Matemática_Polígonos_e_Polígonos_Regulares_Aprovação_Virtual

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Polígonos e Polígonos Regulares 
Nível 1 
1. Considere o logotipo da Famema. 
 
Admita que esse logotipo seja feito a partir da figura a seguir, sendo r e s retas paralelas, assim como as retas t 
e u. 
Se 380 ,α β γ    então α é igual a 
a) 140 
b) 110 
c) 130 
d) 120 
e) 100 
 
2. Três pentágonos regulares congruentes e quatro quadrados são unidos pelos lados conforme ilustra a figura 
a seguir. 
 
Acrescentam-se outros pentágonos e quadrados, alternadamente adjacentes, até se completar 
 
 
 
 
 
 
o polígono regular ABCDEFGH A, que possui dois eixos de simetria indicados pelas retas r e s. 
 
Se as retas perpendiculares r e s são mediatrizes dos lados AB e FG, o número de lados do 
polígono ABCDEFGH A é igual a: 
a) 18 
b) 20 
c) 24 
d) 30 
 
3. A fabricação da Bandeira Nacional deve obedecer ao descrito na Lei n. 5.700, de 1º de setembro de 1971, 
que trata dos Símbolos Nacionais. No artigo que se refere às dimensões da Bandeira, observa-se: 
 
"Para cálculos das dimensões, será tomada por base a largura, dividindo-a em 14 (quatorze) partes iguais, 
sendo que cada uma das partes será considerada uma medida ou módulo (M). Os demais requisitos 
dimensionais seguem o critério abaixo: 
 
I. Comprimento será de vinte módulos (20 M); 
II. A distância dos vértices do losango amarelo ao quadro externo será de um módulo e sete décimos (1,7 M); 
III. O raio do círculo azul no meio do losango amarelo será de três módulos e meio (3,5 M)." 
 
BRASIL, Lei n. 5.700, de 1º de setembro de 1971. 
Disponível em: www.planalto.gov.br. Acesso em: 15 set. 2015. 
 
A figura indica as cores da bandeira do Brasil e localiza o quadro externo a que se refere a Lei n. 5.700. 
 
Um torcedor, preparando-se para a Copa do Mundo e dispondo de cortes de tecidos verde (180 cm 150 cm) e 
amarelo (o quanto baste), deseja confeccionar a maior Bandeira Nacional possível a partir das medidas do 
tecido verde. 
Qual a medida, em centímetro, do lado do menor quadrado de tecido azul que deverá ser comprado para 
confecção do círculo da bandeira desejada? 
a) 27 
b) 32 
c) 53 
d) 63 
e) 90 
 
 
 
 
 
 
4. Os raios das circunferências, inscrita e circunscrita, ao triângulo equilátero cujo lado mede a, são, 
respectivamente, 
a) 
a
3
 e 
2a
3
 b) 
a
2
 e a c) 
a 2
2
 e a 2 d) 
a 3
6
 e 
a 3
3
 e) 
a 3
2
 e a 3 
 
5. Os quatro hexágonos da imagem a seguir são regulares e cada um tem área de 272 cm . 
Os vértices do quadrilátero ABCD coincidem com vértices dos hexágonos. Os pontos E, D, B e F são 
colineares. 
 
A área do quadrilátero ABCD, em 2cm , é 
a) 8. 
b) 10. 
c) 16 
d) 24. 
e) 36. 
6. Os quatro hexágonos da imagem a seguir são regulares e cada um tem área de 248 cm . 
Os vértices do quadrilátero ABCD coincidem com vértices dos hexágonos. Os pontos E, D, B e F são 
colineares. 
 
A área do quadrilátero ABCD, em 2cm , é 
a) 8. 
b) 10. 
c) 16 
d) 24. 
e) 36. 
7. Física 
 
Colho esta luz solar à minha volta, 
No meu prisma a disperso e recomponho: 
 
 
 
 
 
 
Rumor de sete cores, silêncio branco. 
 
Na imagem a seguir, o triângulo ABC representa uma seção plana paralela à base de um prisma reto. As retas n 
e n' são perpendiculares aos lados AC e AB, respectivamente, e BÂC 80 .  
 
A medida do ângulo θ entre n e n' é: 
a) 90 
b) 100 
c) 110 
d) 120 
8. Considere um hexágono regular com centro no ponto O, cuja medida do lado é igual a 2 m. Se U e V são 
dois vértices consecutivos desse hexágono, e se a bissetriz do ângulo OÛV intercepta o segmento OV no 
ponto W, então, a medida em metros do perímetro do triângulo UVW é 
a) (3 5). 
b) (2 5). 
c) (3 3). 
d) (2 3). 
9. No triângulo equilátero ABC, H corresponde ao ponto médio do lado AC. Desse modo, a área do triângulo 
ABH é igual à metade da área de ABC. 
 
Sendo W o perímetro do triângulo ABH e Y o perímetro do triângulo ABC, uma relação correta entre W e Y 
é: 
a) 
Y
0 W
2
  b) 
Y
W
2
 c) 
Y
W Y
2
  d) W Y 
10. Uma bola de futebol é composta de 12 peças pentagonais e 20 peças hexagonais, com todas as arestas de 
mesmo comprimento. Suponha que, para o processo de costura de uma bola de futebol, sejam gastos 17 cm 
de linha para cada aresta da bola. 
Quantos metros de linha serão necessários para costurar inteiramente 16 bolas com as características 
descritas? 
 
 
 
 
 
 
a) 153 m b) 15,3 m c) 24,48 m d) 244,8 m e) 306 m 
 11. Ao somar o número de diagonais e o número de lados de um dodecágono obtém-se 
a) 66 
b) 56 
c) 44 
d) 42 
12. Seis circunferências de raio 5 cm são tangentes entre si duas a duas e seus centros são vértices de um 
hexágono regular, conforme a figura abaixo. 
 
O comprimento de uma correia tensionada que envolve externamente as seis circunferências mede, em cm, 
a) 18 3 .π 
b) 30 10 .π 
c) 18 6 .π 
d) 60 10 .π 
e) 36 6 .π 
13. Se a partir de cada um dos vértices de um polígono convexo com n lados podemos traçar tantas diagonais 
quanto o total das diagonais de um hexágono convexo, então, o valor de n é 
a) 9. 
b) 10. 
c) 11. 
d) 12. 
14. As cordas AB e CD de uma circunferência de centro O são, respectivamente, lados de polígonos regulares 
de 6 e 10 lados inscritos nessa circunferência. Na mesma circunferência, as cordas AD e BC se intersectam 
no ponto P, conforme indica a figura a seguir. 
 
A medida do ângulo BPD, indicado na figura por , é igual a 
a) 120 . 
b) 124 . 
c) 128 . 
d) 130 . 
e) 132 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
15. Uma mesa de passar roupa possui pernas articuladas AB e CD, conforme indica a figura. Sabe-se que 
 AB CD 1m, e que M é ponto médio dos segmentos coplanares AB e CD. Quando a mesa está armada, o 
tampo fica paralelo ao plano do chão e a medida do ângulo ˆAMC é 60 . 
 
Considerando-se desprezíveis as medidas dos pés e da espessura do tampo e adotando 3 1,7, a altura do 
tampo dessa mesa armada em relação ao plano do chão, em centímetros, está entre 
a) 96 e 99. 
b) 84 e 87. 
c) 80 e 83. 
d) 92 e 95. 
e) 88 e 91. 
16. Um artista utilizou uma caixa cúbica transparente para a confecção de sua obra, que consistiu em construir 
um polígono IMNKPQ, no formato de um hexágono regular, disposto no interior da caixa. Os vértices desse 
polígono estão situados em pontos médios de arestas da caixa. Um esboço da sua obra pode ser visto na figura. 
 
Considerando as diagonais do hexágono, distintas de IK, quantas têm o mesmo comprimento de IK ? 
a) 1 
b) 2 
c) 4 
d) 8 
e) 9 
17. A razão entre as áreas de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência e a área de um hexágono 
regular cuja medida do apótema é 10 m circunscrito à mesma circunferência é 
a) 
3
.
8
 b) 
5
.
8
 
c) 
3
.
7
 d) 
5
.
7
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18. Um gesseiro que trabalhava na reforma de uma casa lidava com placas de gesso com formato de 
pentágono regular quando percebeu que uma peça estava quebrada, faltando uma parte triangular, conforme 
mostra a figura. 
 
