Matemátca básica Ferretto

Prévia do material em texto

1 
 
 
 
 
 
Quadro comparativo: 
... 105 104 103 102 101 100 10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 ... 
... 100.000 10.000 1.000 100 10 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 ... 
 
Reescreva os números abaixo utilizando a potência de base 10: 
12.000.000.000.000 = 
 
0,0000000000023 = 
 
30.000.000 × 0,000005 = 
 
48.000.000.000
2.000.000 × 0,00008
= 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
POTÊNCIA DE 10 E NOTAÇÃO CIENTÍFICA 
PotÊncia de dez 
 
 
 
2 
Notação Científica 
A notação científica é uma forma de escrever números que acomodam valores 
demasiadamente grandes ou pequenos. Sua representação numérica é composta de dois 
fatores: 
1º Número decimal 𝒂, tal que 𝟏 ≤ 𝒂 < 𝟏𝟎; 
 2º Potência de base 10 e expoente inteiro. 
 𝑥 = 𝑎 ⋅ 10𝑛 
 
Reescreva os números abaixo em notação científica: 
365.000.000.000.000 = 
 
0,0000000000001345 = 
 
0,0006 × 1015 = 
 
870.000 × 10−8 = 
 
 
 
 
 
3 
Ordem de grandeza 
Se um determinado número em notação científica é representado por 𝒂 ⋅ 𝟏𝟎𝒏, a ordem 
de grandeza desse número é definida assim: 
𝑶𝒓𝒅𝒆𝒎 𝒅𝒆 𝒈𝒓𝒂𝒏𝒅𝒆𝒛𝒂 = {
 10𝑛 𝑠𝑒 𝑎 < √10
 10𝑛+1 𝑠𝑒 𝑎 > √10
 
√10 = 3,1622776601 … 
 
Determine a ordem de grandeza dos números a seguir: 
2,45 = 
 
34,5 = 
 
0,002 × 10−5 = 
 
6,02 × 1023 = 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
Equação do 1º grau, na variável real 𝑥, é toda equação que pode ser expressa 
na forma 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, no qual 𝑎 e 𝑏 são números reais e 𝑎 ≠ 0. 
 
 
 
a. 𝟐𝒙 − 𝟓 = 𝟎 
 
 
 
b. 𝟑𝒙 − 𝟒 = 𝟐𝒙 + 𝟏 
 
 
 
 
c. 𝟏𝟐 − 𝟑𝒙
𝟒
= 𝟐𝒙 
 
 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
EQUAÇÃO DO 1º GRAU 
 
 
2 
 
 
Raiz de uma Equação do primeiro Grau 
Raiz de uma equação do primeiro grau é um número que transforma a equação em uma 
sentença verdadeira. 
 
 
 
𝟑𝒙 − 𝟏𝟐 = 𝟎 
 
 
 
 
Soluções de uma Equação do primeiro Grau 
Uma equação do primeiro grau pode ter uma única solução, infinitas soluções ou 
nenhuma solução no conjunto dos números reais. Veja: 
a. 𝟓𝒙 − 𝟖 = 𝟑𝒙 + 𝟔 
 
 
 
 
 
b. 𝟒 + 𝟐𝒙 = 𝟏𝟎 − 𝟐(𝟑 − 𝒙) 
 
 
 
 
 
c. 𝟒𝒙 − 𝟓 = 𝟒𝒙 + 𝟏 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
 
 
Resolver a equação 𝒙[𝟐𝒙 − (𝟑 − 𝒙)] − 𝟑(𝒙𝟐 − 𝟏) = 𝟎. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolva, em ℝ, a equação 𝟑𝒙−𝟐
𝟐
−
𝒙
𝟑
= 𝟑. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
Problemas que envolvem a Equação do primeiro Grau 
 
 
Um motorista, após ter enchido o tanque de seu veículo, gastou 1/5 da capacidade do 
tanque para chegar à cidade A; gastou mais 28 litros para ir da cidade A até a cidade B; 
sobrou, no tanque, uma quantidade de combustível que corresponde a 1/3 de sua 
capacidade. Qual é a capacidade do tanque desse veículo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A idade de uma pessoa é o dobro da de outra. Há cinco anos, a soma das idades das duas 
pessoas era igual à idade atual da mais velha. Quais são as idades atuais das duas 
pessoas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
Vamos relembrar dois métodos para achar as soluções de um 
sistema de duas equações e duas incógnitas. 
Método da Substituição 
{
𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟏𝟑
𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟏
 
 
 
 
 
Método da Adição 
{
𝟓𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝟏𝟏
𝒙 + 𝒚 = −𝟏
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU 
 
 
2 
 
 
 
 
Numa fazenda existem galinhas e cabras, num total de 40 cabeças e 128 pés. 
Determine o número de cabras dessa fazenda. 
 
 
 
 
 
 
 
Há cinco anos a idade de Paulo era o dobro da idade de Amanda. Daqui a cinco anos 
a soma das duas idades será de 65 anos. Quantos anos Paulo é mais velho do que 
Amanda? 
 
 
 
 
 
 
 
Uma empresa solicitou que seus funcionários entregassem panfletos nas 
residências de uma certa cidade. Se cada funcionário entregasse os panfletos em 100 
residências, 60 delas não seriam visitadas. Como, no entanto, todas as residências foram 
visitadas e cada funcionário visitou 102, quantas residências possui a cidade? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
Equação do 2º grau, na variável real 𝑥, é toda equação da forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 +
𝑐 = 0, no qual 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, com 𝑎 ≠ 0. 
 
 
 
𝟑𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟐 = 𝟎 
𝒂 = 𝒃 = 𝒄 = 
 
 
𝟐
𝟑
𝒙 + 𝒙𝟐 = 𝟎 
𝒂 = 𝒃 = 𝒄 = 
 
 
𝟑𝒙𝟐 − 𝟗 = 𝟎 
𝒂 = 𝒃 = 𝒄 = 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
EQUAÇÃO DO 2º GRAU (Parte 1) 
 
 
2 
 
 
Raiz de uma Equação do segundo Grau 
Uma equação do segundo grau possui no máximo duas raízes. Essas raízes podem ser 
determinadas através da seguinte fórmula, que é conhecida como fórmula de Bhaskara: 
 
 
 
 
2𝑥2 − 9𝑥 + 7 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑥 =
−𝑏 ± ∆
2𝑎
𝑥1 =
−𝑏 + ∆
2𝑎
𝑥2 =
−𝑏 − ∆
2𝑎
no qual
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐
 
 
3 
 
 
Equações Incompletas 
1º Caso: 𝒃 = 𝟎. 
𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝟒 = 𝟎 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2º Caso: 𝒄 = 𝟎. 
𝟒𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 = 𝟎 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
Discriminante ∆ 
∆ > 𝟎 ⇒ a equação possui duas raízes reais e diferentes 
 
∆ = 𝟎 ⇒ a equação possui duas reais e iguais 
 
∆ < 𝟎 ⇒ a equação não possui raízes reais 
 
 
 
 
 
𝟒𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟏 = 𝟎 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟎 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
Relação entre os Coeficientes e as Raízes 
A equação do 2º grau possui duas importantes relações entre as raízes 𝒙𝟏 e 𝒙𝟐 e os 
coeficientes 𝒂, 𝒃 e 𝒄. Essas relações são conhecidas como Soma e Produto ou, também, 
Relações de Girard. 
 
 
 
 
 
 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 
 
 
 
 
𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟎 = 𝟎. 
 
 
 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
EQUAÇÃO DO 2º GRAU (Parte 2) 
Soma: 
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 =
−𝒃
𝒂
 
Produto: 
𝒙𝟏 ⋅ 𝒙𝟐 =
𝒄
𝒂
 
 
 
2 
 
 
 
 
Se 𝒙𝟏 e 𝒙𝟐 são as raízes da equação 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟓 = 𝟎, determine o valor 
da expressão 𝟓
𝒙𝟏
+
𝟓
𝒙𝟐
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
Determinação da Equação do segundo Grau 
Se 𝒙𝟏 e 𝒙𝟐 são as raízes de uma equação do 2º grau, então essa equação pode ser escrita 
como: 
 
 
 
Determine a equação do 2º grau que possui {𝟑,−𝟕} como conjunto solução. 
 
 
 
 
 
 
𝑥2 − 𝑆𝑥 + 𝑃 = 0
𝑆 = 𝑥1 + 𝑥2
P = 𝑥1 ⋅ 𝑥2
 
 
4 
 
 
Problemas que envolvem a Equação do 
segundo Grau 
 
 
O produto da idade de Pedro pela idade de Augusto é igual a 374. Pedro é 5 anos 
mais velho do que Augusto. Quantos anos tem cada um deles? 
 
 
Um homem caminhou 240 km em uma certa viagem. Se caminhasse mais 4 km 
por dia, teria gasto dois dias a menos na viagem. Quantos dias gastou na viagem e 
quantos quilômetros andou por dia? 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
Divisibilidade por 
Um número é divisível por 2 se esse número for par, ou seja, se o algarismo 
das unidades terminar em 0, 2, 4, 6, ou 8. 
 
Quais dos números abaixo são divisíveis por 2: 
234 9830 
 
 8537 19834 
 
Divisibilidade por 
Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos for um número 
divisível por 3. 
 
Quais dos números abaixo são divisíveis por 3: 
 234 9830 
 
8537 21654 
 
 
 
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE 
 
 
 
 
2 
 
Divisibilidade por 
Um número é divisível por 4 se o número formado pelos dois últimos 
algarismos for também divisível por 4. 
 
Quais dos números abaixo são divisíveis por 4: 
 234 9860 
 
 853721648 
 
 
Divisibilidade por 
Um número é divisível por 5 se o algarismo das unidades for 0 ou 5. 
 
Quais dos números abaixo são divisíveis por 5: 
 456 8720 
 
 7348 96245 
 
 
Divisibilidade por 
Um número é divisível por 6 se ele for divisível por 2 e por 3. 
 
Quais dos números abaixo são divisíveis por 6: 
 864 8720 
 
 2635 95046 
 
 
 
 
3 
 
Divisibilidade por 
 
 
46067172109 
 
 
 
Divisibilidade por 
Um número é divisível por 8 se o número formado pelos seus três últimos 
algarismos também for divisível por 8. 
 
Quais dos números abaixo são divisíveis por 8: 
 548864 87206783 
 
 387000 952034680 
 
 
 
Divisibilidade por 
Um número é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos resultar em 
um número divisível por 9. 
 
Quais dos números abaixo são divisíveis por 9: 
 873 840803 
 
 8905 78057 
 
 
 
 
4 
 
Divisibilidade por 
Um número é divisível por 10 se o algarismo das unidades for 0. 
 
 
Quais dos números abaixo são divisíveis por 10: 
 8920 102890 
 
 17902 38522 
 
 
 
 
Divisibilidade por 
 
83038180168658 
 
 
 
 
 
Divisibilidade por 
Um número é divisível por 12 se ele for divisível por 3 e 4. 
 
Quais dos números abaixo são divisíveis por 12: 
 864 7920 
 
 2635 84048 
 
 
1 
 
 
 
 
 
Número primo 
 
Um número natural primo é aquele que possui somente dois divisores 
naturais distintos: o número um e ele mesmo. 
 
 
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, ... 
 
Número composto 
 
Um número natural composto é aquele que possui mais de dois divisores 
naturais distintos. 
 
 
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, ... 
 
 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
NÚMEROS PRIMOS 
 
 
2 
 
 
 
 
Como identificar um número natural primo 
Um número natural é primo se as divisões sucessivas por números primos 
resultarem resto diferente de zero até o divisor ser maior ou igual ao quociente. 
 
 
253 
 
 
 
 
 
223 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
Fatoração de um número inteiro positivo 
O Teorema Fundamental da Aritmética sustenta que todos os números inteiros positivos 
maiores que 1 podem ser decompostos num produto de números primos, sendo essa 
decomposição única, a menos da ordem dos fatores. 
 
