das fibras de C) 
e EM = 3,45 GPa. Estime os módulos E1 e E2. Considere a 
fração volumétrica de fibras VF = 0,55. 
4. Em relação aos dados do exercício anterior, se forem 
fornecidos os dados de coeficiente de Poisson longitudinal 
(maior) da fibra, νF = 0,20 e da matriz νM = 0,35, calcule o 
coeficiente de Poisson maior da lâmina, ν12 e o coeficiente de 
Poisson menor, ν12. 
5. Calcule o módulo de cisalhamento da lâmina (G12), sabendo 
que o módulo de cisalhamento das fibras é GF = 15 GPa. 
Utilize os dados das outras constantes de engenharia da 
matriz já mencionados no exemplo anterior. 
2. Princípios de micromecânica aplicados a materiais compósitos 
3. Macromecânica de 
lâminas compósitas 
• Macromecânica: engloba as equações básicas que descrevem o 
comportamento elástico de lâminas, vigas e placas laminadas 
compósitas, reforçadas com fibras contínuas. 
• Caso dos materiais isotrópicos: as propriedades elásticas são 
definidas por duas constantes independentes, e não variam com a 
direção: Ex: “E” e “ν”. “G”, por sua vez, pode ser calculado por: 
𝐺 =
𝐸
2(1+𝑣)
 
• Já as propriedades elásticas de uma lâmina ortotrópica (de material 
compósito) são determinadas pelas constantes elásticas E1, E2, G12, 
v12 e v21, e são válidas apenas para o referencial principal do 
material (eixos 1 e 2). 
• As lâminas são formadas com reforço unidirecional contínuo, e 
representam os blocos básicos de modelos utilizados na análise de 
estruturas compósitas mais complexas, como laminados, formados 
pelo empilhamento de lâminas. 
3. Macromecânica de lâminas compósitas 
• Na análise de uma lâmina de compósito, é necessário definir 
um sistema de coordenadas para a a geometria do 
componente e cargas aplicadas (x, y, z), e outro para a 
orientação das fibras (1, 2, 3). 
3. Macromecânica de lâminas compósitas 
• Utiliza-se análise bidimensional quando uma das dimensões 
do componente analisado é desprezível (isto é, ao menos 20x 
menor), que é o caso das da maioria das lâminas compósitas. 
• Neste caso são usados apenas 2 eixos, 1 e 2 para as fibras, e x 
e y para os carregamentos. 
3. Macromecânica de lâminas compósitas 
3. Macromecânica de lâminas compósitas 
Lei de Hooke 2-D para materiais ortotrópicos: 
•
𝜎𝑥
𝜎𝑦
𝜏𝑥𝑦
=
𝐸
(1−𝑣²)
𝑣.𝐸
(1−𝑣²)
0
𝑣.𝐸
(1−𝑣²)
𝐸
(1−𝑣²)
0
0 0 𝐺
.
𝜀𝑥
𝜀𝑦
𝛾𝑥𝑦
 
Lei de Hooke 2-D para materiais ortotrópicos: 
•
𝜎1
𝜎2
𝜏12
=
𝑄11 𝑄12 0
𝑄21 𝑄22 0
0 0 𝑄66
.
𝜀1
𝜀2
𝛾12
= 𝑄 .
𝜀1
𝜀2
𝛾12
 
• Onde os componentes Qij da matriz [Q] são: 
• 𝑄11 =
𝐸1
1−𝑣21.𝑣12
 
• 𝑄12 =
𝑣12.𝐸2
1−𝑣21.𝑣12
= 𝑄21 =
𝑣21.𝐸1
1−𝑣21.𝑣12
 
• 𝑄22 =
𝐸2
1−𝑣21.𝑣12
 
• 𝑄66 = 𝐺12 
• A matriz Q é matriz de rigidez da lâmina ortotrópica. 
3. Macromecânica de lâminas compósitas 
Lei de Hooke 2-D para materiais ortotrópicos: 
• Se as cargas são dadas, e é necessário calcular a 
deformação, a equação inversa deve ser desenvolvida. 
•
𝜀1
𝜀2
𝛾12
= [𝑄]−1.
𝜎1
𝜎2
𝜏12
= 𝑆 .
𝜎1
𝜎2
𝜏12
 
