Exercícios de Vetores

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

V E T O R E S
Professor: Manoel Leite
01)(MLC-00) Sejam os pontos A(0, 0, 0), B(1, 2, 3), C(2, 1, 4) e D(2, 1, 4). Pede-se:
verificar se eles são coplanares;
verificar se A, B e C são colineares;
obter 
 + 
 - 3
;
obter o módulo de 
;
obter os ângulos que 
 forma com os eixos coordenados;
obter o versor de 
;
verificar se 
 e 
 são ortogonais;
achar o ângulo entre 
 e 
;
achar a projeção de 
 sobre 
;
achar a componente de 
 na direção de 
;
achar uma normal ao plano formado por 
 e 
;
encontrar a área do triângulo de vértices A, B e D;
verificar se 
, 
 e 
são arestas de um paralelepípedo retângulo;
verificar se 
, 
 e 
 são linearmente independentes;
achar as coordenadas de 
=(1, 1, 1) em relação a 
, 
 e 
;
encontre x para que 
=(x, 4, 6) seja colinear com 
;
encontre x, y e z para que o ponto E(x, y, z) forme com A, B e C o paralelogramo ABEC
qual o valor máximo de 
 e qual o valor mínimo de 
| sendo 
 e 
 vetores quaisquer.
02)(MLC-00) Os pontos A(1, 2), B(3, -2) e C(-1, -1) são vértices de um paralelogramo ABCD. Então as coordenadas do quarto vértice são:
03)(MLC-00) O valor de n para que os vetores não nulos 
=(1, n+4) e 
=(2, 2n) sejam colineares é:
04)(MLC-00) A(1, 2) e B(2, 4) são os extremos de um segmento de reta que deve ser prolongado no sentido de A para B até o ponto P, de maneira que seu comprimento triplique. As coordenadas de P são:
05)(MLC-00) Deduza as fórmulas do ponto médio de um segmento de extremos A e B.
06)(MLC-00) Deduza as fórmulas do baricentro de um triângulo situado no plano 
.
07)(MLC-00) Cada vetor do 
 se exprime de modo único como combinação linear dos vetores 
(1, t, t), 
(0, 0, 1) e 
(t, 1, 0). Calcule t.
08)(MLC-00) Quais as coordenadas de 
(2, 3) em relação a 
(0, 2) e 
(1, 1)?
09)(MLC-00) Calcule as componentes do versor de 
(5, 5, 2
). O que elas representam?
10)(MLC-00) A área do triângulo de vértices A(0, 2, 0), B(2, 1, 0) e C(2, 0, 3) vale:
11)(MLC-00) Dados os pontos A(0, 0, 0), B(5, 0, 0), C(0, 4, 0) e D(0, 0, 5). Pede-se:
verificar se AB, AC e AD são arestas de um paralelepípedo;
verificar se ele é retângulo;
calcular seu volume.
12)(MLC-00) Um vetor normal ao plano formado por 
(2, 1, 0) e 
(2, 0, 3) é:
13)(MLC-00) O produto escalar de 
 pelo vetor projeção de 
 sobre 
 é:
14)(MLC-00) Sejam 
, 
 e 
 vetores não nulos e a, a’, b, b’, c, c’ números reais tais que 
. Podemos afirmar que:
a) a = a’, b = b’ e c = c’.
b) se a
a’
 b = b’ e c = c’.
c) se a = a’
 b = b’ ou c = c’.
d) a
a’ então b
b’ e c = c’
e) se 
 então a + b + c = a’+b’+c’
15)(MLC-00) No 
 calcule o ângulo formado por 
 e 
.
16)(MLC-00) O vetor 
 do 
 tem abscissa positiva e módulo 
. Se ele é ortogonal a 
=(1, 1, 0) e 
=(0, 1, 1), então 
 é:
17)(MLC-00) Quais os valore de m e n para que o vetor 
(m, n) girando de 90º coincida com 
(1, -4)?
18)(MLC-00) os pontos A(1, 0, -2), B(2, 1, 4) e C(4, a, b) pertencem a mesma reta. Então a + b vale:
19)(MLC-00) Sabe-se que 
= 4 e 
= 2. Calcule:
a) a valor máximo de 
;
b) o valor mínimo de 
.