 
Decomponha em fatores primos os seguintes números compostos: 
a. 12 
 
b. 90 
 
Regra prática 
Decomponha em fatores primos os seguintes números compostos: 
a. 180 
 
 
 
 
b. 1470 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
FATORAÇÃO E DIVISORES DE UM NÚMERO 
 
 
2 
 
 
 
Quantidade de divisores de um número inteiro positivo 
 
 
Quantos divisores naturais possuem os números abaixo? 
a. 20 
 
 
 
 
 
b. 300 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
Divisores de um número inteiro positivo 
 
 
Quais são os divisores naturais dos seguintes números? 
a. 60 
 
 
 
 
 
 
 
b. 360 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
Múltiplos de um número inteiro 
 
 
𝑴(𝟑) = 
 
𝑴(𝟒) = 
 
 
Mínimo Múltiplo Comum (MMC) 
 
O mínimo múltiplo comum (mmc) de dois ou mais inteiros é o menor 
inteiro positivo que é múltiplo simultaneamente desses números. 
 
MMC – Regra prática 
 
 
Determine o MMC entre os números 12, 15 e 20. 
 
 
 
 
 
𝑴(𝟏𝟐) = {𝟏𝟐, 𝟐𝟒, 𝟑𝟔, 𝟒𝟖, 𝟔𝟎, 𝟕𝟐, 𝟖𝟒, 𝟗𝟔, 𝟏𝟎𝟖, 𝟏𝟐𝟎, 𝟏𝟑𝟐,… } 
𝑴(𝟏𝟓) = {𝟏𝟓, 𝟑𝟎, 𝟒𝟓, 𝟔𝟎, 𝟕𝟓, 𝟗𝟎, 𝟏𝟎𝟓, 𝟏𝟐𝟎, 𝟏𝟑𝟓,… } 
𝑴(𝟐𝟎) = {𝟐𝟎, 𝟒𝟎, 𝟔𝟎, 𝟖𝟎, 𝟏𝟎𝟎, 𝟏𝟐𝟎, 𝟏𝟒𝟎,… } 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
MÚLTIPLOS E MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) 
 
 
2 
 
 
Propriedades que envolvem o MMC 
 
O mínimo múltiplo comum (mmc) entre dois ou mais números primos será 
sempre o produto entre eles. 
 
 
Entre dois ou mais números, se o maior deles é múltiplo dos outros, então 
esse maior número é o mmc. 
 
 
Se os números forem multiplicados/divididos por uma constante 𝑘, então o 
mmc entre esses números também será multiplicado/dividido por 𝑘. 
 
 
Problemas sobre MMC 
 
 
Uma pessoa dá a volta completa em uma pista circular em 24 minutos enquanto 
que outra realiza a mesma volta em 30 minutos. As duas partem juntas e ao mesmo 
tempo às 13h30min. A que horas as duas pessoas se encontrarão novamente no ponto 
onde partiram e quantas voltas deu cada uma? 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
 
Em uma sala existem quatro lâmpadas. A primeira acende a cada 27 minutos, a 
segunda a cada 45 minutos, a terceira a cada hora e a quarta lâmpada só acende quando 
as outras três estiverem acesas ao mesmo tempo. Em um certo momento as quatro 
lâmpadas estão acesas. Pergunta: quantas horas após esse momento as quatro lâmpadas 
voltarão a estar acesas simultaneamente? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
Máximo divisor comum - MDC 
 
O máximo divisor comum (mdc) entre dois ou mais números inteiros é o 
maior número inteiro que é divisor de tais números. 
 
 
Qual é o máximo divisor comum entre os números 12 e 18? 
 
 
MDC – Regra prática 
O máximo divisor comum entre dois ou mais números inteiros pode ser obtido 
pelo método da fatoração simultânea de números inteiros. 
 
 
Calcule o máximo divisor comum nos itens abaixo: 
a. 𝒎𝒅𝒄(𝟏𝟐𝟎, 𝟏𝟒𝟎) = b. 𝒎𝒅𝒄(𝟖𝟒, 𝟏𝟔𝟖, 𝟐𝟏𝟎) = 
 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) 
 
 
2 
 
 
Propriedades 
 
O máximo divisor comum (mdc) entre dois ou mais números primos é 
sempre igual a 1. 
 
 
O Se 𝑎 é divisor de 𝑏, então 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏) = 𝑎. 
 
 
 
 
Se os números forem multiplicados/divididos por uma constante 𝑘, então o 
mdc entre esses números também será multiplicado/dividido por 𝑘. 
 
 
 
Problemas sobre MDC 
 
 
Três barbantes que medem respectivamente 24 m, 84 m e 90 m foram cortados 
em pedaços iguais do maior tamanho possível, sem deixar sobras. Determine o número 
de pedaços obtidos e o tamanho de cada um deles. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
 
 
Um escritório comprou os seguintes itens: 140 marcadores de texto, 120 corretivos 
e 148 blocos de rascunho e dividiu esse material em pacotinhos, cada um deles contendo 
um só tipo de material, porém todos com o mesmo número de itens e na maior quantidade 
possível. Sabendo que todos os itens foram utilizados, calcule o número total de 
pacotinhos feitos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
Grandeza 
 
Grandeza é tudo aquilo que pode ser medido, contado ou comparado. 
 
 
 
Assinale se as grandezas abaixo são diretamente proporcionais (D) ou inversamente 
proporcionais (I): 
( ) Velocidade e Tempo 
( ) Velocidade e Distância 
( ) Tempo e Distância 
( ) Quantidade de Operários e Tempo 
( ) Horas Trabalhadas por dia e Tempo de Realização de um Serviço 
( ) Eficiência e Quantidade de Operários 
 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
REGRA DE TRÊS SIMPLES 
 
 
2 
 
 
Regra de TrÊs Simples 
 
Regra de três simples é uma regra prática para resolver problemas que 
envolvam duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. 
 
 
Um jardineiroconsegue cortar a grama de um gramado, em forma de quadrado 
com 120 m de lado, em 15 horas. Quantas horas o mesmo jardineiro levaria para cortar 
um gramado de 6000 m² de área? 
 
 
Um suinocultor tinha ração para alimentar os seus 100 porcos por 30 dias. Se o 
consumo diário de ração de cada porco é constante e o suinocultor comprou mais 20 
porcos, então a ração irá durar quantos dias? 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
É uma regra prática para resolver problemas que envolvam três ou mais 
grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. 
 
 
Numa gráfica existem 3 impressoras off set que funcionam sem parar, 10 horas 
por dia, durante 4 dias, imprimindo 240.000 folhas. Tendo-se quebrado umas das 
impressoras e necessitando-se imprimir, em 6 dias, 480.000 folhas, quantas horas por 
dia deverão funcionar ininterruptamente as duas máquinas restantes? 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
 
 
2 
 
 
 
Se 2 impressoras trabalhando 10 horas por dia levam 6 dias para fazer 
determinado trabalho, então 3 impressoras (com a mesma eficiência das anteriores) 
trabalhando 8 horas por dia levarão quantos dias para fazer o mesmo trabalho? 
 
 
Vinte e quatro operários fazem 2/5 (dois quintos) de um determinado serviço em 
10 dias, trabalhando 7 horas por dia. Em quantos dias a obra estará terminada, sabendo-
se que foram dispensados 4 operários e o regime de trabalho diminuído de uma hora 
por dia? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo de uma pequena escala: sabendo que no mapa a distância entre São 
Paulo e Manaus seja de 8 cm, determine a distância real entre as duas cidades. 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
ESCALAS NUMÉRICAS 
 
 
2 
 
 
 
 
Exemplo de uma grande escala: 
 
 
 
Exemplo de uma escala microscópica: - veja o exemplo de ampliação de 400 
vezes. 
 
 
 
Um aluno do curso de Engenharia Mecânica recebeu o desenho de uma peça, fez 
as devidas medições e, a partir de sua escala, fabricou a peça. Se a largura da peça no 
desenho tinha 1,5 mm e a largura da peça já fabricada tinha 45 cm, qual é a escala do 
desenho? 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
 
(Ueg) Analise o desenho. 
 
Tendo em vista que, na planta acima, a quadra A possui uma área de 1800 m2, a escala 
numérica da planta é: 
a) 1:10000 
b) 1:1000 
c) 1:100 
d) 1:10 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
Formas de Representação da Porcentagem 
 
 
 
 
Transformação de Taxas 
 
 
 
 
 
 32% = 
 0,43% = 
 0,15 = 
 0,081 =
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
PORCENTAGEM 
Taxa 
Percentual 
Taxa 
Unitária 
 
 
 
 
2 
 
 
 
 
Porcentagem de uma quantia 
 
 
a. Qual é o valor de 30% de R$ 80,00? 
 
 
 
 
b. 60% de quanto dá 27? 
 
 
 
 
c. O valor 24 corresponde a quanto de 150? 
 
 
 
 
 
 
Para calcular 10% ou 1% de um número, basta “andar com a vírgula” uma ou duas 
casas para a esquerda. 
 10% de 32,8 
 
 
 1% de 123 
 
 
 
Notas 
 
 
 
 
3 
 
 
 
 
Aumento de x% de um valor A 
 
 
a. Aumente em 30% o valor 400. 
 
 
 
 
b. Aumente em 8% o valor 250. 
 
 
 
 
Desconto de x% de um valor A 
 
 
a. Diminua em 40% o valor 600. 
 
 
 
b. Diminua em 15% o valor 360. 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
 
Aumentos e Descontos Sucessivos 
Para compor vários aumentos e/ou descontos basta multiplicar os vários fatores 
individuais e obter o fator acumulado. 
 
 
Uma determinada quantia recebe um aumento de 30%, depois um desconto de 
10% e, por último, outro desconto de 20%. . Ao final, a quantia teve um aumento ou 
diminuição ao valor original? Qual é a porcentagem? 
 
 
 
 
 
Problemas que envolvem a Porcentagem 
 
 
De toda a produção agrícola de uma região no ano passado, 68% foram grãos e, 
destes, 75% foi soja. Qual foi o percentual de soja produzida em relação a toda a 
produção agrícola da região no ano passado? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
 
 
 
 
A quantidade de desempregados de um certo país, em 2001, era de 4.400.000, 
correspondendo a 22% da população total. Em 2010, este número aumentou para 
5.400.000, correspondendo a 20% da população total. Indique a variação percentual da 
população do país no período considerado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
Termos Utilizados 
 
 
 
 
Maria Luísa emprestou R$ 1.000,00 a Roberta por 3 anos. Durante esse período, a 
taxa de juros simples aplicada foi de 10% ao ano. Qual é o montante desse empréstimo 
ao final de três anos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De modo geral, podemos dizer que: 
Quando um capital C é aplicado durante t unidades de tempo e a taxa i de juros, 
por unidade de tempo, incide apenas sobre o capital inicial, os juros j são chamados de 
juros simples. Esses juros ao final da aplicação são calculados por: 
 
𝑱 = 𝑪 ⋅ 𝒊 ⋅ 𝒕 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
MATEMÁTICA FINANCEIRA – JUROS SIMPLES 
 
 
2 
 
 
 
 
Qual é o juro simples produzido por um capital de R$ 1.200,00 aplicado durante 
um ano e meio à taxa de 4% ao mês? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em quanto tempo se pode duplicar um capital aplicado a juro simples à taxa de 
0,1% ao dia? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
Gráfico dos Juros Simples 
 
 
Imagine uma taxa de juros simples de 6% ao mês aplicada sobre um capital de 
R$ 500,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
T (meses) 
Montante 
(R$) 
 
 
1 
 
 
 
 
 
Termos Utilizados 
 
 
Maria Luísa emprestou R$ 1.000,00 a Roberta por 3 anos. Durante esse período, a 
taxa de juros compostos aplicada foi de 10% ao ano. Qual é o montante desse 
empréstimo ao final de três anos? 
 
