GEOM PLANA

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GEOMETRIA PLANA PROFESSOR CARLOS CLEY 
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GEOMETRIA PLANA 
 
NOÇÕES PRIMITIVAS 
 
 Os elementos primitivos da geometria são o 
ponto, a reta e o plano, cujas definições são 
impossíveis de serem enunciadas, pois só se tem 
uma noção intuitiva do que sejam. 
 
 
 
 
• A reta r acima pode ser representada assim: 
• Ponto, reta e plano, não têm dimensões. 
• Representa-se um ponto por uma letra maiúscula 
 do nosso alfabeto, uma reta por uma letra 
 minúscula e um plano por uma letra do alfabeto 
 grego. 
• Dois pontos distintos determinam uma única reta. 
• Numa reta existem infinitos pontos. 
• Num plano há infinitos pontos. 
• Três pontos determinam um único plano que passa 
 por eles. 
• Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, 
 então a reta está contida nesse plano. 
• Duas retas contidas num mesmo plano são ditas 
 coplanares, caso pertençam a planos distintos, 
 são denominadas reversas. 
• Duas retas r e s, contidas num mesmo plano, 
 podem ser concorrentes, se têm um único ponto 
 em comum; 
 
 
 paralelas, se não têm ponto em comum ou 
 
 
 
 
 
 
se são coincidentes (iguais) quando têm todos os 
pontos em comum. 
 
 
 
SEGMENTO DE RETA 
 
 Dados dois pontos distintos P e Q, a reunião 
do conjunto desses dois pontos com o conjunto dos 
pontos que estão entre eles e alinhados com os 
mesmos, denomina-se segmento de reta. 
 
• Dois segmentos são congruentes quando têm a 
 mesma medida. 
 
• O ponto médio de um segmento é o ponto que o 
 divide em dois segmentos iguais. 
 
 
 
SEMIRRETA 
 
 Dados dois pontos distintos P e Q, a reunião 
do segmento de reta PQ, com o conjunto dos pontos 
X tais que Q está entre P e X é a semirreta PQ. 
 
 
 
• Duas semirretas são opostas se estão na mesma 
 reta, têm mesma origem e sentidos contrários. 
 
 
 
 
ÂNGULO 
 
 É uma região do plano limitada por duas 
semi-retas de mesma origem. Na figura abaixo temos 
o ângulo de lados e vértice A, cuja 
representação é: BAC, BÂC ou Â, que representa 
o ângulo convexo, salvo menção contrária. 
 
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Ângulos consecutivos – Dois ângulos que têm o 
mesmo vértice e um lado comum. 
 
 
 
Ângulos adjacentes – Dois ângulos consecutivos 
que não têm pontos internos comuns. 
 
 
 
Ângulos opostos pelo vértice (o.p.v.)– Dois 
ângulos αααα e ββββ são o.p.v. se os lados de αααα são as 
semi-retas opostas dos lados de ββββ. 
 
 
 
Ângulo suplementar adjacente 
 
 Dado o ângulo AÔB, as semi-retas opostas 
AO e OC determinam um ângulo BÔC que se chama 
ângulo suplementar adjacente de AÔB. 
 
 
 
Ângulo reto – Ângulo igual ao seu suplementar 
adjacente. 
 
 
Ângulo raso – Ângulo formado por dois retos 
adjacentes. 
 
 
Ângulo agudo – Ângulo menor que um reto. 
 
 
 
Ângulo obtuso – Ângulo maior que um reto e menor 
que um raso. 
 
 
 
UNIDADES DE MEDIDAS DE UM ÂNGULO 
 
 Um ângulo pode ser medido em graus, cujos 
submúltiplos são o minuto e o segundo, em grados 
(gr) ou radianos (rad), este último será definido 
posteriormente. 
Ao dividirmos um ângulo reto em 90 partes 
iguais, cada uma dessas mede um grau (1º). Se 
dividirmos um grau em 60 partes, cada uma dessas 
partes medirá um minuto (1’) e se dividirmos um 
minuto em 60 partes, cada uma dessas partes será 
um segundo (1“). Se dividirmos um ângulo reto em 
100 partes iguais, cada uma dessas partes será um 
grado. 
 1º = 60’ 
 1’ = 60” 
 1º = 3600” 
 90º = 100gr 
 
Ângulos complementares – São dois ângulos cuja 
soma é igual a 90º. 
 
Ex: O complemento de 30º é _________ 
 O complemento de 15º é _________ 
 O complemento de x é _________ 
 
Ângulos suplementares – São dois ângulos cuja 
soma é igual a 180º. 
 
Ex: O suplemento de 135º é _________ 
 O suplemento de 150º é _________ 
 O suplemento de x é _________ 
 
Ângulos replementares – São dois ângulos cuja 
soma é igual a 360º. 
 
Ex: O replemento de 300º é ____________ 
 O replemento de 180º é ____________ 
 O replemento de x é ____________ 
 
Ângulos explementares – São dois ângulos cujo 
módulo da diferença é igual a 180º. 
 
Ex: 60º e 240º são explementares. 
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BISSETRIZ E UM ÂNGULO 
 
 É uma semi-reta interna ao ângulo, com 
origem no vértice do ângulo e que o divide em dois 
ângulos congruentes. 
 
 
 
 
Exercício 01 Calcule x em cada uma das figuras: 
 
a) 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
Exercício 02 (UNIFOR) Às 12h, um matemático 
telefonou para seu filho e disse: “Encontre-me em 
casa antes das 13h, quando os ponteiros do relógio 
estiverem alinhados em sentidos opostos”. Dos 
horários abaixo, o que mais se aproxima do horário 
desse encontro é: 
 
A) 12h30min 
B) 12h31min20s 
C) 12h32min8s 
D) 12h32min43s 
E) 1233min30s 
 
 
 
Exercício 03 (UECE) O ângulo igual a 5/4 do seu 
suplemento mede: 
 
A) 100º 
B) 144º 
C) 36º 
D) 80º 
 
 
 
 
 
Exercício 04 (UFES) O triplo do complemento de um 
ângulo é igual à terça parte do suplemento desse 
ângulo. Esse ângulo mede: 
 
A) 157º 30’ 
B) 56º 15’ 
C) 315º 
D) 78º 45’ 
E) 112º 30’ 
 
 
 
 
 
Exercício 05 Dê o somatório das afirmativas corretas: 
 
(01) Dois ângulos consecutivos são adjacentes 
(02) Dois ângulos adjacentes são consecutivos 
(04) Dois ângulos opostos pelo vértice são 
 consecutivos 
(08) Dois ângulos suplementares são adjacentes 
(16) Dois ângulos complementares podem ser 
 consecutivos 
(32) O suplemento de um ângulo agudo é um 
 ângulo obtuso 
(64) Os ângulos de medidas 10º, 30º e 50º são 
 complementares 
 
 
 
 
Exercício 06 (UFRJ) Sendo y e 3x – 45º dois ângulos 
suplementares e sabendo que 20º < x ≤ 35º, assinale 
a metade do maior valor inteiro que y pode assumir: 
 
A) 60 
B) 80 
C) 81 
D) 160 
E) 162 
 
 
 
 
 
 
 
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ÂNGULOS NAS PARALELAS 
 
 
 Na figura acima, temos duas retas paralelas r 
e s cortadas por uma transversal t, formando oito 
ângulos. A região situada entre as paralelas é 
denominada região interna e a região situada acima 
de r ou abaixo de s é denominada região externa. 
 
São ângulos congruentes (têm mesma medida): 
 
Ângulos correspondentes:{ , }; { , }; { , }; { , } 
Ângulos o.p.v.:{ , }; { , }; { , }; { , } 
Ângulos alternos internos: { , }; { , } 
Ângulos alternos externos: { , }; { , } 
 
São ângulos suplementares (somam 180º): 
 
Ângulos adjacentes: { , }; { , }; { , }; { , } 
Ângulos colaterais internos: { , } e { , } 
Ângulos colaterais externos: { , } e { , } 
 
Exercício 07 Calcule x em cada caso, sabendo que 
as retas r e s são paralelas: 
 
 
 
Exercício 08 (FUVEST) Na figura, as retas r e s são 
paralelas, o ângulo 1 mede 45º e o ângulo 2 mede 
55º. A medida, em graus, do ângulo 3 é: 
 
A) 50 
B) 50 
C) 60 
D) 80 
E) 100 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRIÂNGULOS 
 
 Triângulo é um polígono convexo de três 
lados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na figura acima, temos: 
 
Vértices: A, B e C 
Lados: 
Ângulos internos: 
 
Teorema 
 
“Em todo triângulo, a soma das medidas dos ângulos 
interno é igual a 180º” 
 
 Demonstração 
 
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Teorema 
 
“A medida de um ângulo externo de um triângulo é 
igual à soma dos ângulos internos não adjacentes a 
esse ângulo” 
 
 Demonstração 
 
 
 
Exercício 09 (UEFS) Na figura a seguir, o valor de a 
é, em graus: 
 
A) 73º 
B) 29º 
C) 62º 
D) 45º 
E) n.d.a. 
 
 
 
 
 
Exercício 10 (UFC) Calcule α.CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DE UM TRIÂNGULO 
 
 Num triângulo, a medida de cada lado deve 
ser maior que o módulo da diferença e menor que a 
soma das medidas dos outros dois. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CLASSIFICAÇÕES DOS TRIÂNGULOS 
 
I. Quanto aos ângulos 
 
a) Triângulo retângulo é aquele que possui um 
ângulo interno reto. 
 
 
• O lado maior do triângulo retângulo (o oposto ao 
ângulo reto) é denominado hipotenusa e os outros 
dois lados são denominados catetos. 
 
b) Triângulo acutângulo é aquele em que todos os 
ângulos internos são agudos. Exemplo: 
 
 
c) Triângulo obtusângulo é aquele que possui um 
ângulo interno obtuso. Exemplo: 
 
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II. Quanto aos lados 
 
a) Triângulo escaleno é aquele onde as medidas 
dos lados são todas distintas. 
 
 
 
AB ≠ BC ≠ CA ≠ AB 
 
 
 
 
 
 
b) Triângulo isósceles é aquele que possui dois 
lados congruentes. 
 
 
 
AB = AC (lados congruentes) 
BC é a base 
 
 
 
 
 
• Num triângulo isósceles, os ângulos da base são 
congruentes ( ) 
 
 
c) Triângulo eqüilátero é aquele cujos lados são 
todos congruentes. 
 
 
 
AB = BC = CA 
 
 
 
 
• Todo triângulo eqüilátero é também equiângulo, ou 
seja, tem todos os ângulos congruentes. 
 
 
NATUREZA DE UM TRIÂNGULO 
 
 Se a é o maior lado de um triângulo ABC e: 
 
a2 = b2 + c2, então ABC é retângulo. 
 
a2 < b2 + c2, então ABC é acutângulo. 
 
a2 > b2 + c2, então ABC é obtusângulo 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 11 Some as alternativas verdadeiras: 
 
(01) Todo triângulo isósceles é eqüilátero. 
(02) Todo triângulo eqüilátero é isósceles. 
(04) Um triângulo escaleno é obtusângulo. 
(08) Existe triângulo eqüilátero e retângulo. 
(16) Existe triângulo obtusângulo e eqüilátero. 
(32) Existe triângulo retângulo e isósceles. 
(64) Um triângulo retângulo pode ser escaleno. 
 
