Lições de Português e Matemática

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ORGANIZAÇÃO EDUCACIONAL 
i=A=liAl 
:l=tiLO 
Lições para toda a vida 
Português 
Matemática 
Vol.2 
SUMÁRIO 
INGLtS li 
INTERPRETAÇÃO DE TEXTOS: WAR ANO TECHNOLOGY ............................................................................................................................... 422 
INTERPRETAÇÃO DE TEXTOS: CLIMATE ANO INTERNATIONAL AFFAIRS ................................................................ ............................................ 426 
INTERPRETAÇÃO DE TEXTOS: SOCIAL BEHAVIOR ANO HEALTH ..................................................................................................................... 435 
INTERPRETAÇÃO DE TEXTOS: POLITICS, MARKETING ANO TECHNOLOGY ............................................................. . ........................................... 440 
INTERPRETAÇÃO DE TEXTOS: TECHNOLOGY ANO INTERNATIONAL AFFAIRS ......................................................................... ... .......................... 444 
INTERPRETAÇÃO DE TEXros: GLOBALIZATION ANO EoucATION ••••••• : .............................................................. . ................... .......................... 451 
INTERPRETAÇÃO DE TEXTOS: PSYCHOLOGY ANO BUSINESS ......................................................................................................................... 456 
INTERPRETAÇÃO oE Tooos: TEcHNOLOGY ANO TRENos ........................................................................................................................... 463 
INTERPRETAÇÃO DE Tooos: Soc1AL BEHAVIOR ANO TECHNOLOGY ............................................................. ................................................. 466 
MATEMÁTICA 
MATEMÁTICA 1 
FUNÇÕES: COMPOSTAS E INVERSAS ........... . ......... ........... ......................................................................................................................... 2 
FUNÇÃO EXPONENCIAL ....................................................................................................................................................................... 14 
LOGARITMO .............................................................................................................................................................................. . ..... 20 
FUNÇÃO LOGARITMICA ....................................................................................................................................................................... 24 
EXPONENCIAL E LOGARITMO NO IME .................................................................................................................................................... 33 
EXPONENCIAL E LOGARITMO NOITA, DE 1990 A 1997 ........................................................................................................................... 34 
EXPONENCIAL E LOGARITMO NOITA, DE 1998 A 2008 ........................................................................................................................... 35 
SEQUtNCIAS NO IME ........................................................................................................................................................................ 37 
SEMELHANÇA DE FIGURAS PLANAS ... ............ ......................................................... ............................................. . ................................. 39 
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÃNGULO RETANGULO ........... ............................. ................................................................................ ............ 46 
PoNTOS NoTAVEIS ... ............................... .......................................................................... ....... ........................................................ 51 
RELAÇÕES MÉTRICAS NOS QUADRILATEROS .................................................................................. .. .................................. ...................... 56 
CIRCULOS E QUADRILÁTEROS INSCRITIVEIS .............................................................................................................................................. 58 
CIRCULOS ....................................................................................................................................................................................... 66 
ÁREA 1 ....................................................................................................................................................................... .................. 67 
ÁREA 2 ......................................................................................................................................................................................... 73 
ÁREAS DE FIGURAS CIRCULARES .......................................................................................................................................................... 74 
GEOMETRIA PLANA 1 ....................................................................................................... , ............................................................... 77 
GEOMETRIA PLANA li •. ·····················•······················· ......................................................................................................................... 78 
GEOMETRIA PLANA NO IME ............................................................................................................................................................... 80 
GEOMETRIA ANALITICA ...................................................................................................................................................................... 82 
MATEMÁTICA li 
POLINÔMIOS ........................................ ............... .............................................................. ........ . ................................................. .. 102 
POLINÔMIOS (FATORAÇÃO) .................. . ................................................................................ . ............................. ............ .................. 126 
EQUAÇÕES ALGÉBRICAS .................................................................................................................................................................... 135 
MATEMÁTICA Ili 
ANALISE (OMBINATÔRIA, BINÔMIO OE NEWTON, FUNÇÕES GERATRIZES E RECORR tNCIAS NA COMBINATÓRIA ................... .................................... 164 
GABARITOS ................................ .................................................................... .......... ..... ••••• ........................................................... 185 
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MATEMÁTICA 1 
Á LGEBRA li, .GEOMETRlA PLANA li E 
G EOMETRIA Ã NALiTICA 1 
FUNÇÕES: COMPOSTAS E INVERSAS 
Conteúdo: 
Tópicos teóricos .. ................... ... .... .................................. .... .. ............................................................. ................................................. .......................... 2 
Exercícios ....... ...................... .... .......... .......................................... .... ........................... .......................................................................... ..................... .. 2 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
Tópicos teóricos ................ .. .... ....................... ... ..... .. ... .. ........ ....... .. ...... ...... ...... ... .................................. ................... ........................ ... ........................ 14 
Exercícios .......................... .................... .................................................. .... ........................................... ..... ... ...... .................................................. .. .. 14 
LOGARITMO 
Tópicos teóricos .............. .................. ........................................... ... ..... .... ........................................................................ .............. ...... ....................... 20 
Exercícios ...................................................... .. ......................................................................... .................................... .. ................................... ..... .. .. 20 
FUNÇÃO LOGARITMICA 
Tópicos teóricos ...................................... ....... .. .. .. ............ .. ... ....... ..................................... .................. ................ ........... ..... ............ .. ................. ... ...... 24 
Exercícios ..... .. ........................................... .... .. ................ .. .. ..... ................................. ... ........... ... ... .......... ..... ....................... ....................................... 24 
ExPONENCIAL E LOGARITMO NO IME 
Exercícios .. ................................................... ...... ................ , ... , ... , ...... ............................... ..................... ... ... .... ...... .. .................................. , .. . , ..... ........ 33 
EXPONENCIAL E LOGARITMO NOITA, DE 1990 A 1997 
Exercícios ....................................... ............................................................. .................................................................................... .... ........................ 34 
EXPONENCIAL E LOGARITMO NOITA, DE 1998 A 2008 
Exercícios ........................................................... ............ , ........................................ , ... , ... , .... ... ....... ............................... .. ... ........................................ .35 
SEQUENCIAS NO IME 
Exercícios ............ .. ........................................................................ , ......... .. ...................... ........................ .. ... .. .. .............. .. ..... ... .................................. .3 7 
S EMELH ANÇA DE FIGURAS PLANAS 
Tópicos teóricos ................ ..... .... .................................... .............................................................................................. .. ... , .. ............... .. ..................... .39 
Exercícios .......................... .. .............................................................................. ......................................... .......................... ...................................... 40 
RELAÇÕES M ~T RICAS NO TR1ANGULO RETÂNGULO 
Tópicos teóricos .. .. ...... .... .. ...... ................................. ... ...... ........ ............... .. ...... .................... ................... .................................................................... 46 
Exercícios .............................. ............................. , ......................................... ... .... .................... .. ... .. .. ..................... , ... , ... ............................ .... ............ .47 
PONTOS NOTÁV EIS 
Mediana ......................................................... ... ........................................... .......................................... ................ .................................................... .51 
Bissetriz ... ................................................... ..... ... ... ........ .... ... ........................... ... ......... ... ............................................ ..... ... ......................... ... ............. 51 
Mediatriz ...... ............................. ........ ... ........ .. .. ............................... ... ... ................................... .... .................... ............................... , ........................... 51 
Altura .. .............................................. .......... ................................. . , ... , ...... ......................................................... .... ......... ..................... , ....................... 51 
Exercícios ............... ..... .... ...... ........................... ....... ..................... , ... , .... ............... .................. ... ..... .................... .... ... ................ ................................. 51 
RELAÇÕES M tTRICAS NOS QUADRILÁTEROS 
Exercícios ........................... ................................... .. ......... .......................................... ....... .. ..... ........................................... , .................... , ... , ............. 56 
CIRCULOS E QUADRI LÁTEROS INSCRITIVEIS 
Tópicos teóricos ....... ... .. ...... ..................................................................................... .... ............................. .. ................................................................ 58 
Exercícios ....................... .............. , ... .... , .................... , .. ... ..................................... ..... ........ , .. ... : .................................................................................. 59 
CIRCULOS 
Exercícios para Resolver .. .... ........ ..... ..... ... .................................................................... ... , .. .... .................... ..... .... ........ ....... .. ....................................... 66 
ÁREA 1 
Tópicos teóricos ..................................... .. ........... .. ... .. .. .... ....................... .............. ................................ ...... ... ....... ... . , .. .................... .. ..... ......... .. .. .. ..... 67 
Exercícios .... .... .......................... ........................ ... .... ........................... ... .................................................................. ..... ................. .... ...................... .. 68 
ÁREA 2 
Exercícios .. ... ........................ .... .. .................... .......................... .... ... ... ... ... ...... ..... .... ...................... ...................... .... .... ...... .................................. , .... ... 73 
ÁREAS DE FIGURAS CIRCULARES 
Tópicos teóricos ...................................... .... ..................... .. ...... , ... , ... , ... , .. ...... ...... ................... .... .... ................... .. ...... ..... ... ..... ... ........... ........... ............ 74 
Exercícios ... ...................... .. ................... .. ... ............................. .............. ... .. ....................... ... ..... ...... .............. .. .. .. .. ... ............. ................... .. .... .... ........ 74 
GEOMET RIA PLANA 1 
Exercícios ............ ......... .......................................... ...... ....... ... .. ... .. ... ........................................... .................. ...... .............. .. .. ............. ... ..... .. ....... ....... 77 
GEOMETRIA PLANA li 
Exercícios ........... ... .. ........ .............. .. ............................ ........................................ .... ................................. ... .. ................................ ... ... ....................... 78 
GEOMETRIA PLANA NO IM E 
Exercícios ................. .. ........................................... ... .. ... .......... ........................ ...... ........ .... .. ................... ... ... ............................................................... 80 
GEOMET RIA ANALITICA 
A reta - parte l ......................... ... .... ..... .......... .............. .. ..................... .......... .................................... .... .................. ................... .. .... ........................... 82 
Exercícios ... .... ...... ................... ............ .. ................................................................................ ... ... .................. ........ .................... ...... ........................... 82 
A reta - parte ll .................. ................ ...... ...... ...... .... .......... .. ................... ... ................................................................................................................. 88 
MATEMATICA 1 
Volume 2 
• • F==========================i• 
Funções: Compostas e Inversas 
Exercícios de Fixação 
Tópicos teóricos 
Função composta 
01 Se a função f definida por f(x) = ~ x ;é--~ e 
2x+3 ' 2' 
G~ constante, satisfaz f(f(x)) = x para todos os números reais 
3 - é x ;é - 2, entao e : 
Sejam f: A ~ B e g: B ~ C duas funções. ~ A) - 3 
Chama-se Fu nção Composta de f com g a função \) 
B) 
3 
2 
C1 C) ~ gof: A~ C, tal que: 2 ., D) 3 
! (gof)M = g[f(x)I 1 
B 
A condição de existência da função gof(x) é que o contra -
domínio da f seja igual ao domínio da g. 
Função inversa 
Seja f : A~ B uma função e i a função identidade. 
Se existir uma função g: B ~ A, tal que: 
f. gOf = iA 
lf. fog = Í8 
A B 
dizemos que g é a função inversa de f e a indicamos por f-1• 
Observemos que: 
1. a função f : A 4 B é inversível se, e somente se, f é bijetora; 
li. os gráficos de f e f-1 são simétricos em relação à bissetriz dos 
quadrantes impares. 
E) não unicamente determinado pela informação dada. 
f (AFA) Se f for uma função real tal que t(:: ~ )= x + 3, então 
f(x) é definida por: 
@ 4 - 2x 
1-x 
C) 2x + 1 
x - 1 
B) 4x + 2 
l +x 
D) 2x - 1 
1-x 
. (AFA) Determine a função inversa de f(x) = X - 1. 
@-1 
1-x 
1-x 
C) -
l+x 
1 
B) -
1+x 
) l+x D -
1- x 
X 
t'Õ4:\(Suécia) Sejam a e b números rea is e seja f(x) = - 1-. 
~ ax+b 
Para quais a e b existem 3 números reais distintos x1, x2, x3 tais 
que f(x,) = x2, f(x2) = x3, f(x) = x1? 
05. (ITA) Sejam A. B e D subconjuntos não vazios do conjunto IR 
dos números reais. Sejam as funções f: A 4 B (y = f(x)), g: D 4 
A (x = g(t)). e a função (fog): E ~ K. Então, os conjuntos E e K 
são tais que: 
A) E e A e K cD 
C) E :::i D, D* E e K e B 
E) N.D.A. 
B) E e B e K :::i A 
D) E e D e K e B 
06. (ITA) Considere a função f(x) = lx2 - 11 definida em IR. Se fof 
representa a função composta de f com f, então: 
A) (fof)(x) = xlx2 - 11. 'i/x e IR. 
B) não existe número real y tal que (fof)(y) = y. 