20)(EN-86) O módulo do produto vetorial dos vetores 
 e 
 que formam um ângulo obtuso é 
 e 
= 7 e 
= 3. 
 tem 
a direção da bissetriz do ângulo de 
 e 
 e 
=
; 
. A área do triângulo 
 é:
21)(EN-91) O vetor projeção de 
 sobre 
 é:
22)(EN-91) 
 e 
 são vetores unitários tais que 
. O ângulo entre 
 e 
 mede:
23)(EN-85) Os vetores 
 e 
 são perpendiculares e 
 forma com 
 e 
 ângulos iguais a /3 rad. Se 
 e 
 são unitários, 
= 2 e 
 então 
 vale:
24)(EN-89) Sabendo-se que 
 e 
 são vetores que satisfazem:
I. 
 é paralelo a 
.
II. 
 é ortogonal a 
.
III. 
, mede 
.
Podemos afirmar que o produto vetorial 
 é:
25)(EN-93) Os vetores 
 e 
 são tais que 
 e 
. O produto escalar 
 vale:
26)(EN-84) Se 
= 3, 
= 4 e 
 forma com 
 um ângulo de 5/6 rad então 
 vale:
27)(EN-98) A componente do vetor 
(5, 6, 5) na direção do vetor 
(2, 2, 1) é o vetor:
28)(EN-87) Em um trapézio retângulo as diagonais são perpendiculares e as bases medem 3cm e 12 cm. A tangente do ângulo agudo do trapézio mede:
29)(EN-91) Se 
= 3 e 
= 4 o valor máximo de 
 
30)(EN-91) Se 
= 0, 
= 2, 
= 
 e 
= 
a soma dos produtos escalares 
 é igual a :
31)(EN-88) Os vetores 
, 
 e 
 são coplanares, então 
vale:
32)(EN-90) ABC é um triângulo eqüilátero de lado 
. O produto escalar 
 vale:
33)(MLC-00) Qual a equação do plano determinado pelos pontos A(0, 0, 0), B(1, 2, 3) e C(3, 2, 1)?
34)(MLC-00) Qual a equação do plano que passa em A(1, 2, 1) e é perpendicular ao vetor 
(2, 1, 3)?
35)(EN-96) Os vetores 
 e 
são unitários e formam um ângulo de 30º. O módulo de 
 vale:
36)(EN-00) Sejam 
(-1, 1, 0) e 
(1, 0, 1) vetores do 
. Seja  o ângulo que os vetores 
 e 
 formam. Então sem(/3) é:
37)(PBC) Sabe-se que 
 é ortogonal a (1, 1, 0) e a (-1, 0, 1) e tem módulo 
. Sendo  o ângulo entre 
 e 
 e cos  > 0, encontre 
.
38)(PBC) Mostre que o produto vetorial nem sempre é associativo calculando 
 e 
 no 
.
39)(PBC) Se 
 e 
 e 
 não são linearmente dependentes, verifique se 
.
40)(PBC) Mostre que a altura do tetraedro ABCD relativa à base ABC é dada por: 
.
41)(PBC) demonstre a desigualdade de Schwaiz 
.
42)(MLC-00) Mostre que o vetor projeção de 
 na direção de 
 pode ser dado por 
.
43)(MLC-00) Sejam os vetores 
(1, 2, 2) e 
(4, 4, 2). 
Encontre um vetor 
 onde 
 está situado na bissetriz do ângulo formado por 
e 
.
44)(MLC-00) Diz-se que n vetores do 
 formam uma base do 
 se eles forem linearmente independentes e neste caso qualquer vetor do 
 pode ser expresso e de maneira única como combinação linear dos vetores da base. Assim sendo, pede-se:
a) verificar se 
(1, 2) e 
(3, 4) formam uma base do 
 e, em caso positivo, expressar 
(3, 1) como combinação dos vetores da base.
b) Obter as coordenadas de 
(1, 2, 3) em relação a base 
(0, 0, 2), 
(1, 2, 3) e 
(3, 0, 0).
45)(EN-92) 
 e 
 são vetores tais que 
= 1 e . 