 
 
Fórmula 
 
 Início Juros Montante 
1º Período 
 
2º Período 
 
3º Período 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
MATEMÁTICA FINANCEIRA – JUROS COMPOSTOS 
 
 
2 
 
 
 
 
Determine os juros compostos gerados por uma aplicação de R$ 4.000,00 por 
um período de um ano e meio, à taxa de 8% ao mês. Dado: (1,08)18 = 3,99. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apliquei um capital de R$ 10.000,00 durante 3 anos, a juro composto. A taxa de 
juro no primeiro ano foi de 10%, no segundo, 12% e no terceiro, 8%. . Qual foi o 
montante acumulado nos 3 anos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
 
Gráfico dos Juros Compostos 
 
 
Imagine uma taxa de juros compostos de 6% ao mês aplicadas sobre um capital 
de R$ 500,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
1. definição 
Equação irracional é uma equação em que há incógnita sob um ou mais radicais. 
Exemplos: 
• √𝑥 − 3 = 2 
• √3𝑥 + 2( = 4 
• √2𝑥 + 1 + √2𝑥 − 4 = 8 
2. Forma de resolução 
Para resolvermos uma equação irracional, devemos transformá-la em outra equação equivalente, 
eliminando os radicais. Para isso, basta elevar os dois lados da igualdade a potências convenientes. Ao 
final, sempre devemos testar as raízes encontradas na equação original, pois talvez tenhamos raízes 
que não satisfaçam a igualdade. 
 
 
√2𝑥 − 3 = 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-𝑥. + 5𝑥 + 1 + 1 = 2𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÕES IRRACIONAIS 
 
EXEMPLO 1: 
 
EXEMPLO 2: 
 
 
 
2 
 
 
 
√2𝑥 + 1 + √2𝑥 − 4 = 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
√2𝑥 − 3 + √4𝑥 + 1 = 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
√2𝑥 + 1( = 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-4𝑥. + 9𝑥 + 1( = 𝑥 + 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 3: 
 
EXEMPLO 5: 
 
EXEMPLO 6: 
 
EXEMPLO 4: 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
Razão 
 
Razão é toda a relação existente entre dois valores de uma mesma grandeza, 
expressa geralmente “𝑎 para 𝑏“, 𝑎: 𝑏 ou 𝑎
𝑏
. 
 
 
Quando comparamos duas medidas, dois valores ou até duas grandezas, 
estamos determinando uma relação entre dois números que os representam. 
 
 
a. Um concurso público possui 20.000 candidatos concorrendo a 50vagas. 
 
 
b. Em uma sala de aula existem 20 meninas e 15 meninos. 
 
 
 
 
c. Os modelos mais antigos de televisores possuem telas 4:3. Os modelos 
widescreen possuem telas 16:9. 
 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
RAZÃO E PROPORÇÃO (PARTE 1) 
 
 
2 
 
 
Proporção 
 
Proporção é igualdade entre duas ou mais razões 
 
 
 
Propriedades nas proporções 
a. 𝒂
𝒃
=
𝒄
𝒅
 ⇒ 
b. 𝒂
𝒃
=
𝒄
𝒅
= 
 
 
 
Encontre o valor de 𝑥 na seguinte proporção: 
2𝑥 − 4
8
=
5
2
 
 
 
 
 
 
Uma empresa possui atualmente 2.100 funcionários. Se a relação entre o número de 
efetivos e contratados é de 5 por 2, quantos são os efetivos? 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
Grandezas diretamente proporcionais 
 
As grandezas 𝑎 e 𝑏 são diretamente proporcionais se 𝑎
𝑏
= 𝑘. 
 
 
 
 
 
Três amigas, Roberta, Beatriz e Andréia, abriram uma loja. Roberta entrou com 
R$6.000,00, Beatriz com R$9.000,00 e Andréia com R$12.000,00. No primeiro ano, a loja 
teve um lucro de R$540.000,00, que será dividido de forma proporcional aos valores 
integralizados por elas na abertura do negócio. Quanto cada uma deverá receber? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
RAZÃO E PROPORÇÃO (PARTE 2) 
 
 
2 
 
 
Grandezas inversamente proporcionais 
 
As grandezas 𝑎 e 𝑏 são inversamente proporcionais se uma delas é 
proporcional ao inverso da outra, ou seja, 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑘. 
 
 
 
 
 
José recebeu um prêmio de R$3.000,00 e irá dividi-lo entre suas três filhas de forma 
inversamente proporcional a suas idades. Sabendo que suas filhas têm 20 anos, 15 anos 
e 12 anos, determine a quantia que cada uma receberá. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
           
 
 
 
 
   
Normalmente, usamos letras maiúsculas para nomear os conjuntos e letras 
minúsculas para representar seus elementos. 
 Representação através de chaves
𝐴 = {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜,𝑢} 
 
 
 Representação por diagrama de Venn 
 
 
 
 
 
 Representação por propriedade 
𝐴 = {𝑥 | 𝑥 𝑡𝑒𝑚 𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑃} 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
CONJUNTOS 
Representação de um Conjunto 
A 
 
 
2 
Subconjunto 
 
Dizer que um conjunto 𝐵 é subconjunto de um conjunto 𝐴, é equivalente a 
dizer que, se 𝑥 é elemento de 𝐵, então 𝑥 é elemento de 𝐴. 
 
Em símbolos: 𝑩 ⊂ 𝑨⟺ (∀𝒙)(𝒙 ∈ 𝑩 ⇒ 𝒙 ∈ 𝑨) 
 
 
𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5} 
𝐵 = {3, 4, 5} 
𝐶 = {4, 5, 6} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
Operações 
 União 
 
A união de dois conjuntos 𝐴 e 𝐵, é o conjunto formado pelos elementos 
que pertencem ao conjunto 𝐴 ou ao conjunto 𝐵. 
 
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 𝒐𝒖 𝑥 ∈ 𝐵} 
 
𝐴 = {1, 2, 3, 4} 
𝐵 = {3, 4, 5} 
𝐶 = {1, 2, 3}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 Intersecção 
 
A intersecção de dois conjuntos 𝐴 e 𝐵, é o conjunto formado pelos 
elementos que pertencem ao conjunto 𝐴 e ao conjunto 𝐵. 
 
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 𝒆 𝑥 ∈ 𝐵} 
 
𝐴 = {4, 5, 6, 7} 
𝐵 = {4, 6, 8} 
𝐶 = {8, 9, 10} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 Diferença 
 
A diferença de dois conjuntos 𝐴 e 𝐵, é o conjunto formado pelos 
elementos que pertencem ao conjunto 𝐴 e não pertencem a 𝐵. 
 
𝐴 − 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑥 ∉ 𝐵} 
 
𝑨 = {𝟒,𝟓,𝟔,𝟕} 
𝑩 = {𝟒,𝟔,𝟖} 
𝑪 = {𝟖,𝟗,𝟏𝟎} 
 Complementar 
 
Sejam 𝐴 e 𝐵 dois conjuntos tais que 𝐴 ⊂ 𝐵. Chama-se complementar 
de 𝐴 em relação a 𝐵, o conjunto o qual os elementos pertencem a 𝐵 e não 
pertencem a 𝐴. 
𝐶𝐵
𝐴
= {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐵 e 𝑥 ∉ 𝐴} 
 
𝑨 = {𝟒,𝟓} 
𝑩 = {𝟒,𝟓,𝟔,𝟕} 
𝑪 = {𝟓,𝟔,𝟕} 
 
 
 
 
 
6 
Resolução de Problemas 
É importante que saibamos resolver problemas que relacionam as operações 
entre conjuntos aprendidas até aqui com a quantidade de elementos desses conjuntos. 
 
 
Dos 35 alunos de uma classe, 15 falam inglês, 8 falam espanhol e 16 não falam 
inglês e nem espanhol. Quantos alunos dessa classe falam as duas línguas? 
 
 
Em uma pesquisa, 33% dos entrevistados leem o jornal A, 29% leem o jornal B, 
22% leem o jornal C, 13% leem A e B, 6% leem B e C, 14% leem A e C e 6% leem os 3 
jornais. Qual é a porcentagem que lê os jornais A e B, mas não lê C? 
 
1 
 
 
 
 
Sendo 𝑨 = {𝟏,𝟐}, 𝑩 = {𝟐	,𝟑}, 𝑪 = {𝟏	,𝟑	,𝟒} e 𝑫 =
{𝟏	,𝟐	,𝟑	,𝟒}, classifique em V ou F cada sentença 
abaixo: 
1. 𝐴 ⊂ 𝐷 ( ) 
2. 𝐴 ⊂ 𝐵 ( ) 
3. 𝐵 ⊂ 𝐶 ( ) 
4. 𝐷 ⊃ 𝐵 ( ) 
5. 𝐶 = 𝐷 ( ) 
6. 𝐴 ⊄ 𝐶 ( ) 
Dados os conjuntos 𝑨 = {𝒂,𝒃, 𝒄}, 𝑩 = {𝒄,𝒅} e 𝑪 =
{𝒄,𝒆}, determine: 
7. 𝐴 ∪ 𝐵 = 
 
8. 𝐴 ∪ 𝐶 = 
 
9. 𝐵 ∪ 𝐶 = 
 
Dados os conjuntos 𝑨 = {𝒂,𝒃, 𝒄,𝒅}, 𝑩 = {𝒃, 𝒄,𝒅, 𝒆} e 
𝑪 = {𝒄,𝒆,𝒇}, descreva: 
10. 𝐴 ∩ 𝐵 = 
 
11. 𝐴 ∩ 𝐶 = 
 
12. 𝐵 ∩ 𝐶 = 
 
Sejam os conjuntos 𝑨 = {𝒂,𝒃, 𝒄,𝒅}, 𝑩 =
{𝒄,𝒅,𝒆,𝒇,𝒈} e 𝑪 = {𝒃,𝒅,𝒆,𝒈}, determine: 
 
13. 𝐴 − 𝐵 = 
 
14. 𝐵 − 𝐴 = 
 
15. (𝐴 ∪ 𝐶) − 𝐵 = 
 
16. 𝐴 − (𝐵 ∩ 𝐶) = 
 
 
17. Em uma escola que tem 415 alunos, 221 
estudam inglês, 163 estudam francês e 52 
estudam ambas as línguas. Quantos alunos 
estudam somente inglês ou somente francês? 
Quantos alunos não estudam nenhuma das 
duas? 
 
 
18. Em certa comunidade há indivíduos de três 
etnias: branca, preta e amarela. Sabendo que 
70 são brancos, 350 são não pretos e 50% 
são amarelos, responda: 
 
a) Quantos indivíduos tem a comunidade? 
 
b) Quantos são os indivíduos amarelos? 
 
 
 
GABARITO: 
1. V 
2. F 
3. F 
4. V 
5. F 
6. V 
7. {𝑎, 𝑏, 𝑐,𝑑} 
8. {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑒} 
9. {𝑐,𝑑, 𝑒} 
10. {𝑏, 𝑐,𝑑} 
11. {𝑐} 
12. {𝑐, 𝑒} 
13. {𝑎, 𝑏} 
14. {𝑒,𝑓,𝑔} 
15. {𝑎, 𝑏} 
16. {𝑎, 𝑏, 𝑐} 
17. 280 e 83. 
18. a) 560 
b) 280
 
Exercícios: Conjuntos 
www.professorferretto.com.br
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
Conjunto dos Números Inteiros ℤ 
O conjunto dos números inteiros é representado por: 
ℤ = {… , −𝟑, −𝟐, −𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, … } 
Subconjuntos importantes de ℤ: 
ℤ∗ = {… , −𝟑, −𝟐, −𝟏, 𝟏, 𝟐, 𝟑, … } 
ℤ+ = {𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, … } = ℕ 
ℤ+
∗ = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, … } = ℕ∗ 
ℤ− = {… , −𝟑, −𝟐, −𝟏, 𝟎} 
ℤ−
∗ = {… , −𝟒, −𝟑, −𝟐, −𝟏} 
 
 
Todo número natural é inteiro, isto é, ℕ ⊂ ℤ. 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
Conjunto dos Números Naturais ℕ 
O conjunto dos números naturais é representado por: 
ℕ = {𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, … } 
O conjunto dos números naturais não nulos é representado por: 
ℕ∗ = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, … } 
Nota 
 
 
2 
Conjunto dos Números Racionais ℚ 
 
Número racional é aquele que pode ser representado por uma razão entre 
dois números inteiros, sendo o denominador não nulo. 
ℚ = {
𝑎
𝑏
 | 𝑎 ∈ ℤ e 𝑏 ∈ ℤ∗} 
Um número racional pode ser: 
 Um número inteiro 
−𝟏𝟓
𝟑
= 𝟖
𝟏
= 
 
 Um número decimal exato 
𝟐𝟓
𝟏𝟎
= −𝟗
𝟒
= 
 
 Um número decimal periódico (Dízima Periódica) 
𝟏
𝟑
= 
 −𝟑𝟐𝟒
𝟕
= −𝟒𝟔, 𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕 … 
 
 
 
 Todo número natural é inteiro e todo número inteiro é racional, isto é, ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ. 
 