Para recompor a peça, ele precisou refazer a parte triangular que faltava e, para isso, anotou as medidas dos 
ângulos ˆ ˆx EAD, y EDA  e ˆz AED do triângulo ADE. 
As medidas x, y e z, em graus, desses ângulos são, respectivamente, 
a) 18,18 e 108. b) 24, 48 e 108. c) 36, 36 e 108. d) 54, 54 e 72. e) 60, 60 e 60. 
19. Dois pontos A e E estão situados na margem esquerda de um rio, a uma distância de 40 m um do outro. 
Um ponto C, no qual está ancorado um bote, está situado na margem direita, de tal modo que os ângulos 
CAE e CEAmedem 60°. 
Considerando as margens praticamente retas e paralelas, qual e, em metros, a largura aproximada do rio no 
local em que está o bote? Para efeitos de cálculo utilize: 3 1,7. 
a) 17 
b) 34 
c) 45 
d) 68 
e) 80 
20. A área de um triângulo equilátero cujo apótema mede 2cm é igual a: 
a) 23 cm 
b) 29 3 cm 
c) 24 3 cm 
d) 216 3 cm 
e) 24 2 cm 
21. Na figura, ABCDEF é um hexágono regular de lado 1 dm, e Q é o centro da circunferência inscrita a ele. 
 
 
 
 
 
 
 
O perímetro do polígono AQCEF, em dm, é igual a 
a) 4 2 
b) 4 3 
c) 6 
d) 4 5 
e) 2(2 2) 
22. Em um sistema de dutos, três canos iguais, de raio externo 30 cm, são soldados entre si e colocados dentro 
de um cano de raio maior, de medida R. Para posteriormente ter fácil manutenção, é necessário haver uma 
distância de 10cm entre os canos soldados e o cano de raio maior. Essa distância é garantida por um espaçador 
de metal, conforme a figura: 
 
Utilize 1,7 como aproximação para 3. 
O valor de R, em centímetros, é igual a 
a) 64,0. 
b) 65,5. 
c) 74,0. 
d) 81,0. 
e) 91,0. 
23. Um hexágono regular tem lado de comprimento 1. A soma dos quadrados de todas as suas diagonais é 
a) 6. 
b) 12. 
c) 18. 
d) 24. 
e) 30. 
Nível 2 
1. Na figura abaixo ABCDEF é um hexágono regular de lado igual a 1, ABMN e CDVU são quadrados. 
 
 
 
 
 
 
 
Com base nessas informações, a medida do segmento VN é igual a 
a) 2 3. b) 
3
2 .
3
 c) 
3
1 .
3
 d) 3 1. e) 
3
.
3
 
2. Azulejo designa peça de cerâmica vitrificada e/ou esmaltada usada, sobretudo, no revestimento de 
paredes. A origem das técnicas de fabricação de azulejos é oriental, mas sua expansão pela Europa traz consigo 
uma diversificação de estilos, padrões e usos, que podem ser decorativos, utilitários e arquitetônicos. 
 
Disponível em: www.itaucultural.org.br. Acesso em: 31 jul. 2012. 
Azulejos no formato de octógonos regulares serão utilizados para cobrir um painel retangular conforme 
ilustrado na figura. 
 
Entre os octógonos e na borda lateral dessa área, será necessária a colocação de 15 azulejos de outros formatos 
para preencher os 15 espaços em branco do painel. Uma loja oferece azulejos nos seguintes formatos: 
 
1 – Triângulo retângulo isósceles; 
2 – Triângulo equilátero; 
3 – Quadrado. 
 
Os azulejos necessários para o devido preenchimento das áreas em branco desse painel são os de formato 
a) 1. 
b) 3. 
c) 1 e 2. 
d) 1 e 3. 
e) 2 e 3. 
3. Um hexágono regular está inscrito em um círculo de raio R. São sorteados 3 vértices distintos do 
hexágono, a saber: A, B e C. Seja r o raio do círculo inscrito ao triângulo ABC. Qual a probabilidade de que 
R
r ?
2
 
a) 0 
 
 
 
 
 
 
b) 1 10 
c) 3 5 
d) 1 20 
e) 1 6 
4. Considere MXYZW um pentágono regular e XYO um triângulo equilátero em seu interior (o vértice O está 
no interior do pentágono). Nessas condições, a medida, em graus, do ângulo ˆXOZ é 
a) 116. 
b) 96. 
c) 126. 
d) 106. 
 
 
5. A área de um hexágono regular inscrito em um círculo de 6 cm de raio é _____ 23 cm . 
a) 6 
b) 9 
c) 12 
d) 15 
6. Observando-se o desenho a seguir, no qual o círculo tem raio r, e calculando-se o apótema 4a , obtemos 
 
a) 2r 2 
b) 3r 2 
c) 
3r
2
2
 
d) 
r
2
2
 
e) r 2 
 7. Seja ABCD um paralelogramo e AP, BQ, CR e DS segmentos contidos em retas paralelas entre si, 
localizados do mesmo lado do plano que contém o paralelogramo ABCD. Sabe-se que 
AP 10, BQ 8, CR 18, DS 22,    T é ponto de intersecção entre AC e BD, e que M e N são, 
respectivamente, pontos médios de PR e QS, como mostra a figura. 
 
 
 
 
 
 
 
Nas condições dadas, a medida MN é igual a 
a) 1. 
b) 1,5. 
c) 2. 
d) 2,5. 
e) 3. 
 
8. Prolongando-se os lados de um octógono convexo ABCDEFGH, obtém-se um polígono estrelado, conforme 
a figura. 
 
A soma 1 8α α  vale 
a) 180 . 
b) 360 . 
c) 540 . 
d) 720 . 
e) 900 . 
9. No quadrilátero XYZW as medidas dos ângulos internos Z e W são respectivamente 128 graus e 76 
graus. Se as bissetrizes dos ângulos internos X e Y cortam-se no ponto O, pode-se afirmar corretamente que 
a medida do ângulo ˆXOY é igual a 
a) 156 graus. 
b) 78 graus. 
c) 204 graus. 
d) 102 graus. 
10. A melhor maneira de alocarmos pontos igualmente espaçados em um círculo é escrevê-los nos vértices de 
polígonos regulares, conforme a figura a seguir exemplifica com 6 pontos. 
 
 
 
 
 
 
 
Para alocarmos 36 pontos igualmente espaçados em um círculo de raio 1, a distância mínima entre eles deve 
ser aproximadamente 
Use sen (5 ) 0,08  
a) 0,12 
b) 0,11 
c) 0,16 
d) 0,14 
e) 0,19 
11. Seja um heptágono regular de lado cuja menor diagonal vale d. O valor da maior diagonal satisfaz a 
qual das expressões? 
a) 
d
d


 b) 
2d
d 
 c) 
d
d


 d) 
2
d 
 e) 
3 d
2

 
 12. A figura indica um hexágono regular ABCDEF, de área 1S , e um hexágono regular GHIJKL, de vértices 
nos pontos médios dos apótemas do hexágono ABCDEF e área 2S . 
 
Nas condições descritas, 2
1
S
S
 é igual a 
a) 
3
4
 
b) 
8
25
 
c) 
7
25
 
d) 
1
5
 
e) 
3
16
 
13. A figura a seguir é um pentágono regular de lado 2 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
Os triângulos DBC e BCP são semelhantes. 
A medida de AC, uma das diagonais do pentágono regular, em cm, é igual a 
a) 1 5 
b) 1 5  
c) 
5
2
2
 
d) 2 5 1 
 
14. As Artes Marciais Mistas, tradução do inglês: MMA – mixed martial arts são realizadas num octógono 
regular. De acordo com a figura, em certo momento os dois lutadores estão respectivamente nas posições G e 
F, e o juiz está na posição I. O triângulo IGH é equilátero e ˆGIF é o ângulo formado pelas semirretas com 
origem na posição do juiz, respectivamente passando pelas posições de cada um dos lutadores. 
 
A medida do ângulo ˆGIF é 
a) 120 
b) 75 
c) 67,5 
d) 60 
e) 52,5 
15. Considere um pentágono regular ABCDE de lado 1. Tomando os pontos médios de seus lados, constrói-
se um pentágono FGHIJ, como na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
A medida do lado do pentágono FGHIJ é 
a) sen 36 . 
b) cos 36 . 
c) 
sen 36
.
2

 
d) 
cos 36
.
2

 
e) 2 cos 36 . 
 
 
16. A manchete demonstra que o transporte de grandes cargas representa cada vez mais preocupação quando 
feito em vias urbanas. 
 
Caminhão entala em viaduto no Centro 
 
Um caminhão de grande porte entalou embaixo do viaduto no cruzamento das avenidas Borges de Medeiros e 
Loureiro da Silva no sentido Centro-Bairro, próximo à Ponte de Pedra, na capital. Esse veículo vinha de São 
Paulo para Porto Alegre e transportava três grandes tubos, conforme ilustrado na foto. 
 
Considere que o raio externo de cada cano da imagem seja 0,60 m e que eles estejam em cima de uma 
carroceria cuja parte superior está a 1,30 m do solo. O desenho representa a vista traseira do empilhamento 
dos canos. 
 