C) fof é uma função injetora. 
D) (fof)(x) = O, apenas para dois valores reais de x. 
E) N.D.A. 
. (AFA) Seja f a função definida por f(x) = 3x + 2 , onde x *- ~ -
4x -1 4 
Os valores de a e b tais que f -'(x) = x + 2 , são: 
ax +b 
A) a= 3 e b = 4 
'(Br\ a=4eb= - 3 
C) a= -4 e b = 3 
D) a= 4 e b = 3 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
=== ================-----------==== · 
ITA/IME • • 
• • 
• 1. 
• • • • • • • • • • •~ • • • • • ·-• • • • • • 1. 
• ,. 
• • • 
• • 
M. (MM) Encontre o maior domínio passivei e faça o esboço do 
/ - gráfico da função ~1 + x . r Seja a função f : ]- oo; - 1) ~ [ 1; + 00( definida por 
f(x) = .Jx2 + 2x + 2. Ca lcule a sabendo que f-1(n) = - 3. 
MATEMÁTICA·_.·1 
Volume·2 
r,..r-.9J? 
~ I.Jt-' . 7 1 
'\::.:.:; (ITA) Considere as seguintes f unções f (x) = x - 2 e g(x) = x2 - 4 
definidas para todo x real. Então, a respeito da solução da 
inequação l(gof) (x)I > (gof)(x), podemos afirmar que: 
/.(EUA; IMO-Adaptado) Para cada inteiro posit ivo k, seja f ,(k) " 
o quadrado da soma dos algarismos de k. Se n ~ 2, seja 5 
f"(k) = f1(fn_1(k)). O valor de f 200,p 1) é: 
A) nenhum valor de x real é solução . 
,,.._,, B) se x < 3, então x é solução. 
7 - é 1 -C) se x > - , entao x so uçao. 
2 
D) se x > 4, então x é solução . 
A) 16 
~49 
lS:} 169 
D)256 
E) 2 
~ (MM) Considere as funções f0(x) = - 1- e f"(x) = f0f(n_,(x)), ~ 1- x 
-{J 
para todo n ~ 1. Mostre qu~ 2008) < 1 e determin: 
f2009(2009). Q;~ 1 Í-'V ~ ~\) f{'r,r-t' · ' 
12. (Romênia) Encontre todos os polinômios: 
P(x) = anx" + ª" 1X"- 1 + ... + a1x + a0, n ~ 2, com coeficientes reais 
não nulos tais que P(x) - P,(x)P2(x) ... P"_1(x) seja um polinômio 
constante, onde P1(x) = a,x + a0, P2(x) = a2x2 +a,x+ a0 . .. . , P11_ 1(x) 
= ª n-,x""' + ... + ªl + ªo· 
Sugestão: comparação de graus. 
1./. (MM) Defina f (x) = - 1- e denote r iterações da função f por 
}"· 1- x 
f' = f(f( ... f(x) ... )) (em que o lado direito da equação possui r f's). 
Ca lcule f1004(2005) . 
14. (ITN20 1 O) Seja f : IR IR bijetora e ímpar. Mostre que a função 
inversa f -1: IR~ m. também é ímpar. 
Ç c,, c?-r 
I ) 1. f f( ) {3 + X2' X ~ 0 é b" • (ITN2 O 12 Ana ,se se : m. ~ IR, x = 2 0 I1etora 3-X,X< 
e, em caso afirmativo, encont re f 1: IR ~ IR. 
Exercícios Propostos 
01. Quantas funções polinomiais f de grau ~ 1 sat isfazem 
f(x2) = (f(x))2 = f(f(x)), 'ifx? 
A) 0 
B) 1 
C)2 
D) Uma quantidade finita maior que 2 . 
E) Infinitas 
y<EN) Se f e g são funções de IR em IR definidas por 
3x - 2 
f(3x + 2) = - 5- e g(x - 3) = Sx - 2. então f(g(x)) é: 
A) x - 4 
5 
~ 5x+9 
5 
C) Sx + 13 
D) 5x+ 11 
5 
ITA/IME 
., E) se 3 < x < 4, então x é solução. 
\) / 
04. (ITA) Sejam A e B subconjuntos não vazios de R e f : A ~ B, 
g: B A duas funções tais que fog = 18, onde 18 é a função 
identidade em B. Então, podemos afirmar que: 
A) f é sobrejetora. · B) f é injetora. 
C) fé bijetora. D) g é injetora e par. 
E) g é bijetora e ímpar. 
7-s~ f: IR -t IR tal que f(a+ b) = f(a) + f(b), 'va. b e IR. 
,.AJ_))etermine f(O). 
· ,Bf y erifique que f é ímpar. 
A Se f(1) = k, determine f(n), n e IN* . 
06. Seja f uma função continua para todo x em ta l que a equação 
f(x) = x não tem soluções. Prove que a equação f(f (x)) = x 
também não tem soluções . 
07. (ITA) Julgue: se f: IR: -4 IR. é tal que f(b - a) = f(a) - f(b), 
'va, b e m.:. então f é decrescente. 
08. Seja f : IN ~ IN uma função tal que f(x) é a soma dos algarismos 
de x no sistema de numeração decimal. Se ><ii = O e, para todo 
natural n, x,. 1 = f(f(x,) + x" + 1), o valor de X1992 é: 
A) 3 B) 4 
C)6 D) 7 
E) 9 
09. Seja fuma função def inida por: 
· {n - 3, n ~ 1000 . 
f(n) = f(f(n + 5)), n < 1 ooo · Determine f(92). 
10. (UFPE) Sejam f e g funções de 7/. em 71.. . Assinale dentre as 
alternativas abaixo, aquela que é verdadeira. 
A) Se f e g são injetivas. então f + g é injetiva . 
B) Se f e g são sobrejetivas, então f + g é sobrejetiva. 
C) Se f e g são injetivas. então fog é injetiva . 
D) Se f e g são injetivas. então o produto fg é injetiva. 
E) Se f e g são sobrejetivas, então o produto fg é sobrejetiva. 
11. (ITA) Seja f(x) = e' - e-• defolida em IR. Se g for a função inversa 
e' + e-• 
de f, o valor de e,fs ) será: 
A)~ 
3 
C) log (275) 
E) N .D.A . 
B) 7e 
25 
D) e(ÉJ 
MATEMÁTICA 1 
Volume 2 
12. Para todos os inteiros x, a função f(x) satisfaz f(x + 1) = 1 + :t~. 
Se f(l) = 2, calcule f(2003). 1- x 
13. A função f não está definida para x = O, mas para todos os 
valores de x não nulos temos f(x) + 2 f (J.) = 3x. A equação 
f(x) = f(-x) é satisfeita por: x 
A) exatamente 1 número real. 
B) exatamente 2 números reais. 
C) nenhum número real. 
O) infinitos, mas não todos os números reais. 
E) todos os números reais não nulos. 
14. (ITA) Seja f, g: lR -> lR funções tais que g(x) = 1 - x e f(x) + 
2f(2 - x) = (x - 1 )3, para todo x e IR. Então, f(g(x)) é igual a: 
A) (x - 1)3 B) (1 - x)3 
C) x3 O) x 
E) 2 - X 
15. (ITA)Sejaf: IR ->IRdefinida por f(x) = {3:+43. x s3 O 0. Então: X + X+ ,X > 
A) f é bijetora e (fof)( ~2 )= f -1(21) 
B) f é bijetora e (fof)( ~2 )= 1-1(99). 
C) f é sobrejetora, mas não é injetora. 
O) f é injetora, mas não é sobrejetora. 
E) f é bijetora e (tof)( ~2 )= f -1(3). 
16. A função f: IR -> JR é continua e f(x) · f(f(x)) = 1, "lx e lR. Sendo 
f(2004) = 2003, determine f(1999). 
17. Seja f : m-> IR uma função tal que 2f(x) + f(1 - x) = 1 + x, então 
f(x) é igual a: 
A) 2x - 1 
C)x 
1 
E) 2x+ -
3 
1 
B) 2x--
3 
O) 2x + 1 
18. A função f : IR -> IR satisfaz à equação f uncional 
x2f(x) + f(l - x) = 2x - x4• A expressão de f(x) é: 
A) x2 + 1 B) x2 - 1 
C) 1 - x2 D) x4 + 1 
E) 1 - '!:' 
19. Determinar f sabendo que f(x) + f (-1-) = x, x * 1. 
1-x 
20. (Ibero) Ache todas as f tais que [f(x)]2 .f - = 64x, para ( 1-x J 
todo x distinto de O, 1 e - 1. 1 + x 
21. Seja fi(x) = - 1- e f"(x) = f1(f,,_1(x)) quando n = 1, 2, 3, ... O valor 
1- x 
de f 1992( 1992) é: 
A)1992 
1 
C) - 1992 
E) 1991 
B) 1991 
1992 
1 
D) - 1991 
2x - 1 
22. Se f1(x)=--, f1: IR-f-1}->IR- {2}, definamosf"(x)=fi<fn) x)), x+ l 
n = 2, 3, 4 ... Sabendo que pode ser mostrado que f35 = f5, 
então f29'x) é igual a: 
A) x B) J_ 
C) x - 1 
X 
x - 1 
E) x+2 
X 
D) _1_ 
1-x 
23. Seja f : IR -> IR uma função cuja lei é f(x) = x2 - x. A soma das 
coordenadas do ponto de intersecção distinto da origem do 
gráfico dessa função com o gráfico de sua relação inversa é: 
A) 1 
B) 2 
C) 3 
0)4 
E) 5 
24. (ITA) Sejam as funções f e g definidas em IR por f(x) = x2 + ax e 
g(x) = -(x2 + l3x), em que a e 13 são números reais. Considere 
que estas funções são tais que: 
f g 
Valor Ponto de Valor Ponto de 
mínimo mínimo máximo máximo 
9 
- 1 <Ü - >Ü 4 
Então, a soma de todos os va lores de x para os quais 
(fog)(x) = O é igual a: 
A)O 
B) 2 
C) 4 
0)6 
E) 8 
25. (MM) Se g(x) = f(x + a) é uma função ímpar, então: 
1. f(x + a) + f(- x + a) = O, "lx e IR; 
li. f(x + a) - f(- x + a)= O, "lx e IR; 
Ili. f(x + a)+ f(-x - a)= O, "IX E IR; 
IV. sua inversa, se existir, também é uma função ímpar. 
Ê(São) verdadeiro(s): 
A) todos os itens. 
B) apenas três itens. 
C) apenas dois itens. 
D) apenas um item. 
E) nenhum item. 
26. (MM) Seja f uma função tomada no conjunto dos números 
reais e assumindo va lores reais com as seguintes propriedades: 
1. X < y ~ f(x) < f(y); 
li. flº15(x) = x, onde f"(x) = f(f•>-1(x)) e f 1(x) = f(x). 
Prove que f(x) = x, 'i/x e lR. 
27. (IME) Seja f uma função definida nos inteiros positivos 
satisfazendo f(1) = 1, f(2n) = 2f(n) + 1 e f(f(n)) = 4n - 3. Calcule 
f( l 990). 
ITA/ IME 
• • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
• • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
28 . Seja f: IR -4 IR uma função tal que f(x) = x2 -3x + 4. Quantas 
solucões reais tem a equação f(f(f .. .f(x)))) = 2, onde f é aplicada 
2002 vezes? 
A)0 
C) 2 
E) 4004 
B) 1 
0)2002 
29. Sejam f, g: IR -4 IR funções contínuas tais que f(a) < g(a) e 
f(b) > g(b). Mostre que existe e e (a, b) tal que f(c) = g(c) . 
30. (MM) Sejam f. g: IR -t IR. Prove que: 
A) se f e g são funções estritamente crescentes, então a 
composta fog também é estritamente crescente. 
B) se f é uma função estritamente crescente e g é uma 
função estritamente decrescente. então a composta fog é 
estritamente decrescente . 
31. (IME) Seja F o conjunto das funções de IR em IR que satisfazem 
f(xy) = f(x) + f(y). Dados f e F e a e IR define-se a função 
g.: IR -4 IR tal que 9.(x) = f(ax) - f(x). · 
A) Mostre que f(l) = O, v'f e F. 
B) Mostre que 'V a e m.. 9. é uma função constante . 
32. Seja h: IR -4 IR uma função contínua. Sabe-se que h(- 1) = 4, 
h(0) = O. h(1) = 8. Definimos g por g{x) = h(x)- 2. Então, podemos 
afirmar que a equação g(x) = O admite: 
A) exatamente 1 solução. 
B) pelo menos 2 soluções distintas . 
C) pelo menos 3 soluções distintas. 
D) pelo menos 4 soluções distintas . 
E) mais que 4 soluções distintas. 
33. (MM) Considere as seguintes afirmações sobre uma função f: IR-t IR. 