 
 
 
Nota 
 
 
3 
Conjunto dos Números Irracionais 
Existem números cuja representação decimal com infinitas casas decimais não é 
periódica: esses são os números irracionais. Eles não podem ser representados por uma 
razão entre dois números inteiros, tal como os números racionais. 
 
 
√2 = 1,4142136… 
√3 = 1,7320508… 
𝜋 = 3,1415926… 
 
 
 
Até esse momento, um número é racional ou irracional e ℤ⋂𝐼 = ∅ 
 
 
Conjunto dos Números Reais ℝ 
A união entre o conjunto dos números racionais com o conjunto dos números 
irracionais resulta no conjunto dos números reais ℝ . 
 
 
Nota 
1 
 
 
 
 
Assinale V para verdadeiro e F para falso: 
1. ℕ ⊂ ℤ () 
 
 
2. ℕ ∪ ℤ− = ℤ ( ) 
 
 
3. ℤ+ ∩ ℤ− = ∅ ( ) 
 
 
4. 0 ∈ ℤ− ( ) 
 
 
5. ℕ ⊂ ℚ ( ) 
 
 
6. ℤ ⊂ ℚ ( ) 
 
 
7. 0 ∈ ℚ ( ) 
 
 
8. 517 ∈ ℚ ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. 0,474747… ∈ ℚ ( ) 
 
 
10. {
4
7
,
11
3
} ⊂ ℚ ( ) 
 
 
11. 3 ∈ ℝ ( ) 
 
 
12. ℕ ⊂ ℝ ( ) 
 
 
13. ℤ ⊂ ℝ ( ) 
 
 
14. 
1
2
∈ ℝ −ℚ ( ) 
 
 
15. √4 ∈ ℝ −ℚ ( ) 
 
 
16. √4
3
∈ ℝ −ℚ ( ) 
 
 
 
 
 
 
GABARITO: 
1. V 
2. V 
3. F 
4. V 
5. V 
6. V 
7. V 
8. V 
9. V 
10. V 
11. V 
12. V 
13. V 
14. F 
15. F 
16. V 
 
Exercícios: Conjuntos numéricos 
www.professorferretto.com.br
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
 
 
 
1 
 
 
 
Representação Decimal Finita 
𝟗
𝟐
= 
 
 
 
 
𝟓 = 
 
−𝟐,𝟒𝟕𝟓 = 
 
𝟐𝟑
𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
REPRESENTAÇÃO DECIMAL 
 
 
 
 
2 
Representação Decimal Infinita 
Um número com representação decimal infinita é chamado de dízima. 
 Dízima não periódica 
É um número que quando escrito na forma decimal apresenta uma série infinita de 
algarismos após a vírgula e, em nenhum momento, se repetem em grupos de um ou 
mais algarismos. 
 
 
𝟐𝟑,𝟏𝟕𝟖𝟗𝟎𝟑𝟖𝟔𝟐𝟕𝟑𝟗𝟒𝟓… 
 
−𝟓,𝟑𝟗𝟎𝟓𝟕𝟐𝟓𝟏𝟖𝟎𝟑𝟗𝟎𝟎𝟏… 
 
 
 Dízima periódica 
É um número que quando escrito na forma decimal apresenta uma série infinita de 
algarismos após a vírgula e, a partir de certo algarismo, se repetem em grupos de um 
ou mais algarismos. 
 
 
𝟎,𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑… =
𝟏
𝟑
 
 
𝟎,𝟐𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑… =
𝟐𝟏
𝟗𝟎
 
 
𝟐,𝟕𝟖𝟐𝟔𝟎𝟖𝟔𝟗𝟓𝟔𝟓𝟐𝟏𝟕𝟑𝟗𝟏𝟑𝟎𝟒𝟑𝟒𝟕𝟖𝟐𝟔𝟎𝟖𝟔𝟗𝟔… =
𝟔𝟒
𝟐𝟑
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
𝟎,𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒… 
 
 
 
 
 
𝟓,𝟑𝟓𝟑𝟓𝟑𝟓… 
 
 
 
 
 
 
𝟔,𝟑𝟐𝟏𝟐𝟏𝟐𝟏… 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
𝟎,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐… 
 
 
 
𝟒,𝟐𝟔𝟐𝟔𝟐𝟔𝟐𝟔… 
 
 
 
 
 
𝟖,𝟐𝟒𝟑𝟏𝟒𝟑𝟏𝟒𝟑𝟏𝟒𝟑… 
 
 
 
 
 
 
𝟎,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗… = 𝟏? 
 
 
 
 
 
Notas 
1 
 
 
 
 
Coloque na forma de uma fração irredutível os seguintes 
números racionais: 
1. 0,4 = 
 
2. 0,444… = 
 
3. 0,32 = 
 
4. 0,323232… = 
 
5. 54,2 = 
 
6. 5,423423423… = 
 
7. 1,090909… = 
 
8. 0,077777… = 
 
9. 1,272727… = 
 
10. 0,625 = 
 
 
 
 
 
 
 
Calcule o valor de: 
11. 
0,2 ⋅ 0,7− 4 ⋅ 0,01
0,5 ⋅ 0,2
= 
 
 
 
 
 
 
12. 
0,999…+
1
5
+
1
3
3
5
−
1
15
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO: 
1. 2/5 
2. 4/9 
3. 8/25 
4. 32/99 
5. 271/5 
6. 602/111 
7. 12/11 
8. 7/90 
9. 14/11 
10. 5/8 
11. 1 
12. 2 
 
Exercícios: Representação decimal 
www.professorferretto.com.br
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
 
 
1 
 
 
 
 
A reta real 
A cada ponto de uma reta pode-se associar um único número real. 
 
 
 
 
 
Intervalos reais 
Considere 𝒂,𝒃 ∈ ℝ, no qual 𝒂 < 𝒃. Os intervalos reais são os subconjuntos de 
ℝ apresentados a seguir: 
Intervalo fechado 
{𝒙 ∈ ℝ | 𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃} = [𝒂,𝒃] 
 
Intervalo aberto 
{𝒙 ∈ ℝ | 𝒂 < 𝒙 < 𝒃} = ]𝒂,𝒃[ 
 
Intervalo fechado à esquerda 
{𝒙 ∈ ℝ | 𝒂 ≤ 𝒙 < 𝒃} = [𝒂,𝒃[ 
 
Intervalo fechado à direita 
{𝒙 ∈ ℝ | 𝒂 < 𝒙 ≤ 𝒃} = ]𝒂,𝒃] 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
INTERVALOS REAIS 
ℝ 
ℝ 
ℝ 
ℝ 
ℝ 
 
 
2 
 
Intervalo ilimitado 
{𝒙 ∈ ℝ | 𝒙 ≥ 𝒂} = [𝒂, +∞[ 
 
{𝒙 ∈ ℝ | 𝒙 < 𝒂} = ]−∞,𝒂[ 
 
Operações com intervalos 
Intervalos são subconjuntos de ℝ, logo é possível fazer operações com eles. 
 
 
Dados os intervalos 𝑨 = ]𝟒,𝟖], 𝑩 = [𝟔,𝟏𝟎], 𝑪 = ]− 𝟑, +∞[ e 𝑫 = ] −∞,𝟕], 
determinar: 
a. 𝑨 ∪ 𝑩 
b. 𝑨 ∩ 𝑩 
c. 𝑪 − 𝑫 
 
 
 
 
 
 
 
ℝ 
ℝ 
1 
 
 
 
 
Determine os seguintes conjuntos: 
1. 
[2, 0] ∩ [1, 3] = 
 
 
2. 
[2, 0] ∩ ]1, 3[ = 
 
 
3. 
]−1,
2
5
[ ∩ ]0,
4
3
[ = 
 
 
4. 
]−∞, 2] ∩ [0, +∞[ = 
 
 
5. 
[−1,+∞[ ∩ [−
9
2
, 2[ = 
 
 
 
6. 
[1, 2] ∩ [0, 3] ∩ [−1, 4] = 
 
 
7. 
[−1, 3] ∪ [0, 4] = 
 
 
8. 
]−2, 1] ∪ ]0, 5[ = 
 
 
9. 
[−1, 3] ∪ [3, 5] = 
 
 
10. 
[−
1
2
, 0[ ∪ ]−
3
2
,−
1
4
] = 
 
 
 
 
GABARITO: 
1. [1, 2] 
2. ]1, 2] 
3. ]0, 2
5
[ 
4. [0, 2] 
5. [−1, 2[ 
6. [1,2] 
7. [−1, 4] 
8. ]−2, 5[ 
9. [−1, 5] 
10. ]− 3
2
, 0[
 
Exercícios: Intervalos reais 
www.professorferretto.com.br
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
Progressão Aritmética 
 
Progressão Aritmética (PA) é toda sequência numérica em que cada termo, a 
partir do segundo, é igual à soma do termo antecedente com uma constante 
r. O número r é chamado de razão da progressão aritmética. 
 
 
 
 
 
 
 
Fórmula do Termo Geral de uma PA 
 
 
 
Numa 𝑷𝑨(𝒂𝟏,𝒂𝟐,𝒂𝟑,𝒂𝟒, … ,𝒂𝒏, … ) de razão r, temos: 
 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
PROGRESSÃO ARITMÉTICA – Parte 1 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ⋅ 𝑟 
 
 
2 
 
 
 
 
 
1. Determinar o 48º termo da 𝑷𝑨(𝟑,𝟕,𝟏𝟏,𝟏𝟓, … ). 
 
 
 
 
2. Determine a PA em que o 6º termo é 7 e o 10º termo é 15. 
 
 
 
 
 
3. Inserir 6 meios aritméticos entre 2 e 16, nessa ordem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
Propriedades das Progressões Aritméticas 
 
 
Em uma PA finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual 
à soma dos extremos. 
 
𝑷𝑨(−𝟒, −𝟏, 𝟐, 𝟓, 𝟖, 𝟏𝟏, 𝟏𝟒) 
 
 
 
 
 
Em uma PA de três termos, o termo médio é igual à média aritmética entre 
os outros dois. 
 
𝑷𝑨(𝟔,𝟗,𝟏𝟐) 
 
 
As medidas dos lados de um triângulo são expressas por 𝒙 + 𝟏, 𝟐𝒙, 𝒙𝟐 − 𝟓 e 
estão em PA, nessa ordem. Calcule o perímetro do triângulo. 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
1. Calcule o 17° termo da P.A. cujo primeiro 
termo é 3 e cuja razão é 5. 
 