 
 
 
CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS 
 
Um triângulo ABC é congruente a outro DEF 
(∆ABC ≡ ∆DEF) se, e somente se é possível 
estabelecer uma correspondência entre seus vértices 
de modo que os lados do ∆ABC sejam 
ordenadamente congruentes aos lados do ∆DEF, 
assim como seus ângulos internos. 
 
 
 
• Há condições mínimas para que dois triângulos 
sejam congruentes e tais condições são 
denominadas casos ou critérios de congruência. 
• Os casos de congruência são L.A.L., A.L.A., L.L.L. 
e L.A.Ao. 
 
CEVIANAS DE UM TRIÂNGULO 
 
 É um segmento que tem uma extremidade 
em um vértice e outra na *reta suporte do lado 
oposto. As principais cevianas são a mediana, a 
bissetriz e a altura. 
 
Mediana é qualquer segmento 
com uma extremidade em um 
dos vértices e outra no ponto 
médio do lado oposto a esse 
vértice. 
 
 
 
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Bissetriz é o segmento da 
bissetriz interna do ângulo, com 
uma extremidade no vértice e 
outra no lado oposto a esse 
vértice. 
 
 
 
Altura é um segmento perpendicular a um dos lados 
ou ao seu prolongamento, cujas extremidades são: 
uma na reta suporte do lado e outra no vértice oposto 
a essa reta. 
 
 
 
 
Pontos notáveis de um triângulo 
 
Baricentro é o ponto de encontro das medianas de 
um triângulo. 
 
 
 
Propriedade 
 
 
 
 
 
 
Ortocentro é o ponto de encontro das alturas de um 
triângulo. 
 
 
 
 
 
 
Incentro é o ponto de encontro das bissetrizes de um 
triângulo. O incentro também é o centro da 
circunferência inscrita no triângulo. 
 
 
 
Circuncentro é ponto de encontro das *mediatrizes 
dos lados de um triângulo. O circuncentro é também 
o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. 
 
 
 
*Mediatriz é qualquer reta que seja perpendicular a 
um dos lados de um triângulo e que contenha o seu 
ponto médio. 
 
Veja as cevianas num só triângulo: 
 
 
• Todo triângulo possui três medianas, três 
bissetrizes internas e três alturas. 
 
• A altura pode ser um segmento externo ao 
triângulo ou até mesmo um dos lados desse 
triângulo. 
• O ortocentro e o circuncentro podem se situar no 
exterior do triângulo 
• Cada ponto de uma mediatriz é equidistante dos 
extremos do seu segmento o qual ela é 
perpendicular no ponto médio. 
• Num triângulo isósceles, a mediana coincide com 
a altura e com a bissetriz relativa à base e, têm 
como reta suporte, a mediatriz. 
 
 
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• Num triângulo equilátero, a mediana relativa a 
qualquer lado, coincide com a altura e com a 
bissetriz, assim o baricentro coincide com o 
incentro, com o ortocentro e com o circuncentro. 
 
• A mediana relativa à hipotenusa de um triângulo 
retângulo é igual à metade da hipotenusa. 
 
 
 
 
Exercício 12 (UFES) O triângulo ABC da figura é 
isósceles com base . Sabendo que 
, o valor do ângulo interno 
no vértice A é: 
 
 
 
 
 
 
Exercício 13 Na figura AB = AC, calcule α. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 14 Na figura, e o perímetro do 
triângulo AMN vale 30cm. Sabendo que BC = 10cm, 
calcule, em cm, o perímetro do triângulo ABC. 
 
 
 
 
 
 
Exercício 15 Na figura, sendo AB = AC, AE = AD, 
calcule a medida do ângulo , dado BÂD = 52º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 16 Na figura abaixo, ABCD é retângulo e M 
é ponto médio de CD. Se o triângulo AMB é 
eqüilátero e AB = 15cm, então calcule a medida, em 
cm, de . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 17 Calcule x na figura abaixo, sabendo que 
M é ponto médio de e  = 70º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 18 Na figura abaixo, DE = 2.AC e r // s. Se 
o ângulo mede β e o ângulo mede α, 
podemos afirmar que 
 
A) β = 2α 
B) β = 
2
3α
 
C) β = 3α 
D) β = 4α 
E) β = 5α 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
01. (UNIFOR) A medida em graus de um ângulo  é 
igual ao triplo de seu complemento. O Ângulo  
mede: 
 
A) 90º D) 48º 30’ 
B) 67º 30’ E) 45º 
C) 60º 
 
 
02. (UNIFOR) Na figura abaixo têm-se as retas r e s, 
paralelas entre si, e os ângulos assinalados, em 
graus. 
 
Nessas condições, α + β é igual a: 
 
A) 130º D) 70º 
B) 110º E) 50º 
C) 100º 
 
03. (UECE) Considere 5 semi-retas, todas partindo 
do mesmo ponto P num certo plano, formando 5 
ângulos contíguos que cobrem todo o plano, cujas 
medidas são proporcionais aos números 2, 3, 4, 5 
e 6. Determine a diferença entre o maior e o menor 
ângulo. 
 
A) 22º D) 72º 
B) 34º 
C) 56º 
 
04. (UNEB) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na figura, AB = BC, DE = BE e CF = CE. Se o ângulo 
 mede 50º, então a medida, em graus, do ângulo 
DÊF é 
 
01) 90 04) 105 
02) 95 06) 130 
03) 100 
 
05. (UCSal) Se na figura seguinte r e s são paralelas, 
então α + β é igual a 
 
A) 2º 
B) 58º 
C) 120º 
D) 122º 
E) 182º 
 
 
 
 
 
 
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06. (UFPE) Na figura abaixo determine o ângulo que 
é oposto ao lado de menor comprimento. 
 
 
07. (UFMG) Observe a figura. Nela, , é 
bissetriz de ; é bissetriz de e a medida 
do ângulo é 140º. A medida do ângulo DÊC, em 
graus, é: 
 
A) 20 
B) 30 
C) 40 
D) 50 
E) 60 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
08. Na figura abaixo, temos um triângulo retângulo 
em A, AE = 5, AD = 4, CD e BE são bissetrizes. 
Determine o valor de GH. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
09. (UFPE) Na figura abaixo, BC, AC são bissetrizes 
dos ângulos DBE, DAB, respectivamente. Se o 
angulo ACB mede 21º 30’, qual a medida em graus 
do ângulo ADB? 
 
A) 43 
B) 41 
C) 40 
D) 44 
E) 42 
 
 
 
 
 
10. Num triângulo retângulo ABC a altura forma 
com a mediana um ângulo de 22º. Calcule 
B – C. 
 
A) 11º 
B) 22º 
C) 30º 
D) 34º 
E) 56º 
 
 
 
 
11. (UFPE) No triângulo ABC, o ângulo A mede 110º. 
Qual a medida do ângulo agudo formadopelas retas 
que fornecem as alturas relativas aos vértices B e C? 
 
A) 60º 
B) 80º 
C) 70º 
D) 75º 
E) 65º 
 
 
12. (FUVEST) Na figura, AB = BD = CD. Então: 
 
A) y = 3x 
B) y = 2x 
C) x + y = 180º 
D) x = y 
E) 3x = 2y 
 
 
 
 
 
 GABARITO - PROPOSTOS 
 
 
 
 
 
 
 
01 B 05 E 09 A 
02 C 06 58 10 B 
03 D 07 C 11 C 
04 02 08 01 12 A 
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SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 
 
 Dois triângulos são semelhantes, se os 
ângulos internos de um, são congruentes aos 
correspondentes do outro e seus lados homólogos 
são proporcionais. 
 
 
 
• r é denominada razão de semelhança dos 
triângulos, e também é a razão entre dois 
elementos lineares homólogos. Se r = 1, os 
triângulos são congruentes. 
• Toda reta paralela a um dos lados de um triângulo 
determina outro triângulo semelhante ao primeiro. 
 
 
 
• Há condições mínimas para que dois triângulos 
sejam semelhantes e tais condições são 
denominadas casos ou critérios de semelhança. 
• Os casos de semelhança são A.A., L.A.L., L.L.L. 
 
BASE MÉDIA DE UM TRIÂNGULO 
 
Se um segmento tem extremidade nos 
pontos médios de dois lados de um triângulo, então 
ele é paralelo ao terceiro lado e mede a metade da 
medida do terceiro lado. 
 
 
 
• Se um segmento paralelo a um dos lados de um 
triângulo tem uma extremidade no ponto médio de 
um lado e a outra extremidade no terceiro lado, 
então esta extremidade é o ponto médio do 
terceiro lado. 
 
Exercício 19 (UFRN) Considerando-se as 
informações contidas no triângulo PQR (figura 
abaixo), pode-se concluir que a altura desse 
triângulo mede: Obs.: Todas as medidas referem-se 
a uma mesma unidade de comprimento. 
 
A) 5 
B) 6 
C) 7 
D) 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 20 (UFPE - adaptada) Na figura seguinte, 
os triângulos ∆ABC e ∆A’B’C’ são simétricos em 
relação à reta r, todos num mesmo plano. Assinale a 
afirmativa correta: 
B
C
A
A '
B '
C
r
 
A) Os triângulos ∆ABC e ∆A’B’C’ não são 
 semelhantes. 
B) Os triângulos ∆ABC e ∆A’B’C’ são congruentes. 
C) Os triângulos ∆ABC e ∆A’B’C’ têm áreas 
 diferentes. 
D) O ângulo A tem medida diferente da do ângulo A’. 
E) A medida do lado AB é maior que a medida do 
 lado A’B’. 
 
 
 
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Exercício 21 Seja o ∆ABC da figura, onde BC = 4cm, 
AC = 6cm e AB = 8cm. Calcular 3.CD. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 22 (MACK-SP) O triângulo ABC da figura é 
eqüilátero. AM = MB = 5 e CD = 6. O valor de AE é: 
 
A) 76/11 
B) 77/11 
C) 78/11 
D) 79/11 
E) 80/11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 23 (UFC) Sejam ABC um triângulo 
retângulo em A, sua altura, relativa ao lado e 
a altura do triângulo ABD, relativa ao lado . Se 
AC = 9cm e DE = 4cm, calcule, em centímetros, o 
valor de . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA DE TALES 
 
Sejam duas transversais a um feixe de retas 
paralelas. A razão entre quaisquer dois segmentos 
determinados por uma das transversais nas paralelas 
é igual à razão entre os segmentos correspondentes 
da outra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 24 (UCSal) Na figura a seguir,onde r//s//t, a 
medida do segmento x é: 
 
A) 3/5 
B) 5/3 
C) 7 
D) 9 
E) 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA DA BISSETRIZ INTERNA 
 
 Uma bissetriz interna de um triângulo divide o 
lado oposto em segmentos (aditivos) proporcionais 
aos lados adjacentes. 
 