 
 
 
 
 
 
A margem de segurança recomendada para que um veículo passe sob um viaduto é que a altura total do 
veículo com a carga seja, no mínimo, 0,50 m menor do que a altura do vão do viaduto. 
Considere 1,7 como aproximação para 3. 
Qual deveria ser a altura mínima do viaduto, em metro, para que esse caminhão pudesse passar com segurança 
sob seu vão? 
a) 2,82 
b) 3,52 
c) 3,70 
d) 4,02 
e) 4,20 
17. O dobro da área do triângulo equilátero inscrito em uma circunferência de equação 
2 2x y 6x 2y 6 0,     representada no sistema de coordenadas cartesianas, é igual a: 
a) 6 3. b) 12 3. c) 18 3. d) 24 3. e) 30 3. 
 
18. Seja PQRSum trapézio isósceles cujas bases menor e maior são respectivamente os segmentos PQ e SR. 
Se M e N são respectivamente as projeções ortogonais de P e Q sobre SR e se a razão entre as medidas de 
SR e PQ é igual a três, então, pode-se afirmar corretamente que a razão entre a área do trapézio e a área do 
quadrilátero PQNM é igual a 
a) 3,0. 
b) 1,5. 
c) 2,0. 
d) 2,5. 
19. A medida da área, em 2m , de um hexágono regular inscrito em uma circunferência com raio que mede 
2 m é 
a) 3 3. 
b) 3 2. 
c) 
3 3
.
2
 
d) 
3 2
.
2
 
20. Um desenhista foi interrompido durante a realização de um trabalho, e seu desenho ficou como na figura 
abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
Se o desenho estivesse completo, ele seria um polígono regular composto por triângulos equiláteros não 
sobrepostos, com dois de seus vértices sobre um círculo, e formando um ângulo de 40 , como indicado na 
figura. 
Quando a figura estiver completa, o número de triângulos equiláteros com dois de seus vértices sobre o círculo 
é 
a) 10. 
b) 12. 
c) 14. 
d) 16. 
e) 18. 
 
 
 
 
 
 
 
 
21. Um filtro de ar automotivo é fabricado dobrando-se uma folha retangular de papel filtro em formato de 
sanfona (uma dobra para cima e outra para baixo repetidamente) e, posteriormente, unindo-se duas laterais 
opostas dessa folha, de modo a formar uma superfície, conforme a representada na figura abaixo. 
 
 
 
Considere como "raio interno" a distância do centro do cilindro até as pontas interiores das dobras e "raio 
externo" a distância do centro até as pontas externas. 
 
 
 
 
 
 
Um filtro específico é fabricado "sanfonando" o papel 6 vezes (6 dobras para dentro e 6 dobras para fora), sem 
sobreposição das extremidades do papel que são unidas para formar a superfície da figura. Sabendo que esse 
filtro tem raio interno de 3 cm, raio externo de 6 cm, e altura de 10 cm, a área superficial desse filtro é de: 
a) 2360 5 2 3 cm 
b) 2360 5 3 cm 
c) 2720 3 cm 
d) 2720 2 cm 
e) 2360 13 2 3 cm 
22. Um marceneiro está construindo um material didático que corresponde ao encaixe de peças de madeira 
com 10 cm de altura e formas geométricas variadas, num bloco de madeira em que cada peça se posicione na 
perfuração com seu formato correspondente, conforme ilustra a figura. O bloco de madeira já possui três 
perfurações prontas de bases distintas: uma quadrada (Q), de lado 4 cm, uma retangular (R), com base 3 cm 
e altura 4 cm, e uma em forma de um triângulo equilátero (T), de lado 6,8 cm. Falta realizar uma perfuração 
de base circular (C). 
O marceneiro não quer que as outras peças caibam na perfuração circular e nem que a peça de base circular 
caiba nas demais perfurações e, para isso, escolherá o diâmetro do círculo que atenda a tais condições. 
Procurou em suas ferramentas uma serra copo (broca com formato circular) para perfurar a base em madeira, 
encontrando cinco exemplares, com diferentes medidas de diâmetros, como segue: (l) 3,8 cm; (II) 4,7 cm; (III) 
5,6 cm; (IV) 7,2 cm e (V) 9,4 cm. 
 
 
Considere 1,4 e 1,7 como aproximações para 2 e 3, respectivamente. 
Para que seja atingido o seu objetivo, qual dos exemplares de serra copo o marceneiro deverá escolher? 
a) I 
b) II 
c) III 
d) IV 
e) V 
23. O total de anagramas da palavra LÓGICA é exatamente igual à medida, em graus, da soma dos ângulos 
internos de um polígono regular. Considerando que a soma dos ângulos internos de um polígono é dada pela 
expressão S (n 2).  180 , onde n corresponde ao número de lados, pode-se afirmar que esse polígono é um: 
a) Triângulo. 
b) Quadrado. 
c) Pentágono. 
d) Hexágono. 
 
 
 
 
 
 
e) Heptágono. 
24. Tomando-se ao acaso uma das diagonais formadas pelos vértices de um octógono regular, a probabilidade 
de que a diagonal passe pelo centro do octógono é de: 
a) 50%. 
b) 40%. 
c) 20%. 
d) 0%. 
25. Para uma alimentação saudável, recomenda-se ingerir, em relação ao total de calorias diárias, 60% de 
carboidratos, 10% de proteínas e 30% de gorduras. Uma nutricionista, para melhorar a visualização dessas 
porcentagens, quer dispor esses dados em um polígono. Ela pode fazer isso em um triângulo equilátero, um 
losango, um pentágono regular, um hexágono regular ou um octógono regular, desde que o polígono seja 
dividido em regiões cujas áreas sejam proporcionais às porcentagens mencionadas. Ela desenhou as seguintes 
figuras: 
 
 
Entre esses polígonos, o único que satisfaz as condições necessárias para representar a ingestão correta de 
diferentes tipos de alimentos é o 
a) triângulo. 
b) losango. 
c) pentágono. 
d) hexágono. 
e) octógono. 
26. Se, em um polígono convexo, o número de lados n é um terço do número de diagonais, então o valor de n 
é 
a) 9. 
b) 11. 
c) 13. 
d) 15. 
 
 
 
 
 
 
27. As disputas de MMA (Mixed Martial Arts) ocorrem em ringues com a forma de octógonos regulares com 
lados medindo um pouco menos de 4 metros, conhecidos como “Octógonos”. Medindo o comprimento exato 
de seus lados, pode-se calcular a área de um “Octógono” decompondo-o, como mostra a figura a seguir, em um 
quadrado, quatro retângulos e quatro triângulos retângulos e isósceles. 
 
A medida do lado do quadrado destacado no centro da figura é igual à medida a do lado do “Octógono”. Se a 
área desse quadrado é S, então a área do “Octógono” vale 
a) S(2 2 1). 
b) S( 2 2). 
c) 2S( 2 1). 
d) 2S( 2 2). 
e) 4S( 2 1). 
28. Um polígono regular possui n lados, sendo n um número par maior ou igual a 4. Uma pessoa uniu dois 
vértices desse polígono por meio de um segmento de reta, dividindo-o em dois polígonos convexos P1 e P2, 
congruentes entre si. O número de lados do polígono P1 é igual a 
a) 
n
2.
2
 
b) 
n
1.
2
 
c) 
n
.
2
 
d) 
n
1.
2
 
e) 
n
2.
2
 
29. Uma pessoa possui um espaço retangular de lados 11,5m e 14m no quintal de sua casa e pretende fazer 
um pomar doméstico de maçãs. Ao pesquisar sobre o plantio dessa fruta, descobriu que as mudas de maçã 
devem ser plantadas em covas com uma única muda e com espaçamento mínimo de 3 metros entre elas e as 
laterais do terreno. Ela sabe que conseguirá plantar um número maior de mudas em seu pomar se dispuser as 
covas em filas alinhadas paralelamente ao lado de maior extensão. 
O número máximo de mudas que essa pessoa poderá plantar no espaço disponível é 
a) 4. 
b) 8. 
c) 9. 
d) 12. 
 
 
 
 
 
 
e) 20. 
30. Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, BDE é um triângulo equilátero e BDF é um triângulo isósceles, 
onde AF = AB. A medida do ângulo α é: 
 
a) 120° b) 135° c) 127,5° d) 122,5° e) 110,5° 
31. O quadrado ABCD está inscrito na circunferência de centro O e raio de medida 2 2 cm, como mostra a 
figura. 
 
Os vértices E e F do quadrado EFGH pertencem ao lado CD e os vertesses G e H pertencem à circunferência. 
Assim, a medida do lado do quadrado EFGH, em cm, é igual a 
a) 0,8. 
b) 0,9. 
c) 1,0. 
d) 1,1. 
e) 1,2. 
32. O uniforme da escola circense “Só alegria” tem o logotipo abaixo bordado no seu agasalho. 
 