 
 
 
 
 
 
2. Obtenha a razão da P.A. em que o primeiro 
termo é ­8 e o vigésimo é 30. 
 
 
 
 
 
 
 
3. Obtenha o primeiro termo da P.A. de razão 4 
cujo 23° termo é 86. 
 
 
 
 
 
 
 
4. Qual é o termo igual a 60 na P.A. em que o 2° 
termo é 24 e a razão é2? 
 
 
 
 
 
 
 
5. Determine a P.A. em que o 6° termo é 7 e o 
10° é 15. 
 
 
 
 
 
 
 
6. Qual é a P.A. em que o 1° termo é 20 e o 9° 
termo é 44? 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: Termo geral de uma PA 
www.professorferretto.com.br
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
2 
 
7. Determine a P.A. em que se verificam as 
relações: 
𝑎12 + 𝑎21 = 302 𝑒 𝑎23 + 𝑎46 = 446 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Quantos números ímpares há entre 14 e 192? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Quantos meios aritméticos devem ser 
interpolados entre 12 e 34 para que a razão 
da interpolação seja 1/2? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Intercale 12 meios aritméticos entre 100 e 
200. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO: 
1. 83 
2. 𝑟 = 2 
3. 𝑎1 = −2 
4. 𝑎20 
5. (−3,−1,1, 3, … ) 
6. (20,23,26, … ) 
7. (89, 93, 97, … ) 
8. 89 
9. 43 
10. 𝑟 = 100
13
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
PA de Termos 
Para agilizar a resolução de certos problemas, convém representar a PA de maneira 
genérica. Veja: 
 PA de 3 termos: (𝒙 − 𝒓,𝒙,𝒙+ 𝒓) 
 
 
Numa PA decrescente de três termos, a soma desses termos é −6 e o 
produto é 64. Determine a PA. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
PROGRESSÃO ARITMÉTICA – Parte 2 
 
 
2 
 
 
Soma dos Termos de uma PA 
Somar os números naturais de 1 a 100. 
 (𝟏 𝟐 𝟑 … 𝟗𝟖 𝟗𝟗 𝟏𝟎𝟎) 
 
 
 
Esse raciocínio pode ser generalizado pela seguinte fórmula: 
 
 
 
Estudos realizados em um município mostraram queo desmatamento do cerrado 
cresce assustadoramente. A cada dia são desmatados 4 ℎ𝑎 a mais que a área desmatada 
no dia anterior. No primeiro dia de determinado mês foram desmatados 50 ℎ𝑎 nesse 
município. Quantos hectares foram desmatados nos 20 primeiros dias desse mês? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑆𝑛 =
(𝑎1 + 𝑎𝑛) ⋅ 𝑛
2
 
1 
 
 
 
1. Calcule a soma dos 25 termos iniciais da P.A. 
(1, 7, 13, ...). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Obtenha a soma dos 12 primeiros termos da 
P.A. (6, 14, 22, ...). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Qual é o 23° elemento da P.A. de razão 3 em 
que a soma dos 30 termos iniciais é 255? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Uma progressão aritmética de 9 termos tem 
razão 2 e soma de seus termos igual a 0. 
Determine o sexto termo da progressão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. O primeiro termo de uma progressão 
aritmética é ­10 e a soma dos oito primeiros 
termos 60. Determine a razão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: Soma dos termos de uma PA 
www.professorferretto.com.br
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
2 
 
 
6. A soma dos vinte primeiros termos de uma 
progressão aritmética é ­15. Calcule a soma 
do sexto termo dessa P.A. com o décimo 
quinto termo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Numa progressão aritmética limitada em que 
o 1° termo é 3 e o último 31, a soma de seus 
termos é 136. Determine o número de termos 
dessa progressão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Quantos termos devem ser somados na P.A. (­
5, ­1, 3, ...), a partir do 1° termo, para que a 
soma seja 1590? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Determine uma P.A. de 60 termos em que a 
soma dos 59 primeiros é 12 e a soma dos 59 
últimos é 130. 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Qual é a soma dos múltiplos positivos de 5 
formados por 3 algarismos? 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO: 
1. 1.825 
2. 𝑆12 = 600 
3. 𝑎23 = 31 
4. 𝑎6 = 2 
5. r = 5 
6. 𝑎6 + 𝑎15 = −1,5 
7. n = 8 
8. 30 
9. 𝑎1 =
−3410
59
 ; r = 2 
10. 98.550 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
Progressão Geométrica 
 
 Progressão Geométrica (PG) é toda sequência numérica em que cada termo, 
a partir do segundo, é igual ao produto do termo antecedente por uma 
constante q. O número q é chamado de razão da progressão geométrica. 
 
 
 
 
 
 
Fórmula do Termo Geral de uma PG 
 
 
Numa 𝑷𝑮(𝒂𝟏,𝒂𝟐,𝒂𝟑,𝒂𝟒, … ,𝒂𝒏, … ) de razão r, temos: 
 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA – Parte 1 
𝑎𝑛 = 𝑎1 ⋅ 𝑞
𝑛−1 
 
 
2 
 
 
 
 
1. Determinar o 12º termo da 𝑷𝑮(𝟏𝟐𝟖,𝟔𝟒,𝟑𝟐, … ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Inserir 5 meios geométricos positivos entre 𝟏 e 𝟔𝟒, nessa ordem. 
 
 
 
 
 
Propriedades das Progressões Geométricas 
 
 Em uma PG finita, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é 
igual ao produto dos extremos. 
 
𝑷𝑮(−𝟐, 𝟒, −𝟖, 𝟏𝟔, −𝟑𝟐, 𝟔𝟒, −𝟏𝟐𝟖) 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
 Em uma PG de três termos, o termo central é igual à média geométrica 
entre os outros dois. 
 
𝑷𝑮(𝟑,𝟗,𝟐𝟕) 
 
 
 
1. Determinar x de modo que a sequência (𝟑,𝒙+ 𝟐,𝟑𝒙) seja uma PG crescente. 
 
 
 
 
 
 
 
2. Para dois números positivos 𝒂 e 𝒄, a sequência (𝒂,𝟒, 𝒄) é PA e a sequência 
(𝒄+ 𝟐,𝟒,𝒂) é PG. Determine 𝒂 e 𝒄. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
1. Obtenha o 100° termo da P.G. (2, 6, 18, ...) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Se o oitavo termo de uma progressão 
geométrica é 1/2 e a razão é1/2, qual é o 
primeiro termo dessa progressão? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. O quinto e o sétimo termos de uma P.G. de 
razão positiva valem, respectivamente, 10 e 
16. Qual é o sexto termo dessa P.G.? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Se 𝑎1,𝑎2,
1
4
,
1
2
,𝑎5,𝑎6,𝑎7,𝑎8formam, nessa 
ordem, uma P.G., determine os valores de 𝑎1 
e 𝑎8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Determine o número de termos da progressão 
(1, 3, 9, ...) compreendidos entre 100 e 1 000. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: Termo geral de uma PG 
www.professorferretto.com.br
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
2 
 
 
6. Uma indústria está produzindo atualmente 
100 000 unidades de um certo produto. 
Quantas unidades estará produzindo ao final 
de 4 anos, sabendo que o aumento anual da 
produção é de 10%? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Calcule o número de termos da P.G. que tem 
razão 1/2 , 1° termo 6 144 e último termo 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Intercale 6 meios geométricos reais entre 640 
e 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Qual é o sexto termo de uma progressão 
geométrica, na qual dois meios geométricos 
estão inseridos entre 3 e ­24, tomados nessa 
ordem? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Quantos meios devem ser intercalados entre 
78 125 e 128 para obter uma P.G. de razão 
2/5? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO: 
1. 𝑎100 = 2 ⋅ 399 
2. 𝑎1 = 64 
3. 𝑎6 = 4√10 
4. 𝑎1 =
1
16
; 𝑎8 = 8 
5. 2 
6. 146 410 
7. n = 12 
8. q = 1/2 
9. 𝑎6 = −96 
10. 6 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
PG de Termos 
Para agilizar a resolução de certos problemas, convém representar a PG de maneira 
genérica. Veja: 
 PG de 3 termos: (𝒙
𝒒
,𝒙,𝒙 ⋅ 𝒒) 
 
 
Determinar a PG de três termos, sabendo que o produto desses termos é 8 e que 
a soma do 2º com o 3º termo é 14. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA – Parte 2 
 
 
2 
 
 
Soma dos 𝒏 Termos de uma PG 
A soma 𝑺𝒏 dos n primeiros termos de uma 𝑷𝑮(𝒂𝟏,𝒂𝟐,𝒂𝟑,𝒂𝟒, … ,𝒂𝒏, … ) de 
razão 𝒒 é dada por: 
 
 
 
 
Nos 14 dias de inscrição para um concurso público, o número diário de candidatos 
inscritos aumentou em progressão geométrica. No primeiro dia foram feitas 3 
inscrições, e no último, 24.576. Quantos candidatos se inscreveram para esse concurso? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑆𝑛 =
𝑎1 ⋅ (𝑞
𝑛 − 1)
𝑞 − 1
 
 
 
3 
 
 
Soma dos 𝒊𝒏𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒐𝒔 Termos de uma PG 
A soma 𝑺∞ dos infinitos termos de uma 𝑷𝑮(𝒂𝟏,𝒂𝟐,𝒂𝟑,𝒂𝟒, … ) de 
razão −𝟏 < 𝒒 < 𝟏 é dada por: 
 
 
 
 
 
Determine o limite da soma dos termos da progressão geométrica 1/3, 1/9, 1/27, ... 
 
 
 
 
 
 
𝑆∞ =
𝑎1
1 − 𝑞
 
1 
 
 
 
 
1. Calcule a soma das 10 parcelas iniciais da série 
1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+⋯ . 
 
 
 
2. Calcule a soma dos 20 termos iniciais da série 
1 + 3 + 9 + 27 + ⋯ . 
 
 
 
 
3. Se 𝑆3 = 21 e 𝑆4 = 45 são, respectivamente, 
as somas dos três e quatro primeiros termos
de uma progressão geométrica cujo termo 
inicial é 3, determine a soma dos cinco 
primeiros termos da progressão. 
 
 
 
4. Quantos termos da P.G. (1, 3, 9, 27, ... ) 
devem ser somados para que a soma dê 
3280? 
 
 
5. A soma de seis elementos em P.G. de razão 2 
é 1197. Qual é o 1° termo da P.G.? 
 
 
 
 Calcule a soma dos termos das seguintes 
sequências: 
 
6. (2,
2
5
,
2
25
,
2
125
, … ) 
 
 
 
 
7. (−3,−1,−
1
3
,−
1
9
, … ) 
 
 
 
 
8. Calcule a expressão 1 +
2
2
+
3
4
+
4
8
+
5
16
+ ⋯ . 
 
 
 
GABARITO: 
1. 
𝑆10 =
1023
512
 
2. 
𝑆20 =
320 − 1
2
 
3. 𝑆5 = 93 
4. 8 
5. 𝑎1 = 19 
6. 5/2 
7. ­9/2 
8. S = 4
 
Exercícios: Soma dos termos de uma PG 
www.professorferretto.com.br
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
Entendimento 
A Análise Combinatória é embasada no Princípio Fundamental da Contagem. A seguinte 
situação ajudará a compreender esse princípio: 
 
 
Existem três cidades A, B e C. Há duas rodovias que ligam A e B e três que ligam B 
e C. Partindo de A e passando por B, de quantas formas podemos chegar até C? 
 
 
 
 
Se um experimento E pode apresentar n resultados distintos e um 
experimento F pode apresentar k resultados distintos, então o número de 
resultados distintosque o experimento composto de E e F pode apresentar, 
nessa ordem, é dado pelo produto 𝒏 ⋅ 𝒌. 
 
 
Considerando a situação anterior das cidades e rodovias, imagine que ao chegar 
na cidade C, deseja-se ir a uma lanchonete ou a uma sorveteria. Quantas são as 
possibilidades, considerando os possíveis trajetos já mencionados? 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM - PFC 
 
 
2 
 
 
 
 
 
Quantos números de dois algarismos distintos podemos formar com os números 
𝟏,𝟐,𝟑,𝟒 e 𝟓? 
 
 
 
 
Uma moeda é lançada 3 vezes. Qual o número de sequências possíveis de cara e 
coroa? 
 
 
 
 Cinco atletas participam de uma corrida. Quantos resultados existem para 
o 𝟏º, 𝟐º e 𝟑º lugares? 
 
 
 
 
Com os algarismos 𝟏,𝟐,𝟑,𝟒,𝟓 e 7, determine: 
a. Quantos números naturais pares de quatro algarismos podem ser formados? 
 
 
b. Quantos números naturais pares de quatro algarismos distintos podem ser 
formados? 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
 
Uma sala possui 10 lâmpadas. De quantas maneiras diferentes essa sala pode 
estar iluminada por essas lâmpadas? 
 