1. Se f é ímpar, então fofo .. . of (composição de n funções f) é 
ímpar; 
li . Se f é estritamente decrescente e possui inversa, então sua 
inversa também é estritamente decrescente; 
Ili. Se f é não nula. ímpar e periódica de período p, 
então f(p) ;:: O; 
IV. Se f é sobrejetora, então f possui pelo menos uma raiz real. 
Assim: 
A) todas são verdadeiras . 
B) exatamente três são verdadeiras. 
C) exatamente duas são verdadeiras. 
D) exatamente uma é verdadeira. 
E) todas são falsas . 
34. (MM) Sejaf: IR - {3} -t IR -{..!.} umafunçãodadapor f(x} = x - 2 . 
2 2x+d 
Para quantos valores de d existe a função inversa de f? 
A)0 
B) 1 
C)2 
D) 3 
E) Mais que 4. 
35. (MM) Seja f : m. -t m. uma função dada por f(x) = x3 - 4x2 + 4. A 
soma das abscissas dos pontos de interseção dos gráficos dessa 
função e de sua relação inversa é: 
A) 1 
B) 2 
C)3 
D)4 
E) maior que 4. 
• ITA/IME • 
MATEMÁTICA 1 
Volume 2 
( } S . f det· .d f( ) { x2 - Sx + 6, se x s O 36. MM eJa : IR -t IR rni a por . x = 2 5 6 o· -x - x+ se x > 
~~ . 
A) f é sobrejetora, mas não é injetora. 
B) f é injetora, mas não é sobrejetora . 
C) f não é sobrejetora nem injetora. 
D} f é bijetora e fof(1) = f-'(- 60) . 
E) f é bijetora e fof(1) = f- 1(60). 
37. Seja f1(x) = 1 +..!.e t . ,(x) = f,(t(x)). para todo n inteiro positivo. 
X 
Quantas soluções reais x tem a equação x = f 2007(x)? 
A) 1 
B) 2 
C)3 
0)4 
E) N.D.A. 
38. Sejam os conjuntos A = {x e m / x ~ 1 }. e 8 = (y e IR/ y ~ 2} e 
a função de A em B definida por f(x) = x2 - 2x + 3. Assinale a 
opção que corresponde à inversa de f . 
{t-
1 • B -t A {f-1 : B -t A 
A) f -1(x) = 1- .Jx - 2 B) f -1(x) = 1+ .Jx - 2 
E) . {f-1 · B -t A 
1-1(x) = 1+.Jx+2 
39. Seja f: 71. -4 71. dada por f(x);:: x - 1 O, se x > 100 e f(x) = f(f(x + 11 )), 
se x s 100. O valor de f(92) é: 
A) 91 
B) 92 
C)93 
O) 94 
E) 95 
40. (ITA/2009) Considere as funções f(x) ;:: x4 + 2x3 - 2x - 1 e 
g(x) = x2 - 2x + 1 . A multiplicidade das raízes não reais da função 
composta fog é igual a: 
A) 1 B) 2 
C)3 0)4 
E) 5 
41. Seja f: IR\ {- 1} -t m defi~ida por f(x) = 2x + 3 . 
x+1 
A) Mostre que f é injetora. 
B) Determine D = {f(x); x E m. \{- 1}} e f ': D -t IR\ {- 1 ) . 
42. (OBM) Seja f uma função real de variável real que satisfaz 
f(x) + 2f ( 2ºxº9 ) = 3x para x > O. O valor de f(2) é igual a: 
A)2006 
B) 2007 
C)2008 
0)2009 
E) 2010 
r 
r 
MATEMÁTICA 1 
Volume 2 
43. (ITA) Sejam f(x) = x2 + 1 e g(x) = x - 1 duas funções reais de 
variável real. Então (gof)(y-1) é igua l a: 
A) y2- 2y + 1 
B) (y - 2)2 + 1 
C) y2 + 2y-2 
D) y2 - 2y + 3 
E)y2 -1 
44. Dada a expressão P(x) = 3x + 5 , calcule P2( 1) + P4(3) + P6(5) + 
4x-3 
... + P22(21 ). sendo P1(x) = P(x) e P''(x) = P(P" - 1(x)). 
A) 11 
8) 12 
C) 100 
D) 121 
E) N.D.A. 
45. Considere uma função f(x) tal que f(f(x)) = f(x) +. 2009x para 
qualquer valor real de x. 
A) Prove que f(x) = O se e somente se x = O. 
B) Encontre uma função f satisfazendo a equação funcional 
dada. 
46. (OBM) Seja T = (a, b, c) tal que existe um triângu lo ABC cujas 
medidas dos lados sejam BC = a, CA = b e AB = c satisfazendo 
c ~ b ~ a > O e a + b > e. Definimos T2 = (a 2, b2, c2) e 
..[f = ( Jã . ../b, .Je) como sendo, respectivamente, o quadrado 
e a raiz quadrada do "triângulo" T. 
Considere, então, as afirmativas. 
1. O quadrado de um triângulo equilátero é equilátero; 
li . O quadrado de um tri/lngulo retâng ulo não é um triângulo; 
Ili. T1 é um triângulo se, e somente se. T é acutângulo; 
IV . .ff sempre é um tri/lngulo para todo T; 
V. Todos os ângulos de ..[f são agudos. 
O número de afirmativas verdadeiras é: 
A) l 
B) 2 
()3 
0)4 
E) 5 
47. Para todo n natural definimos a função f por f(n) =i· se n é 
par, e f(n) = 3n + 1, se n é ímpar. O número de soluções da 
equação f(f(f(n))) = 16 é: 
A)2 
8) 3 
()4 
0)5 
E) 6 
48. (OBM) Se f: IR 4 IR é uma função tal que. para todo x e IR, 
f(x) . (f(x) - x) = O, então: 
A) fé a função nula . 
B) fé a função identidade. ou seja, f(x) = x para todo x real. 
C) fé a função nula ou a função identidade. 
D) há 4 possíveis funções f. 
E) há infinitas funções f. 
f 
49. (MM)Sejaf: N 4Qumafunçãodadapor f(x) = 2x + 1 . Analiseas 
afirmativas. 3x - 4 
1. f é injetora; 
li. f é sobrejetora; 
Ili. f é inversível e f-1(x) = 4x + 1; 
3x - 2 
IV. f possui exatamente uma raiz . 
Quantas são verdadeiras? 
A)O 
8) 1 
C)2 
D) 3 
E) 4 
50. Suponha que-f(x + 4) ;;:; 2x2 + Sx + 1 e f(x) = ax2 + bx + e. 
Qual é o valor de a + b + c? 
A) - 1 
B) O 
C) 1 
0)3 
E) 4 
51 . Defina f(x) = k e IR • tal que k < x < k + 1, x e R - Z. A solução 
da equação f(./3f(x - 1 )) = 3 é: 
A) (1; 2) 
B) (2; 3) 
C) (3; 4) 
D) (4; 5) 
E) N.D.A. 
52. Suponha que f(x + 3) = 3x2 + 7x + 4 e f(x) = ax2 + bx + e. 
Qual é o valor de a+ b + c? 
A) - 1 
B) O 
C) 1 
D) 2 
E) 3 
53. A função f, definida por f(x) = ax + b, onde a, b, e. d são 
ex+ d 
números reais não nulos, tem as propriedades f(19) ;;:; 19, 
d 
f(97)= 97 e f(f(x)) = x, para todos os valores de x, exceto -- . 
c 
Determine o domlnio de f . 
A) R- 58 
B) R - 79 
C) R - 99 
D) R- 116 
E) N.D.A. 
54. (MM) Sejaf: R- {1} 4 R definidaporf(x)= 3x + 4 Analise as sentenças. 
X - 1 
1. f é injetora; 
li . f é sobrejetora; 
Ili. f é estritamente decrescente; 
IV. f- '(10) = 2. 
Assim, somente: 
A) 1 e Ili são verdadeiras. 
B) li é falsa . 
C) 1 e IV são verdadeiras. 
D) 1 é verdadei ra. 
E) N.D.A. 
ITA/IME 
• • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
IJ e 
• MATEMÁTICA 1 Volume 2 • ====================================================================== 
• • • • ·• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
55. Dada uma sequência finita S = (a" a2, ... , a") de n ,núme:ros 
. . , . (ª1 + ª2 ª2 + a3 a,, _,+ a,,) reais. seJa A(S) a sequênoa - 2-, - 2--, ·· ·• 2 
de n - 1 números reais. Defina A1{S) = A.(5) e, para cada inteiro 
m, 2 s m ~ .n - l, defina Am(S) = A(A"'- 1(S)). Suponha x >O -e 
seja S = (1, x.. x2, ••• , x100). Se A 100{S} = (.;)-então x é: 
A) 1 - ./i B) J5. - 1 
2 
1 
C)-
2 
.,fi ,_ 
2 
0)1-Ji 
56.. {AfA) No gráfico abaixo está ,representada a f u,rnção real 
f : A ~ B. Classifique em (V) ve,dade,i1ra ,e (F} falsa cada 
propo:rção a seguir sobre a função f. 
V 
JI 
( ) No conjunto A existem apenas l 5 números inteiros. 
( 1 Se !8 = '[-4, 41. então f é sob~ejetora. mas não é injetora . 
( ) A composta (fofofo ... of)(4) = f(4) ou ii(-4). 
) f é uma função par. 
Tem-se, então, a sequência corr;eta. 
A) f.v.i:;..v 13) V-f-V-f 
C) f-f--V-V D) V-V-f--f-
E) N.D.A. 
57. (MM) Sef{x}= - 1- , XE R- {1}, então f(L.f(20 11) ... } é igual a: 
1- X ~ 
A) 2011 
20W 
C) 201 
2010 
. 1 
B) - 2010 
2010 
D) - 2011 
58. (MM) Considere o conjunto de funções fi, : :m -. m. l ~; ~ 2011. 
em que 1 005 delas são estritamente decrescentes e 1006 são 
estritamente crescentes" Mostre que f, o f2 o .. . o f2010 o fm1, é 
estritamente decrescente. 
59. (MM) Ser : m.41R é uma função ta! que, para todo .: e lR.. 
f(x) · t<f(x) - J<) = o. então: 
A) f e a função nula. 
B) fé a função identidade. ou seja. f(x) = x para todo x real . 
C) f é a função nula ou a função identidade. 
O) há 4 posslveis funções f . 
E} há ·rlf1initas fungjes f . 
4x-5 
61. (MM) Dada a expressão P(x) = -- , calcule a soma dos 
x- 4 
algarismos(base 1 O)deS= P2(1 )+ P'l(3)+ P6{5)+ ... +P2012(2011 ). sendo 
P1(x) = P(x) e P"(x) = P(P"·1 ( x )). 
A) 10 B) 11 
C) 12 D) 13 
E) N.D.A. 
62. (MM) Seja f : IR-{2}-4 R- {2} uma função dada por f(x) = l x - 1. 
x+d 
Sea inversa de f é uma função, então ~(2011)é igual a: 
A)O 
C)6033 
E) N.D.A . 
B) 402 1 
2009 
D) 2011 
2012 
63. Seja f : lR -. lR uma função dada por f(x) = x2 - 3x + 3. A soma 
das abscissas dos pontos de interseção dos gráficos dessa 
função e de sua relação inversa é: 
A) O B) 1 
()2 0)3 
E) maiot que 3 . 
164. Se uma função f sat isfaz a condição t(x +~ )= x2 + ~ , x,;,. O. 
,então f(x) é igual a: x x 
A) x1 - 2,, para todo x * O. 
B) x1 - l. para todo x tal que lxl ~ 2 . 
C) x.1 - 2. para todo x tal que lxl < 2. 
O) x2 + 2. para todo x ~ O . 
.E) N.OA 
·65. Suponha f(x) = ( x + 1)2 para x ~ - 1 . Se g é a função cujo gráfico 
é a r·eflexão do gráfico de f com relação ,tJ reta y = x, então 
g(x) é igual a : 
A) -.fx - 1, x ~ 0 
C) J x+l , X~ - 1 
E) N.D.A. 
1 
B) --z. X>-1 
(ll+ 1) 
D) Jx-1. x~O 
66. (MM} Se f(x) = >< - l • então f(f( .. .f(2011) ... )) é: 
X ~ 
A) 2010 B) 2011 
C) 2010 
2011 
E) N.D.A . 
1 
D) - 2010 
67. (MM} Considere as funções f, g : m _. m tais que f é par e g é 
ímpar. Analise as afirmações: 
1. fo g o f o g ... g o f o g o f (1006 funções f e 1005 funções 
g se alternando) é par; 
li. f + g + f + g ... g + f + g + f ( 1006 funções f e 1005 funções 
g se alternando) é ímpar; 
rn. f . g . f · g ... g · f · g · f (1006 funções f e 1005 funções g 
5€ alternando) é ímpar; 
IV. A ;inversa de g é uma função lmpar. 60. (MM) Sejam f, g : R ~ R funções tais que 2f(x) + f{2 - x} = 2 + 
• x e g(x) = 1 - x.. para todo x e R. Então, lf(g{2010})1 é igual a: Quantas são verdadeiras? 
