Simulado Matematica 1

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Simulado de Matemática IME-01 
Professor Marcos José Pio 
 
01 (IME-76) Seja S Suponha que "","" 21 rr e 
"" 3r são as raízes da equação 0
3
=++ nmxx . Os 
coeficientes ""m e ""n são reais, sendo mn > . 
Sabendo que: 
1
1
1
1
1
1
1
321
=
++
+
+ rrr
, e que 321 rrr = , 
determine "","","","" 21 rrnm e "" 3r 
 
02 (IME-76) Considere o polinômio )(xP , do 
sétimo grau. Sabendo que { }1)( +xP é divisível 
por 4)1( −x e que { }1)( −xP é divisível por 
4)1( +x , determine ).(xP 
 
03 (IME-77) divide-se um quadrado de lado 1 em 
nove quadrados iguais e remove-se o quadrado 
central. Procede-se da mesma forma com os 8 
quadrados restantes. Este processo é realizado n 
vezes. 
a) Quantos quadrados de lado n31 são 
conservados? 
b) Qual a soma das áreas dos quadrados removidos 
quando n tende ao infinito? 
 
04 (IME-87) Para cada n inteiro, 1≥n , define-se a 
equação nE por 0236215 422 =⋅+⋅− nnx 
a) Mostre que a seqüência, cujo k-ésimo termo é a 
menor raiz da equação kE , é uma PG; 
b) Calcule a razão desta progressão. 
c) Calcule a soma dos j primeiros termos desta 
progressão. 
 
05 – Sejam 1Z e 2Z complexos que adicionados aos 
respectivos inversos dão como resultado o valor 1. Se 
nn
m ZZS 21 += , 
*N∈n , então o valor de 
P
P
S )(
100
1
20∑
=
 é: 
(A) 200 (B) 2 (C) 1 
(D) 0 (E) –1 
 
06 – Sabendo que 1Z , 2Z e 3Z , formam um 
triângulo eqüilátero prove que: 
323121
2
3
2
2
2
1 ZZZZZZZZZ ++=++ 
 
07 (IME-78) Seja uma progressão aritmética de 1º termo 
01 ≠a e último termo 10a , tal que 0101 ≠≠ aa . Seja a 
progressão aritmética de 1º termo 
1
1
1
a
b = e último termo 
10
10
1
a
b = . Calcule 
6
5
b
a
 em função de 1a e 10a . 
 
08 – Dada a seqüência de números: 
�,
77
1312
,
55
385
,
37
264
,
23
12
,
13
82
,
7
2
 
a) Prove que seus termos são da forma 
n
n
n q
pn
=µ , onde 
np e nq são polinômios; 
b) Calcule, caso exista, n
x
µ
∞→
lim 
 
09 – Seja a equação 
657
4)(ln3)(ln1)(ln1)(ln senlog3333
−
−−−+
=−+−
e
a
e
xxxx
. Sabe-
se que xln é igual a menor raiz da equação 
0542 =−− rr . O valor de a para que a equação seja 
verificada é: 
(A) 2/3pi=a (B)
2
2
arcsen=a
 
(C) 3
1
arcsen
e
a = (D) ea arcsen= 
(E) 1=a 
 
10 – Sendo α e β números inteiros positivos, com 
βα ≠ , mostre que o número real )52log( βα ⋅ é 
irracional. 
Sabe-se que: 
 
I – a decomposição de um número inteiro em fatores primos 
é única; 
 
II - MNMN 10log =⇔= 
Sugestão: Contradição.