 
 
 
Calcule a quantidade de números naturais compreendidos entre 300 e 3000 que 
podemos representar utilizando somente os algarismos 𝟏,𝟐,𝟑,𝟓,𝟕 e 𝟖, de modo que 
não figurem algarismos repetidos em um mesmo número. 
 
 
 
 
 
Uma bandeira é formada por 7 listras, que devem ser pintadas de três cores 
diferentes. De quantas maneiras diferentes será possível pintá-la de modo que duas 
listras adjacentes nunca estejam pintadas da mesma cor. 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
1­ Um homem vai a um restaurante disposto a 
comer um só prato de carne e uma só 
sobremesa. O cardápio oferece oito pratos 
distintos de carne e cinco pratos diferentes de 
sobremesa. De quantas formas pode o 
homem fazer sua refeição? 
 
 
 
 
2­ Num banco de automóvel o assento pode 
ocupar 6 posições diferentes e o encosto 5 
posições, independentemente da posição do 
assento. Combinando assento e encosto, 
quantas posições diferentes esse banco pode 
assumir? 
 
 
 
3­ Numa festa existem 80 homens e 90 
mulheres. Quantos casais diferentes podem 
ser formados? 
 
 
 
4­ Um edifício tem 8 portas. De quantas formas 
uma pessoa poderá entrar no edifício e sair 
por outra diferente da que usou para entrar? 
 
 
5­ Num concurso com 12 participantes, se 
nenhum puder ganhar mais que um prêmio, 
de quantas maneiras poderão ser distribuídos 
um primeiro e um segundo prêmios? 
 
 
 
 
6­ Um homem possui 10 ternos, 12 camisas e 5 
pares de sapatos. De quantas formas poderá 
ele vestir um terno, uma camisa e um par de 
sapatos?
 
 
 
 
7­ Uma prova conta de 20 testes do tipo 
verdadeiro ou falso. De quantas formas uma 
pessoa poderá responder aos 20 testes? 
 
 
 
 
8­ Uma sala tem 10 portas. De quantas maneiras 
diferentes essa sala pode ser aberta? 
 
 
 
Exercícios: Princípio fundamental da contagem 
www.professorferretto.com.br
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
2 
 
9­ Quantos números de 3 algarismos (iguais ou 
distintos) podemos formar com os dígitos 1, 2, 
3, 7, 8? 
 
 
 
 
 
 
10­ Temos um conjunto de 10 nomes e outro de 
20 sobrenomes. Quantas pessoas podem 
receber um nome e um sobrenome, com 
esses elementos? 
 
 
 
 
 
 
11­ Um mágico se apresenta em público vestindo 
calça e paletó de cores diferentes. Para que 
ele possa se apresentar em 24 sessões com 
conjuntos diferentes, qual é o número mínimo 
de peças (número de paletós mais número de 
calças) de que ele precisa? 
 
 
 
 
 
 
12­ Quantos números telefônicos em 7 dígitos 
podem ser formados se usarmos os dígitos de 
0 a 9? 
 
 
 
 
13­ Um homem encontra­se na origem de um 
sistema cartesiano ortogonal de eixos 𝑂𝑥 𝑒 𝑂𝑦. 
Ele pode dar um passo de cada vez, para 
norte (N) ou para leste (L). Quantas trajetórias 
ele pode percorrer, se der exatamente 4 
passos? 
 
 
 
 
 
Em um baralho de 52 cartas, cinco são escolhidas 
sucessivamente. Quantas são as sequências de 
resultados possíveis: 
14­ Se a escolha for feita com reposição? 
 
 
 
 
15­ Se a escolha for feita sem reposição? 
 
 
 
 
 
GABARITO: 
1. 40 
2. 30 
3. 7.200 
4. 56 
5. 132 
6. 600 
7. 220= 1.048.576 formas 
8. 210 − 1 = 1.023 
9. 125 
10. 200 
11. 10 
12. 10.000.000 
13. 16 
14. 525 
15. 311.875.200 
 
 
1 
 
 
 
 
 
Definição 
Com a finalidade de simplificar as operações que envolvem a Análise Combinatória, 
vamos definir o símbolo de fatorial. 
 
Seja 𝑛 um número natural, com 𝑛 ≥ 2. Define-se o fatorial de 𝒏, 
representado por 𝑛!, por meio da relação: 
𝑛! = 𝑛 ⋅ (𝑛 − 1) ⋅ (𝑛 − 2) ⋅… ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 
 
 
 
 
Por definição, 𝟏! = 𝟏 e 𝟎! = 𝟏. Não existe fatorial de número negativo. 
 
 
 
 
Simplifique as seguintes frações: 
a. 9!
7!
= 
 
b. 8!
10!
= 
 
c. 10!⋅5!
8!⋅6!
= 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
FATORIAL 
Notas 
 
 
2 
 
 
 
 
Resolva a equação: 
(𝒏+ 𝟏)!
(𝒏 − 𝟏)!
= 𝟐𝟎 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
Calcule: 
1. 
7!
4!
= 
 
 
 
2. 
3! ⋅ 5!
4! ⋅ 6!
= 
 
 
 
 
3. 
12!− 13!
12!
= 
 
 
 
 
 
 
 
Simplifique: 
4. 
𝑛!
(𝑛 − 2)!
= 
 
 
 
5. 
(𝑛 + 1)!
(𝑛 + 2)!
= 
 
 
 
 
6. 
(𝑛 + 3)!
(𝑛 − 2)!
⋅
(𝑛 − 1)!
(𝑛 + 2)!
= 
 
 
 
 
 
 
GABARITO: 
1. 210 
2. 1/24 
3. ­12 
4. 𝑛2 − 𝑛 
5. 1 𝑛 + 2⁄ 
6. 𝑛2 + 2𝑛 − 3
 
Exercícios: Fatorial 
www.professorferretto.com.br
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
Quatro jogadores de futebol concorrem a um dos títulos de 1º e 2º melhor 
jogador de um campeonato. De quantas maneiras diferentes esses títulos podem ser 
distribuídos? 
 
 
 
 
 
Dados os 𝑛 elementos distintos do conjunto 𝐼 = {𝑎1,𝑎2,𝑎3, … ,𝑎𝑛}, 
chama-se arranjo simples de 𝑝 elementos de 𝐼 toda sequência formada por 
𝑝 elementos distintos de 𝐼 com 𝑝 ≤ 𝑛. 
𝐴𝑛,𝑝 =
𝑛!
(𝑛 − 𝑝)!
 
 
 
Em um campeonato de futebol, participam 20 times. Quantas são as 
possibilidades para os três primeiros lugares? 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
ARRANJOS 
 
 
2 
 
 
 
 
Uma pousada possui 12 quartos e 3 hóspedes desejam passar o final de semana. 
Qual é o número de maneiras diferentes com que esses hóspedes podem ser 
distribuídos nos quartos de modo que cada quarto seja ocupado por um único hóspede? 
 
 
 
 
 
 
 
Existem 10 cadeiras numeradas de 1 a 10. De quantas formas duas 
pessoas podem se sentar, devendo haver ao menos uma cadeira entre elas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma urna A contém 5 bolas numeradas de 1 a 5. Outra urna B contém 3 
bolas numeradas de 1 a 3. Qual o número de sequências numéricas que 
podemos obter se extrairmos, sem reposição, 3 bolas da urna A e, em 
seguida, 2 bolas da urna B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
 
 
Com os algarismos 𝟏,𝟐,𝟑,𝟒,𝟓 e 𝟔, quantos arranjos desses 
algarismos tomados 4 a 4 têm o algarismo 𝟏 antes do 𝟒? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
   
1. Em um campeonato de futebol, participam 20 
times. Quantos resultados são possíveis para 
os três primeiros lugares?  
 
 
 
2. Em um torneio (de dois turnos) do qual 
participam seis times, quantos jogos são 
disputados?  
 
 
 
 
3. Uma linha ferroviária tem 16 estações. 
Quantos tipos de bilhetes devem ser 
impressos, se cada tipo deve assinalar a 
estação de partida e de chegada, 
respectivamente?  
 
 
 
 
4. Designando­se seis cidades por A, B, C, D, E e 
F, determine o número de maneiras que 
permitem a ida de A até F, passando por 
todas as demais cidades. 
 
 
 
5. De quantas maneiras um técnico de futebol 
pode formar um quadro de 11 jogadores, 
escolhidos entre 22, dos quais 3 são goleiros e 
só o goleiro tem posição fixa? 
 
 
 
6. Existem duas urnas. A 1º. com 4 bolas 
numeradas de 1 a 4 e a 2º. com 3 bolas 
numeradas de 7 a 9. Duas bolas são extraídas 
da 1º urnae duas da 2ª urna, sucessivamente 
e sem reposição. Quantos números (de 4 
algarismos) é possível formar nessas 
condições?  
 
 
 
 
7. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, 
quantos números de 3 algarismos distintos 
podemos formar?  
 
 
 
 
8. Quantos números pares de 3 algarismos 
distintos podemos formar com os algarismos 
1, 3, 6, 7, 8, 9? 
 
 
Exercícios: Arranjos 
www.professorferretto.com.br
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
2 
 
 
9. Há placas de automóveis que são formadas 
por duas letras seguidas de 4 algarismos. 
Quantas placas podem ser formadas com 
letras A e B e os algarismos pares, sem repetir 
nenhum algarismos?  
 
 
 
 
 
 
10. Com algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, 
quantos números com algarismos distintos 
existem entre 500 e 1.000?   
 
 
 
 
 
 
 
11. Com os algarismos 1, 2, 3, ...,9, quantos 
números de quatro algarismos existem, em 
que pelo menos dois algarismos são iguais?  
 
 
 
 
 
 
 
 
12. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, quantos 
números pares de 3 algarismos distintos 
podemos formar? 
 
 
 
 
 
 
 
13. Com dígitos 2, 5, 6, 7, quantos números 
formados por 3 dígitos, distintos ou não, são 
divisíveis por 5? 
 
 
 
 
 
 
 
14. Qual é o total de números múltiplos de 4, com 
quatro algarismos distintos, que podem ser 
formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO: 
1. 6.840 
2. 30 
3. 240 
4. 24 
5. 3 ⋅ 𝐴19,10 
6. 72 
7. 504 
8. 40 
9. 480 
10. 280 
11. 3.537 
12. 60 
13. 16 
3 
 
14. 96 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
Permutações Simples 
 
 
De quantas maneiras 5 pessoas podem ficar em fila indiana? 
 
 
Definição de Permutação Simples 
 
Dados os 𝑛 elementos distintos do conjunto 𝐼 = {𝑎1,𝑎2,𝑎3, … ,𝑎𝑛}, chama-
se permutação simples dos 𝑛 elementos de 𝐼 todo arranjo simples desses 𝑛 
elementos tomados 𝑛 a 𝑛. 
𝑃𝑛 = 𝑛! 
 
 
 
Dez livros diferentes, 3 de ficção e outros 7 diversos, devem ser colocados lado a 
lado em uma estante. Em quantas sequências diferentes esses livros podem ser dispostos 
de modo que os de ficção fiquem juntos? 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
PERMUTAÇÕES 
 
 
2 
 
 
 
 
De quantas formas 6 pessoas podem se sentar numa fileira de 6 cadeiras se duas 
delas, Arnaldo e Samuel, se recusam a sentar um ao lado do outro? 
 
 
 
 
 
Com relação à palavra ESCOLA: 
a. Quantos anagramas existem? 
 
b. Quantos anagramas começam com E? 
 
c. Quantos anagramas começam com vogal? 
 
d. Quantos anagramas têm as vogais juntas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
Permutações com Repetição 
 
 
Quantos anagramas podemos formar com a palavra ABA? 
 
 
 
 
Fórmula da Permutação com Repetição 
 
 
 
 
 
 
Em relação à palavra NATALINA: 
a. Quantos anagramas existem? 
 
 
b. Quantos anagramas começam com a letra A? 
 
 
c. Quantos anagramas têm as vogais juntas? 
 