A) O B) 2009 A} o 8) 1 
• C)lOUO D} 2011 C) 2 D) 3 
E} N.DA E) 4 
· = =----------========== ==== === = • • ffA/IME 
MATEMÁTICA 1 
Volume2 
• • ======================================================• 
68. (MM) Seja f : m IR uma função satisfazendo f(x) + f(2x + y) + 
Sxy = f(3x -y) + 2x2 + 1, Vx, y e IR. Para quantos valores inteiros 
de x ocorre f(x) ~ O? 
A) O B) l 
C) 2 D) 3 
E) Mais que 3. 
69. Se 2f ( x )-3f(; )= x2 , x * O, então f(2) é igual a: 
A)~ B) _!__ 
2 4 
C)-1 D) 1 
E) N.D.A. 
70. (MM) Se f ( x) = ax +b {a. b, e, d não nulos)e (fof)( x) = x. então: 
cx+d 
A) a= b = 1 
B) d= a 
C) d =-a 
D) a = b = c = d = 1 
E) N.D.A. 
71. Se 2f ( x) + 3f( - x) = x2 - x + 1, então o valor de f'(2) é igual a: 
A) 3 8) 4 
5 
C) §_ 
5 
E} N.D.A. 
9 
D) -
5 
72. Se f(x + 1) + f(x - 1) = 2f(x) e f(O) = O, então f(n). n e N. é: 
A) of(l) B) [t(l}J 
C} O D) n 
E) N.D.A. 
73. (MM) Seja f uma função f : z.--> z. sat1.sfazendo f(m2 + n2) = 
(f(m»-1 + (f(n))2. Vm. n e z. e f(l) > O. 
1. f(O) = O; 
li. f(m2) = f(m)2. Vm e Z.; 
Ili. i(2) = 2; 
IV. f(3) = 3. 
Quantas são verdadeiras? 
A) O B) 1 
C) 2 D) 3 
E) 4 
74. (MM) A função f é definida recursivamente por 
f(x) {x-5, se x ~20 _ f(l ) . . 1 = f(f(x +6)). se x < 20· E.ntão, 8 e rgua a: 
A)lO 8)15 
C) 20 D) 25 
E) N.D.A. 
75. (MM) Definimos w como um ponto fixo de uma função f se (t) 
pertence ao domínio de f e f(11)) = ro. Seja Sn o conjunto dos pontos 
íixos de fW (f composta com ela mesma n vezes). Mostre que: 
A) se x é um ponto fixo de f1 , então f(x} também o é. 
B) f é injetiva sobre S,,. 
C) se 50 é um conjunto finito, entã.o f pemiuta os elementos 
de Sn. 
76. (ITA) Se f é uma função rea l de variável real dada por f(x) = x2, 
então f(x2 + y2) é igual a: 
A) f{t(x))+f(y)+2f(x)f(y),Vx,y 
8) f(x2)+2f(f{x))+f(x)f(y),Vx,y 
C) f(x 2)+f(y2 )+f(x)f(y),Vx,y 
D) f (f (X))+ f{f ( y)) + 2f ( x) f ( y}, Vx, y 
E) f (f (X))+ 2f(y2}+ 2f ( x)f ( y). Vx ,y 
n. {MM) Seja f : IR-> IR uma função satisfazendo f(x) + 2f(1 - x) 
= 4 - 2x, Vx. Então f é: 
A) ímpar. 
B) par. 
C) não injetora. 
D) periódica . 
E) N.D.A. 
78. (MM) A função inversa de f : R - {-4} -+ R - {2} definida por 
f(x) = 2x -3 é: 
x+4 
A) f- l(x) = X +4 
2x+3 
x-4 
B} f-1(x) = --
2x - 3 
(} f-l(x) = 4x + 3 
2 - x 
4x+3 
D) f-1(x) = --
x - 2 
E)f-1(x)=4x+3 
x+2 
2x+3 . 
79. (MM)Seja f(x) = -- . Sabe-se que a inversa de f é uma 
5x-1 
tu nção que pode ser escrita na forma f -1 ( x), = x + b . Determine 
cx+d 
o va!or de b + e + cl. 
A) 6 B) 7 
C) 8 D) 9 
E) N.D.A . 
80. O valor do parâmetro a para o qual a: função f(x) = l + ax, 
a * o.. é a inversa, dela mesma é: 
A)-2 B)-1 
C) 1 D) 2 
E) N.D.A. 
81. (MM) Encontre todas as funçóes f : R-{-1 ; l}--> R sahsfazendo 
( x-3) (3'+x) t - .+f -- .=x, 'r;fx,t:.±1. x+1 . x - 1 
82. (MM) Seja D o conjunto dos números complexos com módulo 
menor que l . Considere a função f : D --> <C - (T} dada por 
f ( z) = z-'. .Mostre que a parte imaginária de fof é positiva. 
Z+I 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 83. (MM) A função f : R Ré continua e f(x) · f(f(x)) = 1, 'txeR. • 
Se f(2011) = 2010. mostre que 2012 não pertence ao 
conjunto imagem de f . 
~===============================-----------====· 
ITA/IME • • 
• • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
·• • 
84. (MM)Seja f(x) = senhx = e' -e-• definida em R. Se g for a 
2 
função inversa de f, o valor de e '\foi) será: 
4 4 
A) - B) e3 
3 
C)~ 
5 
E) N.D.A. 
4 
D) e5 
85. (MM) Seja f uma função definida nos inteiros positivos satisfazendo 
f(l) = 3, f(2n) = 2f(n)- 1, f(f(n)) = 4n + 3. Calcule f(2010) . 
86. (MM) Seja f uma função continua para todo x real tal que a 
equação f(x) = x não possui solução. Prove que f(f( .. .f(x) ... )) = x -.........,.... 
n 
também não possui solução, Vne z: . 
87. Encontre o número natural a para o qual f f (a+ k) = 16(2" - 1), 
k:I 
sendo f uma função satisfazendo f(x + y) = f(x)f(y), \fx,yeN e 
f(l} = 2. 
88. (MM) Seja f : R-+ R uma função satisfazendo a equação funcional 
f((x - d) = (f(x)}2 - 2x -f(y)+y2• Mostre que f(O) = O ou 
f(O) = 1. 
89. Seja f uma função real de variável real que satisfaz a condição: 
f(x} + 2f ( 2ºxº2 ) = 3x , para x > O. O valor de f(2) é igual a: 
A) 1000 B) 2000 
() 3000 0)4000 
E) 6000 
90. Sejam A e B conjuntos infini tos de números naturais. 
Se f : A-+ B e g : B -+ A são funções tais que f(g(x)) = x para 
todo x em B e g(f(x)) = x para todo x em A, então: 
A) existe x0 em B tal que f(y) = x0 para todo y em A . 
B) existe a função inversa de f . 
C) existem x0 e x1 em A tais que x0 a<. x1 e f(x0) = f(x1) . 
D) existe a em B tal que g(f(g(a))) * g(a). 
E) N.D.A. 
. 3x + 2 
91. Se a inversa de f(x) = -5-- é uma função, então: X - 3 
A) f-1 (x) = f(x) B) f -1 (x) = -f(x) 
C) (fof)(x) = -x O) t 1(x) = -~ f(x) 
19 
92. (MM) Seja f : Q' -+ Q' uma função tal que f(xf(y)) = f(x) , \fx e o· . 
+ + y + 
Mostre que f(f(x)) = ..!_ , \fx E Qº . 
X + 
93. Se 2f(x2) + 3f ( x~ ) = x2 - 1. lrJx e R* , então f(x2) é igual a: 
4 (1 - x2)(3+2x2) 
A) ~ B) 2 
sx2 Sx 
(1 - x2)(3 - 2x2 ) (1+x2 }(3 +2x2) 
C) 2 D) 2 
3x 3x 
( 1+ x2)( 3- 2x2 ) 
E) ..:....__.:....:.... _ _..;_ 
3x2 
ITA/ IM E 
MATEMÁTICA 1 
Volume 2 
94. (OBM) Seja f uma função cujo domínio é o conjunto de todos 
( x+2011) os números reais. Se f(x) + 2f x _ 1 = 4033 - x, para 
todo x * 1, encontre o valor de f(2013). 
A) 2012 
B) 2013 
()2014 
0)2020 
E) N.O.A . 
95. (MM) Se f, g : R -+ R são dadas por f(x) = sen x e g(x) = x2, 
então prove que fog * gof. 
96. Se f(x) = cos(log x), então f(x) f (y)-i [ f ( ~ )+ f ( xy)] tem o valor: 
A)-2 B) - 1 
1 
C) 2 D) O 
E) N.D.A. 
97. Seja f(x) = (x + 1)2 - 1 (x~ - 1), então o conjunto S == {x/f (x} :a: t 1 (x)} é: 
{o - 1 - 3±2./3 } A) , , 2 
B) {O, 1, - 1) 
C){O, - 1} 
0)0 
E) N.D.A. 
98. Seja f(x) :a: ~, x * -1 . Então, para qual valor de a temos 
X+ 1 
f(f(x)) = x? 
A) .J2 
C) 1 
E) N.O.A. 
B) - .J2 
0) - 1 
99. Se f(x) + 2f(1 - x) = x2 + 2, \fx e R, então f(x) é igual a: 
A) x2 - 2 
B) 1 
C) ..!.(x-2)2 
3 
0)0 
E) N.0.A. 
100. (MM) Seja f1 ( x) = 1 + ..!. e fn~i ( x) = f1(f"(x)) para todo n inteiro 
X 
posit ivo. Escrevendo f 20 13(x) na forma ax + b , podemos afirmar 
cx+ d 
que o valor de a + b + c + d é: 
A) F zon 
B) F 201 4 
C) F 201s 
O) F 2016 
E) N.O.A. 
(Obs: a sequência {Fk} é definida por F1 = F2 = 1 e, para k ~ 3, 
Fk == Fk_ i+ Fk - 2) 
MATEMÁTICA 1 
Volume 2 
101. Seja a função f(x) = ax + b, x e R, sendo a e b constantes reais. 
Determine a e b não nulos, tais que f(f(x) + b) = f(x) + bl, Vx e R. 
102. 
A) Mostre que a imagem da função f : R -+ R definida por 
f(x) = x+ ./x2 + 1 é R:. 
B) Mostre que a função f : R-+ R: . dada por f(x) = x + ~ 
é bijetora e encontre f- 1• 
103. (MM) Seja f a função definida por f (x) = 2x + 3 , x 'e#-~ • 
5x+8 5 
. ax +3 O valor de a+ b + c, tais que f-1(x) = -- é: 
bx+c 
A) O 
B) -5 
C) 15 
D) um número racional não inteiro. 
E) N.D.A. 
104. (MM) Dizemos que co é um ponto fixo de uma função f se ro 
pertence ao domínio de f e f(rn) = w. Se f : R -+ R, f(x) = x2 - 1, 
então podemos afirmar que: 
A) 1 é ponto fixo de f. 
B) sem é ponto f ixo de f, então co também é ponto fixo de (f o f) . 
C) f possui infinitos pontos f ixos. 
D) os pontos fixos de (f o f) são O e ±.Ji. 
E) N.D.A. 
105.Sejam f(x) = x2 + 1 e g(x) = x - 1 duas funções reais. Definimos 
a função composta de f e g como sendo (g o f)(x) = g(f(x)). 
Então, (g o f)(y - 1) é igual a: 
A) y2 - 2y + 1 B) (y - 1 )2 + 1 
C) y2 + 2y - 2 D) y2 - 2y + 3 
E) y2- 1 
106.Seja f(x) = x2 + 6x + c para todo x real, sendo e algum número real. 
Para quantos valores reais de e existem exatamente 3 ra ízes 
reais e distintas para f(f(x))? 
A) O B) 1 
C) 2 D) 3 
E) Infinitos 
107.Sabendo que f : R -+ R. f(x) = x3 - 3x2 + 5x - 1 é uma função 
estritamente crescente, o valor de a, tal que f-'(a} "' 1 é: 
A)2 
B) -2 
C}O 
D) 1 
E} N.D.A. 
108. (MM) Seja f : R: - R: uma função, tal quef(.xf(y))=yf(x), 'v'x, y e R: 
A) Calcule f(1). 
B} Assumindo que f possua um único ponto fixo, calcule 
f(2013). 
109.Seja f1(x) = ~ e, para~nteiros n ~ 2. seja f,N = t _{Jn2 - x) . 
Se os maiores domínios passiveis de f 2 e f3 são, respectivamente, 
[a, b] e [c, d]. então o va lor de a + b + c + d é: 
A) O. 
B) um número primo. 
C) um divisor de 100. 
D) um número negativo. 
E) N.D.A. 
