Simulado Matematica 3

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SIMULADO DE MATEMÁTICA IME-03 
Professor Marcos José Pio 
 
01) Sejam ,a ,b e c as raízes positivas de 
014 23 =−+− xxx . Sabendo que: 
α=++
c
c
b
b
a
a 222
, 
β=++ 2
2
2
2
2
2
c
c
b
b
a
a
 
χ=++ 3
2
3
2
3
2
c
c
b
b
a
a
 
Calcule 222 cba ++ . 
 
02)(IME-84) Sejam � o lado de um polígono regular de n 
lados, r e R , respectivamente os raios dos círculos inscrito e 
circunscrito a este polígono. 
Prove que: 
2
cot
2
pi
�
=+ Rr . 
 
03) Uma reta intercepta os lados de um quadrilátero ABCD 
(ou seus prolongamentos) nos pontos M , sobre AB , N , 
sobre BC , P , sobre CD e Q , sobre DA . Provar que: 
1=×××
QA
QD
PD
PC
NC
NB
MB
MA
 
 
04) Sabe-se que os números x1, x2, ..., xn formam uma PA de 
razão e, e que g(x1), g(x2), ..., g(xn) formam uma PG de razão 2. 
Sendo g(x) = af(x), a > 1, e f(x) = kx + b, k ≠ 0. Calcule r para 
que a = 10 e k=log 2. 
 
05)(IME-84) Dá-se um quadrado de vértices A, B, C e D e seu 
centro O. Mostre que os incentros dos triângulos, cujos vértices 
são cada três pontos não colineares deste conjunto de cinco 
pontos, são vértices de um polígono regular convexo e calcule, 
em função do lado 
�
 do quadrado, o raio do circulo no qual está 
inscrito o polígono. 
 
06) Dado um triângulo retângulo ABC de lados aBC = 
cAB = e bAC = , mostre que a soma dos quadrados dos 
lados do triângulo formado pelos ex-incentros E , F e G do 
triângulo ABC é igual a )(4 apa + . 
 
07) Sendo C∈Z e Z o conjugado de Z , determine o L.G. 
dos pontos do plano complexo tais 
que: 000 =+⋅−⋅−⋅ kZZZZZZ 
08)(IME-84) Dá-se um quadrilátero convexo inscritível em um 
círculo, cujos lados são cordas deste círculo e de comprimentos 
a , b , c e d . 
1) Calcule, em função de a , b , c e d os comprimentos das 
diagonais x e y . 
2) Permutando a ordem de sucessão das cordas, deduza, com 
auxílio de, figuras, se as diagonais dos novos quadriláteros 
obtidos têm comprimentos diferentes de x e y . 
3) Sabendo-se que a área de um quadrilátero inscritível é 
))()()(( dpcpbpapS −−−−= e supondo que o 
quadrilátero também é circunscritível, mostre que a formula de 
sua área reduz-se a abcdS = . 
 
09) Num triângulo ABC , retângulo em A e de altura AH , o 
ponto I é o centro do círculo tangente à AH , à BH e 
internamente ao arco AB e o ponto J é o centro do circulo 
tangente à AH , à CH e internamente ao arco AC . Pede-se: 
a) mostrar que os raios dos dois círculos podem ser medidos por 
CHCA − e BHBA − ; 
b) provar que o ponto médio de IJ é o incentro do triangulo 
ABC . 
 
10) Seja α2)3( iA += , onde α é um numero real inteiro e 
positivo. Sendo A um número real, calcule o valor de α para 
que as raízes da equação 0)3()( 22 =+++ yixiα sejam 
também reais.