 
 
 
 
 
 
Desse desenho, borda-se o contorno de cada um dos seis triângulos equiláteros da figura. Com 1m de linha são 
bordados 10 cm do contorno e, para cada agasalho bordado, cobram-se R$0,05 por 10 cm de linha gasta 
acrescidos do valor de R$2,50. Sabendo disso, em uma encomenda de 50 agasalhos, serão gastos 
a) R$125,00. 
b) R$131,75. 
c) R$161,25. 
d) R$192,50. 
33. A área de um triângulo regular inscrito em uma circunferência de raio r, em função do apótema a de um 
hexágono regular inscrito na mesma circunferência é 
a) 2a b) 22 a c) 22 2 a d) 2
1
3 a
2
 e) 23 a 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Considere o texto a seguir para responder à(s) questão(ões)a seguir. 
As “áreas de coberturas” a serem atendidas por um serviço de telefonia móvel são divididas em células, que são 
iluminadas por estações-radiobase localizadas no centro das células. 
As células em uma mesma área de cobertura possuem diferentes frequências, a fim de que uma célula não 
interfira na outra. Porém, é possível reutilizar a frequência de uma célula em outra célula relativamente distante, 
desde que a segunda não interfira na primeira. 
Cluster é o nome dado ao conjunto de células vizinhas, o qual utiliza todo o espectro disponível. Uma 
configuração muito utilizada está exemplificada na Figura 1, que representa um modelo matemático simplificado 
da cobertura de rádio para cada estação-base. 
O formato hexagonal das células é o mais prático, pois permite maior abrangência de cobertura, sem lacunas e 
sem sobreposições. 
A figura 2 ilustra o conceito de reutilização de frequência por cluster, em que as células com mesmo número 
utilizam a mesma frequência. 
 
 
 
 
 
 
 
34. Na figura 2, os hexágonos são congruentes, regulares, têm lado de medida R e cobrem uma superfície 
plana. Para determinar a distância D, distância mínima entre o centro de duas células que permitem o uso da 
mesma frequência, pode-se traçar um triângulo cujos vértices são os centros de células convenientemente 
escolhidas, conforme a figura 3. 
 
Assim sendo, o valor de D, expresso em função de R, é igual a 
a) R 21 b) 5R c) 3R 3 d) R 30 e) 6R 
35. No estudo da distribuição de torres em uma rede de telefonia celular, é comum se encontrar um modelo 
no qual as torres de transmissão estão localizadas nos centros de hexágonos regulares, congruentes, 
justapostos e inscritos em círculos, como na figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
Supondo que, nessa figura, o raio de cada círculo seja igual a 1km, é correto afirmar que a distância 3,8d (entre 
as torres 3 e 8 ), a distância 3,5d (entre as torres 3 e 5 ) e a distância 5,8d (entre as torres 5 e 8 ) são, 
respectivamente, em km, iguais à 
a) 3,8 3,5 5,8d 2 3, d 3, d 3 2 3.    
b) 3,8 3,5 5,8d 4, d 3, d 5.   
c) 3,8 3,5 5,8
3 3 3 3
d 4, d , d 4 .
2 2
    
d) 3,8 3,5 5,8d 2 3, d 3, d 21.   
e) 3,8 3,5 5,8
3 3 9
d 4, d , d .
2 2
   
36. Em exposições de artes plásticas, é usual que estátuas sejam expostas sobre plataformas giratórias. Uma 
medida de segurança é que a base da escultura esteja integralmente apoiada sobre a plataforma. Para que se 
providencie o equipamento adequado, no caso de uma base quadrada que será fixada sobre uma plataforma 
circular, o auxiliar técnico do evento deve estimar a medida R do raio adequado para a plataforma em termos 
da medida L do lado da base da estatua. 
Qual relação entre R e L o auxiliar técnico deverá apresentar de modo que a exigência de segurança seja 
cumprida? 
a) R L/ 2 
b) R 2L/π 
c) R L/ π 
d) R L/2 
e)  R L/ 2 2 
37. Um polígono convexo de 6 lados tem as medidas de seus ângulos internos formando uma progressão 
aritmética de razão igual a 6º. Logo, podemos afirmar que o seu menor ângulo mede: 
a) 90º 
b) 105º 
c) 115º 
d) 118º 
e) 120º 
 
38. Os pontos A, B, C e D são vértices consecutivos de um polígono regular com 20 diagonais, cujo lado mede 
1. O comprimento do segmento AD é igual a: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
39. Um ciclista deu 100 voltas em uma pista que tinha a forma de um hexágono regular. Cada lado do 
hexágono media 15 m. Quantos quilômetros ele percorreu? 
a) 9 
b) 90 
c) 900 
d) 9000 
2
1 2
2 2 1
2 2 1
2 2
 
 
 
 
 
 
40. Em um polígono convexo regular de n lados, chamamos de corda qualquer segmento de reta entre dois 
vértices distintos. Um lado é, portanto, uma corda ligando vértices adjacentes. Se o polígono regular tem 
número par de vértices, chamamos de diâmetro uma corda ligando o vértice m ao vértice m n 2 onde 
consideramos que os vértices do polígono estão numerados no sentido anti-horário, a partir de um vértice 
qualquer, de zero (inclusive) a n 1. 
Nessas condições, a probabilidade de que uma corda não seja nem um diâmetro nem um lado do polígono é 
igual a 
a) 1 2 
b) (n 6) (n 1)  
c) (n 5) (n 1)  
d) (n 4) (n 1)  
e) 1 
41. Com base nos estudos de geometria, identifique as afirmativas a seguir como verdadeiras (V) ou falsas (F). 
( ) Dois ângulos são opostos pelo vértice se, e somente se, os lados de um deles são as respectivas semirretas 
opostas aos lados do outro. 
( ) A razão entre dois ângulos suplementares é igual a 
2
7
. O complemento do menor vale 140 graus. 
( ) A hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles que gira em torno de um dos catetos, gerando um sólido 
cujo volume é 3cm , é 2 cm.
3

, é 2 cm. 
( ) Se três retas são, duas a duas, reversas e não paralelas a um mesmo plano, então, por qualquer ponto de 
uma das retas, passa uma reta que se apoia nas outras duas. 
( ) Se um polígono regular possui, a partir de um dos seus vértices, tantas diagonais quantas são as diagonais de 
um hexágono, então esse polígono é um dodecágono. 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta, de cima para baixo. 
a) V – F – V – F – V. 
b) F – V – F – V – F. 
c) F – V – V – F – V. 
d) V – V – V – V – V. 
e) V – F – F – F – F. 
 
42. Sejam P e Q polígonos regulares. Se P é um hexágono e se o número de diagonais do Q, partindo de um 
vértice, é igual ao número total de diagonais de P então a medida de cada um dos ângulos internos de Q é 
a) 144 graus. 
b) 150 graus. 
c) 156 graus. 
d) 162 graus. 
43. Na construção civil, é muito comum a utilização de ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para o 
revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não são todas as combinações de polígonos que se prestam a 
pavimentar uma superfície plana, sem que haja falhas ou superposições de ladrilhos, como ilustram as figuras: 
 
 
 
 
 
 
 
A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com as respectivas medidas de seus ângulos internos. 
Nome Triângulo Quadrado Pentágono 
Figura 
 
 
Ângulo interno 60° 90° 108° 
 
Nome Hexágono Octágono Eneágono 
Figura 
 
 
 
Ângulo interno 120° 135° 140° 
 
Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos diferentes de ladrilhos entre os polígonos da 
tabela, sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter a forma de um 
a) triângulo. 
b) quadrado. 
c) pentágono. 
d) hexágono. 
e) eneágono. 
 
 
 
 
 
 
 
Nível 3 
1. Se a medida do raio da circunferência circunscrita a um octógono regular é R, então a medida do raio da 
circunferência inscrita a esse octógono é igual a 
a) 
R
1 2.
2
 
b) 
R
1 3.
2
 
c) 
R
2 2.
2
 
d) 
R
2 3.
2
 
e) 
R
2 3.
2
 
2. A menor raiz real positiva da equação 
3 2
arctg x tg arcsen
5 x 2
π   
    
   
 encontra-se no intervalo: 
a) (0,1] 
b) (1, 2] 
c) (2, 3] 
d) (3, 4] 
e) (4, 5] 
3. Seja nP um polígono convexo regular de n lados, com n 3. Considere as afirmações a seguir: 
I. nP é inscritível numa circunferência. 
II. nP é circunscritível a uma circunferência. 
III. Se n é o compromisso de um lado de nP e na é o comprimento de um apótema de nP , então 
n
n
a
1 para 
todo n 3. 
É (são) verdadeira(s) 
a) apenas I. 
b) apenas II. 
c) apenas III. 
d) apenas I e II. 
e) I, II e III. 
4. Na figura abaixo, estão representados dois círculos congruentes, de centros 1C e 2C , pertencentes ao 
mesmo plano .α O segmento 1 2C C mede 6 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A área da região limitada pelos círculos, em 2cm , possui valor aproximado de: 
a) 108 
b) 162 
c) 182 
d) 216 
5. A medida da área de um círculo inscrito em um octógono regular cuja medida do lado é 
3
m
2
 é 
a) 2
17m .
16
π
 
b) 2
15
m .
16
π
 
c) 2
13
m .
16
π
 
d) 2
11
m .
16
π
 
6. Um fabricante planeja colocar no mercado duas linhas de cerâmicas para revestimento de pisos. Diversas 
formas possíveis para as cerâmicas foram apresentadas e decidiu-se que o conjunto P de formas possíveis 
seria composto apenas por figuras poligonais regulares. 
Duas formas geométricas que fazem parte de P são 
a) triângulo e pentágono. 
b) triângulo e hexágono. 
c) triângulo e octógono. 
d) hexágono e heptágono. 
e) hexágono e octógono. 
7. Um polígono convexo com 15 lados tem todos os seus vértices em uma circunferência. Se não existem três 
diagonais do polígono que se interceptam no mesmo ponto, quantas são as interseções das diagonais do 
polígono? 
a) 1360 
b) 1365 
c) 1370 
d) 1375 
e) 1380 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabaritos Comentados 
Nível 1 
Resposta da questão 1: 
 [B] 
 
Considere a figura. 
 