𝑃𝑛
𝑎,𝑏,𝑐,… =
𝑛!
𝑎! ⋅ 𝑏! ⋅ 𝑐! ⋅…
 
1 
 
   
Com relação à palavra TEORIA: 
1­ Quantas anagramas existem? 
 
 
2­ Quantos anagramas começam pela letra T? 
 
 
3­ Quantos anagramas começam por T e 
terminam com A?  
 
 
4­ Quantos anagramas começam por vogal?  
 
 
5­ Quantos anagramas tem vogais juntas?  
 
 
6­ Quantos anagramas da palavra FILTRO 
começam por consoantes?   
 
 
 
 
 
 
 
7­ Quantas palavras distintas podemos formar 
com a palavra PERNAMBUCO? Quantas com a 
sílaba PER? 
 
 
 
 
8­ Quantos anagramas da palavra PASTEL 
começam e terminam com consoante?  
 
 
 
 
9­ Calcule o número de anagramas da palavra 
REPÚBLICA, nos quais vogais se mantêm nas 
respectivas posições?  
 
 
 
 
10­ Dez pessoas, entre elas Antônio e Beatriz, 
devem ficar em fila. De quantas formas isso 
pode ser feito se Antônio e Beatriz devem 
ficar sempre juntos?   
 
 
 
11­ Temos 5 meninos e 5 meninas. De quantas 
formas eles podem ficar em fila se meninos e 
meninas ficam em posições alternadas?  
 
 
GABARITO: 
1. 720 
2. 120 
3. 24 
4. 480 
5. 144 
6. 480 
7. 10! e 8!  
8. 288 
9. 120 
10. 2 ⋅ 9! 
11. 28.800 
Exercícios: Permutação 
www.professorferretto.com.br
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
 
 
1 
 
 
 
 
 
Na aula anterior estudamos os Arranjos, que são agrupamentos no qual a ordem 
dos elementos altera a formação. Estudaremos agora a Combinação, no qual a ordem 
dos elementos é desconsiderada. 
 
 
Em uma empresa, três funcionários serão escolhidos como representantes do 
sindicato de trabalhadores. Sabendo que apenas quatro funcionários se candidataram, 
quantas são as possibilidades de escolha para a formação desse sindicato? 
 
 
 
 
Dados os 𝑛 elementos distintos do conjunto 𝐼 = {𝑎1,𝑎2,𝑎3, … ,𝑎𝑛}, 
chama-se combinação simples de 𝑝 elementos de 𝐼 todo subconjunto 
formado por 𝑝 elementos distintos de 𝐼 com 𝑝 ≤ 𝑛. 
𝐶𝑛,𝑝 =
𝑛!
(𝑛 − 𝑝)!𝑝!
 
 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
COMBINAÇÕES 
 
 
2 
 
 
 
como diferenciar Arranjo de Combinação 
Em um problema de análise combinatória devemos, antes de tudo, verificar se os
agrupamentos em questão são arranjos, permutações ou combinações. No caso da
permutação, todos os elementos do grupo serão utilizados na formação das 
possibilidades. 
 
E como diferenciar um caso de arranjo ou um de combinação? 
1º Forme um dos grupos sugeridos pelo problema; 
2º Altere a ordem dessa formação; 
3º Faça a seguinte análise: 
 Se a alteração obteve um agrupamento diferente do original, é ARRANJO; 
 Se a alteração obteve um agrupamento igual ao original, é COMBINAÇÃO. 
 
 
 
Uma prova consta de 10 questões, das quais o aluno deve escolher apenas 6 para 
responder. De quantas formas ele poderá escolher as 6 questões? 
 
 
 
 
 
De um baralho de 52 cartas, são extraídas 4 cartas sucessivamente e sem 
reposição. Qual é o número de resultados possíveis, se não levarmos em conta a ordem 
das cartas extraídas? 
 
 
 
 
3 
 
 
 
 
 
 
No exemplo anterior, quantas são as possibilidades de escolha de modo que em 
cada possibilidade haja pelo menos um rei? 
 
 
 
 
Em um encontro de amigos, cada pessoa cumprimentou todas as outras, 
havendo ao todo 45 apertos de mão. Quantas pessoas havia no encontro? 
 
 
 
 
 
 
Um químico possui 10 tipos de substâncias. De quantos modos possíveis poderá 
associar 6 dessas substâncias se, entre as dez, duas somente não poderão estar juntas 
porque produzem uma mistura explosiva? 
 
 
 
 
 
 
Uma organização dispõe de 10 economistas e 10 engenheiros. Quantas comissões 
de cinco pessoas podem ser formadas de modo que cada comissão tenha 3 economistas 
e 2 engenheiros? 
 
 
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
1­ Existem 10 jogadores de futebol de salão, 
entre eles João, que por sinal é o único que 
joga como goleiro. Nessas condições, quantos 
times de 5 pessoas podem ser escalados? 
 
 
 
Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 
matemáticos. De quantas formas podemos formar 
comissões de 10 pessoas de modo que: 
2­ Nenhum membro seja matemático? 
 
 
 
3­ Todos os matemáticos participem da 
comissão? 
 
 
 
4­ Haja exatamente um matemático na 
comissão.
 
 
 
5­ Pelo menos um membro da comissão seja 
matemático? 
 
 
 
6­ De um grupo de 10 pessoas deseja­se formar 
uma comissão com 5 membros. De quantas 
formas isso pode ser feito, se duas pessoas (A 
e B) ou fazem parte da comissão, ou não? 
 
 
 
 
7­ Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. 
Quantas comissões de 5 pessoas podem ser 
formadas, contendo no mínimo um diretor? 
 
 
 
 
8­ Numa classe de 10 estudantes, um grupo de 4 
será selecionado para uma excursão. De 
quantas maneiras o grupo poderá ser 
formado se dois dos dez são marido e mulher 
e só irão juntos? 
 
 
 
Temos 5 homens e 6 mulheres. De quantas 
formas: 
9­ Podemos formar uma comissão de 3 pessoas? 
 
 
10­ Podemos formar uma comissãode 3 pessoas 
de modo que haja 2 homens e uma mulher, 
na mesma? 
 
Exercícios: Combinação 
www.professorferretto.com.br
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
2 
 
11­ Um lote contém 50 peças boas e 10 
defeituosas. Extraindo­se 8 peças (sem 
reposição), não levando em conta a ordem 
das mesmas, de quantas formas podemos 
obter 4 peças boas e 4 defeituosas? 
 
 
 
 
12­ Em uma urna existem 12 bolas, das quais 7 
são pretas e 5 brancas. De quantos modos 
podemos tirar 6 bolas da urna, das quais 2 são 
brancas? 
 
 
 
 
 
 
13­ Uma urna contém 10 bolas brancas e 6 pretas. 
De quantos modos é possível tirar 7 bolas, das 
quais pelo menos 4 sejam pretas? 
 
 
 
 
 
 
14­ Em um congresso há 30 professores de 
Matemática e 12 de Física. Quantas comissões 
poderíamos organizar compostas de 3 
professores de Matemática e 2 de Física? 
 
 
 
 
 
 
 
 
15­ Quer­se criar uma comissão constituída de um 
presidente e mais 3 membros. Sabendo que 
as escolhas devem ser feitas dentre um grupo 
de 8 pessoas, quantas comissões diferentes 
podem ser formadas com essa estrutura? 
 
 
 
 
 
16­ Existem 5 pontos, entre os quais não existem 
3 colineares. Quantas retas eles determinam? 
 
 
 
 
 
 
 
 
17­ Num plano existem 20 pontos, dos quais 3 
nunca são colineares, exceto 6 que estão 
sobre uma mesma reta. Encontre o número 
de retas que esses pontos determinam. 
 
 
 
 
 
 
18­ São dadas 2 retas paralelas. Marcam­se 10 
pontos distintos sobre uma e 8 pontos 
distintos sobre a outra. Quantos triângulos 
podemos formar ligando 3 quaisquer desses 
18 pontos? 
 
 
 
GABARITO: 
1. ∁ 4
9
= 126 
2. ∁ 10
15
 
3. ∁ 5
15
 
4. 5 ⋅ ∁ 9
15
 
5. ∁ 10
20
− ∁ 10
15
 
6. 112 
7. 55 
8. ∁ 4
8
+ ∁ 2
8
= 98 
9. 165 
10. 60 
11. ∁ 4
50
⋅ ∁ 4
10
 
12. ∁ 2
5
⋅ ∁ 4
7
= 350 
13. 2080 
14. 267 960 
15. 280 
16. 10 
17. ∁ 2
20
− ∁ 2
6
+ 1 
18. ∁ 3
18
− ∁ 3
10
− ∁ 3
8
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
Quando elementos são dispostos ao redor de um círculo, a cada disposição 
possível chamamos de permutação circular. 
 
Podemos calcular o número de permutações circulares de 𝒏(𝒏 ≥ 𝟑) elementos, da 
seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 De quantas formas 6 crianças podem formar uma roda? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
PERMUTAÇÃO CIRCULAR 
 
 
 
1 
 
 
 
 
É a região compreendida entre duas semirretas de mesma origem. 
 
 
 
Bissetriz de um ângulo 
A bissetriz de um ângulo é uma semirreta interna ao ângulo, com origem no 
vértice do ângulo e o divide em dois ângulos congruentes. 
 
ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE 
Se dois ângulos são opostos pelo vértice, então eles são congruentes. 
 
CLASSIFICAÇÃO 
Ângulo reto Ângulo agudo Ângulo obtuso 
 
 
 
Se OP é bissetriz de 𝐴Ô𝐵, determine x na figura abaixo. 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
ÂNGULOS 
Definição 
EXEMPLO 1: 
2
x + 30° 
B 
P 
A 
O 
 
 
2 
 
UNIDADES DE MEDIDA DE ÂNGULOS 
1. Grau (°) 
 
 
Se OP é bissetriz de 𝐴Ô𝐵, determine x na figura abaixo. 
Faça as operações com os ângulos abaixo: 
a. 32°28′36′′ + 17°44′48′′ =	
	
b. 20°16′14′′ − 10°44′48′′ =	
2. Radiano (rad) 
ÂNGULOS COMPLEMENTARES E ÂNGULOS SUPLEMENTARES 
Dois ângulos são complementares se a soma de suas medidas é 90°. 
Dois ângulos são suplementares se a soma de suas medidas é 180° 
 
 
Um ângulo excede o seu complemento em 48°. Determine o suplemento desse 
ângulo. 
EXEMPLO 2: 
EXEMPLO 3: 
1 
 
 
 
1. Determine a soma: 
10°30′45′′ + 15°29′20′′ = 
 
 
 
 
2. Determine a diferença: 
20°50′45′′ − 5°45′30′′ = 
 
 
 
 
3. Determine o produto: 
2 ⋅ (10°35′45′′) = 
 
 
 
 
 
4. Dê a medida do ângulo que vale o dobro do 
seu complemento. 
 
 
 
 
 
5. Calcule um ângulo, sabendo que um quarto 
do seu suplemento vale 36°. 
 
 
 
6. Qual é o ângulo que excede o seu 
complemento em 76°? 
 
 
 
7. Dois Ângulos estão na relação 4/9. Sendo 130° 
sua soma, determine o complemento do 
menor. 
 
 
 
 
 
8. Determine dois ângulos suplementares, 
sabendo que um deles é o triplo do outro. 
 
 
 
 
 
GABARITO: 
1. 26°5’’ 
2. 15°5’15’’ 
3. 21°11’30’’ 
4. 60° 
5. 36° 
6. 83° 
7. 50° 
8. 135° e 45° 
 
Exercícios: Exercícios de ângulos 
www.professorferretto.com.br
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
 
 
1 
 
 
 
1. Classificação 
 
 
 
 
2. Nomenclatura 
De acordo com o número de lados, os polígonos recebem nomes especiais: 
n = 3 Triângulo ou trilátero 3 lados 
n = 4 Quadrilátero 4 lados 
n = 5 Pentágono 5 lados 
n = 6 Hexágono 6 lados 
n = 7 Heptágono 7 lados 
n = 8 Octógono 8 lados 
n = 9 Eneágono 9 lados 
n = 10 Decágono 10 lados 
n = 11 Undecágono 11 lados 
n = 12 Dodecágono 12 lados 
n = 20 Icoságono 20 lados 
 
3. Elementos 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
POLÍGONOS 
Polígono Convexo Polígono Côncavo 
 
 
2 
 
4. Número de diagonais 
O número de diagonais 𝑑 de um polígono de 𝑛 lados 𝑛 ≥ 3 é dado por: 
 
 
 
 
Determine o polígono cujo número de diagonais é o quádruplo do número de lados. 
 