• A matriz S é a matriz flexibilidade da lâmina 
ortotrópica. 
• Estas equações apresentadas para as lâminas 
ortotrópicas só valem para o sistema de coordenadas 
(1, 2); 
3. Macromecânica de lâminas compósitas 
3. Macromecânica de lâminas compósitas 
• Exemplo de aplicação: 
6. Para uma lâmina fina de resina epóxi reforçada com fibras de 
carbono T-300, orientadas ao longo da direção 1, cujas 
propriedades elásticas, em [GPa], foram obtidas por meio de 
equações básicas da micromecânica e transcritas na tabela do 
slide anterior, obter as matrizes [Q] e [S]. 
3. Macromecânica de lâminas compósitas 
• Caso as cargas estejam inclinadas em relação ao sistema (1, 2), 
é necessária uma rotação no sistema de coordenadas (x, y). 
• Sendo θ o ângulo entre os eixos x e 1, e representando as 
funções trigonométricas pelas letras m = cos θ e n = sen θ, a 
rotação pode ser realizada: 
•
𝜎1
𝜎2
𝜏12
= 𝑇 .
𝜎𝑥
𝜎𝑦
𝜏𝑥𝑦
 e 
𝜀1
𝜀2
𝛾12
= 𝑇 .
𝜀𝑥
𝜀𝑦
𝛾𝑥𝑦
 
• Onde: 𝑇 =
𝑚² 𝑛² −𝑚𝑛
𝑛² 𝑚² 𝑚𝑛
2𝑚𝑛 −2𝑚𝑛 𝑚² − 𝑛²
 
3. Macromecânica de lâminas compósitas 
3. Macromecânica de lâminas compósitas 
• A lei de Hooke então fica: 
•
𝜎𝑥
𝜎𝑦
𝜏𝑥𝑦
= 𝑇 −1. 𝑄 . 𝑇 −𝑇 .
𝜀𝑥
𝜀𝑦
𝛾𝑥𝑦
= 𝑄 .
𝜀𝑥
𝜀𝑦
𝛾𝑥𝑦
 
• Onde: 𝑇 −1 =
𝑚² 𝑛² 2𝑚𝑛
𝑛² 𝑚² −2𝑚𝑛
−𝑚𝑛 𝑚𝑛 𝑚² − 𝑛²
 
• 𝑇 𝑇 =
𝑚² 𝑛² −𝑚𝑛
𝑛² 𝑚² 𝑚𝑛
2𝑚𝑛 −2𝑚𝑛 𝑚² − 𝑛²
 
• E 𝑇−𝑇 =
𝑚² 𝑛² 𝑚𝑛
𝑛² 𝑚² −𝑚𝑛
−2𝑚𝑛 2𝑚𝑛 𝑚² − 𝑛²
 
• São as operações de inversão, transposição e inversão com 
transposição da matriz [T]. 
3. Macromecânica de lâminas compósitas 
• A operação inversa, por sua vez: 
•
𝜀𝑥
𝜀𝑦
𝛾𝑥𝑦
= 𝑇 𝑇 . 𝑆 . 𝑇 .
𝜎𝑥
𝜎𝑦
𝜏𝑥𝑦
= 𝑆 .
𝜎𝑥
𝜎𝑦
𝜏𝑥𝑦
 
• Sem um software adequado, a expressão [𝑄 ] = [T]-1.[Q].[T]-T, 
apesar de só envolver a multiplicação de matrizes 3x3, é 
relativamente trabalhoso se os cálculos forem feitos 
manualmente. 
• Um procedimento equivalente, porém, mais simples 
matematicamente, envolve a utilização de cinco invariantes U, 
para o cálculo da matriz [𝑄 ]. 
 