110.Seja f(z) = 2 + ª e g(z) = f(f(z)), sendo a e b números complexos. 
z+b 
Suponha que Ia 1 = 1 e que g(g(z)) = z para todo z para o qual 
g(g(z)) esteja definida. Qual é a diferença entre o maior e o 
menor valores possíveis de I b 17 
A)O 
B) .Ji -1 
C)FJ-1 
D) 1 
E) 2 
111.Sabendo que f : R -+ R, f(x} = x3 - 3x1 + Sx - 1 é uma função 
estritamente crescente, o valor de a tal que f-1(a) = 1 é: 
A)2 
B) -2 
C)O 
D) 1 
E) N.D.A. 
112.Considere a sentença f(.x) = x2 + .x + 1. Quantas das seguintes 
afi rmações são verdadeiras? 
1. Se f : [ _2 + oo [ -+ R, então f é injetiva; 
2· 
li. Se f : R-+ ] -oo + I ] , então f é sobrei·etiva; 
' 4 
Il i. Existem A. B e R, tais que f : A-+ B é bijetiva; 
- 1+ ../4x - 3 
IV. Se f : [O. +oo) -+ [1, +oo), então t 1(x) = ---- . 
A)O 2 
B} 1 
()2 
0)3 
E) 4 
ln+ 3 se n é ímpar 113.Uma função f : Z-+ Zé definida por f(n) = n é . - se n par 
2 
Suponha que k é ímpar e f(f(f(k))) = 27. Qual é a soma dos 
dígitos de k? 
A) 3 
B) 6 
()9 
D) 12 
E) 15 
114.Seja f : R-+ Ruma função, tal que x2f(x) + f(l - x) = 2x- x-1, 'i/x e R. 
Se g(x) = 1 - x, então f(g(x)) é: 
A) 1 - x1 
8) x 
C) x(2 - x) 
D) x2 
E) N.D.A. 
115.Seja f : R*-+ Ruma função. tal que f(x) + 21U) =3x.Qual é 
a soma dos valores de x para os quais f(x) = 1? 
A) 1 
B) 2 
C) - 1 
D} - 2 
E} N.0.A. 
ITA/IME 
• • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
• • MATEMÁTICA 1 Volume 2 • ============================================================================= 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
116. (MM) Seja f(x) = 1- - 2- . O valor de f(f(f( ... f(2013) ... ))) é: 
X - 1 ~ 
A)2013 
B) 2014 
C) 1005 
1006 
D)O 
E) N.D.A. 
117.Seja f,(x) =¾- 3/+ 1e, para n 2:: 2, defina f,,(x) "'f1(fn _,(x)). 
O valor de x que satisfaz f 1001(x) "' x - 3 pode ser expresso 
na forma m , sendo m e n inteiros positivos primos entre si. 
n 
O valor de m + n é: 
A)4 
B) 8 
C) 10 
D) 12 
E) 16 
[ ]
2011 
118.Para x real, seja f(x)"' 20v/ 1 • Calcule f(f( ... (f(2011)) ... )) 1_x2011 ~ 
119.Considere a equação funcional 2-f(-x) + t(2J = x, \IX e R•, 
X X 
f : R* ~ R. O número de soluções dessa equação é: 
A)O 
B) 1 
()2 
D) 3 
E) Infinito 
xJ 
120.Seja f(x) = 2 . Calcule: 
1-3x + 3x 
A) f(x) + f(1 - x) . 
201s x 3 . 
B) S = L- 1 , sendo x, = ~ 1 _ • 
lrO 1-3X,+3X 2015 
' 
1- x2 
121.Se g(x)"' 1 - x2 e f(g(x))"' - 2- , quando x -:f O, então f(1/2) 
X 
é igual a: 
A) 3/4 
B) 1 
( )3 
D) .fi_ 
2 
E) Fz 
122.Seja g(x) = 1 + x - [xi e f(x) = O, x = O . Então, para todo x, l- 1, X <Ü 
1, X > 0 
f(g(x)) é igual a: 
A)x 
B) 1 
C) f(x) 
D) g(x) 
E) N.D.A. 
123. (MM) Seja f uma função cujo domínio é o conjunto de todos 
os números reais. Se f{x) + 3t( x + 201 º) "'4026 - x para todo 
x- 1 
x :/: 1, então o valor de f(2012) é: 
A)2012 
B) 2013 
C) 2014 
0)4024 
E) N.D.A. 
124.(MM) Seja f : m ~ m uma função, tal que f(f(x)2 + f(y)) == x -f(x) 
+ y, Vx, y e m. Analise as afirmações: 
1. f é uma injeção, mas n~o é uma sobrejeção; 
li. f é uma sobrejeção, mas não é uma injeção; 
Ili. f o fé uma bijeção; 
IV. Existe x real, tal que f{x) = 2012 . 
f (são) verdadeira(s): 
A) 1 
B) li 
C) Ili 
D) li e IV 
E) N.D.A. 
125.(MM) A função definida em R - {2} por f(x) = 2 + x é inversível, 
2- x 
ou seja, sua inversa também é uma função. O seu contradomínio 
é R - {a}. O va lor de a é: 
A)2 
B) - 2 
C) 1 
D) - 1 
E) N.D.A . 
126. Seja f0 (x) = x+jx-1001- lx+ lOOj e, para n 2:: 1, seja 
f0 (x) = jt _1 ( x )j - 1. Para quantos valores de x ocorref10o<x) = O? 
A)299 
B) 300 
C) 301 
D)302 
E) 303 
127. Seja f uma função tal que f(x) + 2f(- x) = sen x para todo número 
rea l x. Qual é o valor de f(2:J7 
A)-1 2 
1 
B) - 2 
C) ~ 
2 
D) 1 
E) N.D.A. 
128. (MM) Considere as funções f : IR ---+ m: dada por f(x) = 3x + 1 
e g{x} : IR ---+ [- 1; 1] com g(x) = sen 2x. Podemos afirmar que: 
A) f é inversível. 
B) g é par. 
C) f([O; 1]) = (1; 4] 
D) g pode ser escrita como uma soma p(x) + i(x), em que p é 
uma função par e i é uma função ímpar . 
E) N.D.A. 
· = =----------===================================== ·• i. ITA/IME 
MATEMÁTICA 1 
Volume 2 
129. (MM) Sejam f e g funções reais e de domínios reais. Analise 
as afirmações: 
1. Se f e g são ímpares, então f + g é ímpar. 
li. Se f e g são estritamente crescentes, então f + g é 
crescente. 
Ili. Se f e g são periódicas, então f + g pode ser periódica. 
IV. Se f e g são invertíveis, então f + g é invertível. 
É(são) verdadeira(s): 
A) apenas 1. 
C) apenas 1, li e Ili. 
E) nenhuma. 
B) apenas I e li. 
D) apenas 1, li e IV. 
130. (MM) Seja f e g funções reais de variáveis reais e invertíveis. 
Então, f o g: 
A) é crescente. 
B) pode ser periódica. 
C) é ímpar. 
D) é invertível. 
E) N.D.A. 
131. (MM) Seja f : IR ~ IR uma função ta l que 
f(x + f(y)) = y + f(x), 'vx, y. Se f possui exatamente um ponto 
fixo, então o valor de f(2014): 
A) é O. 
B) é 2014. 
C) é -20 14. 
D) não pode ser determinado. 
E) N.D.A. 
132. (MM) Na Física, a conversão da temperatura em graus Celsius 
para graus Fahrenheit associa linearmente os números de O 
a 100 aos números de 32 a 212. Mostre que essa conversão 
é uma bijeção. 
133. Considere as funções rea is f e g definidas por: f( x) = 1 + 2: , 
1-x 
xeR - {- 1,l}e g(x)=-x- , xeR-{-~} · Determineo 
1+2x 2 
maior subconjunto de R onde pode ser definida a composta 
f o g, tal que (f o g)(x) < O. 
A) (-1;-i)u(-i;-±) 
B) (--oo;-1) u(-i;-±) 
C) (--oo:-1)u(-f 1) 
D) (1;oo) 
135. (MM) Sejam f, g : IR ~ IR funções tais que 2f(x) + f(2 - x) = 2 + 
x e g(x) = 1 - x, para todo x e IR. Então, \f (g{2014 ))\ é igual a: 
A) O B) 2013 
()2014 0)2015 
E) N.D.A. 
136. (MM) Determine todas as funções f : m: ~ m: tais que 
f(xf(y)) = yf(x), 'vx, y, e que possuem apenas um ponto fixo . 
137. (MM) Se as funções f e g são dadas porf = {(1, 2). (3, 5), (4, 1)} e 
g = {(2, 3), (5, 1). (1, 3)}. escreva os conjuntos de pares 
ordenados que representam f o g e g o f . 
138. (MM) Sejam A e B dois conjuntos com um número finito de 
elementos. Assuma que existe uma função injetiva de A em B 
e que existe uma função injet iva de 8 em A. Prove que existe 
uma bijeção de A em B. 
139. P e Q são dois polinômios satisfazendo a identidade 
P(Q(x)) = Q(P(x)). Se a equação P(x) = Q(x) não tem solução 
real, mostre que a equação P(P(x)) = Q(Q(x)) também não 
possui solução real. 
140. (MM) Seja f(x) = 2 +-3- . O valor de f(f( .. .f (2015) ... )) é: 
x - 2 ~ 
A) 2027 B) O 
2012 
()2015 0)2014 
E) N.D.A. 
3 
141. Seja a função f : IR - (- 1; 1} ~ IR, definida por f ( x) =-;..-, 
X - 1 
não inversível. Podemos afirmar que essa função é: 
A) bijetora e não par nem ímpar 
B) par e injetora 
C) ímpar e injetora 
D) par e sobrejetora 
E) ímpar e sobrejetora 
142. Seja f uma função real, de variável real, satisfazendo 
f(x)+2f( x+14) = 2x2 +2x+56 . O valor de f(14) é: 
x - 1 x-1 
A) O B) 14 
()28 0)42 
E) N.D.A. 
143, Seja f : IR ~ R uma função tal que f(x) = x2 - 5x + 9. Qual é 
a soma das soluções reais da equação t(f ( .. . f(x) ... )) = 3? 
-----------2014 
• • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
( ) 
A) O B) 2 
E) -f-i- C)3 D) 5 • 
E) N.D.A. 
134. Seja fumafunçãotalque f(::~1a)=x3 -.Ja. Calculef(2). 144. (MM) Para cada inteiro positivo k, seja f,(k) o cubo da soma • 
dos algarismos de k. Se n ~ 2, seja f0 (k) = f 1(f"_1(k)). O valor • 
A) 8- .Ja de f20 14(14) é: 
B) 3./j_ A) 64 • 
e) ifj_ B) 125 • C) 216 
D) 2./2 0)512 
E) N D A E) N.D.A. • 
=====· =·=·===================-------------e:=:= 
ITA/IME • • 
• • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
• • 
145. Dadas as funções reais de variáve l rea l f(x) = mx + 1 e 
g(x) = x + m, onde m é uma constante rea l com O < m < 1, 
considere as afirmações: 
1. (f o g)(x) = (g o g)(x), para algum x real; 
li. f(m) = g(m); 
Ili. Existe a real tal que ( f o g)(a) = f(a); 
IV. Existe b real tal que (g o f){b) = mb; 
V. O< (g o g)(m) < 3. 
Podemos conclu ir que: 
A) todas são verdadeiras . 
B) apenas 4 são verdadeiras. 
C) apenas 3 são verdadeiras . 
D) apenas 2 são verdadeiras . 
E) apenas 1 é verdadeira . 
146. Co nsidere as funções reais f e g de fini das por 
1 + 2x X 1 . 
f(x) = --(x :t- ±1) e g(x) = --, (x :t-- --). O maior 
1-x2 1+2x 2 
subconjunto de R onde pode ser definida a composta f o g 
tal que (f o g)(x) < O é 
A) ( -1; -i) u ( -i-¾) 
B) (-oo;-1)u(-f -~) 
C) (-oo;-l)u(-f 1) 
D) (l ;oo) 
E) (-2-_2) 
2 ' 3 
147. Sejam f, g : IR ---+ IR funções definidas por f(x) = 3x - 1 + 
3x + 5 - l2x + Sj 
12x + 11 e g(x) = __ __,__ _ ___. . Prove que g o f =foge que 
5 
(f O f)-1 = g O g. 
148. Dizemos que uma função f é de idempotente quando 3 n e 
N, n > 1, tal que f"(x) = f(x), sendo f'(x) = f(x) e fk(x) = f'(fk-'(x)) . 
Qual das funções a seg uir não é idempotente? 
I 
A) f(x) = X 
B) f(x) = - 1-
1- x 
x -3 
C) f(x)=-
x + l 
X 
D) f {x) =-
1- x 
E) f(x) = 2 
X 
149. Sejam as funções f : IR ---+ IR e g : A e IR ---+ IR tais que 
f(x) = x2 - 9 e (f o g)(x) = x - 6, em seus respectivos domínios . 