 
 
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TEOREMA DA BISSETRIZ EXTERNA 
 
 Se a bissetriz de um ângulo externo de um 
triângulo, intercepta a reta que contém o lado oposto, 
 
 
 
Exercício 25 (CESGRANRIO) No triângulo ABC da 
figura, é a bissetriz do ângulo interno em C. Se 
AD = 3cm, DB = 2cm e AC = 4cm, então o lado 
mede: 
 
A) 3cm 
 
 
 
 
 
 
 
E) 4cm 
 
 
 
Exercício 26 (UEPI) Os lados de um triângulo 
medem, respectivamente, 4cm, 5cm e 6cm. Calcular 
de quantos centímetros é preciso prolongar o lado 
maior, para que ele encontre a bissetriz do ângulo 
externo oposto. 
 
A) 08 
B) 12 
C) 18 
D) 24 
E) 28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
POLÍGONOS 
 
 Dados n pontos distintos de um mesmo plano 
(V1, V2, ..., Vn) com (n ≥ 3), onde três pontos 
consecutivos nunca são colineares, chama-se 
polígono à reunião dos segmentos consecutivos 
. 
 
 
 Note que no polígono convexo, qualquer reta 
determinada por dois segmentos consecutivos deixa 
todos os demais (n – 2) vértices num mesmo semi-
plano, o que não ocorre no polígono côncavo. 
 
 
Superfície poligonal 
 
 É a reunião do polígono com o seu interior. 
 
 
 
Denominamos um polígono de acordo com o 
seu número n de lados, assim se: 
n = 3 triângulo 
n = 4 quadrilátero 
n = 5 pentágono 
n = 6 hexágono 
n = 7 heptágono 
n = 8 octógono 
n = 9 eneágono 
n = 10 decágono 
n = 11 undecágono 
n = 12 dodecágono 
n = 15 pentadecágono 
n = 20 icoságono 
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14 
 
Elementos 
 
 No polígono convexo ABCDEF da figura, 
temos: 
 
 
 
Vértices: A, B, C, D, E e F. 
Lados: São os segmentos AB, BC, CD, DE, EF e FA. 
Diagonais: Quaisquer segmentos que ligam dois 
vértices não consecutivos. Ex: . 
 
Sobre polígonos convexos de n lados (n ≥ 3), temos: 
 
 
 
Si = (n – 2).180º 
 
Se = 360º 
 
ai + ae = 180º 
 
em que : 
 
d é o número de diagonais; 
Si é a soma das medidas dos ângulos internos; 
Se é a soma das medidas dos ângulo externos; 
ai é a medida de um ângulo interno; 
ae é a medida do ângulo externo adjacente a ai. 
 
POLÍGONOS CONVEXOS REGULARES 
 
 Um polígono convexo é regular se, e 
somente se é eqüilátero e eqüiângulo, ou seja, tem 
todos os lados congruentes e todos os ângulos 
internos congruentes. Denominamos um polígono 
regular da seguinte forma: 
 
n = 3 triângulo equilátero 
n = 4 quadrado 
Se n ≥ 5, então acrescentamos o nome “regular” ao 
nome do polígono. Ex: pentágono regular, hexágono 
regular, e assim por diante. Cada ângulo interno ai é 
dado por: 
 
 
e cada ângulo externo: 
 
 
Exercício 27 (FATEC) Dado o triângulo ABC, 
abaixo indicado, construímos a poligonal 
L = BCB1C1B2C2B3C3... O comprimento de L é 
 
A) 2c 
B) a + b + c 
C) 2(a + b) 
D) 2(a + c) 
 
 
 
 
 
 
Exercício 28 (UECE) Na figura estão desenhados um 
hexágono regular, um quadrado e um triângulo. A 
medida do ângulo x é: 
 
A) 45º 
B) 60º 
C) 62º 30’ 
D) 75º 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 29 (IME) A soma dos ângulos internos de 
um polígono convexo é 1080º. Calcule o número de 
diagonais desse polígono. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 30 Um polígono regular possui 30 
diagonais que não passam pelo centro. Quanto mede 
cada ângulo interno? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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15 
 
QUADRILÁTEROS 
 
 Os quadriláteros convexos classificam-se em 
trapezóides, trapézios ou paralelogramos. Seus 
ângulos internos somam 360º. 
 
I. Trapezóides – quadriláteros convexos que não 
possuem lados opostos paralelos. 
 
 
 
II. Trapézios – quadriláteros que possuem dois lados 
paralelos. 
 
 
 
• Num trapézio, as bases são os lados paralelos e 
distância entre as bases é a altura. 
 
• Um trapézio retângulo tem dois ângulos internos 
retos e um dos lados perpendicular às bases. 
 
• Num trapézio isósceles, dois de seus lados 
opostos são congruentes e os ângulos das bases 
são iguais. 
 
• A base média de um trapézio é média aritmética 
entre suas bases maior e menor. 
 
 
 
 
 
 
• A mediana de Euler é o segmento cujos extremos 
são os pontos de interseções das diagonais com a 
base média e sua medida é igual ao módulo da 
semi-diferençaentre as bases. 
 
 
 
Exercício 30 (UFES) Seja ABCD um trapézio 
retângulo. O ângulo formado pelas bissetrizes do seu 
ângulo reto e do ângulo consecutivo da base maior 
mede 92º. Os ângulos agudo e obtuso deste trapézio 
medem, respectivamente: 
 
A) 88º e 92º 
B) 86º e 94º 
C) 84º e 96º 
D) 82º e 98º 
E) 79º e 101º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 31 (CESGRANRIO) As bases MQ e NP de 
um trapézio medem 42cm e 112cm, respectivamente. 
Se o ângulo MQP é o dobro do ângulo PNM, então o 
lado PQ mede: 
 
A) 154cm 
B) 133cm 
C) 91cm 
D) 77cm 
E) 70cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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16 
 
PARALELOGRAMOS 
 
 Todo e qualquer quadrilátero em que os 
lados opostos são paralelos é denominado 
paralelogramo. 
 
 
 
 Todo paralelogramo satisfaz às seguintes 
propriedades: 
 
• Os lados opostos são congruentes, assim como os 
 ângulos internos opostos. 
 
 
• Dois ângulos internos consecutivos são 
 suplementares. Na figura acima, α + β = 180º. 
 
 
• As diagonais interceptam-se mutuamente ao meio, 
 ou seja, o ponto de encontro das diagonais é ponto 
 médio das mesmas. 
 
 
PARALELOGRAMOS ESPECIAIS 
 
 São paralelogramos em que, além das 
propriedades comuns a todos os paralelogramos, 
apresentam outras propriedades. São eles o 
retângulo, o losango e o quadrado. 
 
Retângulo – Tem os quatro ângulos retos e as 
diagonais congruentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Losango – Tem todos os lados congruentes e, as 
diagonais perpendiculares e bissetrizes dos ângulos 
internos. 
 
 
 
Quadrado – Admite todas as propriedades do 
retângulo e do losango, ou seja, tem todos os 
ângulos retos, os lados congruentes, as diagonais 
congruentes, perpendiculares e bissetrizes dos 
ângulos internos. 
 
 
Exercício 32 (UPE) No paralelogramo ABCD, o ponto 
M é o médio do lado . Se mede 12cm, pode-
se afirmar que mede 
 
A) 6cm 
B) 5cm 
C) 4cm 
D) 8cm 
E) 7cm 
 
 
 
 
 
 
Exercício 33 (FUVEST) No triângulo acutângulo ABC 
a base AB mede 4cm e a altura relativa a essa base 
também mede 4cm. MNPQ é um retângulo cujos 
vértices M em N pertencem ao lado AB, P pertence 
ao lado BC e Q ao lado AC. Qual é o perímetro, em 
cm, desse retângulo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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17 
 
CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 
 
 Circunferência é um 
conjunto de pontos de um plano 
equidistantes de um único ponto 
dado pertencentes ao mesmo plano. 
Esse ponto é denominado centro e 
essa distância é o raio r (r > 0) da 
circunferência. 
 Dados: um plano α, um ponto O e uma 
distância r, 
λ(O, r) = {P ∈ α; OP = r} 
 
onde λ(O, r) representa a circunferência de centro O 
e raio r. 
 
Posições relativas entre ponto e circunferência 
 
 Dado um ponto P e uma circunferência 
λ(O, r) 
 
P ∈ λ → OP = r 
P é interno a λ → OP < r 
P é externo a λ → OP > r 
 
 
 
Elementos 
 
• Arco menor CD é a reunião de todos os pontos C, 
D e de todos os pontos de λ, pertencentes ao 
interior do ângulo CÔD. 
• Arco maior CD é a reunião de todos os pontos C, 
D e de todos os pontos de λ, pertencentes ao 
exterior do ângulo CÔD. 
• Salvo contrário, se nos referimos ao arco CD 
falamos do arco menor CD. 
• Corda é qualquer segmento cujas extremidades 
pertencem à circunferência λ. 
• Diâmetro é qualquer corda que passe pelo centro 
de λ. 
• Semicircunferência é qualquer arco cujas 
extremidades são extremidades de um diâmetro. 
 
 
Posições relativas de reta e circunferência 
 
 Uma reta r pode ser secante, se intercepta a 
circunferência em dois pontos distintos, tangente, se 
intercepta a circunferência em um único ponto ou 
externa, se não intercepta a circunferência. 
 
Propriedades 
 
• A reta s suporte do raio de uma circunferência é 
perpendicular a uma reta r secante, no ponto 
médio da corda determinada por essa secante. 
 
 
• Toda reta t tangente a uma circunferência é 
perpendicular à reta s suporte do raio, no ponto 
de tangência. 
 
 
• Se uma reta é externa a uma circunferência, então 
a distância dessa reta ao centro da circunferência 
é maior que o raio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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18 
 
Posições relativas entre circunferências 
 
 Se duas circunferências têm: 
 
I. Um único ponto comum, então são denominadas 
tangentes. 
 
 
 
 
II. Dois pontos em comum, então são denominadas 
secantes. 
 
 
 
Se duas circunferências não têm pontos 
comuns, então elas podem ser externas ou uma 
interna à outra. 
 
 
 
 
CÍRCULO OU DISCO 
 
 É a reunião a circunferência com a sua 
região interna. 
 
 
• Centro, raio, corda, diâmetro e arco de um círculo 
são o centro, o raio, a corda, o diâmetro e o raio 
da circunferência referente a esse círculo. 
 
 
 
 
 
 
SEGMENTOS TANGENTES 
 
 Duas retas não paralelas e tangentes a uma 
mesma circunferência nos pontos distintos A e B, 
interceptam-se num ponto P, tal que os segmentos 
 são congruentes. 
 
 
 
TEOREMA DE PITOT 
 
 Se um quadrilátero convexo é *circunscrito a 
uma circunferência, então a soma de dois lados 
opostos é igual à soma dos outros dois. 
 
 
 
* Um polígono é circunscrito a uma circunferência se 
todos os seus lados são tangentes a essa 
circunferência. Se um polígono é circunscrito a uma 
circunferência, então a circunferência é inscrita no 
polígono. 
 
 
Exercício 34 Calcule o valor do raio r do círculo 
inscrito no trapézio retângulo da figura. 
 
 
 
 
 
 
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19 
 
Exercício 35 Na figura abaixo determine o perímetro 
do triângulo ADE, sabendo que o perímetro do 
triângulo ABC vale 10cm, a base mede 4cm e 
que o círculo está inscrito no quadrilátero BCDE. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA 
 
 Ângulo central é um ângulo cujo vértice é o 
centro da circunferência. A medida do ângulo central 
é igual à medida do seu arco correspondente. 
 