 O ângulo entre 
 e 
 mede:
46)(MLC-00) Um quadrado ABCD tem o centro coincidindo com a origem e um de seus vértices é A(2, 1) os outros vértices são:
http://www.geocities.com/penbadu�
_1072159713.unknown
_1072244677.unknown
_1072246155.unknown
_1072246737.unknown
_1072246872.unknown
_1072247093.unknown
_1072247166.unknown
_1072247186.unknown
_1072247238.unknown
_1072247244.unknown
_1072247201.unknown
_1072247174.unknown
_1072247133.unknown
_1072247144.unknown
_1072247116.unknown
_1072247006.unknown
_1072247078.unknown
_1072247079.unknown
_1072247077.unknown
_1072246920.unknown
_1072246939.unknown
_1072246900.unknown
_1072246817.unknown
_1072246837.unknown
_1072246860.unknown
_1072246772.unknown
_1072246754.unknown
_1072246402.unknown
_1072246481.unknown
_1072246569.unknown
_1072246712.unknown
_1072246502.unknown
_1072246443.unknown
_1072246474.unknown
_1072246424.unknown
_1072246293.unknown
_1072246327.unknown
_1072246371.unknown
_1072246300.unknown
_1072246236.unknown
_1072246267.unknown
_1072246174.unknown
_1072245692.unknown
_1072245918.unknown
_1072246076.unknown
_1072246115.unknown
_1072246131.unknown
_1072246105.unknown
_1072246044.unknown
_1072246051.unknown
_1072246012.unknown
_1072245802.unknown
_1072245861.unknown
_1072245891.unknown
_1072245828.unknown
_1072245722.unknown
_1072245784.unknown
_1072245704.unknown
_1072245488.unknown
_1072245652.unknown
_1072245673.unknown
_1072245684.unknown
_1072245662.unknown
_1072245597.unknown
_1072245610.unknown
_1072245575.unknown
_1072244750.unknown
_1072244800.unknown
_1072244854.unknown
_1072244761.unknown
_1072244720.unknown
_1072244740.unknown
_1072244694.unknown
_1072179874.unknown
_1072244385.unknown
_1072244523.unknown
_1072244594.unknown
_1072244647.unknown
_1072244657.unknown
_1072244640.unknown
_1072244540.unknown
_1072244559.unknown
_1072244531.unknown
_1072244467.unknown
_1072244488.unknown
_1072244499.unknown
_1072244472.unknown
_1072244415.unknown
_1072244444.unknown
_1072244400.unknown
_1072180186.unknown
_1072244331.unknown
_1072244347.unknown
_1072244379.unknown
_1072244340.unknown
_1072244309.unknown
_1072244320.unknown
_1072180187.unknown
_1072180019.unknown
_1072180075.unknown
_1072180083.unknown
_1072180185.unknown
_1072180048.unknown
_1072179916.unknown
_1072179961.unknown
_1072179897.unknown
_1072179259.unknown
_1072179540.unknown
_1072179600.unknown
_1072179839.unknown
_1072179848.unknown
_1072179615.unknown
_1072179565.unknown
_1072179588.unknown
_1072179548.unknown
_1072179422.unknown
_1072179475.unknown
_1072179485.unknown
_1072179443.unknown
_1072179312.unknown
_1072179339.unknown
_1072179278.unknown
_1072178980.unknown
_1072179186.unknown
_1072179227.unknown
_1072179244.unknown
_1072179207.unknown
_1072179020.unknown
_1072179042.unknown
_1072178994.unknown
_1072159867.unknown
_1072178933.unknown
_1072178945.unknown
_1072159894.unknown
_1072159767.unknown
_1072159859.unknown
_1072159733.unknown
_1072157863.unknown
_1072158552.unknown
_1072159127.unknown
_1072159600.unknown
_1072159661.unknown
_1072159705.unknown
_1072159636.unknown
_1072159549.unknown
_1072159563.unknown
_1072159140.unknown
_1072158907.unknown
_1072159052.unknown
_1072159071.unknown
_1072159037.unknown
_1072158878.unknown
_1072158893.unknown
_1072158850.unknown
_1072158112.unknown
_1072158238.unknown
_1072158343.unknown
_1072158358.unknown
_1072158245.unknown
_1072158196.unknown
_1072158220.unknown
_1072158135.unknown
_1072157989.unknown
_1072158031.unknown
_1072158070.unknown
_1072158029.unknown
_1072158030.unknown
_1072157996.unknown
_1072157983.unknown
_1072157685.unknown
_1072157748.unknown
_1072157789.unknown
_1072157856.unknown
_1072157780.unknown
_1072157723.unknown
_1072157740.unknown
_1072157715.unknown
_1072157588.unknown
_1072157662.unknown
_1072157676.unknown
_1072157629.unknown
_1072157555.unknown
_1072157564.unknown
_1072157540.unknown