Simulado Matematica 5

Prévia do material em texto

http://www.penbadu.cjb.net 
SIMULADO DE MATEMÁTICA IME-06 
Professor Marcos José Pio 
 
01) Seja P(x) um polinômio com coeficientes inteiros tal que P(21) 
= 17, P(32) = -247 e P(37) = 33. Prove que se P(N) = N + 51 para 
algum inteiro N, então N=26. 
 
02) Dado o triângulo acutângulo ABC , se consideram os pontos 
D , E e F das retas BC , AC e AB respectivamente. Se as 
retas AD , BE e CF passam todas pelo centro O do círculo 
circunscrito ao triângulo ABC , cujo raio é R , demonstre que: 
RCFBEAD
2111
=++ . 
 
03) Prove que: 21991321 <++++ � . 
 
04) Sejam ba, e c os comprimentos dos lados de um triângulo 
qualquer ABC . Prove que: 
16
1
<
+
−
+
+
−
+
+
−
ac
ac
cb
cb
ba
ba
 
 
05) Ache todas as funções )(xf tais que 
x
x
xfxf 64
1
1)]([ 2 =


+
−
⋅ para todo x distinto de 0, 1 e –1. 
 
06) Seja um triângulo ABC tal que 2=BC e ACAB > . 
Traça-se a altura AH , a mediana AM e a bissetriz AI . Se 
32 −=MI e 2/1=MH , pede-se: 
a) calcule 22 ACAB − e a razão entre os lados AB e AC ; 
b) calcule os comprimentos AB , AC e BC ; 
c) calcule os ângulos do triângulo ABC . 
 
07) Sejam z e 'z dois números complexos e 'zzu ⋅= . Prove 
que: 
u
zz
u
zz
zz +
+
+−
+
=+
2
'
2
'|'||| 
 
08) Sejam u e v úmeros reais tais que 3|| ≤u , 7|| ≤v . 
Determine o valor mínimo da expressão: 
2
2
2
2 4
3
16144)(),(




−−
−
+−= v
u
vuvuf 
 
09) Determine o lugar geométrico da outra extremidade dos 
diâmetros traçados por A(5, 0) nas circunferências que passam por 
este ponto e que são tangenciadas internamente pela 
circunferência de equação x² + y² = 9. 
 
10) Sendo x1 e x2 as raízes da equação x² + 6x + 1= 0, prove 
que Sn = x1n + x2n é um inteiro não divisível por 5 para todo n 
natural. 
 
11) Seja C uma circunferência de raio R= 3/34 . Analise se 
é possível inscrever em C um triângulo cuja área seja 
numericamente igual a seu perímetro. 
 
12) Se uma competição participam concorrentes A, B e C, que 
serão classificados em 1º, 2º ou 3º lugar, sem empates. 
São feitas 100 apostas e em cada uma delas o apostador indica 
qual será a classificação de cada concorrente, um deles para o 
1º lugar, outro para o 2º e outro para o 3º. 
Das 100 apostas, 47 apontavam A como vencedor, 51 
apontavam B para o 2º lugar, e 34 apontavam C como 
vencedor e 16 apontavam C para o 2º lugar. Determine o 
número mínimo de acertadores, sabendo-se que a classificação 
foi A em 1º lugar, B em 2º e C em 3º. 
 
13) Dentre as 50! permutações dos inteiros 1, 2, 3, ..., 50; e, 
quantas delas não aparecem dois múltiplos de 5 juntos? 
 
14) Demonstre que para x = 2pi/13, tem-se que: 
8. (cosx + cos5x).(cos2x + cos3x).(cos4x+ cos6x)=-1 
 
15) Considere um tetraedro de vértices A, B, C e D. São dados 
os ângulos em radianos: ADB=pi/3 e CDB=ADC= pi/2 e os 
comprimentos de três arestas, em metros: DC=3 e DA=DB=4. 
Determine a distância do ponto D ao plano ABC.