Então, o domínio A da função g é: 
A) (- 3. + ) 
B) R 
C) [- 5, + 
D)(--«>, - 1) u [3, +oo) 
E) (-oo,J6) 
ITA/IME 
MATEMÁTICA 1 
Volume 2 
150. Considere as afirmações: 
1. Existe f : IR ---+ IR função par e invertivel; 
11 . Se f : IR ---+ IR é uma função estritamente crescente e 
sobrejetora, então f- 1 : IR ---+ IR é uma função estritamente 
crescente; 
Il i. Se f, g : IR ---+ IR são funções pares, então a composição 
gof é uma função par; 
IV. Se f , g : IR ---+ IR são funções tais que fog é bijetora, então 
f é sobrejetora e g é injetora . 
Podemos garantir que: 
A) somente I é falsa . 
B) somente I e Ili são verdadei ras. 
C) todas são verdadeiras. 
D) somente IV é falsa . 
E) N.D.A. 
151 . Considere as funções f e g definidas por f(x) = x - ~ (x :t- O) 
X 
e g(x) = _x_ (x 'F - 1 ). O conjunto de todas as soluções da 
x+1 
inequação (g o f)(x) < g(x) é: 
A) [1. +oo) 
B) (--«>, - 2) 
C)(-2,-1) 
D) (-1, 1) 
E) (- 2, - 1) u (1, +oo) 
152. Sejam f, g : m ---+ m funções. Ana lise as afirmativas: 
1. Se f e g são ímpares, então (f + g) é ímpar; 
li. Se f é par, então (f o g) pode ser invertível; 
Ili. Se (f o g) é injetora, então f é injetora; 
IV. Se f periódica (período p) é ímpar, então f(p) = O. 
É (são) verdadeira(s) apenas: 
A)lelV 
B) 1, Ili e IV 
C) li e Il i 
D) 1, li e IV 
E) N.D.A. 
153. Seja f : lR ---+ IR uma função satisfazendo f(x)f(y) = f(x + y) + xy. 
Analise as seguintes afirmações: 
1. f(O) = O; 
li . f pode ser uma função constante; 
Ili.f é lmpar; 
IV. f é invertível. 
É(são) verdadeira(s) : 
A) 1 e li 
B) li e Ili 
C) 1 e IV 
D) IV 
E) N.D.A 
154. Considere a função f. : [O, 1] ---+ [O; 1
1
] que depende de
1 
um 
ax, se O s x s - , 
parâmetro a e (1; 2]. dada por f,(x) = 1 2 
a(1 - x), se 2 s x s 1 
MATEMÁTICA 1 
Volume 2 
155. Sabe-se que existe um único ponto p e ] ~, 1[ tal que f (p ) = p . • 2 a a a 
Na figura a seguir, estão esboçados o gráfico de t. e a reta 
de equação y = x. 
y 
Y=X 
X 
2 
A) Encontre uma expressão para o ponto p em função de a. 
B) Mostre que t. ( f. ( i)) < i para todo a01 a e ( 1; 2]. 
C) Utilizando a desigualdade do item b), encontre a e (1; 2] 
t. ( f. ( t. ( i))) = P. , tal que em que P. é o ponto encontrado 
no item a. 
Função Exponencial 
Tópicos teóricos 
Função exponencial 
Definição 
Dado um número real a, a> O e a~ 1, denomina-se função 
exponencial de base a a função f : IR 4 m: tal que f(x) = a*. 
Gráficos: 
A) Para a > 1: B) Para O < a < 1: 
Observação 1: 
• Todo grMicode função exponencial contém o ponto (O, 1). 
Observação 2: 
• a• > O, \;/x e IR. 
Equação exponencial 
São equações tendo incógnitas em seus expoentes. Como 
a função exponencial é injetora, a• = ar ~ x = y (a > O e a ,#. 1 ). 
Inequação exponencial 
São inequações tendo incógnitas em seus expoentes. 
• Base maior que 1 (função crescente): a• > ar ~ x > y 
• Base entre O e 1 (função decrescente): a• > ar e:> x < y 
Exercícios de Fixação 
,/D~ermine k de modo que: 
/ ' · À)(x) = (5 - 2k)' seja crescente. 
(x) = (9 - k)' seja decrescente. 
I 
,,ti{. A função de IR em IR definida por f(x) = 2•' •9 admite: 
A) 1 zero real. B) 2 zeros reais. 
A 3 zeros reais. D) 4 zeros reais. 
\_gJnenhum zero rea l. 
y (AFA) A soma das raízes da equação 16' ; 64 4° 1 vale: 
A) 1 (ih -
C) 16 D) 20 
o.('~) A solução da equação 4' + 6' = 2 · 9' é: 
,,7 ·· ®)0} 
B) {1} 
C) {- 2} 
D) {- 2, 1} 
m,,/Qual é o menor valor assumido pela função f: IR ~ IR, definida 
7" ( 1 )•-•' por f(x) = 2 ? 
~ Resolva a equação 2 · 9' + 6' = 6, 4". 
r::::;,. ( 3 )' 3' 2 ( 3 )' 4 + 36 ( 2 5 )· 6 • 2 ~ Resolva a inequação 5 ~ 5 < 9 
n." ,,.2- 81 r· Resolva a equação exponencial 3 •' = ,.! . 
3 X 
~ (AFA) O conjunto-solução da inequação 220 2 - 0,75 . 2" 2 < 1 é: 
e,';# A) 0 .,, / 
B) {x e R / x > O} (____ _,_ ifv ,€)V 
crescente decrescente 
C) {x e R / X< O} 
1 
D) {x E IR / -- < X< 1} 
4 
ITA/IME 
• • 
• • • • • • • • ., 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
• • 
• • • • • • • • • • 1. 
• • • • 
1• 1• • • • • • • • • • • • • • • 
(AFA) O produto das ralzes da equação 
( )2 + .f3 )' + (~2--Í3 )' = 4 pertenceaosconjuntosdosnúmeros: 
A) naturais e é primo. 
B) inteiros e é múltiplo de 4 . 
C) complexos e é imaginário puro. 
D) racionais positivos e é uma fração imprópria . 
• 0MM) Uma função f: <Q ~ IR sat isfaz f(x + y) = f(x)f(y), Vx e © . 
/ '- ~rove que f(x) = [f(1)Jx, 'r/x e © . 
@ (MM) Resolva a equação 3' + 4' = 5' . 
Y, Resolva (x - 2)'i -, = (x - 2)12 no conjunte@ o::i). 
1 1 J'- (OCM) Resolva a equação 4' -3' -2 = 3x+2 -22x-1_ 
\"" (._ ~ 
f Existe triângulo tal que os números reais eX. 1 + e' e 1 - e' são 
as tangentes dos angulos internos de um triângulo? Justifique. 
@(ITA/201 1) A expressão 4e2' + 9e2Y - 16e' - 54eY + 61 = O, com 
x e y reais, representa: 
A) o conjunto vazio. 
B) um conjunto unitário. 
C) um conjunto não unitário com um número finito de pontos. 
D) um conjunto com um número infinito de pontos. 
E) o conjunto {(x. y) e IR2 1 2(e" - 2)2 + 3(eY - 3)2 = 1} . 
/(ITA/2013) A soma de todos os números reais x que satisfazem 
a equação 8r,;,+44(2M ) +64=19(4,J;:;i ) é iguala: 
A)B 
B) 12 
@: 
E) 20 
Exercícios Propostos .._ 
01. Julgue: 
A - ( 2 )' ( 9 )' 27 - . I _ . . equaçao 3 · 8 = 64 nao possui so uçao 1nt~1ra. 
02. (ITA) Resolva 32' + 52' - 15' = O . 
03. Resolva a equação 9' 2 - 1 - 36 . 3•2- 3 + 3 = O . 
04. Julgue: 
Todas as soluções reais da equaçao 16' + 36' = 2 . 8 P são 
inteiras. 
05. Se os números inteiros positivos x e y satisfazem 2••1 + 2' = 3v+2 -3Y, 
calcule o valor de x + y. 
06. Resolva a inequação 4' > _!__ 
32 
MATEMÁTICA 1 
Volume 2 
07. Resolva a inequação ( i r -Sx ~ 81 . 
08. Resolva as equações. 
A) (2+-Í3)' +(2 - -Í3)' = 4 
B) {2+.f3)"-2x+I +(2-.f3l -2x-1 = -4-
2--Í3 
09. (AFA) O conjunto-solução da inequação (0,5)'<x-2> < (0,25)H.s é: 
A) {X e IR / X < 1} 
B) {X e IR / X < 3} 
C) x e IR/ 1 < x < 3} 
D) {x e IR/ x < 1 ou x > 3) 
3' + 3-x 3' - 3-x 
10. (UFMG) Se f(x) = x2 , g(x) = -- e h(x) = --, então, 
2 2 
f(g(x)) - f(h(x)) é igual a: 
A) 3-x 
C) 32' 
E) 1 
B) 3-2x 
0)0 
, 1-4 
11. (AFA) O conjunto-solução da desigualdade (~) s w·2 é: 
A) {x e ll?. / -2 S X S -1} 
8) {x E ll?. / - 1 S X S 2) 
() {X e IR/ X S -2 OU X~ -1} 
O){xe IR/ xS - 1 oux~2} 
E) N.D.A. 
12. (UnB) Julgue: 
Existem exatamente três valores reais de x que satisfazem a 
equação x1•2 - 5• - 61 = 1. 
- 11·l-2, 13. Resolva nos reais x = 1. 
14. Se x e y são números inteiros, quantas soluções possui a 
equação (x - 8) · (x - 1 O) = 2v7 
A)O 
B) 1 
()2 
0)3 
E) Mais que'3: 
15. O número de soluções inteiras da equação 22' - 32Y = 55 é: 
A)O 
B) 1 
C)2 
0)3 
E) mais que 2, mas f inito. 
16. A soma de todos os números rea is x tais que 
(2' - 4)3 + (4' - 2)3 = (4' + 2' - 6)3 é: 
A)~ 
2 
B) 2 
C) ~ 
2 
0)3 
E) ?_ 
2 
· = =----------============================ • • ITA/IME 
MATEMÁTICA 1 
Volume 2 
• • f==========================• 
17. ( IM E/85) Os va lo re s de a que tornam o sistema 
x + y = o possível e determinado são: l 32•• 1 • X + y = 1 
(3ª -10- 3)- X+ y =: 1 
A) qualquer valor de a. 
B) apenas a= O e a= 3. 
C) apenas a= 2. 
D) apenas a = 1 e a = - 1. 
E) não existe valor de a nessas condições. 
18. (MM) Resolva a equação 5' + 12' = 13' . 
19. Resolva (3x-4)2''•2 =: (3x - 4)5' no conjunto [i, oo )-
20. Resolva 2,J;. . 4' + 5 -2••1 + 2.Jx = 22" 2 +5Fx -2' + 4, x ;?: O. 
21. Seja a e (O, 1). Resolva a2' - (a+ a2)a" + a3 < O. 
22. (MM)Definimosocossenohiperbólicocomocos h x = e' +e-• e 
2 
e' - e-• 
osenohiperbólicocomosen h x = --2-, onde x e IR. Mostre 
que sen h (a + b) = (sen h a) (cos h b) + (sen h b) (cos h a). 
23. Sendo S o conjunto-so lu ção de - 1- < - 1- podemos 
· 3' 5 3x+l 1' afirmar que: + -
A)S=[- 1; l) B) S ::i [- 1; 1] 
C) S = IR D) S e IR. 
E) N.D.A. 
24. Seja a um número real positivo diferente de 1. O conjunto de 
todos os valores de m e IR para os quais a equação a'+ a-• = m 
tem solução x e IR é: 
A) IR B) 0 
C) [2; + oo) D) (- O'J; - 2] 
E) (- oo; - 2) u [2; + oo) 
25. Seja a e IR com a > l . O conjunto de todas as soluções reais 
da inequação a2•(1 -x) > a•- 1 é: 
A) (-1.1) B) (1 , + oo) 
C)(-f1J D)(-<YJ ,1) 
E) N.D.A. 
26. (ITA) A equação 3e'2 - 2e-•2 apresenta solução: 
A) X= O B) X> 1 
2 
C) - 1 < x < 1 D) - 1 :5 X< 3 
E) N.D.A. 
3•'- 4 
27. (MM) Seja f : IR ~ IR uma f unção dada por f(x) = - 2- . Dentre 
as afirmativas: -
1. f é injetora; 
li. f é sobrejetora; 
Il i. f é estritamente crescente; 
IV. f(0) e Q_. 
3 . 9x - 15' 
28. A solução real k da equação---- = 2 é: 
25' 
A) tal que 5k = .Jk.. 
B) um elemento de IR. 
C) um elemento de {- 5, - 3, 2, 3, 5}. 
D) tal que k ;?: 2. 
E) tal que O< k < 2. 
29. (IME) A população de um país no ano t, t ;?: 1860, é dada, 
aprox imadamente, por N(t') = ~ . sendo t' = t - 1860 . 
l+e " 
L, 1, e o. são constantes reais e 106 - N(t') é o número de 
habitantes. 