3. Macromecânica de lâminas compósitas 
Invariantes para o cálculo de [𝑄 ]: 
• 𝑈1 = (3𝑄11 + 3𝑄22 + 2𝑄12 + 4𝑄66)/8 
• 𝑈2 = (𝑄11 − 𝑄22)/2 
• 𝑈3 = (𝑄11 + 𝑄22 − 2𝑄12 − 4𝑄66)/8 
• 𝑈4 = (𝑄11 + 𝑄22 + 6𝑄12 − 4𝑄66)/8 
• 𝑈5 = (𝑄11 + 𝑄22 − 2𝑄12 + 4𝑄66)/8 
 
Calcula-se então os elementos de [𝑄 ]: 
• 𝑄 11 = 𝑈1 + 𝑈2𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑈3𝑐𝑜𝑠4𝜃 
• 𝑄 22 = 𝑈1 − 𝑈2𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑈3𝑐𝑜𝑠4𝜃 
• 𝑄 12 = 𝑈4 − 𝑈3𝑐𝑜𝑠4𝜃 
• 𝑄 66 = 𝑈5 − 𝑈3𝑐𝑜𝑠4𝜃 
• 𝑄 16 =
𝑈2
2
𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝑈3𝑠𝑒𝑛4𝜃 
• 𝑄 26 =
𝑈2
2
𝑠𝑒𝑛2𝜃 − 𝑈3𝑠𝑒𝑛4𝜃 
 
 
 
 
3. Macromecânica de lâminas compósitas 
Calcula-se então as tensões na lei de 
Hooke: 
•
𝜎𝑥
𝜎𝑦
𝜏𝑥𝑦
=
𝑄 11 𝑄 12 𝑄 16
𝑄 12 𝑄 22 𝑄 26
𝑄 16 𝑄 26 𝑄 66
.
𝜀𝑥
𝜀𝑦
𝛾𝑥𝑦
 
• Caso os elementos 𝑄 16 e 𝑄 66 sejam 
não nulos, ocorrem acoplamentos 
elásticos entre deformações normais 
e de cisalhamento, como mostra a 
figura ao lado. Na figura, há somente 
tensões normais, mas deformações 
de cisalhamento também ocorrem; 
 
 
 
3. Macromecânica de lâminas compósitas 
7. Para a mesma lâmina de fibra de carbono T-300/epóxi, calcular 
as matrizes: (i) de rigidez, [𝑄 ]; (ii) de flexibilidade, [𝑆 ], 
considerando-se que as fibras ao longo da direção estão 
orientadas a +45º em relação à direção x. Neste caso, as 
tensões e deformações são definidas no sistema (x, y) e as 
direções principais do material no sistema (1, 2). 
8. Dado que a lâmina anisotrópica (com as fibras inclinadas a 45º) 
do exemplo anterior foi submetida a uma tensão normal de 
tração, σx = 0,02 GPa, conforme figura abaixo, obter as 
deformações correspondentes. 
 
 
3. Macromecânica de lâminas compósitas 
• CALLISTER, W.D. Ciência e Engenharia de Materiais: Uma 
Introdução. 7ª ed. 2008. 
• LEVY NETO, F. Compósitos estruturais: Ciência e Tecnologia. 
2ª ed. rev. Amp. São Paulo: Blucher. 2016. 
• MOURA, M.F.S.F.; MORAIS, AB; MAGALHÃES, A.G. Materiais 
Compósitos: Materiais, Fabrico e Comportamento Mecânico. 
2ª ed. 2ª reimp. Porto (Portugal): Publindústria. 2011. 
• DIETER, G.E. Metalurgia Mecânica. 2ª ed. Rio de Janeiro: 
Guanabara Dois. 1981. 
Referências