 
 
 
 Ângulo inscrito é um ângulo cujo vértice 
pertence à circunferência e os lados são secantes a 
ela. A medida de um ângulo inscrito é igual à metade 
do arco correspondente. 
 
 
 
 
 
 
 
 Ângulo de segmento é o que tem o vértice 
na circunferência, um lado tangente e outro secante 
à circunferência. A medida de um ângulo de 
segmento é igual à metade do arco correspondente. 
 
 
 
 
 Ângulo excêntrico interior é um ângulo 
formado por duas cordas que se interceptam no 
interior da circunferência em um ponto distinto do 
centro. 
 
 
 
 
 Ângulo excêntrico exterior é um ângulo 
cujo vértice está no exterior da circunferência e cujos 
lados interceptam-na. 
 
 
 
 
 
 
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20 
 
Exercício 36 Calcule x em cada caso: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 37 (UNEB) 
 
 
 
 
 
 
Em um círculo de centro O, figura acima, está inscrito 
o ângulo α. Se o ângulo AÔB mede 80º, então α 
mede 
 
01) 30º 
02) 40º 
03) 45º 
04) 50º 
05) 60º 
 
• Se um triângulo inscrito numa semicircunferência 
tem um lado igual ao diâmetro, então ele é 
triângulo retângulo. 
 
 
 
• Se um quadrilátero convexo está inscrito numa 
circunferência, então os ângulos opostos são 
suplementares. 
 
 
 
Exercício 38 Na figura, o arco mede 60º; 
determine a medida do arco e a medida do 
ângulo . 
 
 
 
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21 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS NO CÍRCULO 
 
 Se por um ponto P passam duas retas 
concorrentes que interceptam a circunferência nos 
pontos A, B, C e D, respectivamente, temos: 
 
 
 
 Se por um ponto P exterior a uma 
circunferência,conduzimos um segmento tangente 
em A e outro secante em B e C, então: 
 
 
 
Exercício 39 Calcule x em cada caso: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
13. (UCSal) Na figura a seguir, o valor de x é: 
 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
 
14. (UFPE) A figura abaixo ilustra dois terrenos 
planos. Suponha que os lados e são 
paralelos, respectivamente, a e e que A, D, F 
e C são pontos colineares. Qual a distância , em 
metros? 
 
A) 75 
B) 76 
C) 78 
D) 79 
E) 80 
 
 
 
15. (UFC) Na figura abaixo, os triângulos ABC e 
AB’C’ são semelhantes. Se 4
C'A'
AC
= , então o 
perímetro de AB’C’ dividido pelo perímetro de ABC é 
igual a: 
A) 1/ 8 
B) 1/ 6 
C) 1/ 4 
D) 1/ 2 
E) 1 
 
 
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22 
 
16. (UFPE) Qual o número inteiro mais próximo do 
comprimento do segmento AB indicado na figura? 
 
B
20 m 30 m
A30 m 40 m
 
 
17. (ENEM/2013) O dono de um sítio pretende 
colocar uma haste de sustentação para melhor firmar 
dois postes de comprimentos iguais a 6m e 4m. A 
figura apresenta a situação real na qual os postes 
são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é 
representada pelo segmento EF, todos 
perpendiculares ao solo, que é indicado de reta AB. 
Os segmentos AD e BC representam cabos de aço 
que serão instalados. 
 
Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF? 
 
A) 1 m D) 3 m 
B) 2 m E) 2 6 m 
C) 2,4 m 
 
18. (UFPE) A figura abaixo representa um rio cujas 
margens são retas paralelas. 
 
Qual o inteiro mais próximo da largura do rio, quando 
medida em metros? 
 
 
19. (UNIFOR) Na figura abaixo tem-se o hexágono 
regular ABCDEF, no qual alguns ângulos estão 
assinalados, com suas medidas indicadas em graus. 
É correto afirmar que: 
 
A) z = 120º 
B) w = 100º 
C) v = 80º 
D) y = 60º 
E) x = 45º 
 
 
 
 
20. (UECE) Sejam P1, P2 e P3 polígonos regulares 
convexos. Suponha que S1, S2 e S3 sejam, 
respectivamente, a soma dos ângulos internos de P1, 
P2 e P3. Se P1, P2 e P3, têm respectivamente n, n + 1, 
n + 2 lados e S1 + S2 + S3 = 3780º, então n² + n – 2 é 
igual a: 
 
A) 40 D) 88 
B) 54 
C) 70 
 
21. (UEFS) 
 
 
 
Na figura, O é o centro da circunferência. Portanto, o 
ângulo mede 
 
A) 120º D) 150º 
B) 130º E) 160º 
C) 140º 
 
22. (ITA) Na figura abaixo 0 é o centro da 
circunferência. Sabendo-se que a reta que passa por 
E e F é tangente a essa circunferência e que a 
medida dos ângulos 1, 2 e 3 são dadas 
respectivamente, por 49º, 18º e 34º, determinar a 
medida dos ângulos 4, 5 , 6 e 7. Nas alternativas 
abaixo considere os valores dados iguais às medidas 
de 4, 5, 6 e 7, respectivamente. 
 
 
 
 
A) 97º, 78º, 61º, 26º 
B) 102º, 79º, 58º, 23º 
C) 92º, 79º, 61º, 30º 
D) 97º, 79º, 61º, 27º 
E) 97º, 80º, 62º, 29º 
 
 
 
 
GEOMETRIA PLANA PROFESSOR CARLOS CLEY 
23 
 
23. (UFPE) Na figura, o círculo tem raio 1, o arcos 
 e medem 
9
π
 e 
6
π
 respectivamente (ambos 
orientados no sentido anti-horário). Se α é a medida 
em radianos do ângulo AÔB, calcule 
π
144
α. 
C
B
D
A
O
 
 
24. (UFPE) Na figura, o círculo tem raio 1, o arcos 
 e medem 
9
π
 e 
6
π
 respectivamente (ambos 
orientados no sentido anti-horário). Se α é medido 
em radianos, calcule 
C
D
B
A
α
 
 
25. (UPE) Os lados do triângulo ABC, da figura, 
medem AB = 20cm, AC = 10cm e BC = 15cm. Sobre 
o lado BC, marca-se D, de modo que BD = 3cm, e 
traça-se a paralela DE ao lado AB. Podemos afirmar 
que o perímetro do paralelogramo AEDF é: 
 
A) 30 cm D) 40 cm 
B) 36 cm E) 38 cm 
C) 35 cm 
 
26. (UFPE) O triângulo ABC ilustrado na figura 
abaixo tem lados medindo AB = 7 e BC = 13. 
Sabendo-se que BMNO é um quadrado com todos os 
vértices sobre os lados do triângulo ABC, indique a 
soma dos dígitos da medida do lado do quadrado. 
 
 
27. (FDC) Por um ponto são conduzidas duas retas, 
S1 e S2, secantes a uma circunferência de centro O, 
conforme mostra a figura abaixo. 
 
A medida θ do ângulo assinalado é 
 
A) 50º D) 20º 
B) 40º E) 10º 
C) 30º 
 
28. (UCSal) Seja a circunferência de centro O 
representada na figura a seguir. O valor de x é: 
 
A) 30º D) 60º 
B) 40º E) 70º 
C) 50º 
 
29. (FUVEST) No triângulo acutângulo ABC a base 
 mede 4cm e a altura relativa a essa base também 
mede 4cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e 
N pertencem ao lado , P pertence ao lado e Q 
ao lado . Qual é o perímetro, em cm, desse 
retângulo? 
 
 
30. (UNICAP) A medida de um ângulo está para a 
medida do seu complemento assim como 2 está para 
7. Qual a medida do ângulo, em graus? 
 
 GABARITO – PROPOSTOS 
13 14 15 16 17 18 19 20 21 
E C C 24 C 26 D C C 
22 23 24 25 26 27 28 29 30 
D 04 20 B 14 D C 08 20 
 
 
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24 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO 
RETÂNGULO 
 
 
 
 No ∆ABC da figura acima, destacamos: 
 
a ⇒ hipotenusa 
b ⇒ cateto 
c ⇒ cateto 
h ⇒ altura relativa à hipotenusa 
m ⇒ projeção do cateto b sobre a hipotenusa 
n ⇒ projeção do cateto c sobre a hipotenusa 
 
 Da semelhança entre os triângulos ABC, 
HAC e HBA, temos: 
 
I. a.h = b.c 
 
II. h² = m.n 
 
III. b² = m.a 
 
IV. c² = n.a 
 
V. a² = b² + c² (Teorema de Pitágoras) 
 
 Demonstração 
 
 
Exercício 40 Demonstre que a altura h de um 
triângulo equilátero em função do seu lado é dada 
pela fórmula: 
 
2
h
3l
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 41 Demonstre que a medida da diagonal 
d de um quadrado de lado é dada pela expressão: 
 
2d l= 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 42 A figura a seguir mostra um triângulo 
isósceles de lados AB = AC = 26cm e BC = 20cm. A 
semi-circunferência tem centro no ponto médio de 
e tangencia e . Se r é o raio da semi-
circunferência, calcule 13.r 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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25 
 
Exercício 43 Uma circunferência de raio x está 
inscrita num setor circular de 90º e raio R, como 
mostra a figura. O valor de x é: 
 
A) R( – 1) 
B) R( + 1) 
C) R( – 1) / 2 
D) R( + 1) / 2 
E) R / 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 44 As circunferências da figura têm raios 
9cm e 4cm, são tangentes entre si e tangenciam a 
reta r nos pontos A e B. Calcule AB. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 45 (UFPE) Na figura abaixo, ABD e BCD 
são triângulos retângulos isósceles. Se AD = 4, qual 
é o comprimento de DC? 
 
A) 24 
B) 6 
C) 7 
D) 8 
E) 28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 46 (UPE) Seja ABCD um quadrado de lado 
40cm. O raio da circunferência que passa pelos 
pontos A e B e é tangente ao lado CD, é 
 
A) 10 unidades de comprimento. 
B) 15 unidades de comprimento. 
C) 20 unidades de comprimento. 
D) 25 unidades de comprimento. 
E) 30 unidades de comprimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO 
RETÂNGULO. 
 
 Em todo triângulo retângulo, em relação aos 
ângulos internos agudos, define-se: 
 
Seno de um ângulo – é a razão entre o cateto 
oposto ao ângulo e a hipotenusa do triângulo. 
 
 
 
Cosseno de um ângulo – é a razão entre o cateto 
adjacente ao ângulo e a hipotenusa do triângulo. 
 
 
 
Tangente de um ângulo – é a razão entre o cateto 
oposto e o cateto adjacente a esse ângulo. 
 
 
 
 
 
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26 
 
Sendo assim, no ∆ABC da figura abaixo, temos: 
 
 
 
 
 
ARCOS NOTÁVEIS 
 
 
 
 
Exercício 47 (UNESP) Um ciclista sobe, em linha 
reta, uma rampa com inclinação de 3 graus a uma 
velocidade constante de 4 metros por segundo. A 
altura do topo da rampa em relação ao ponto de 
partida é de 30m. 
 