A) Calcule a população do país no ano 201 O sabendo 
que em 1860, ele tin ha 15 mi lhões de habitantes, em 
1895, 18 milhões de habitantes e, em 1930, 20 milhões de 
habitantes. 
(Obs.: e é a base do sistema de logaritmos neperianos ou 
naturais). 
B) Ao longo do tempo, a população tenderá a um número 
fin ito de habitantes? Justifique sua resposta . 
30. Para qual número natura l k a função _k_2 - atinge seu valor 
1, 00 1k 
máximo? 
A)2000 
()2002 
E) N.D.A. 
B) 2001 
0)2007 
31. Seja f(x) = e.r,:G., em que x e IR. Um subconjunto D de lR, tal 
que f: D ~ IR é uma função injetora, é: 
A) D = {x e IR / x ;?: 2 e x :5 - 2} 
8) D = {x E IR / x ;?: 2 OU X :5 - 2} 
C) lR 
D) D = {x e lR / - 2 < x < 2} 
E) D = {X e IR/ X ;?: 2} 
e' -e-• 
32. (ITA) Considere a função M(x) "' ---. Então: 
e-• + e' 
A) 'vx > 1, temos M(x) > 1. 
B) 'vx e lR, ocorrem simultaneamente M(- x) = - M(x) e O :5 M(x) < 1. 
C) existem a e IR.'. e um b e JR: tais que M(a) < M(b). 
D) M(x) = O somente se x = O e M(x) > O apenas quando x < O . 
E) N.D.A. 
33 O d , . d f _ - 32x 
. om,mo a unçao y ~ J( H _ 
243 
e: 
A) (- oo, - 5) 
C) (- 5, oo) 
E) (-5, 5) 
B) (- oo, S) 
D) (5, oo) 
34. (MM) Dada a função f: m. ~ IR defin ida por f(x) = 9' + 9-• , 
ana lise as seguintes sentenças: 3 
1. f (1) "' O; 
li. Existe x tal que f(x) = 1; 
Ili. f(x + y) + f(x - y) = 3f(x)f(y); 
IV. f(x + y) = f(x)f(y). 
• • • • • • • • • • • • • • • • 
• • • • • • • • • • • • 
Quantas são verdadeiras? Qua ntas são verdadeiras? • 
A) O B) 1 A) O B) 1 ,. 
C) 2 D) 3 C) 2 D) 3 
84 84 
~=================----------=· 
ITA/IME • • 
~-
1• 
• • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
35. (China)Mostrequeafunçãof:m.* ~m.dadapor f(x) =-x--~ 
1-2' 2 
é par, mas não é ímpar . 
36. (MM) O cosseno hiperbó lico é uma função real, da variável rea l, 
dada por c(x) = e•+ e-• . Analise as afirmativas: 
2 
1. e é injetora; 
li. e é sobrejetora; 
Ili. c(x + y) = c(x) + c(y), Vx, y e m.; 
IV. e é periódica. 
Quantas são verdadeiras? 
A) O B) 1 
C)2 0)3 
E) 4 
./,.+! Jf+x 
37. As funções f(x) = 2 • e g(x) = 2 ' satisfazem f(x) ;e: g(x), 
Vx e S e m.. Determine S. 
38. (EN) Seja A uma função real de variáve l rea l tal que: 
ei, - 2e'A(x) + 1 = O, Vx e m.. Nessas condições, temos: 
A) A(0) = 1, A{x) = A(- x), para todo número real x, e não existe 
um número real x * O satisfazendo a relação A(x) = 1. 
B) A(0) = 1 e A(x) = O, para algum número real x. 
C) A(1 ) < O e A(x) = A(- x), para todo número real x. 
D) não existe um número real x não nulo satisfazendo a 
relação A(x) = 1 e não existe um número rea l x satisfazendo 
A(x) = A(- x). 
E) N.D.A. 
39. O maior domínio possfvel para a função 
40. 
f( x) = ~4' + 8 2(\- 2) - 52 - 22(x- l ) é : 
A) (O; 1) B) (3; +a:i) 
C) (1; O) D) (-<XJ ; 1) 
E) N.D.A. 
As raízes da equação 22' · 31- • - 5 · 2' + 2 · 3' = O estão contidas 
no intervalo: 
A) (-1; 2] 
C) (-2; O) 
E) [2 ; 3) 
B) [- 1; O) 
D) (1 ; 2] 
41 A .d d d . . . f d 8' + 2r 7 é . quantI a e e numeres reais x satIs azen o ---= - : 
12' + 18' 6 
A)0 
B) 1 
()2 
D)3 
E) maior que 3 . 
42. Assuma O < r < 3 . A seguir, temos 5 equações em x. Que 
equação tem a maior solução x ? 
A)3(1 + r't=7 B) 3(1+ /oJ = 7 
C) 3(1 + 2r)• = 7 D) 3(1 + .fr)' = 7 
E) 3(1 + + J = 7 
MATEMÁTICA 1 
Volume 2 
43. Encontre todos os números reais x para os quais 
,O•+ 11'+ 12'= 13' + 14' . 
Sugestão: divida por 13'. 
44. (AFA) Sabe-se que o isótopo do carbono C 14 tem uma 
meia-vida de 5760 anos, isto é, o número N de átomos de ( 14 
na substância é reduzido a ~ após um espaço de tempo de 
2 
5760 anos. Essa substância radioativa degrada-se segundo a 
sequência N = N0 • 2-1, t e {O, 1, 2, ... }, em que N0 representa 
o número de átomos de C 14 na substância, no instante t = O, 
e t é o tempo medido em unidades de 5760 anos. Com base 
nas informações acima, pode-se dizer que: 
A) o número de átomos, quando t = 1, era 5760 . 
B) o número de átomos será igual a um terço de N0 quando 
decorridos 1920 anos. 
C) após 11520 anos, haverá a quarta parte do número inicial 
de átomos . 
D) quando t = 5760, haverá metade do número inicial. 
45. (MM) Seja a e (O; 1 ) . A quantidade de soluções inteiras 
de a2' - (a + a2) · a' + a3 < O é : 
A) O B) 1 
C)2 0)3 
E) Mais que 3. 
46. (MM) Para quantos números reais x temos 2' + 3' - 4' + 6' - 9' = 1? 
A) O B) 1 
C)2 0)3 
E) Mais que 3. 
47. (MM) O número de soluções inteiras da equação 32, - 52y = 104 é: 
A) O B) 1 
C)2 0)3 
E) Mais que 3 . 
48. (MM) Para qual número natural k a função ~ atinge seu 
valor máximo? 1,002 
A) 1000 B) 1001 
C) 1002 D) 1003 
E) N.D.A. 
. 6 / 2(x- 2) 
49. Odomín1odafunçãof(x)= \/4' +8 3 -52-it•-1> é: 
A) (O; 1) B) [3; + oo) 
C) [2; + oo) D) (- oo; 1) 
E) N.D.A . 
50. (MM) Considere a função f tal que para todo x natural 
tem-se f(x + 1) = 3f(x) + 2•. Se f(1) = 1, então mostre que 
f(x+ 1) = 2f(x) + 3' . 
( r:::; )'
2 -4x+3 ( r:::; )' '-4 « 3 51. Se 7 -4v3 + 7+4v3 = 14, então,ovalordex 
pode ser: 
A) 2 B) 3- Ji 
C) 3+J2 D) 4 
E) N.D.A. 
52. Se 2• . x2 + 4•+·1 • x + 8 > O 
afirmar que: 
A) a :s; 2 
3 
1 
C) a< 3 
E) a> 1 
para todo x real , então, podemos 
1 
B) a ;;::. -
3 
D) a < O 
··==----------=================== • • ITA/IME 
MATEMÁTICA 1 
Volume 2 
• • !==================================================================================• 
53. Se a é um número real ta l que 5y2 + 2y- a= O tem raiz dupla, 
então, quantas raízes reais possui 52•• 1 + 2 . 5' - a = O? 
A) O B) 1 
C) 2 D) 3 
E) Mais de 3. 
a"+ a-• 
54. (MM) Dada a função f(x) ::--, a> 2. Então, f(x + y) + 
f(x - y) é igual a: 2 
A) 2f(x)f(y) B) f(x)f(y) 
e) f ( x) D) f(x) + f(y) 
f(y) 
E) N.D.A. 
55. Para quantos valores inteiros de x;?: 2 ocorre ( x -2)''-• ~ ( x -2}12? 
A) O B) 1 
C) 2 D) 3 
E) Mais que 3. 
56. Resolva a equação 21 + Jcos X - 1 o . 2-1 + 2"" X + 22 +cOS X - 1 = O, 
sendo O ~ x < 27c. 
57. A soma de todos os números positivos x tais que x' .r,, = (xJ'x.)' 
é igual a: 
A) 1 
C) 13/4 
E) N.D.A. 
B) 9/4 
D) 17/4 
58. O domínio de definição da função y(x) dada pela equação 
2' + 2Y = 2 é: 
A) O< X :S 1 
C) (- oo; O] 
E) (- oo; 1] 
B) O~ x :S 1 
O) (-oo; 1) 
, _, (e1002_ 1) 
59. (MM)Sejaf(x) = ~ef(g(x))=x,então,ovalorde9 ~ 
é igual a: 2 e 
A) 500 B) 501 
C) 1001 D) 1002 
E) 2004 
60. (MM) Seja f(x) = senhx = e' - e-• definida em IR.. Se g for a 
2 
função inversa de f , o valor de e'{i) será : 
A)~ 
3 
B) e3 
C)~ 
5 
4 
O) e5 
E) N.D.A. 
61. O número de soluções reais da equação(.?.)' = - x2 + 2x - 3 é 
igual a: 7 
A)O 
8) 1 
()2 
0)3 
E) N.D.A. 
62. O número de soluções da equação 5' + 5-• = log2 5, x e IR, é: 
A)O 
B) 1 
()2 
0)3 
63. Resolvendo o sistema de equações em x e y 
16' ( Í J -3 · 2•+v - 8 · 3•-v + 24 = O , encontramos !x + y!: 
xy = 2 
A) sempre igual a 1. 
8) sempre igual a 3. 
C) assumindo vários valores. 
D) sem valor, pois o sistema não possui solução. 
E) N.D.A. 
64. Prove que, para todos os números reais x, tem-se: 
2' + 3' - 4' + 6' - 9' ~ 1. 
, 2 - 1s x2- 1s 
65. As raízes da :quação (P + .[q) + (P - .fq) = 2p , sendo 
p2 - q = 1, sao: 
-'?-) ±2, ±-J3 
B) ±4, ±M 
C) ±3, ± .Js 
D) ±6, ±Jfü 
E) N.D.A. 
66. Resolva em R a equação 3' + 4' + 12" = 13'. 
67. O número de soluções reais de 2' + 2•- 1 + 2•- 2 = 5' + 5, - 1 + 5•- 2 
é igual a: 
A) 1 B) 2 
C) 3 D) 4 
E) N.D.A. 
68. O número de soluções reais da equação (.?.)' = - x2 + 2x - 3 
é iguala: 7 
A) O B) 1 
C) 2 D) 3 
E) mais que 3. 
69. Sejam a e b a menor e a maior raiz da equação 
21 +1 cou _ 10 . 2-1+ 2'"'' + 22+'"'' -1 =0, sendo0 s; x< 2n . 
O valor de ~ é: 
A) 2 a 
B) 3 
C)S 
O) Não é possível de calcu lar. 
E) N.D.A. 
70. A menor solução positiva da equação 
( )
sen2x ser,(2x) 
5 . 215 + 4. 5cos(2x) = 25 _ 2_ é: 
A) 2: B) ~ 
6 4 
C) 2: 
3 
E) N.O.A. 
D)~ 
2 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • =====================------------== 
ITA/IME • • 
• 
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• • • • • • • 1. 1. 
1 • • • • • • • • • • • • • 
71. O número de soluções inteiras positivas (x, y) da equação 
xY - y' + xY + y" = 5329 é: 
A) O B) 2 
C)4 D)8 
E) N.D.A. 
72. Encontre o número de soluções inteiras (x, y) da equação 
xzyl = 6 12_ 
73. Asomadasraizesreaisdaequação32' 2 - 6' .. 3 +6'2- 3• • 1 = 22•2- 6 ' '"3 é: 
A) 3 B) -3 
C) 1+.J3 D) O 
E) N.D.A. 
74. As soluções da equação 
(-n +1r + (-n-1)' = -n[1 - (-n - 1r]+2,estão no intervalo: 
A) (- 1, O] B) (O, 2) 
C) [- 1, 1) D) (1, 2] 
E) (-2, -1) 
75. Um acidente de carro foi presenciado por 1 /65 da população 
de Votuporanga (SP). O número de pessoas que soube do 
acontecimento t hoas após é dado por f(t) = 8 - kt , sendo 
l+Ce 
B a população da cidade. Sabendo-se que 1/9 da população 
soube do acidente 3 horas após, então o tempo que passou 
até que 1/5 da população soubesse da not ícia foi de: 
A) 4 horas . 