 
 
Sabendo que a soma dos ângulos internos de um pentágono convexo é 540 e 380 ,α β γ    temos 
(180 ) 90 540 180 380 450
110 .
α α β γ α
α
               
  
 
 
Resposta da questão 2: 
 [B] 
 
Por simetria bilateral, podemos afirmar que o número de lados do polígono ABCDEFGH A é igual a 
 
    
 
1 1
4 4 20.
2 2
 
 
Resposta da questão 3: 
 [D] 
 
A maior bandeira que pode ser confeccionada é a que tem comprimento do quadro externo igual a 180cm. Com efeito, pois 
20M 180 M 9cm   
 
e, portanto, 14M 14 9 126 cm.   
Em consequência, a resposta é 2 3,5 9 63 cm.   
 
Resposta da questão 4: 
 [D] 
 
É imediato que a altura do triângulo considerado mede 
a 3
.
2
 
 
 
 
 
 
 
Sendo a medida do segmento que une o baricentro a um vértice do triângulo equilátero igual a 
2
3
 da altura, e a medida do 
segmento que une o baricentro ao ponto médio do lado oposto ao vértice considerado igual a 
1
3
 da altura, tem-se que a 
resposta é 
a 3
6
 e 
a 3
.
3
 
 
Resposta da questão 5: 
 [D] 
 
Um hexágono regular é formado por 6 triângulos equiláteros. Portanto, no caso dado cada triângulo mede 212 cm . O 
quadrilátero ABCD é formado por 2 triângulos idênticos aos que formam os hexágonos, pois tem lados e ângulos 
congruentes. Assim a medida do quadrilátero será igual a 224 cm . 
 
 
 
Resposta da questão 6: 
 [C] 
 
Um hexágono regular é formado por 6 triângulos equiláteros. Portanto, no caso dado cada triângulo mede 28 cm . O 
quadrilátero ABCD é formado por 2 triângulos idênticos aos que formam os hexágonos, pois tem lados e ângulos 
congruentes. Assim a medida do quadrilátero será igual a 216 cm . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 7: 
 [B] 
 
Calculando: 
360 90 90 80 100θ          
 
Resposta da questão 8: 
 [C] 
 
Um hexágono regular é formado por 6 triângulos equiláteros iguais cujos vértices são o centro do hexágono e dois vértices 
consecutivos deste. Conclui-se que a bissetriz do ângulo OÛV é, portanto, a altura de um triângulo equilátero de lado 2 m. 
Assim, pode-se calcular: 
2 2 2
2
Perímetro 2 h
2
2 1 h h 3
Perímetro 2 1 3 3 3
  
   
    
 
 
 
 
Resposta da questão 9: 
 [C] 
 
Sendo o lado do triângulo igual a "a", pode-se escrever: 
2
22 a a 3a BH BH
4 2
Y a a a 3a
Y
W Ya a 3 1,73
2W a a 0,5a a 2,366a
2 2 2
   
   
  
      
 
 
Resposta da questão 10: 
 [D] 
 
Cada pentágono tem 5 arestas e cada hexágono tem 6 arestas. As arestas são costuradas duas a duas. Assim, pode-se 
calcular: 
 
 
 
 
 
 
   12 5 20 6
nºarestas a costurar 90 arestas a costurar
2
90 0,17 15,3 m 15,3 m 16 244,8 m
  
 
    
 
 
Resposta da questão 11: 
 [A] 
 
Sabendo que um dodecágono possui doze lados, temos 
 
12 (12 3)
12 66.
2
 
  
 
Resposta da questão 12: 
 [D] 
 
Conforme enunciado, pode-se escrever: 
 
 
 
correia
correia correia
C 6 10 6x
y 360 120 90 90 y 60
2 R y 2 5 60 5
x x cm
360 360 3
5
C 6 10 6 C 60 10 cm
3
π π π
π
π
  
     
  
   
      
 
 
Resposta da questão 13: 
 [D] 
 
Um hexágono convexo possui 
6 (6 3)
9
2
 
 diagonais. Portanto, temos n 3 9,  o que implica em n 12. 
 
Resposta da questão 14: 
 [E] 
 
Se o lado AB refere-se a um polígono regular de 6 lados, então o arco AB mede 60 . 
 
 
 
 
 
 
Se o lado CD refere-se a um polígono regular de 10 lados, então o arco CD mede 36 . 
A circunferência tem um total de 360 , logo o ângulo pedido será: 
360 60 36
132
2
α α
 
    
 
Resposta da questão 15: 
 [B] 
 
Se M é o ponto médio dos segmentos e se AMC é 60 , então os triângulos formados ( AMC e DMB) são equiláteros 
com lado igual a 0,5. Logo, a altura da mesa em relação ao chão será igual a 2h, sendo h a altura de um dos triângulos 
equiláteros. Ou seja: 
3 0,5 1,7
h 0,425 2h 0,85 m 85 cm
2 2

      
 
Resposta da questão 16: 
 [B] 
 
A diagonal IJ cruza liga vértices opostos do hexágono. Como existem apenas 6 vértices, há apenas mais duas diagonais 
possíveis ligando vértices opostos (portanto tendo o mesmo comprimento) – NQ e MP. 
 
Resposta da questão 17: 
 [A] 
 
Sabendo que 6
3
L r
3
 e 3
3
r,
2
 com r sendo o raio da circunferência, tem-se que razão pedida é 
 
2
2
3
r 3
2
34 .
8
3
3 r 3
3
2
 
 
 

 
  
 
 
 
Resposta da questão 18: 
 [C] 
 
Calculando: 
   int ernos
int ernos
pentágono regular z é ângulo interno
S 180 n 2 180 5 2 540
S 540
z 108
n 5
x y z 180
2x 108 180 x y 36
x y

         

   
   
      

 
 
Resposta da questão 19: 
 [B] 
 
 
 
 
 
 
 
Dado que CAE CEA 60 ,   é imediato que o triângulo ACE é equilátero. Logo, queremos calcular a altura do triângulo 
ACE relativa ao lado AE. 
 
Portanto, sendo 40 metros a medida do lado do triângulo, o resultado é igual a 
 
40 3
20 1,7 34 m.
2
   
 
Resposta da questão 20: 
 ANULADA 
(Questão anulada, conforme gabarito) 
 
Sabendo que o lado de um triângulo equilátero é dado por 2a 3, com a sendo o seu apótema, podemos concluir 
que a área desse triângulo é igual a 
 
2 2
2
3 (2 2 3) 3
4 4
12 3 cm .
 


 
 
Portanto, não há alternativa correta. 
 
Resposta da questão 21: 
 [B] 
 
Como EF FA AQ QC 1dm,    basta calcularmos CE. 
 
Sabendo que CDE 120  e CD DE 1dm,  pela Lei dos Cossenos, obtemos 
 
2 2 2
2 2
CE CD DE 2 CD DE cosCDE
1
1 1 2 1 1
2
3.
     
 
       
 

 
 
Portanto, CE 3 dm e o resultado pedido é 
 
EF FA AQ QC CE (4 3)dm.      
 
Resposta da questão 22: 
 [C] 
 
Considere a figura, em que O é o centro do triângulo equilátero ABC de lado 60cm, M é o ponto médio do lado BC e 
D é a interseção da reta OC com o círculo de raio 30cm e centro em C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desse modo, como OC é o raio do círculo circunscrito ao triângulo ABC, segue-se que 
 
60 3
OC 34cm.
3
  
 
Portanto, 
 
R OC CD DE
34 30 10
74cm.
  