 
 
Use a aproximação sen3o = 0,05 e responda. Calcule 
o tempo, em minutos, queo ciclista levou para 
percorrer completamente a rampa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 48 (ESPM-SP/2010.1) Uma pessoa cujos 
olhos estão a 1,80m de altura em relação ao chão 
avista o topo de um edifício segundo um ângulo de 
30o com a horizontal. Percorrendo 80m no sentido de 
aproximação do edifício, esse ângulo passa a medir 
60o. Usando o valor 1,73 para a raiz quadrada de 3, 
podemos concluir que a altura desse edifício é de 
aproximadamente 
 
A) 59m. 
B) 62m. 
C) 65m 
D) 69m. 
E) 71m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 49 (PUCCAMP) A figura a seguir é um 
corte vertical de uma peça usada em certo tipo de 
máquina. No corte aparecem dois círculos, com raios 
de 3cm e 4cm, um suporte vertical e um apoio 
horizontal. A partir das medidas indicadas na figura, 
conclui-se que a altura do suporte é 
 
A) 7cm 
B) 11cm. 
C) 12cm. 
D) 14cm. 
E) 16cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA PLANA PROFESSOR CARLOS CLEY 
27 
 
Exercício 50 (ENEM/2011) Para determinar a 
distância de um barco até a praia, um navegante 
utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto 
A, mediu o ângulo visual α fazendo mira em um 
ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo 
sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que 
fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no 
entanto sob um ângulo visual 2α. A figura ilustra essa 
situação: 
 
 
Suponha que o navegante tenha medido o 
ângulo α = 30º e, ao chegar ao ponto B, verificou que 
o barco havia percorrido a distância AB = 2000 m. 
Com base nesses dados e mantendo a mesma 
trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo 
P será 
 
A) 1000m 
B) 31000 m 
C) 
3
32000
m 
D) 2000m 
E) 32000 m 
 
 
Exercício 51 (FUVEST) No quadrilátero ABCD da 
figura abaixo, E é um ponto sobre , tal que o 
ângulo mede 60º e os ângulos e são 
retos. Sabe-se ainda que AB = CD = 3 e BC = 1. 
Determine a medida de . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LEI DOS SENOS 
 
 Em todo triângulo, os lados são proporcionais 
aos senos dos ângulos opostos e a constante de 
proporcionalidade é o diâmetro da circunferência 
circunscrita ao triângulo. 
 
 
 
 
 
Exercício 52 (UNEB) 
 
 
Na circunferência, figura acima, o raio mede 3cm e 
AC = 3cm. O seno do ângulo ABC é 
 
01) 
2
3
 
02) 
2
2
 
03) 1 
04) 
2
1
 
05) 
2
1
− 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA PLANA PROFESSOR CARLOS CLEY 
28 
 
LEI DOS COSSENOS 
 
 Em todo triângulo o quadrado de um lado é 
igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos 
duas vezes o produto desses dois pelo cosseno do 
ângulo que eles formam. 
 
 
Exercício 53 (UNESP/2012) No dia 11 de março de 
2011, o Japão foi sacudido por terremoto com 
intensidade de 8,9 na Escala Richter, com o 
epicentro no Oceano Pacífico, a 360 km de Tóquio, 
seguido de tsunami. A cidade de Sendai, a 320 km a 
nordeste de Tóquio, foi atingida pela primeira onda 
do tsunami após 13 minutos. 
 
 (O Estado de São Paulo, 13.03.2011. Adaptado) 
 
Baseando-se nos dados fornecidos e sabendo que 
cosα ≅ 0,934, onde α é o ângulo Epicentro-Tóquio-
Sendai, e que 28.32.93,4 ≅ 215100, a velocidade 
média, em km/h, com que a 1a onda do tsunami 
atingiu até a cidade de Sendai foi de 
 
A) 10. 
B) 50. 
C) 100. 
D) 250. 
E) 600. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS 
 
 Os elementos notáveis de um polígono 
regular são: 
 
Centro – é o centro comum das circunferências 
inscrita e circunscrita. 
 
Apótema – é o segmento com uma extremidade no 
centro e outra no ponto médio de um lado. O 
apótema é o raio da circunferência inscrita no 
polígono regular. 
 
Ângulo cêntrico – é um ângulo cujo vértice é o centro 
e os lados passam por dois vértices consecutivos do 
polígono regular. 
 
 
 
 
 
 Como todos os ângulos cêntricos de um 
polígono regular de n lados são congruentes, conclui-
se que a medida de cada um deles é: 
 
 
n
360º
ac = 
 
Exercício 54 Determine o apótema de um: 
 
a) quadrado de lado 
 
 
 
b) triângulo equilátero de lado 
 
 
 
c) hexágono regular de lado 
GEOMETRIA PLANA PROFESSOR CARLOS CLEY 
29 
 
COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA 
 
 O comprimento C ou perímetro de uma 
circunferência é dado por C = 2πR, onde π ≅ 3,14 e R 
é a medida do raio da circunferência. 
 
 
COMPRIMENTO DE UM ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA 
 
 O comprimento de um arco de circunferência 
 é proporcional à sua medida α. 
 
 
Para α em graus, temos: 
 
Ângulo central comprimento do arco 
 360º 2πR 
 α 
 ⇓ 
 
 
 
 
Para α em radianos, temos: 
 
Ângulo central comprimento do arco 
 2π rad 2πR 
 α 
 ⇓ 
 
 = R α 
 
 
• Chama-se radiano (rad) todo arco de circunferência 
cujo comprimento é igual ao comprimento do raio 
da circunferência que o contém. 
 
 
 
Exercício 55 (CESGRANRIO) Um ciclista de uma 
prova de resistência deve percorrer 500km sobre 
uma pista circular de raio 200m. O número 
aproximado de voltas que ele deve dar é: 
 
A) 100 
B) 200 
C) 300 
D) 400 
E) 500 
 
ÁREAS DAS FIGURAS PLANAS 
 
Retângulo 
 
 
 
 
 
 
Paralelogramo 
 
 
 
 ou 
 
 
 
 
Quadrado 
 
 
 
 
 
 
 
 
Losango 
 
 
 
Trapézio 
 
 
 
Triângulo 
 
 
GEOMETRIA PLANA PROFESSOR CARLOS CLEY 
30 
 
• Triângulo equilátero 
 
 
 
• Triângulo retângulo 
 
 
 
• Em função das medidas dos lados (F. de Herão) 
 
 
 
• Em função de dois lados e do ângulo entre eles 
 
 
 
• Em função dos lados e do raio da circunferência 
 circunscrita 
 
 
 
• Em função dos lados e do raio da circunferência 
 inscrita 
 
 
 
 
Polígono regular inscrito 
 
 
 
 
Círculo 
 
 
 
 
Coroa circular 
 
 
 
 
 
Setor circular 
 
 
 
Segmento circular 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA PLANA PROFESSOR CARLOS CLEY 
31 
 
Exercício 56 (UNICAMP) As diagonais D e d de um 
quadrilátero convexo, não necessariamente regular, 
formam um ângulo agudo α. 
 
a) Mostre que a área A desse quadrilátero é 
2
D.d.sen
A
α
= 
 
b) Calcule a área desse quadrilátero convexo para o 
qual D = 8cm, d = 6cm e α = 30º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 57 (UNEB) 
 
 
A área, em cm², do paralelogramo, figura acima, é: 
 
01) 50 
02) 100 
03) 150 
04) 750 
05) 1500 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 58 (UFPE) O dodecágono regular da figura 
abaixo tem lado 3. Qual a soma dos dígitos do inteiro 
mais próximo de sua área? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 59 (UFPE) Dois círculos se tangenciam 
externamente e tangenciam internamente a um 
terceiro círculo (veja a ilustração). Se os centros dos 
três círculos são colineares, e a corda do terceiro 
círculo que é tangente aos outros dois em seu ponto 
de tangência, mede 20, qual a área da região interna 
ao terceiro círculo e externa aos outros dois? 
 
A) 50π 
B) 49π 
C) 51π 
D) 52π 
E) 55π 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 60 (UFC) O teorema de Ptolomeu afirma 
que “em todo quadrilátero convexo inscritível a soma 
dos produtos das medidas dos lados opostos é igual 
ao produto das medidas das diagonais”. Use 
esse teorema para mostrar que: se d e 
representam, respectivamente as medidas da 
diagonale do lado de um pentágono regular, então 
2
51d +
=
l
. 
 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA PLANA PROFESSOR CARLOS CLEY 
32 
 
Exercício 61 (UFPE) Num círculo inscreve-se um 
quadrado de lado 7cm. Sobre cada lado do 
quadrado, considera-se a semicircunferência exterior 
ao quadrado com centro no ponto médio do lado e 
raio 3,5cm, como na figura ao lado. Calcule a área da 
região hachurada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
31. (UFPE) A figura abaixo ilustra um triângulo e sete 
semicircunferências com diâmetros de mesma 
medida. As semicircunferências adjacentes se 
interceptam em um dos seus extremos, que também 
é ponto do triângulo. Se o perímetro do triângulo é 
28, qual o raio das semicircunferências? 
 
A) 7 
B) 6 
C) 4 
D) 2 
E) 1 
 
 
32. (UPE) A figura abaixo é um retângulo de lados 
10cm e 8cm. Podemos afirmar que o valor de x, em 
cm, é: 
 
A) 4; 
B) 4,5; 
C) 5; 
D) 6; 
E) 5,5. 
 
 
 
 
 
 
33. (UFG) O ponto mais baixo de uma roda gigante 
circular de raio R metros dista 1m do solo. A roda 
está girando com 3 crianças que estão, duas a duas, 
à mesma distância. A altura de duas delas, no 
momento em que a outra está no ponto mais alto, é: 
 
 
 
34. (UFC) Os lados e dos triângulos 
eqüiláteros ABC e CED medem, respectivamente, 
6m e 3m. Os segmentos e estão numa reta r, 
são consecutivos e mede 9m. Se os vértices B 
e E estão no mesmo semi-plano determinado por r, 
então o perímetro, em metros, do quadrilátero ABED 
é igual a: 
 
 
35. (UFPE) Acerca da área de um quadrilátero 
convexo com diagonais medindo 5 e 12 e formando 
entre si um ângulo θ estude as afirmações a seguir: 
 
A) A área mede 30 
B) A área depende da posição do ponto de 
 interseção das diagonais. 
C) A área é máxima quando θ = 90º . 
D) A área é 30senθ. 
E) A área pode ser menor que 10-10. 
 
 
GEOMETRIA PLANA PROFESSOR CARLOS CLEY 
33 
 
36. (UFPE) Todos os triângulos da figura abaixo são 
eqüiláteros e o hexágono central é regular. Se 
AB = 3, qual é a área total do polígono estrelado? 
 
 
 
 
 
 
37. (UPE) Assinale coluna I para V e coluna II para F: 
 
I II 
 
0 0 Em um triângulo isósceles, as três medianas são 
 necessariamente congruentes. 
1 1 Se um triângulo tem duas alturas congruentes, 
 então ele é necessariamente equilátero. 
2 2 A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo 
 divide o lado oposto em segmentos 
 proporcionais aos outros dois lados. 
3 3 O ortocentro de um triângulo pode ser um dos 
 vértices. 
4 4 Se dois lados de um triângulo medem 5 cm e 
 4cm respectivamente e formam um ângulo de 
 30º, então sua área é 5 cm2. 
 