B) 5 horas . 
C) 6 horas. 
D) 5 horas e 24 minutos. 
E) 5 horas e 30 minutos. 
76. Seja a um número real com a > 1. Resolva a equação em 
~ a' 
X a• · X + - = 2a . 
X 
77. Quantas soluções reais x poss ui a equação 
2(2' -1)x2 + (2' 2 - 2)x = 2 ... 1 - 2 ? 
A) O B) 1 
C) 2 D) 3 
E) mais de 3 
3, 1 + -
78. O valor real de x que resolve a equação ---f = 2 é tal que: 
A) - l~x~-1/4 3'-3, 
B) - 1/4 <X~ 0 
C)O<x~ ¼ 
D)¼ <X~½ 
E) ½ <X ~ 3/2 
79. Quantos inteiros pos itivos n satisfazem as inequações 
2n - l < 5n-3 < 3"? 
A)O 
B) 1 
C)2 
D)3 
E) mais de 3 
• ITA/IME • 
MATEMÁTICA 1 
Volume 2 
80. Sejam f(x) = 1 O'º', g(x) = log10 (,~), h 1 (x) = g(f(x)) 
e h " (x) = h1 (hn_1(x)) para inteiros n ~ 2. Qual é a soma dos 
dígitos de h2015'1)? 
A) 16.081 
C) 18.134 
E) N.D.A.B) 16. 121 
D) 18. 135 
81. Seja D= {xe R/x"# logn21t , n=1,2,3 .. . -} . Com respeito à 
f (X)= sen (3e' ) cos(3e' ) função f : D --+ R definida por 
sen(e') cos{e") 
podemos af irmar que: 
A) f(x) = 2, Vx e D. 
B) f(x) = 3, Vx E 0 . 
C) f(x) = e3, Vx e D. 
D) f(x) não é constante em D. 
E) N.D.A. 
82. As soluções da equação (F2+1)' +(víi - 1)' =víi[1-(J2 -1r]+2, 
estão no intervalo: 
A)(- 1, O) B) (O, 2) 
C)[-1, 1] D) (1,2] 
E) [-2, - 1] 
X 
83. O conjunto das soluções reais da inequação [(3.)' ]2 ~ ~ é: 
A)[1/2, oo] 3 9 
B) (-2,2) 
C) [4/9, oo] 
D) [2, 3] 
E) N.D.A. 
84. Considere a função f tal que para todo x real tem-se f(x + 2) 
= 3f(x) + 2' . Se f(- 3) = J.. e f(- 1) = a, então o valor de a2 é 
4 
A) 25 
36 
B) 36 
49 
C) 64 
100 
D)~ 
81 
E) 49 
64 
85. Para quantos valores inteiros de x ~ 2 ocorre (x - 2)" -' ~ 
(x-2)12 ? 
A) O B) 1 
C)2 D)3 
E) mais que 3 
86. Considere a hinção real f definida por f(x) = a• com a e (O; 1). 
Sobre a função rea l g definida por g(x) = I-b - f(x)I com 
b e (-<x:>; - 1 ), é correto afirmar que 
A) possui raiz negativa e igual a log.(-b) . 
B) é crescente em todo o seu domínio. 
C) possui valor máximo . 
D) é injetora. 
E) N.D.A 
MATEMÁTICA 1 
Volume 2 
Logaritmo 
Tópicos teóricos 
Definição 
Se a é um número real positivo e diferente de 1 (a > O e a e# 1) 
e b > O é um número real, então: 
a• = b => x = log.b 
Convenções 
log.b = Pnb e log10b = log b. 
Consequências da definição 
1. log. 1 = O 
li. log. a= 1 
Ili. a1og.b = b 
IV. log.b = log.c => b = c 
Propriedades 
1. log. b + log. c = log. bc 
11. log. b - log. c = log. (~) 
Ili. log. b·• = o.log.b 
1 
IV. log ... b = - log. b 
y- Quantos dígitos tem 505º, dado que log 2 = 0,301 O? 
1 
06. Calcule: r f\_fb • A 21og3 s _ 5,093 2 .J \J 
' (3}3~ - 2.Jõi0 
Jf (UnB) Julgue os itens abaixo. 
jÓ 1092 32 , 'ººª 3 = [1092 3]2 
./._, log3(x + y) = log3x · log3y 
~ log2 1~' = X 
pi 10910 2 = -JOg10 2 
,Pá. Julgue b1og..< = C1ºYab . 
~ (AFA) A soma das raízes da equação: 
e2 '"' (1og5) - 6x(log5) - log32 = -5, onde e= 2,7, é: 
A)3 
B) 4 
C)5 
@xs 
JJ' (AFA) O logaritmo de um número, numa certa base, é 3 e o 
logaritmo desse mesmo número, numa base igual ao dobro 
da anterior, é 2. Então, o número vale: 
~ 64 
B) 65 
C) 75 
D)76 
~ J.uj,lue: 
Y' log25 = 2(1 - a), se log2 = a 
• •• 
• • • • • • • • • • • • • • • • • ª lo b 
V. (mudança de base) log. b = ~ 
log,,a 81 a+3 • / . log3 18 = - 2-, se log3 2 = a • _,0'Íog49 16 = 2(ª - l), se 10914 28 = a rr.:-<.:" GAlb 7 a- 2 • 
~ R~solva a e~ ação 511ogXl - 31109•) - 1 = 3oogxl • 1 - 5(log,1 - 1. 
Exercícios de Fixação 
o.{ A corrente que atravessa um circuito é dada por i = i0e-0,21, onde i,J\.e,-.1 . · , L- • 
/ i0 é o valor da corrente no instante t = O e l é o valor da corrente 1 ;(' Calcule 10927560, se 109125 = a e log 12 11 = b. • 
decorridos t segundos. Determine em quantos segundos a 7 · 
corrente atinge 2% do seu valor inicial. 14-((IME/2012) Se 109102 = x e log 103 = y, então, log518 vale: • 
Dado: f n 0,02 = -4. / ' d,. 
~ X+ 2y f (MM) Mostr
1
e que se a e b são positivos e diferentes de 1, então, 1 - x • 
8) X +y 
log, b=--. 1- X • 
logba 
n/ (a+b)2 - C) 2x +y • 
7J, Sendo a2 + b2 = 70ab, ca lcule log5 - - em funçao de 1 + x 
m = log52 e n = log53. ab x + 2y • 
D) -y- 1+x O . Suponha p e q números reais positivos parpa os quais 
E) 3x +2y • log 4 p = log6 q = log9 (p + q). Qual é o valor de q ? 1 _ x 
2 B) 9 ~ (IME/2012) Os números reais positivos x1, x2 e x3 são ,raízes • A) 3 4 ~ 
r;: da equação x3 - ax2 = ab - ~ x , sendo b e 1N (natural), a e m • 
C) i D) ~ 2 
2 2 (rea l) e a *- 1. Determine, em função de a e b, o valor de • 
~EI D A x1+x2+x2 )b v ·· · · log. (x1x2x3 (x1 + x2 + x3 ) ' 2 i • 
~========================================---~-----e:=:===· 
ITA/ IME • • 
• • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 1: 
• • • • • • 
Exercícios Propostos 
01. (AFA) Sabendo-se que log2 = 0,3, o valor da expressão 
log32+1ogv'256 é igual a: 
logS 
A) 3,5 
C) 3,7 
B) 3,6 
D) 3,8 
02. (AFA) Seja o número real k a solução da equação V41o-x = _!_ , 
O logaritmo de k na base Ji é: 16 
A)2 
B) 4 
C)8 
D) 16 
03. 1. Se k = (log3 14>(1og¾ 3 )(1094 f} então, 1 < k < 2; 
li. Se log2(J6° - 2) = k, então, log2(J6° +2) = 1-k; 
1 
Ili. Se k1º92' < - 1- , 1 * k > O, então, um possível valor de k 
log2 k 
é !3. 
Em relação às afirmações acima, podemos garantir que : 
.A) todas são verdadeiras. 
B) todas são falsas. 
C) somente I e li são verdadeiras. 
D) somente I e Ili são verdadeiras. 
E) somente li e Ili são verdadeiras . 
04. A) Mostre que, se três números positi'vos estão em progressão 
geométrica, então, seus logaritmos de base a, na ordem 
correspondente, estão em progressão aritmética . 
B) No exercício anterior, se q é a razão da PG e r é a razão da 
PA, qual é a relação entre esses números? 
05. Sendo log(a - b) =me log(.Jã - ..Jb) = n, calcule log(.Jã +..Jb) . 
1024 
06. Se [x] é o maior inteiro menor que ou igual a x, então, I, [ log2 n] 
é igual a: n~ 
A)8192 
B) 8204 
C) 9218 
D) [log/ 1024)!] 
E) N.D.A. 
07. Seja a equação log 2x + a log,2 = 2 . 
A) Para quais valores de a ela admite solução real em x? 
B) Determine o valor de a ex. para que ela admita uma única 
solução em x. 
08. Calcule log(tg 1 º) + log(tg 2°) + log(tg 3º) + ... + log(tg 89º). 
A)O 1 (fj) B) 2Iog 2 
1 
C) - log2 
2 
D) 1 
E) N.D.A. 
• ITA/IME • 
MATEMÁTICA 1 
Volume 2 
09. Uma quantia de R$100000,00 é aplicada num banco 
suíço e remunerada com juros de 8% ao ano (dado que 
log 1,08 = 0,0334). Obtenha a fórmula que dá o montante da 
aplicação após n anos . 
10. Julgue, sendo a, b, n > O e a, b, n * 1: 
A) 1 log. n · logb n og.b n = ---=-'-----=-'--
log. n + logb n 
11. Sejam a e b as raízes da equação x2 - px + sm = O, p > O, B > O, 
B * 1. Calcule o valor de log8aª + log8ab + log8bª + log8bb_ 
. _ Pny -fna 
12. Seia y = ae"", a > O ex e IR. Mostre que x = ~--
a 
1 
13. Se log 7(Iog3(1og2x)) = O, então, x 2 é igual a: 
A) 2 B) _l_ 
3 2/j 
C) _l_ D) _ ,_ 
3/j ..J42. 
E) N.D.A . 
14. O produto de todas as raízes reais da equação x10910 • = 1 O é: 
A) 1 
B) - 1 
C) 10 
D) 10-1 
E) N.D.A. --
15. Resolva a equação log, 2 + log2 x = ~ . 
2 
16. (Espanha) Demonstre que log}l · logbc · logcd · logda =. 1. 
17. Julgue: 
Se a e b são as medidas dos catetos de um triângulo retângulo 
e e, a medida da hipotenusa, então, logc. ba + locc _ ba = 
2 logc. ba · log,- ha . 
18. Julgue: Se y = log.N logbN + logbN logcN + log,N log.N, então, 
y = log.N · logbN . log,N . logNabc. 
19. Suponha que p e q sejam números positivos para os quais 
log9(p) = log 12(q) = log 16(p + q). Qual é o valor de .9.? 
A) i B) 1+f3 p 
3 2 
C) ~ D) l+,JS 
5 2 
E} _!_§_ 
9 
20. Se x, y > O, logy x + log, y = ~ e xy = 144, então, x + Y é igual 
3 2 a: 
A) 12Ji 
B) 13Jj 
C)24 
D)30 
E) 36 
MATEMÁTICA 1 
Volume 2 
21. Se log2(1og2(1og2 x)) = 2, então, quantos dígitos tem o número 
x na base 10? 
A) 5 
B) 7 
()9 
D) 11 
E) 13 
22. Ju lgue: 
Há mais de 4 valores inteiros positivos de b para os quais logb729 
é um inteiro positivo. 
23. As raízes da equação ax2 - acx + b = O existem e são iguais a 
alog,a e blog,b. Mostre, então, que a• · b" = c' . 
24. As raízes da equação x2 - sx + p = O são Ioga e logb e as ra lzes 
da equação x2 - 2Sx + P = O são log(ab) e log ( ~} Nessas 
condições, calcu le p e P em função de s e S. 
25. Mostre que, se logba, log,b, log.c estão, nessa ordem, em PG, 
então, b = e. 
26. As raízes da equação x2 + bx + c = O existem e são iguais a Pnb 
e _1 _ _ Mostre que b = c'. 
fnc 
27. Se log.x, logbx, log,x, com x ,,,. 1, estão, nessa ordem, em 
progressão aritmética, mostre que log.b + log,b = 2. 
28. Se log.b = log 0c e log.c = logcx, com x "* 1, mostre que 
(log,b)4 = (log,a)3. 
29. Se log/ = a, log75 = b e log54 = c, calcule log312 em termos 
de a, b e e. 
A) ª + b B) abc + 1 
ac 
C) a+b+c 
abc 
E) 2abc + 1 
D) abc + 2 
3 
30. O conjunto dos x satisf azend0 a equação x1"9' = _x_