  

 
 
Resposta da questão 23: 
[E] 
 
O número de diagonais do hexágono é dado por: 
.9
2
36
2
)3(



nn
d 
Destas, três medem 2 e seis medem .3 Logo, 
.30130303643 2222   
 
Nível 2 
Resposta da questão 1: 
 [A] 
 
Sabendo que o ângulo interno de um hexágono regular mede 120 , podemos concluir que os triângulos AFN, CBU e DEV 
são isósceles congruentes, com ângulo do vértice igual a 30 . 
Portanto, tomando o triângulo AFN, pela Lei dos Cossenos, vem 
 
 
 
 
 
 
2 2 2
2 2 2
2
FN AF AN 2 AF AN cos30
3
FN 1 1 2 1 1
2
FN 2 3
FN 2 3
3 1
FN .
2
       
      
  
  


 
 
Considere agora o trapézio isósceles EFNV, cujos ângulos agudos medem 120 75 45 .     
Seja H é o pé da perpendicular baixada de N sobre EF. O triângulo FHN é retânguloisósceles e, portanto, temos 
FN 3 1
HF HF .
22

   
 
Finalmente, ainda do trapézio EFNV, segue que 
VN 1 2 HF
3 1
1 2
2
2 3.
  

  
 
 
 
Resposta da questão 2: 
 [D] 
 
Considere a figura. 
 
 
 
Sendo IJ JK KH HI   e HJ IK, podemos concluir que HIJK é quadrado. Ademais, por simetria, os triângulos 
retângulos isósceles ABC e IHJ são congruentes, bem como os triângulos retângulos isósceles ABD e GFE. 
Portanto, serão necessários os azulejos de formato 1 e 3. 
 
Resposta da questão 3: 
 [B] 
 
 
 
 
 
 
 
O total de triângulos que podem ser obtidos com os vértices do hexágono é: 
6, 3
6, 3
6!
C
3! 3!
C 20



 
 
Observe a figura abaixo: 
 
 
 
Note que os pontos P, Q e S, também geram um triângulo equilátero com as mesmas configurações do triângulo ABC, 
logo, há duas possibilidades para o triângulo ABC. 
Dessa forma, a probabilidade pedida é dada por: 
2 1
20 10
 
 
Resposta da questão 4: 
 [C] 
 
Considere a figura. 
 
 
 
Desde que o triângulo XYO é equilátero, temos ZY OY YX XO.   Ademais, como cada ângulo interno do pentágono 
regular MXYZW mede 
 
 
 
 
 
 
180 (5 2)
108 ,
5
  
  
 
temos ZYO 108 60 48 .      
Por outro lado, sendo o triângulo YZO isósceles de base ZO, vem 
180 48
ZOY 66 .
2
  
   
 
A resposta é 
XOZ XOY ZOY
60 66
126 .
 
   
 
 
 
Resposta da questão 5: 
 [B] 
 
Como o hexágono regular está inscrito no círculo, sua área é dada por: 
2
6 3
6 9 3
4

  
 
Portanto, o número que multiplica 3 é o 9. 
 
Resposta da questão 6: 
 [D] 
Considerando que o diagonal do quadrado mede 2r e que o lado deste quadrado mede 42 a , podemos escrever que: 
4 4 4
r r 2
2 a 2 2 r a a
22

        
 
Resposta da questão 7: 
 [A] 
 
Considerando-se os trapézios APRC e BQSD, pode-se calcular: 
AP CR 10 18
TM 14
2 2
BQ SD 8 22
TN 15
2 2
MN TN TM 15 14 1
 
  
 
  
    
 
 
Resposta da questão 8: 
 [B] 
 
Considere o quadrilátero IJKL da figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dos triângulos 1 6 2 5 3 8PP K, P P I, P P L e 4 7P P J, tem-se, respectivamente, que 
1 6 1 6
2 5 2 5
3 8 3 8
P KP 180 ( ),
P IP 180 ( ),
P LP 180 ( )
α α
α α
α α
   
   
   
 
 
e 
4 7 4 7P J P 180 ( ).α α    
 
Em consequência, desde que a soma dos ângulos internos do quadrilátero IJKL é igual a 360 , vem 
1 6 2 5 3 8 4 7
8
n
n 1
180 ( ) 180 ( ) 180 ( ) 180 ( ) 360
360 .
α α α α α α α α
α

                 
 
 
 
Resposta da questão 9: 
 [D] 
 
Do enunciado, temos: 
 
 
 
No quadrilátero WXYZ, temos: 
 
 
 
 
 
 
76 128 2 2 360
2 2 156
78
α β
α β
α β
      
  
  
 
 
No triângulo XOY, temos: 
180
78 180
102
ˆXOY 102
α β θ
θ
θ
   
  
 
 
 
 
Resposta da questão 10: 
 [C] 
 
Marcando 36 pontos; igualmente espaçados, na circunferência, encontraremos um polígono regular de 36 lados inscrito 
nesta circunferência. 
A medida do ângulo central deste polígono será dada por 360 36 10 .   Podemos então imaginar a figura abaixo: 
 
 
 
x
sen5 x 1 0,08 0,08
1
      
 
Portanto, o lado do polígono mede: 
2 x 2 0,08 0,16    
 
Resposta da questão 11: 
 [A] 
 
Como o heptágono é regular, é circunscritível, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No quadrilátero inscrito ABCE, 
x : medida da maior diagonal 
 
x d x d
x d x d
x d d
d
x
d
    
    
   



 
 
Resposta da questão 12: 
 [E] 
 
Calculando: 
1
1
1 1
2
2
1 2
2
1 1
3
apótema a
2
3 31
2 2 4
3
S 3 34
S 4 16

 
 
  
 
   
        
 
 
 
 
Resposta da questão 13: 
 [A] 
 
A medida de cada ângulo interno do pentágono regular ABCDE é dada por 
180 (5 2)
108 .
5
  
  
 
Logo, sendo os triângulos ABC e BCD isósceles congruentes, temos 
 
 
 
 
 
 
180 108
CAB ACB DBC BDC 36 .
2
  
      
 
Em consequência, vem 
APB DPC DCP 72 .    
 
Portanto, como o triângulo APB é isósceles de base PB, segue que AP 2cm e, assim, pela semelhança dos triângulos 
ABC e BPC, encontramos 
22 PC 2
PC 2PC 4 0
2 PC
PC ( 1 5)cm.

    
   
 
 
A resposta é AC AP PC (1 5)cm.    
 
Resposta da questão 14: 
 [E] 
 
Se o octógono é regular, então FG GH e FGH 135 .  Ademais, sendo o triângulo GHI equilátero, vem GI FG e 
HGI 60 .  Em consequência, o triângulo FGI é isósceles de base FI, implicando, portanto, em GFI GIF. Desse modo, 
temos 
FGI FGH HGI
135 60
75 .
 
   
 
 
 
A resposta é 
1
GIF (180 FGI)
2
1
105
2
52,5 .
   
  
 
 
 
Resposta da questão 15: 
 [B] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando a circunferência circunscrita no pentágono regular, concluímos que: 
72ˆGHC 36
2

   
 
Admitindo que x seja a medida do lado pedido e considerando o triângulo HMC, podemos escrever que: 
x
2cos36 x
1
2
   
 
Portanto, 
x cos36  
 
Resposta da questão 16: 
 [D] 
 
Unindo-se os centros dos círculos, tem-se um triângulo equilátero (com altura h destacada em vermelho) de lado igual a 2r, 
conforme a figura a seguir: 
 
 
 
A altura total dos canos será igual a: 
 
 
 
 
 
 
canos
canos
viaduto
H h 2r
r 0,6
3 3
h L 0,6 2 h 1,02
2 2
H 1,02 1,2 2,22 m
H 1,3 0,5 2,22 4,02 m
 

      
  
   
 
 
Resposta da questão 17: 
 [D] 
 
Equação geral da circunferência 
 
2 2
2 2 2 2
x y 6x 2y 6 0
D (6)
a 3
2 2
Centro : C 3,1
E ( 2)
b 1
2 2
Raio : R a b F R ( 3) (1) ( 6) R 4
    
 
   
 
     

          
 
 
Portanto: 
2 2 L 3 L 3
R h R 4 L 4 3
3 3 2 3
Δ        
 
A área do triângulo é: 
 
2
2 4 3 3L 3
A A A 12 3
4 4
Δ Δ Δ     
 
O dobro da área do triangulo é 2A 2 (12 3) 24 3.Δ    
 
Resposta da questão 18: 
 [C] 
 
Sendo h a altura do trapézio e considerando as informações do enunciado, pode-se escrever: 
 
trapézio trapézio
quadrilátero
trapézio
quadrilátero
PQ x
SR 3x
x 3x h
S S 2xh
2
S xh
S 2xh
2
S xh


 
  

 
 
 
Resposta da questão 19: 
 [A] 
 
Um hexágono regular é formado por seis triângulos equiláteros (seus lados medem o mesmo que o raio da circunferência 
 
 
 
 
 
 
circunscrita). Assim, calculando a área, tem-se: 
2
hexágono hexágono
R 3 2 3
S 6 6 S 3 3
4 4
 
      
 
Resposta da questão 20: 
 [E] 
 
 
 
A medida de cada um dos ângulos internos do polígono será 60 60 40 160 .       
 