 
38. (UFPE) Na figura CD = 3/2 AB e a área do 
triângulo OAB é 8. Qual o valor da área do triângulo 
ODC? 
 
A) 16 
B) 18 
 
D) 24 
E) 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
39. (UFPE) Na figura abaixo, a circunferência maior 
tem raio 5, o arco ACB, de uma circunferência de raio 
5, mede 90º. A circunferência menor é tangente à 
maior e ao arco ACB no seu ponto médio. Qual a 
área da região colorida? 
 
 
 
 
 
 
40. (UNICAP) Determine a área de um triângulo 
isósceles de perímetro igual a 18cm, sabendo que a 
sua base excede de 3cm cada um dos lados 
congruentes. 
 
 
 
41. (UNEB) 
 
 
Na figura, ABC é um triângulo equilátero de altura 
, M e N são pontos médios de AB e BC, 
respectivamente. A área do trapézio ACNM, em u.a. 
é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA PLANA PROFESSOR CARLOS CLEY 
34 
 
42. (UNEB) 
 
 
Na figura, x e y são os valores das medidas dos 
lados do triângulo de área igual a 18u.a. O valor de 
 é igual a: 
 
 
 
 
43. (UFPE) Seja ABCD um paralelogramo de área 
60, E o ponto médio de BC e F a interseção da 
diagonal BD com AE. Sobre as áreas das regiões em 
que fica dividido o paralelogramo, é incorreto afirmar 
que: 
 
 
 
A) A área de ABF é 12. 
B) A área de ABE é 15. 
C) A área de BEF é 5. 
D) A área de AED é 30. 
E) A área de FECD é 25. 
 
44. (UFPE) A figura abaixo ilustra uma região ABC 
de área 8.000m2. K, L, M e N são pontos médios dos 
segmentos BC, AB, AK e LK, respectivamente. Qual 
a área, em m2, da região LMN? 
 
A) 500 
B) 600 
C) 400 
D) 700 
E) 800 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45. (UFPE) O hexágono regular ABCDEF tem 
área 60. Qual a área do hexágono GHIJKL que tem 
vértices nos pontos médios dos lados de ABCDEF? 
 
 
 
46. (UFBA) No semicírculo representado ao lado, 
considerem-se os triângulos retângulos CMO e MHO, 
sendo BM = 5cm e AM = 3cm. Nessas condições, 
pode-se afirmar: 
 
 
(01) OC = 3 cm. 
 
(02) CM = cm. 
 
(04) O perímetro do triângulo AMC é igual a 
 cm. 
 
 
 
(16) A área do circulo do centro em O e raio OB é 
 igual a 16πcm². 
 
(32) AB² = AC² + CB². 
 
 
 
 
47. (UFPE) O menor lado de um retângulo mede 
20cm. Se uma diagonal deste retângulo, forma um 
ângulo de 30o com um dos lados, quanto mede o 
maior lado deste retângulo? 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA PLANA PROFESSOR CARLOS CLEY 
35 
 
48. (UFBA) Com base nos conhecimentos sobre 
Geometria Plana, é correto afirmar: 
 
(01) Num triângulo em que dois de seus lados 
 medem 5 u.c. e 8 u.c. e o ângulo por eles 
 formado mede 30º, a área mede 20 u.a.. 
 
(02) Se uma circunferência está inscrita num trapézio 
 isósceles que tem a base menor medindo 4 u.c. 
 e a base maior igual ao triplo da menor, então 
 seu raio mede 
 
(04) O perímetro do quadrado inscrito no triângulo 
 isósceles representado na figura ao lado mede 
 9,6 u.c. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(08) Se a área de um circulo inscrito num hexágono 
 regular mede 9π u.a., então a área do hexágono 
 mede 
 
(16) Se a circunferência ao 
 lado tem raio igual a 
 1u.c., então a área da 
 região hachurada mede 
 
 
 
 
 
 
 
49. (UFPE) Abaixo encontra-se a planta baixa de 
uma fazenda, situada em uma planície: 
 
O dono deseja cercá-la e o custo do metro de cerca é 
de R$ 10,00. Quantos mil reais o dono irá gastar com 
a cerca? 
 
 
 
 
 
50. (UFPE) Sabendo-se que na fazenda da questão 
anterior: 
 
1) apenas a área hachurada abaixo é produtiva. 
2) que o proprietário declarou o valor do metro 
 quadrado em R$ 1,00. 
3) que o imposto pago na parte produtiva da 
 propriedade foi de R$ 2% de seu valor e na parte 
 improdutiva foi de 20% de seu valor. 
 
 
 
Determine o valor total do imposto pago, em R$, 
dividido por . 
 
 
51. (UFBA) Com base na trigonometria, é verdade: 
 
(01) Se, no triângulo acutângulo ABC, sen  = 
 e , então . 
 
(02) Se num paralelogramo, dois lados formam um 
 ângulo de 120º e medem 6cm e 8cm, então a 
 diagonal maior mede . 
 
(04) Na figura ao lado, 
 a área do triângulo 
 ABC é igual a 
 
 
 
(08) Na figura ao lado, 
 tgβ = 6/17. 
 
 
 
 
 
(16) Na figura ao lado, sendo 
 OA = 4u.c. o raio da 
 circunferência e BC = 3u.c., 
 tem-se cos  = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
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36 
 
 52. (UFCG) Sabendo-se que a área do círculo da 
figura abaixo é 2π cm², determine a área da região 
que está sombreada. 
 
 
 
 
 
53. (UNIVASF) Uma pessoa caminhando sobre um 
terreno plano, saiu de um ponto A e andou 60 metros 
na direção norte, 60 metros para leste, 30 para o 
norte e, finalmente, 30 para oeste, chegando a um 
ponto B. A distância de A e B em linha reta, em 
metros, é 
 
A) 92 D) 
B) E) 100 
C) 
 
 
54. (UPE) Num triângulo retângulo ABC de perímetro 
48m, a altura relativa à hipotenusa mede 9,6m. 
Podemos afirmar que a áreado triângulo é igual a: 
 
A) 96 m2; D) 156 m2; 
B) 69 m2; E) 192 m2. 
C) 144 m2; 
 
 
55. (UFPE) O hexágono regular ABCDEF da figura 
tem área 60. Qual a área do hexágono interior 
GHIJKL? 
 
 
 
 
 
 
56. (UNEB) Sobre um ângulo interno α, de um 
triângulo isósceles, sabe-se que cos α = – 3/5 e que 
o lado oposto a α mede 8u.c. Nessas condições, 
pode-se concluir que a área desse triângulo mede, 
em u.a., 
 
01) 4 04) 12 
02) 8 05) 16 
03) 10 
 
 
57. (UEFS) A razão entre o lado do quadrado inscrito 
e o lado do quadrado circunscrito, em uma 
circunferência de raio r, é 
 
 
 
 
58. (UNIVASF) Uma pista tem a forma de um 
octógono regular com lado medindo 2km, como 
ilustrado abaixo. Partindo de um vértice do octógono, 
um corredor percorre 8km. Qual é a distância, em 
km, entre o ponto de partida e o de chegada do 
corredor? 
 
 
 
 
 
59. (UPE) Sendo A, B e C os centros dos três 
círculos de raio a > 0, figura abaixo, podemos afirmar 
que a área da região hachurada é : 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA PLANA PROFESSOR CARLOS CLEY 
37 
 
60. (UNICAP) A figura abaixo apresenta um triângulo 
retângulo, cujas medidas estão em centímetros. 
 
 
 
 
61. (UFC) Calcule a área do trapézio ABCD sabendo 
que: 
 
I) M é ponto médio de ; 
II) BC = 10; 
III) ; 
IV) MP = 5. 
 
 
62. (UPE) Traçam-se retas tangentes exteriores 
comuns a duas circunferências de raios 2cm e 4cm. 
Sabendo-se que as circunferências são tangentes 
exteriormente, calcule o perímetro do quadrilátero 
cujos vértices são o ponto de interseção das 
tangentes, o centro da circunferência maior e os 
pontos de contato das tangentes com a 
circunferência maior. 
 
 
 
 
 
63. (UFPE) O paralelogramo ABCD este dividido em 
quatro paralelogramos, como ilustrado a figura 
abaixo. As áreas de EBFI, IFCG e HIGD são dadas 
por 15x, 10x² e 14x para algum real positivo x, 
respectivamente. Qual a área da AEIH? 
 
 
A) 15 
B) 21 
C) 24 
D) 25 
E) 28 
 
 
 
64. (UFBA) Com base nos conhecimentos sobre 
geometria plana, é correto afirmar: 
 
(01) Se dois triângulos têm a mesma altura relativa a 
 um lado comum, então eles são congruentes. 
 
(02) Se dois triângulos semelhantes têm a mesma 
 área, então eles são congruentes. 
 
(04) Em um triângulo eqüilátero, o ângulo agudo 
 formado pela altura relativa a um lado e a 
 mediana relativa a outro lado mede 60º . 
 
(08) Em um paralelogramo, se dois lados formam 
 um ângulo de 150º e medem 1cm e cm, 
 então a menor diagonal mede 1cm. 
 
(16) Se A é um conjunto formado por n pontos 
 coplanares de modo que três pontos quaisquer 
 de A não são colineares, então o número de 
 triângulos que se pode formar com vértices 
 pertencentes a A é igual a 
6
2)1)(nn(n −−
. 
 
 
 
 
 
65. (UFPE) Na figura abaixo, as circunferências têm 
centro nos pontos A e B e cada uma delas é tangente 
a três lados do retângulo. Sabendo que cada círculo 
tem área 2, qual á a área do retângulo? 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA PLANA PROFESSOR CARLOS CLEY 
38 
 
66. (UFPE) Na figura a seguir, o quadrado maior foi 
dividido em dois quadrados e dois retângulos. Se os 
perímetros dos dois quadrados menores são 20 e 80, 
qual a área do retângulo sombreado? 
 
A) 80 
B) 90 
C) 100 
D) 120 
E) 140 
 
 
 
 
 
 
 
 
67. (UFPE) A figura abaixo ilustra dois retângulos, 
ABCD e EFGH onde AE mede 3 cm e B é o ponto 
médio de FG. Qual é a área do retângulo ABCD, em 
cm²? 
 
 
68. (UFBA) Na circunferência 
de centro O, representada 
pela figura ao lado, o raio 
mede 4u.c., a distância de 
P a A mede 3 u.c. e a reta PT 
é tangente à circunferência. 
 
Nessas condições é correto 
afirmar: 
 
(01) mede u.c. 
 
(02) A altura do triângulo PTO, em relação ao lado 
 PO, mede 
 
(04) O perímetro do triângulo MOT é igual a 
 
 
(08) A área do triângulo POT mede 
 
(16) A hipotenusa e um triângulo homotético ao 
 triângulo POT em que a razão de homotetia é 
 igual a 3/2 mede 21 u.c.. 
 
 
 
 
69. (UFBA) 
 
 
Considere a figura acima em que 
� A distância entre as retas paralelas r s é igual 
a 20 u.c.; 
� Os segmentos AB e CD medem, 
respectivamente, 10 u.c. e 30 u.c.; 
� P é o ponto de interseção dos segmentos AD 
e BC; 
 
Com base nesses dados, calcule a área do triângulo 
APB, em u.a. 
 