 
 
 
5. Soma dos ângulos 
 Soma dos ângulos internos 
A soma dos ângulos internos de um polígono convexo é dada por: 
 
 
 
 
 Soma dos ângulos externos 
A soma dos ângulos externos de um polígono convexo é dada por: 
 
 
 
 
Determine o polígono cuja soma dos ângulos internos é igual ao número de diagonais 
multiplicado por 180°. 
 
 
 
EXEMPLO 1: 
EXEMPLO 2: 
 
 
3 
 
6. Polígono regular 
 
 
 
 
 
 
Um polígono é regular se possuir todos os lados congruentes e todos os 
ângulos congruentes. 
 
 
 
O ângulo externo de um polígono regular é igual à metade do seu ângulo 
interno. Determine o número de diagonais desse polígono. 
 
 
 
Polígono Equilátero Polígono Equiângulo 
Polígono Regular 
EXEMPLO 3: 
Anotações: 
1 
 
 
Determine o valor de X em cada caso: 
1. 
 
 
 
 
2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Calcule a soma dos ângulos internos de um 
eneágono. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Qual é o polígono cuja soma dos ângulos internos 
vale 1800°? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Calcule o número de diagonais de um decágono. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Quantas diagonais podemos traçar, partindo de 
um vértice de um polígono convexo de 20 lados? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: Polígonos 
www.professorferretto.com.br
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
2x 60° 
x 
x 
105° 
x 
105° 
x 
2 
 
7. Determine o número de diagonais de um polígono 
regular convexo cujo ângulo externo vale 24º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. A razão entre o ângulo interno e o ângulo externo 
de um polígono regular é 9. Determine o número 
de lados do polígono. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. A soma dos ângulos internos com a dos ângulos 
externos de um polígono regular vale 1800°. 
Determine o número de diagonais do polígono. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Um polígono regular tem 170 diagonais. Quantas 
passam pelo centro? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO: 
1. 70° 
2. 110° 
3. 1260° 
4. Dodecágono 
5. 35 
6. 17 
7. 90 
8. 20 
9. 35 
10. 10 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Polígono é uma figura plana com lados, no qual o número de lados é igual ao 
número de ângulos. 
 
Soma dos Ângulos Internos 
 
A soma dos ângulos internos de um polígono convexo é dada pela seguinte 
fórmula: 
𝑆𝑖 = 180° ⋅ (𝑛 − 2) 
 
 
Uma pessoa pegou um mapa rasgado em que constava um terreno delimitado 
por quatro ruas. Na parte visível do mapa, vê-se que o ângulo formado pela rua Saturno 
e pela rua Júpiter é 90°; o ângulo formado pela rua Júpiter e pela rua Netuno é 110° e o 
ângulo formado pela rua Netuno e pela rua Marte é 100°. Nessas condições, determine a 
medida do ângulo formado pelas ruas Marte e Saturno, na parte rasgada do mapa.ProfessorFerretto ProfessorFerretto
POLÍGONOS REGULARES 
Introdução 
 
 
2 
 
 
Polígono Regular 
 
Um polígono convexo é regular se possuir todos os lados congruentes e 
todos os ângulos internos congruentes.
 
 
 
 
 
 
Em um pentágono regular, determine a medida do seu ângulo interno e a 
medida do seu “ângulo cêntrico”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
Apótema 
 
Apótema de um polígono regular é o segmento com uma extremidade no 
centro e a outra no ponto médio de um lado. 
 
 
 
 
 
Todo polígono regular é inscritível e circunscritível em uma circunferência. 
 
Nota 
Pentágono Regular inscrito 
em uma circunferência 
Pentágono Regular circunscrito 
a uma circunferência 
 
 
1 
 
 
           
 
 
Propriedades 
P1. Soma dos Ângulos Internos 
   
 
 
 
P2. Ao maior ângulo opõe-se o maior lado 
 
 
 
 
 
P3. Desigualdade Triangular 
 
Em todo triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois. 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
TRIÂNGULOS 
60 50
a 
b  c 
a 
b 
c 
 
 
2 
 
 
 
 
Dois lados de um triângulo medem 8 cm e 21 cm. Quanto poderá medir o terceiro 
lado, sabendo que é múltiplo de 6? 
 
 
 
 
Área de um Triângulo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(UERJ) Considere uma placa retangular ABCD de acrílico, cuja diagonal AC mede 
40 cm. Um estudante, para construir um par de esquadros, fez dois cortes retos 
nessa placa nas direções AE e AC, de modo que 𝐷�̂�𝐸 = 45° e 𝐵�̂�𝐶 = 30°, 
conforme ilustrado a seguir. 
 
 
 
Após isso, o estudante descartou a parte triangular CAE, restando os dois 
esquadros. Admitindo que a espessura do acrílico seja desprezível e que √3 =
1,7, determine a área do triângulo CAE, em cm2. 
A B
CD  E
1 
 
 
1. Se o perímetro de um triângulo isósceles é de 
100 m e a base mede 40 m, quanto mede 
cada um dos outros lados? 
 
 
 
 
 
 
2. Com segmentos de 8 cm, 5 cm e 18 cm pode­
se construir um triângulo? Por quê? 
 
 
 
 
 
 
 
3. Dois lados, AB e BC, de um triângulo ABC 
medem respectivamente 8 cm e 21 cm. 
Quanto poderá medir o terceiro lado, 
sabendo que é múltiplo de 6? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Determine o intervalo de variação 𝑥, sabendo 
que os lados de um triângulo são expressos 
por 𝑥 + 10, 2𝑥 + 4 𝑒 20− 2𝑥. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determine a área dos triângulos nos casos abaixo, 
sendo o metro a unidade das medidas indicadas. 
5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: Triângulos 
www.professorferretto.com.br
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
5 
6 
2 
 
 
6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Determine a área de um triângulo isósceles de 
perímetro 36 m se a altura relativa à base 
mede 12m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO: 
1. 30 m e 30 m 
2. Não, |8− 5| < 18 < 8 + 5 é falso. 
3. 18 cm ou 24 cm 
4. 6
5
< 𝑥 <
26
3
 
5. 15𝑚2 
6. 21𝑚2 
7. 60𝑚2 
6 
2 
5 
 
 
1 
 
 
 
Elementos 
 
 
 
 
 
Classificação 
1. Classificação quanto aos lados 
 
 
 
 
2. Classificação quanto aos ângulos 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
TRIÂNGULOS 
Equilátero  Isósceles  Escaleno 
Retângulo  Acutângulo  Obtusângulo 
 
 
2 
 
 
Classifique o triângulo que possui os seguintes lados: 9 cm, 7 cm e 6 cm. 
 
 
 
 
Propriedades 
P1. Soma dos ângulos internos 
 
 
 
 
 
P2. Soma dos ângulos externos 
 
 
 
 
P3. Teorema do ângulo externo 
 
 
 
 
EXEMPLO 1: 
 
 
3 
 
P4. Ao maior lado opõe-se o maior ângulo 
 
 
 
 
P5. Desigualdade triangular 
 
 
 
 
 
 
 
Dois lados de um triângulo medem 7 cm e 18 cm. Quanto poderá medir o terceiro 
lado, sabendo que é múltiplo de 9? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Anotações: 
EXEMPLO 2: 
1 
 
1. Se o Triângulo ABC é isósceles de base 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , 
determine X. 
AB = 2x – 7 AC = x + 5 
 
 
 
 
 
 
2. Se o Triângulo ABC é isósceles de base 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , 
determine x e y. 
 
 
 
 
 
 
 
3. Determine x e y, sabendo que o triângulo ABC é 
equilátero. 
 
 
 
 
 
 
4. Se o perímetro de um triângulo equilátero é de 
75 cm, quanto mede cada lado? 
 
 
 
5. Se dois lados de um triângulo isósceles medem 
38 cm e 14 cm, qual poderá ser a medida do 
terceiro lado? 
 
 
 
 
GABARITO: 
1. 12 
2. 𝑥 = 85,𝑦 = 50° 
3. 𝑥 = 𝑎,𝑦 = 9 
4. 25 cm 
5. 38 cm 
 
Exercícios: Triângulos 
www.professorferretto.com.br
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
A 
B C 
A 
B C 
2x – 40° x + 45° 
y 
A 
B C 
2x + 1 3x – 3 
y
 
 
1 
 
     
 
Baricentro - Medianas 
 O ponto de interseção das três medianas de um triângulo é o baricentro do triângulo. 
 
 
 
Nota: O baricentro é o centro de gravidade do triângulo. 
 
 
Os segmentos AB, BC, AC e CD medem, cada um, 3 cm. Sabendo que E é o ponto médio do lado 
AB, determine CF. 
 
 
 
 
PONTOS NOTÁVEIS DO TRIÂNGULO 
EXEMPLO 1: 
 
 
2 
 
Incentro - Bissetrizes 
 O ponto de interseção das três bissetrizes de um triângulo é o encentro do triângulo. 
 
 
 
Nota: O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo. 
 
Teorema da bissetriz interna de um triângulo 
Uma bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais 
aos lados adjacentes. 
 
 
 
 
Sabendo que AB é uma bissetriz, determine o valor de x. 
 
 
EXEMPLO 2: 
12 
B 
8 
x 
A 
10 
 
 
3 
 
Circuncentro - Mediatrizes 
 O ponto de interseção das três mediatrizes de um triângulo é o circuncentro do triângulo. 
 
 
 
Nota: O circuncentro é centro da circunferência circunscrita no triângulo. 
 
 
 
 
Ortocentro - Alturas 
O ponto de interseção de três alturas de um triângulo é o ortocentro do triângulo. 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
Introdução 
 
Dois triângulos serão semelhantes se possuírem os três ângulos congruentes 
e os lados homólogos proporcionais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determine os valores de a e b nas figuras abaixo: 
 
 
 
 
 
ProfessorFerretto ProfessorFerretto
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 
6 
a b
3
7
5
 
 
2 
 
 
Teorema Fundamental 
 
Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros 
dois lados em dois pontos distintos, então o triângulo que ele determina é 
semelhante ao primeiro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(FUVEST) A sombra de um poste vertical, projetada pelo sol sobre o chão plano, 
mede 12m. Nesse mesmo instante, a sombra de um bastão vertical de 1m de altura mede 
0,6m. Determine a altura do poste. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a
b c
 
 
3 
 
 
 
 
 
Com base na semelhança de triângulos, se a razão de semelhança é k, então: 
 A razão entre os lados homólogos é k; 
 A razão entre os perímetros é k; 
 A razão entre as alturas homólogas é k; 
.... 
 
 
 
 
 
 
 
 
Numa cidade do interior, à noite, surgiu um objeto voador não identificado, em 
forma de disco, que estacionou a 50 m do solo, aproximadamente. Um helicóptero do 
exército, situado a aproximadamente 30 m acima do objeto, iluminou-o com um 
holofote, conforme mostra a figura abaixo. Sendo assim, determine o raio aproximado 
do disco-voador, em m. 
 
 
 
Notas 
 
 
4 
 
 
Razão entre Áreas de dois Triângulos Semelhantes 
 
Dois A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao 
quadrado da razão de semelhança. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
1. Os triângulos ABC e PQR são semelhantes. 
Determine x e y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Se o triângulo KLM é semelhante ao triângulo 
FGH, determine x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Os três lados de um triângulo ABC medem 8 
cm, 18 cm e 16 cm. Determine os lados de um 
triângulo A’B’C’ semelhante a ABC, sabendo 
que a razão de semelhança do primeiro para o 
segundo é igual a 3.