Portanto, cada um de seus ângulos externos será de 20 . Admitindo que n é o número de lados do polígono regular, 
podemos escrever: 
360 360
20 n n 18
n 20
 
     

 
 
Logo, o número de triângulos será igual ao número de lados, ou seja 18. 
 
Resposta da questão 21: 
 [A] 
 
Considere a vista superior do filtro. 
 
 
 
Desde que OA 3cm, OB 6cm e AOB 30 ,  pela Lei dos Cossenos, temos 
 
 
 
 
 
 
 
2 2 2
2 2 2
AB OA OB 2 OA OB cosAOB
3
AB 3 6 2 3 6
2
AB 3 5 2 3 cm.
      
      
 
 
 
Portanto, segue que a área da superfície do filtro é dada por 
 
212 3 5 2 3 10 360 5 2 3 cm .     
 
Resposta da questão 22: 
 [B] 
 
Usando as aproximações fornecidas, concluímos que os diâmetros dos círculos inscrito e circunscrito a T medem, 
respectivamente, 4 cm e 8 cm. Em consequência, os exemplares I e V não satisfazem as condições, pois T cabe em V e I 
cabe em T. 
Por outro lado, pelo Teorema de Pitágoras concluímos facilmente que a diagonal de R mede 5 cm. Em que os diâmetros 
dos círculos inscrito e circunscrito a R medem, respectivamente, 3 cm e 5 cm. Portanto, os exemplares III e IV também não 
satisfazem as condições restando apenas o exemplar II. 
 
Resposta da questão 23: 
 [D] 
 
O número de anagramas possíveis da palavra LÓGICA é igual apermutação de 6: 
6! 6 5 4 3 2 1 720       
 
A soma dos ângulos internos de um polígono regular se dá pela fórmula S (n 2) 180,   onde n é o número de lado do 
polígono. Logo, se S 720, tem-se: 
S 720 (n 2) 180 n 6      
 
O polígono regular de 6 lados chama-se hexágono. 
 
Resposta da questão 24: 
 [C] 
 
Pode-se calcular o número total de diagonais de um octógono (n 8 lados) pela fórmula: 
n (n 3) 8 5
d d d 20
2 2
  
     
 
Destas, apenas as diagonais que ligam vértices opostos passam pelo centro, ou seja, apenas 4 diagonais passam pelo centro 
do polígono. Assim, a probabilidade de que tomando-se ao acaso uma das diagonais formadas pelos vértices de um octógono 
regular, essa passe pelo centro é de: 
4
0,2 20%
20
  
 
Resposta da questão 25: 
 [C] 
 
 
 
 
 
 
 
Excetuando-se o triângulo equilátero, cada polígono pode ser dividido em 2n triângulos retângulos congruentes, com n 
sendo o número de lados do polígono. Além disso, sejam c, p e g, respectivamente, as frações da área de cada polígono, 
correspondentes às quantidades de carboidratos, proteínas e gorduras. 
 
Desse modo, para o losango, o pentágono, o hexágono e o octógono, respectivamente, temos: 
1 1 3
(c, p, g) , , ;
2 8 8
 
  
 
 
6 1 3
(c, p, g) , , ;
10 10 10
 
  
 
 
7 1 1
(c, p, g) , ,
12 12 4
 
  
 
 e 
3 1 3
(c, p, g) , , .
4 16 16
 
  
 
 
 
Em particular, para o triângulo equilátero, considere a figura. 
 
 
 
É fácil ver que 
5 1 1
(c, p, g) , , .
9 9 3
 
  
 
 
 
Portanto, o único polígono que satisfaz é o pentágono. 
 
Resposta da questão 26: 
 [A] 
 
Admitindo que n seja o número de lados de um polígono e de o número de diagonais, temos: 
 
2 21 n (n 3)n d d 3 n 3n n 3 n 6n n 9 n 0
3 2
n 0 (não convém) ou
n 9.
  
                
 


 
 
Logo, o valor de n é 9. 
 
Resposta da questão 27: 
 [C] 
 
Sabendo que o ângulo interno de um octógono regular mede 135 , segue-se que os quatro triângulos, resultantes da 
decomposição do octógono, são retângulos isósceles de catetos iguais a 
a 2
.
2
 Logo, como a área do quadrado destacado no 
centro do octógono é 2S a , tem-se que o resultado pedido é 
 
 
 
 
 
 
 
2 21 a 2 a 2 a 24 S a 2 2a Sa
2 2 2 2
2S 2 2S
2S( 2 1).
 
        
 
 
 
 
 
Resposta da questão 28: 
 [B] 
 
Os polígonos 1P e 2P possuem dois vértices em comum (vértices do polígono de n lados), e 
n 2 n
1
2 2

  vértices distintos. 
Logo, o número de vértices de 1P é 
n n
1 2 1,
2 2
    isto é, 
n
1
2
 lados. 
 
Resposta da questão 29: 
 [C] 
 
Considere a figura, em que os círculos têm raio igual a 3 m e as mudas correspondem aos pontos vermelhos. 
 
 
 
Portanto, segue que o resultado pedido é 9. 
 
Resposta da questão 30: 
 [C] 
 
Seja G o ponto de encontro das diagonais do quadrado ABCD. 
 
Como o triângulo BDE é equilátero, segue que DBE 60 .  Além disso, dado que AF AB e GAB 45 ,  vem 
GAB
ABF AFB 22,5 .
2
    
 
Portanto, 
 
ABF ABD DBE
22,5 45 60
127,5 .
α   
     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 31: 
 [A] 
 
Considere a figura. 
 
 
 
Sejam e x, respectivamente, os lados dos quadrados ABCD e EFGH. 
Sabendo que  OC OG 2 2 cm, vem 
 
 
    
 
2 2 OC 2 2 2 2
4cm.
 
 
Além disso, temos que 
4
MO 2cm
2 2
   e MN FG 2 NG.   Portanto, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo 
retângulo GON, encontramos 
 
 
2
2 2 2 2 2
2
x
NG ON OG (x 2) (2 2)
2
5x 16x 16 0
x 0,8.
 
      
 
   
 
 
 
Resposta da questão 32: 
 [D] 
 
Soma dos perímetros de todos os triângulos: (1+1+1+2+2+2).3 = 27 cm. 
 
Total de linha em cm: 27/10 = 2,7m = 270 cm. 
 
Valor total: (0,05.270/10+2,50).50 = R$192,50. 
 
Resposta da questão 33: 
 [E] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
r 3 2a
a r
2 3

   (no hexágono regular) 
 
A área S do triângulo será dada por: 
2
2 21 1 2a 3S 3 r sen120 3 a 3.
2 2 23
 
          
 
 
 
Resposta da questão 34: 
 [A] 
 
Apótema do hexágono regular: 
2
3R
a  
 
 
 
No triângulo assinalado da figura, temos: 
2 2
2 2 25R 3 3RD D 21 R D R 21.
2 2
   
            
 
 
Resposta da questão 35: 
 [D] 
 
 
 
 
 
 
 
3,8
4.1. 3
d 4.a 2 3
2
   
 
 
 
3,5d 1 1 1 3    
 
 
 
2 2
5,8
3 9 84
d 21
2 2 4

   
         
 
 
 
 
Resposta da questão 36: 
 [A] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando R o raio da menor plataforma para se apoiar uma estátua e L o lado da base da estátua, podemos escrever: 
 
R2 + R2 = L2 
 
2
2 LR
2
L
R
2


 
 
Portanto: 
 
L
R .
2
 
 
Resposta da questão 37: 
 [B] 
 
Soma dos ângulos internos de um hexágono: S = (6 – 2) . 180° = 720° 
 
x + x +6° + x + 12° + x + 18°+ x + 24° + x + 30° = 720° 
6x + 90° = 720° 
6x = 630° 
x = 105° 
 
Resposta da questão 38: 
 [B] 
 
Sabendo que o número de diagonais de um polígono regular em função do número de lados é dado por 
 temos que 
Logo, e são vértices consecutivos de um octógono regular, cujo ângulo interno mede 
 
(d) (n)
n (n 3)
d ,
2
 
 2
n (n 3)
20 n 3n 40 0 n 8.
2
 
      
A,B, C D
180 (n 2) 180 (8 2)
135 .
n 8
     
  
 
 
 
 
 
 
De posse desses dados, considere a figura abaixo. 
 
Como os triângulos e são congruentes, basta calcularmos pois é retângulo. 
Assim, 
 
Por conseguinte, 
 
 
 
Resposta da questão 39: 
 [A] 
 
Perímetro do hexágono = 6.15 = 90m. 
Distância percorrida em 100 voltas na pista = 100. 90 = 9000m = 9km. 
 