 
70. (UFPE) Uma propriedade rural tem a forma do 
triângulo ABC representado na figura. A região 
cultivada corresponde apenas à porção sombreada. 
Sabendo-se que ABAD
4
3
= e ACAE
3
2
= , que 
porcentagem da área da propriedade rural é 
cultivada? 
 
 
A) 50% 
B) 60% 
C) 66% 
D) 75% 
E) ½(2/3+3/4).100% 
 
 
 
GEOMETRIA PLANA PROFESSOR CARLOS CLEY 
39 
 
71. (UNEB) Se um círculo de área A e um quadrado 
de área Q têm o mesmo perímetro, a razão Q/A é 
igual a: 
 
01) 2/π 04) π/2 
02) π/4 05) π 
03) 4/π 
 
72. (UFC) Os lados de um triângulo medem 7cm, 
9cm e 14cm. Determine, em centímetros, a medida 
da mediana relativa ao lado maior. 
 
73. (UEFS) Se o número de diagonais de um 
polígono P, de n lados, é igual a 1/6 do número de 
diagonais do polígono de 2n lados, então o polígono 
P é um 
 
A) triângulo D) pentágono 
B) hexágono E) quadrilátero 
C) decágono 
 
74. (UFPE) Na ilustração a seguir, temos um 
retângulo ABCD, com medidas AB = 12 e BC = 5, e 
duas faixas retangulares EFGH e IJKL, com EF e JK 
de mesma medida. Se a área da região colorida e a 
da região do retângulo ABCD exterior à área colorida 
são iguais, qual a medida de EF? 
 
A) 1,8 
B) 1,9 
C) 2,0 
D) 2,1 
E) 2,2 
 
 
 
75. (ITA) Um hexágono regular e um quadrado estão 
inscritos no mesmo círculo de raio R e o hexágono 
possui uma aresta paralela a uma aresta do 
quadrado. A distância entre estas arestas paralelas 
será: 
 
 
 
76. (UFPE) A razão a área do triângulo e a área do 
círculo inscrito na figura abaixo, é 
 
A) 12/π 
B) 6/π 
C) 18/π 
D) 4/π 
E) 1/π 
 
77. (UFPB) Na figura ao lado, o raio r da 
circunferência mede 8cm. Se os arcos 
representam semicircunferências, então o valor da 
área em negrito, em cm², é 
 
A) 64π 
B) 32π 
C) 24π 
 
E) 16π 
 
 
 
 
78. (UPE) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado de 
lado cm, e ABE e BCF são triângulos 
eqüiláteros. A área do triângulo BEF, em cm², é igual 
a 
 
 
 
 
79. (UPE) Na figura abaixo, ABC é um triângulo 
equilátero inscrito em um círculo de centro O e raio 
igual a 6cm. Sabendo que AH é a altura do triângulo 
e D é o ponto médio do arco ADC, pode-se afirmar 
que, em cm², a área da região hachurada é 
 
 
 
80. (ITA) Duas circunferências concêntricas C1 e C2 
têm raios de 6cm e cm, respectivamente. Seja 
 uma corda de C2, tangente a C1. A área da 
menor região delimitada pela corda e pelo arco 
 mede, em cm², 
 
A) 9(π − 3) D) 18(π + 2) 
B) 18(π + 3) E) 16(π + 3) 
C) 18(π −2) 
 
GEOMETRIA PLANA PROFESSOR CARLOS CLEY 
40 
 
81. (EsPCEx) No triângulo ABC ao lado, se M e N 
são pontos médios e a área do triângulo DMC é 
1dm², então a área, em dm², do triângulo ABD é: 
 
A) 3 
B) 1,5 
C) 1,9 
D) 2 
E) 2,5 
 
 
 
82. (UPE) Na figura abaixo, B é o ponto médio do 
segmento DE, e ABCD é um retângulo de lados 
AB = 1cm e AD = 2cm. 
 
 
Pode-se afirmar que 
 
I II 
 
0 0 cm 
1 1 O cosseno do ângulo ADE é igual a 
2 2 = cm. 
3 3 A área do triângulo ADE é igual a 2 cm². 
4 4 A área do triângulo ABE é igual a 4 cm². 
 
 
83. (UNEB) 
 
 
A figura representa um círculo de centro C e área 
25πcm². Considerando-se que a corda AB mede 5cm, 
pode-se afirmar que a área do triângulo ABC, em 
cm², é igual a 
 
 
 
84. (UFG/2013) Alguns agricultores relataram que, 
inexplicavelmente, suas plantações apareceramparcialmente queimadas e a região consumida pelo 
fogo tinha o padrão indicado na figura a seguir, 
correspondendo às regiões internas de três círculos, 
mutuamente tangentes, cujos centros são os vértices 
de um triângulo com lados medindo 30, 40 e 50 
metros. Nas condições apresentadas, a área da 
região queimada, em m2, é igual a: 
 
A) 1100π 
B) 1200π 
C) 1300π 
D) 1400π 
E) 1550π 
 
 
 
 
85. Na figura abaixo, AB = AC, BÂC = 20º. Calcule x. 
 
 
 
 
86. (UPE/2014.1) Num terreno, na forma de triângulo 
retângulo, com catetos de medidas 60 metros e 80 
metros, Sr. Pedro construiu uma casa retangular com 
a maior área possível, como na figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Qual é a medida da área do terreno destinado à 
construção da casa, em metros quadrados? 
 
A) 600 D) 1200 
B) 800 E) 1400 
C) 1000 
 
GEOMETRIA PLANA PROFESSOR CARLOS CLEY 
41 
 
87. (ENEM/2013) A cerâmica constitui-se em um 
artefato bastante presente na história da 
humanidade. Uma de suas várias propriedades é a 
retração (contração), que consiste na evaporação da 
água existente em um conjunto ou bloco cerâmico 
quando submetido a uma determinada temperatura 
elevada. Essa elevação de temperatura, que ocorre 
durante o processo de cozimento, causa uma 
redução de até 20% nas dimensões lineares de uma 
peça. 
 Disponível em www.arc.ufsc.br Acesso em: 3 mar. 2012. 
 
Suponha que uma peça, quando moldada em argila, 
possuía uma base retangular cujos lados mediam 30 
cm e 15 cm. Após o cozimento, esses lados foram 
reduzidos em 20%. Em relação à área original, a 
área da base dessa peça, após o cozimento, ficou 
reduzida em 
 
A) 4% D) 64% 
B) 20% E) 96% 
C) 36% 
 
 
88. (ENEM/2012) Um forro retangular de tecido traz 
em sua etiqueta a informação de que encolherá após 
a primeira lavagem, mantendo, entretanto, seu 
formato. A figura a seguir mostra as medidas 
originais do forro e o tamanho do encolhimento (x) no 
comprimento e (y) na largura. A expressão algébrica 
que representa a área do forro após ser lavado é 
(5 – x).(3 – y). 
 
 
 
Nessas condições, a área perdida do forro, após a 
primeira lavagem, será expressa por: 
 
A) 2xy D) –5y – 3x 
B) 15 – 3x E) 5y + 3x – xy 
C) 15 – 5y 
 
89. (UEFS) Se o número de diagonais de um 
polígono P, de n lados, é igual a 1/6 do número de 
diagonais do polígono de 2n lados, então o polígono 
P é um 
 
A) triângulo D) pentágono 
B) hexágono E) quadrilátero 
C) decágono 
 
 
90. (UESB) 
 
 
Uma folha de papel quadrada de lado 12 cm é 
dobrada de modo que o seu vértice D fique sobre o 
lado AB, sendo Q a nova posição do vértice D, 
conforme a figura. Sabendo-se que o ângulo Q mede 
30º, pode-se concluir que o segmento AQ mede, em 
cm, 
 
01) 5 04) 34 
02) 23 05) 7 
03) 6 
 
91. (UPE/2014.1) A figura a seguir representa o 
campo de jogo da Arena Pernambuco. O ponto A 
situa-se exatamente no meio do campo, e o ponto B, 
exatamente no meio da linha do gol. 
 
 
 
Nivelada a partir de medições a laser, a fundação 
tem inclinações muito suaves que evitam o acúmulo 
de água nas zonas centrais, conforme o esquema a 
seguir: 
 
 
 
Considerando essas inclinações do campo, qual a 
diferença de altura entre os pontos A e B, 
representados no desenho do campo? 
 
A) 15,90 cm D) 34,00 cm 
B) 26,50 cm E) 53,00 cm 
C) 29,00 cm 
 
 
 
GEOMETRIA PLANA PROFESSOR CARLOS CLEY 
42 
 
92. (UPE/2013.1) Dois retângulos foram superpostos, 
e a intersecção formou um paralelogramo, como 
mostra a figura abaixo: 
 
Sabendo-se que um dos lados do paralelogramo 
mede 4,5 cm, quanto mede a área desse 
paralelogramo? 
 
A) 12 cm² D) 32 cm² 
B) 16 cm² E) 36 cm² 
C) 24 cm² 
 
93. (UFRN/2008) Tem-se uma folha quadrada, com 
lado medindo 1 metro. Cortando-se triângulos 
isósceles congruentes dos quatro cantos do 
quadrado, obtém-se uma folha na forma de um 
octógono regular, de área S, conforme figura ao lado. 
O valor de S, em m², é: 
A) 
2
12 −
 
B) 22 
C) 
2
2
 
D) 222 − 
 
94. (URCA/2013.1) Na figura abaixo, I é o incentro do 
triângulo ABC. Sendo Â=x e BÎC = 8x. Calcule cos5x. 
 
A) 
2
3
 
B) 
2
1
 
C) 
2
2
 
D) 2 
E) 3 
95. (UNIVASF/2008.2) O contorno da figura a seguir 
é formado por duas semicircunferências de raio 2 e 
um quarto de circunferência de raio 4. Indique a área 
da região 
colorida. 
A) 4π - 8 
B) 4π - 7 
C) 4π - 6 
D) 3π - 5 
E) 2π - 2 
 
96. (UNIVASF/2008.2) Na ilustração a seguir, um 
quadrado de lado 8 e outro de lado 6 estão divididos 
em cinco regiões que podem ser rearrumadas para 
formar um terceiro quadrado. Qual o perímetro do 
terceiro quadrado? 
 
A) 36 
B) 38 
C) 40 
D) 42 
E) 44 
 
 
 
 
97. (UNIVASF/2008 - 2ª fase) Na figura abaixo, 
quatro das cinco circunferências possuem o mesmo 
raio. Três destas são tangentes à circunferência de 
maior raio e têm centros em vértices de um triângulo 
equilátero. A quarta circunferência de raio menor é 
tangente às outras três. Se a e b representam as 
áreas das regiões de cor cinza indicadas na figura, 
assinale 100a/b. 
 
 
a b 
 
 
 
98. (UPE/2009) A figura abaixo representa uma 
correia que envolve duas roldanas de raios, o menor 
de 2cm e o maior de 4cm. Se a distância entre os 
centros das roldanas é igual a 12 cm, é CORRETO 
afirmar que o comprimento, em cm, da correia é igual 
a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) ( )332π4 + D) ( )2π5 + 
B) ( )334π2 + E) ( )223π2 + 
C) 327π + 
 
 
 
GEOMETRIA PLANA PROFESSOR CARLOS CLEY 
43 
 
99. (UPE/2009) O triângulo isósceles tem um dos 
ângulos medindo 120°, e o lado oposto a esse 
ângulo, 12cm. Então 
 
I II 
0 0 os lados congruentes do triângulo medem 6 cm. 
1 1 a altura relativa ao lado de medida 12 cm mede 
 34 cm. 
2 2 a área do triângulo mede 312 cm². 
3 3 a bissetriz relativa ao maior lado mede 3 cm. 
4 4 o segmento que liga os pontos médios dos lados 
 congruentes determina um triângulo cuja área 
 é igual a 33 cm². 
 