Resposta da questão 40: 
 [D] 
 
Número de cordas n, 2
n! n (n 1)
C
2! (n 2)! 2
 
  
 
 
n (n 1) n
n
n 42 2P
n (n 1) n 1
2
 
 

 
  
 
 
Resposta da questão 41: 
 [A] 
 
(verdadeiro) definição de ângulos opostos pelo vértice. 
(falsa) 2x + 7x = 180  x = 20o e 2x = 40o. O complemento de 40o (menor) é 50O 
(Verdadeiro) 
 
AB'B CC'D AB', BB'C'C
AB 1 2
AB' .
22 2
  
AD 2 AB' B'C'
2
2 1
2
2 1.
  
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
V = 
21 1 .1
3 3
 
 
 
(falso) definição de retas reversas. 
(verdadeiro) d = 
1293
9
2
)36.(6



nn
 
 
Resposta da questão 42: 
 [B] 
 
Diagonais de P: 9
2
)36.(6


 
Lados de Q: n – 3 = 9  n = 12 
Ângulo interno de Q: 
12
)212(180 
 = 150 graus 
 
Resposta da questão 43: 
 [B] 
 
 
 
Cada ângulo interno do octógono regular mede 135° e cada ângulo interno do quadrado mede 90°. 
Somando 135° + 135° + 90° = 360°. Portanto, o polígono pedido é o quadrado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Nível 3 
Resposta da questão 1: 
 [C] 
 
Da figura abaixo, temos que: 
 
 
 
360
2 22,5
8
θ θ

    
 
E: 
2
2
cos2x 2cos x 1
cos 1
cos 2cos 1 cos
2 2 2
2
1
cos45 1 2 22cos22,5
2 2 2
θ θ θ
θ
 

   

  
   
 
 
Portanto: 
r 2 2
cos22,5
R 2
R
r 2 2
2

  
  
 
 
Resposta da questão 2: 
 [D] 
 
3 2
arctg x tg arcsen
5 x 2
π   
    
   
 
 
Fazendo 
3
arcsen ,
5
θ temos: 
 
 
 
 
 
 
3
sen
5
θ  e 0
2
π
θ  
 
Daí, 
2 2
2
2
2
sen cos 1
3
cos 1
5
16
cos
25
θ θ
θ
θ
 
 
  
 

 
 
Como 0 , cos 0,
2
π
θ θ   logo, 
4
cos
5
θ  
 
Então, 
3
5tg
4
5
3
tg
4
θ
θ


 
 
Voltando à equação inicial, temos: 
3x 2
arctg
4 x 2
π 
 
 
 
 
Logo, 
2 3x
tg
x 2 4
π 
 
 
 e 
2
2 x 2 2
π π π
  

 
 
Como x 0 e 
2
,
2 x 2 2
π π π
  

 
x 2 
 
Consideremos a função  
2 3x
f x tg .
x 2 4
π 
  
 
 
Fazendo x 3, 
 
2 9
f 3 tg
5 4
π 
  
 
 
 
Cálculo de 
2
tg :
5
π 
 
 
 
 
Sem perda de generalidade, tomemos o seguinte decágono regular, inscrito numa circunferência de raio unitário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Daí: 
 
 
 
Então, 
 
2
2
a 1 a
1 a
a a 1 0
1 14 1 1
a
2
5 1
a
2


  
     



 
 
No triângulo ABS, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 10 2 5h
16

 
 
Como h 0, 
10 2 5
h
4

 
 
Assim, 
2 10 2 5 4
tg
5 4 3 5
2 10 2 5
tg
5 3 5
π
π
 
  
 
 
 
 
 
 
Logo, 
 
10 2 5 9
f 3 0
43 5

  

 
 
Fazendo x 4, 
 
 
2 3 4
f 4 tg
6 4
f 4 3 3 0
π  
  
 
  
 
 
A função f é contínua para x 2, logo, pelo Teorema de Bolzano, existe pelo menos uma raiz real no intervalo 3 x 4.  
Dessa forma, a menor raiz real positiva da equação 
3 2
arctg x tg arcsen
5 x 2
π   
    
   
 encontra-se no intervalo  3, 4 . 
 
Resposta da questão 3: 
 [D] 
 
 
 
 
 
 
 
[I] Verdadeira, pois todo polígono regular é inscritível. 
 
[II] Verdadeira, pois todo polígono regular é circunscritível. 
 
[III] Falsa. Consideremos um dodecágono regular inscrito na circunferência abaixo: 
 
 
 
Provaremos inicialmente que tg75 é maior que 2; 
 
3
1
tg45 tg30 3 3 3 3 3 3 9 6 3 33tg75 tg 45 30 2 3
63 3 3 3 3 3 31 tg45 tg30
1
3

     
         
   

 
Portanto, tg75 é maior que 2. 
 
No triângulo assinalado na figura acima, podemos escrever: 
12 12
12 12
a a tg75
tg75
2
2

    
 
Como tg75 é maior que 2, concluímos que : 
12
12
a
1, o que contraria a expressão n
n
a
1 para todo n 3. 
 
Resposta da questão 4: 
 [C] 
 
O segmento 1 2C C é igual ao raio de ambas as circunferências e é igual a 6. Assim, pode-se concluir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, a área da região limitada pelos círculos é composta pela área dos círculos menos a área da intersecção entre eles. 
Já a área da intersecção é composta por dois triângulos equiláteros de lado 6 e 4 segmentos circulares. Assim, 
considerando 3 1,73 e 3,14,π  pode-se estimar a área da intersecção como sendo: 
2
2
seg setor
2 2
seg
int er sec seg
int er sec
3
S
4
6 3
S S 9 3 15,6
4
S S S
R 60 6 60
S 9 3 9 3 6 9 3 3,27
360 360
S 2 S 4 S
S 2 15,6 4 3,27 44,28
Δ
Δ Δ
Δ
Δ
π π
π



  
 
     
     
 
   
  
 
 
Logo, a área da região limitada pelos círculos será: 
int er sec
2 2
2
S 2 S S
S R 6 36 113
S 2 113 44,28 181,72
S 182 cm
οο ο
ο
οο
οο
π π π
  
    
 
 
 
Resposta da questão 5: 
 ANULADA. 
 
Questão anulada pelo gabarito oficial. 
 
Considerando um octógono regular inscrito numa circunferência: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analisando cada um dos triângulos formados pelo octógono, e sabendo que cada um dos seus lados (e portanto a base de 
cada um dos triângulos) mede 
3
m,
2
 podemos escrever a área dos meses de duas formas distintas: 
2
2 2
3 2r Rr R R sen 45 3 2 r 62 2S R r R
2 2 2 2 22 2
    
          
 
Ainda analisando cada um dos triângulos, pela Lei dos Cossenos pode-se escrever: 
 
 
 
 
 
2
2 2 2 2
2 2 2
3 3
R R 2 R R cos 45 2R 2 R
2 4
2 2 3 2 23 3
R 2 2 R R
4 84 2 2 2 2
 
            
 
  
       
  
 
Sendo 2
r 6
R ,
2
 pode-se escrever: 
   
   
2
2
2 2
3 2 2 9 6 4 2r 6 6r
R
2 8 4 64
4 9 2 3 2 2 3 3 2 2
r r
6 64 16
 
   
     
  

 
 
Portanto, a área do círculo inscrito é: 
 2 2
c c
3 3 2 2
S r S m
16
π
π
 
   
 
Não há alternativa que apresente esta solução. 
 
Resposta da questão 6: 
 [B] 
 
Lembremos que o ângulo interno, na , de um polígono regular de n lados é dado por 
 
    
 
n
2
a 180 1 .
n
 Ademais, na 
construção de um revestimento, com um único tipo de polígono regular, a soma dos ângulos ao redor de cada vértice deve 
ser 360 . 
Por conseguinte, tem-se que o ângulo interno de cada um dos elementos de P deve dividir 360 . 
Observando que, para n 6, a medida de na é tal que    n120 a 180 , vem 
 
 
 
 
 
 
      n360 3 120 3 a , 
 
de modo que não é possível ter três polígonos ao redor de um vértice. Por outro lado, 
     n2 a 2 180 360 
 
nos diz que é impossível recobrir o plano com dois polígonos ao redor de um vértice. 
Em consequência, restam os casos n 3, 4, 5 e 6. Ora, mas desde que  5a 108 , e tal ângulo não é divisor de 360 , só 
pode ser n 3, 4 ou 6. 
 
A resposta é triângulo equilátero, quadrado ou hexágono. 
 
Resposta da questão 7: 
 [B] 
 
Considere os quadriláteros que podemos formar tomando quaisquer quatro vértices do pentadecágono. Como as diagonais 
desses quadriláteros são diagonais do pentadecágono, e a cada quadrilátero corresponde um ponto de interseção das 
diagonais, segue que o resultado pedido é igual ao número de quadriláteros que podemos formar com os vértices do 
polígono, ou seja, 
 
 
15 15!
1365.
4! 11!4
 
     