100. (ENEM/2010) Em canteiros de obras de 
construção civil é comum perceber trabalhadores 
realizando medidas de comprimento e de ângulos e 
fazendo demarcações por onde a obra deve começar 
ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas 
algumas marcas no chão plano. Foi possível 
perceber que, das seis estacas colocadas, três eram 
vértices de um triângulo retângulo e as outras três 
eram os pontos médios dos lados desse triângulo, 
conforme pode ser visto na figura, em que as estacas 
foram indicadas por letras. 
 
A região demarcada pelas estacas A, B, M e N 
deveria ser calçada com concreto. Nessas 
condições, a área a ser calçada corresponde 
 
A) à mesma área do triângulo AMC. 
B) à mesma área do triângulo BNC. 
C) à metade da área formada pelo triângulo ABC. 
D) ao dobro da área do triângulo MNC. 
E) ao triplo da área do triângulo MNC. 
 
 
101. (SSA3-UPE/2015) Dispondo de cordas de 
comprimentos iguais, Thiago construiu um quadrado 
ao passo que Henrique construiu um círculo. A área 
do quadrado construído por Thiago equivale a 
quantos por cento da área do círculo construído por 
Henrique? 
 
 
 
 
A) 75% D) 70% 
B) 60% E) 42% 
C) 85% 
 
 
102. (UNIVASF/2009 – 2ª fase) Na ilustração a 
seguir, ABC é um triângulo retângulo com catetos AB 
e AC medindo, respectivamente, 40 e 30. Se M é 
ponto médio de AB e N é a interseção da bissetriz do 
ângulo ABC com lado AB, qual a área do triângulo 
CNB? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
103. (ENEM/2010) Um balão atmosférico, lançado 
em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São 
Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta 
segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de 
Presidente Prudente, assustando agricultores da 
região. O artefato faz parte do programa Projeto 
Hibiscus,desenvolvido por Brasil, França, Argentina, 
Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento 
da camada de ozônio, e sua descida se deu após o 
cumprimento do tempo 
previsto de medição. 
 
Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br. Acesso em: 02 maio 2010. 
 
 
 
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o 
balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do 
balão e o avistou sob um ângulo de 60º; a outra 
estava a 5,5 km da posição vertical do balão, 
alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, 
conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo 
de 30º. Qual a altura aproximada em que se 
encontrava o balão? 
 
A) 1,8km D) 3,7km 
B) 1,9km E) 5,5km 
C) 3,1km 
 
 
 
 
 
Considere π = 3 
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44 
 
104. (ENEM/2015) Uma empresa de telefonia celular 
possui duas antenas que serão substituídas por uma 
nova, mais potente. As áreas de cobertura das 
antenas que serão substituídas são círculos de raio 2 
km, cujas circunferências se tangenciam no ponto O, 
como na figura. 
 
 
 
O ponto O indica a posição da nova antena, e sua 
região de cobertura será um círculo cuja 
circunferência tangenciará externamente as 
circunferências das áreas de cobertura menores. 
Com a instalação da nova antena, a medida da área 
de cobertura, em quilômetros quadrados, foi 
ampliada em 
 
A) 8π. D) 32π. 
B) 12π. E) 64π. 
C) 16π. 
 
105. (UFPB) Em parques infantis, é comum 
encontrar um brinquedo, chamado escorrego, 
constituído de uma superfície plana inclinada e lisa 
(rampa), por onde as crianças deslizam, e de uma 
escada que dá acesso à rampa. No parque de certa 
praça, há um escorrego, apoiado em um piso plano e 
horizontal, cuja escada tem 2m de comprimento e 
forma um ângulo de 45º com o piso; e a rampa forma 
um ângulo de 30º com o piso, conforme ilustrado na 
figura a seguir. 
 
De acordo com essas informações, é correto afirmar 
que o comprimento (L) da rampa é de: 
 
A) 2 m D) 24 m 
B) 22 m E) 25 m 
C) 23 m 
 
106. (ENEM/2015) O esquema I mostra a 
configuração de uma quadra de basquete. Os 
trapézios em cinza, chamados de garrafões, 
correspondem a áreas restritivas. 
 
 
 
Visando atender as orientações do Comitê Central da 
Federação Internacional de Basquete (Fiba) em 
2010, que unificou as marcações das diversas ligas, 
foi prevista uma modificação nos garrafões das 
quadras, que passariam a ser retângulos, como 
mostra o Esquema II. 
 
 
 
Após executadas as modificações previstas, houve 
uma alteração na área ocupada por cada garrafão, 
que corresponde a um(a) 
 
A) aumento de 5 800 cm². 
B) aumento de 75 400 cm². 
C) aumento de 214 600 cm². 
D) diminuição de 63 800 cm². 
E) diminuição de 272 600 cm². 
 
107. (MACK) Três ilhas A, B e C aparecem num 
mapa, em escala 1:10000, como na figura 1. Das 
alternativas, a que melhor aproxima a distância em 
km entre as ilhas A e B é: 
 
A) 2,3km 
B) 2,1km 
C) 1,9km 
D) 1,4km 
E) 1,7km 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA PLANA PROFESSOR CARLOS CLEY 
45 
 
108. (UNIVASF/2009 - 2ª fase) Um retângulo ABCD 
é dividido em nove retângulos, e o perímetro de cada 
um de três destes retângulos, está indicado em seu 
interior, como ilustrado na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Qual o perímetro de retângulo ABCD? 
 
 
109. (ENEM/2015) O proprietário de um parque 
aquático deseja construir uma piscina em suas 
dependências. A figura representa a vista superior 
dessa piscina, que é formada por três setores 
circulares idênticos, com ângulo central igual a 60°. O 
raio R deve ser um número natural. 
 
 
 
O parque aquático já conta com uma piscina em 
formato retangular com dimensões 50 m x 24 m. O 
proprietário quer que a área ocupada pela nova 
piscina seja menor que a ocupada pela piscina já 
existente. Considere 3,0 como aproximação para π. 
O maior valor possível para R, em metros, deverá ser 
 
A) 16. D) 31. 
B) 28. E) 49. 
C) 29. 
 
110. (SSA1-UPE/2015) Utilizando instrumentos de 
desenho geométrico, Carlos construiu um retângulo, 
e Joana construiu um paralelogramo, ambos 
representados pelas figuras a seguir: 
 
 
 
 
 
A área do paralelogramo de Joana é, 
aproximadamente, quanto por cento da área do 
retângulo de Carlos? 
 
 
 
A) 70% D) 85% 
B) 75% E) 90% 
C) 80% 
 
111. (ENEM/2015) Para uma alimentação saudável, 
recomenda-se ingerir, em relação ao total de calorias 
diárias, 60% de carboidratos, 10% de proteínas e 
30% de gorduras. Uma nutricionista, para melhorar a 
visualização dessas porcentagens, quer dispor esses 
dados em um polígono. Ela pode fazer isso em um 
triângulo equilátero, um losango, um pentágono 
regular, um hexágono regular ou um octógono 
regular, desde que o polígono seja dividido em 
regiões cujas áreas sejam proporcionais às 
porcentagens mencionadas. Ela desenhou as 
seguintes figuras: 
 
 
Entre esses polígonos, o único que satisfaz as 
condições necessárias para representar a ingestão 
correta de diferentes tipos de alimentos é o 
 
A) triângulo. D) hexágono. 
B) losango. E) octógono. 
C) pentágono. 
 
 
Considere π = 3 
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46 
 
112. (ENEM/2012) Para decorar a fachada de um 
edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais 
compostos de quadrados de lado medindo 1 m, 
conforme a figura a seguir. 
 
 
Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos 
médios dos lados do quadrado e os segmentos AP e 
QC medem 1/4 da medida do lado do quadrado. Para 
confeccionar um vitral, são usados dois tipos de 
materiais: um para a parte sombreada da figura, que 
custa R$ 30,00 o m2, e outro para a parte mais clara 
(regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50,00 o 
m2. De acordo com esses dados, qual é o custo dos 
materiais usados na fabricação de um vitral? 
 
A) R$ 22,50 D) R$ 42,50 
B) R$ 35,00 E) R$ 45,00 
C) R$ 40,00 
 
113. (SSA1-UPE/2014) A figura ao lado mostra o 
espelho circular da malvada madrasta de Branca de 
Neve. Uma formiga, assustada com a malvada, saiu 
do topo do espelho e correu em linha reta por 18 cm, 
até bater na moldura. Depois correu mais 24 cm em 
linha reta, até 
chegar 
exatamente ao 
outro lado do 
espelho. De 
acordo com esses 
dados, quanto 
mede o diâmetro 
do espelho da 
madrasta de 
Branca de Neve? 
 
A) 18cm 
B) 24cm 
C) 30cm 
D) 32cm 
E) 42cm 
 
 
 
 
114. (UFBA) No triângulo ABC, figura ao lado, tem-
se a = x² + x + 1, b = 2x + 1 e c = x² – 1. Calcule 
100.cos  . 
 
 
 
 
115. (ENEM/2012) O losango representado na Figura 
1 foi formado pela união dos centros das quatro 
circunferências tangentes, de raios de mesma 
medida. 
 
 
Dobrando-se o raio de duas das circunferências 
centradas em vértices opostos do losango e ainda 
mantendo-se a configuração das tangencias, obtém-
se uma situação conforme ilustrada pela Figura 2. 
 
 
 
O perímetro do losango da Figura 2, quando 
comparado ao perímetro do losango da Figura 1, 
teve um aumento de 
 
A) 300% D) 100% 
B) 200% E) 50% 
C) 150% 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA PLANA PROFESSOR CARLOS CLEY 
47 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 GABARITOS – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
31 D 48 26 65 B 82 ••• 99 ## 
32 C 49 80 66 C 83 03 100 E 
33 C 50 25 67 36 84 D 101 A 
34 A 51 25 68 14 85 30º 102 75 
35 * 52 • 69 25 86 D 103 C 
36 B 53 B 70 A 87 C 104 A 
37 ** 54 A 71 03 88 E 105 B 
38 B 55 20 72 # 89 B 106 A 
39 25 56 02 73 B 90 04 107 E 
40 12 57 D 74 C 91 B 108 98 
41 05 58 A 75 A 92 E 109 B 
42 04 59 C 76 B 93 D 110 D 
43 A 60 •• 77 C 94 B 111 C 
44 A 61 50 78 D 95 A 112 B 
45 45 62 D 79 C 96 C 113 C 
46 58 63