Exercício resolvido de estatística

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Ministe´rio da Educac¸a˜o
Universidade Federal de Sa˜o Joa˜o del-Rei
Estat´ıstica e Probabilidade
GABARITO
EXERCI´CIOS PROPOSTOS
Questa˜o 1. Classifique os seguintes tipos de varia´veis:
a) Velocidade do vento - Varia´vel quantitativa cont´ınua: Ex. 4,5 km/h;
b) Tipos de t´ıtulos oferecidos por uma universidade - Varia´vel qualitativa
ordinal: Ex.: graduac¸a˜o, mestrado, doutorado;
c) Nı´vel de extroversa˜o - Varia´vel qualitativa nominal: Ex.: triste,
alegre, feliz;
d) Marcas de carros - Varia´vel qualitativa nominal: Ex.: Gol, Merce-
des, Fiat, etc.;;
e) Times de futebol - Varia´vel qualitativa nominal: Ex.: Sa˜o Paulo,
Cruzeiro, Atle´tico, etc;
f) Nu´meros de pec¸as de xadrez capturadas em um jogo - Varia´vel qunati-
tativa discreta: Ex.: 1 pec¸a, 2 pec¸as, etc.;
g) Peso de pandas gigantes - Varia´vel quantitativa cont´ınua: Ex.: 200kg,
155,2kg, etc.;
h) Nu´mero de pinturas expostas em galerias de arte - Varia´vel quantitativa
discreta: Ex.: 10 pinturas, 25 pinturas, etc..
Questa˜o 2. Seja a seguinte tabela:
Localidade (j)
Nı´vel de Instruc¸a˜o (i) 1 2 3
1 6 14 18
2 11 14 13
3 23 15 6
4 7 13 10
Calcule:
a)
∑4
i=1
∑3
j=1 X
2
ij = 6
2 + 142 + 182 + . . . + 132 + 102 = 2150;
b)
∑3
j=1 X
2
ij = 6
2 + 112 + 232 + 72 + . . . + 62 + 102 = 2150, para i =
1, 2, 3, 4;
c)
∑4
i=1 X
2
ij = 6
2 + 142 + 182 + . . . + 132 + 102 = 2150, para j = 1, 2, 3.
Questa˜o 3. Seja a me´dia aritme´tica X¯ =
∑n
j=1Xj
n
e a variaˆncia S2 = 1
n−1
[∑n
j=1 X
2
j − (
∑n
j=1Xj)
2
n
]
.
Dado um conjunto de dados X = {2, 3, 5, 6, 1, 8}, calcule a me´dia e a variaˆncia.
Soluc¸a˜o:
X¯ =
∑n
j=1 Xj
n
= 2+3+5+6+1+8
6
= 4, 17 unid.
S2 = 1
6−1
[
22 + 32 + . . . + 82 − (2+3+...+8)2
6
]
= 6, 97 unid2
1
Questa˜o 4. Sejam as amostras de tamanho n = 5 dadas por:
X = {2, 4, 4, 3, 2},
Y = {1, 2, 3, 6, 7}.
Obtenha:
a)
∑4
i=1 Xi = 2 + 4 + 4 + 3 = 13;
b)
∑5
i=1 4×X2i = 4× 22 + 4× 42 + . . . + 4× 22 = 196;
c)
∑n
i=2 Xi = 4 + 4 + 3 + 2 = 13;
d)
∑n
i=1 Xi × Yi = 2× 1 + 4× 2 + . . . + 2× 7 = 54;
e)
∑n
i=1(3Xi + 2Yi) = (3× 2 + 2× 1) + (3× 4 + 2× 2)+
. . . + (3× 2 + 7× 7) = 83;
f)
∑n
i=1 XiYi +
∑n
i=1 Y
2
i = (2× 1 + 4× 2 + . . . + 2× 7)+
(12 + 22 + . . . + 72) = 153.
Questa˜o 5. Complete a tabela:
Escore de Ansiedade (X) Testes perdidos (Y ) X2 Y 2 X − Y XY
10 3 100 9 7 30
15 4 225 16 11 60
12 1 144 1 11 12
9 1 81 1 8 9
10 1 100 1 9 10
56 10 650 28 46 121
Calcule:
a)
∑n
i=1 Xi = 56;
b)
∑n
i=1 Yi = 10;
c)
∑n
i=1 X
2
i = 650;
d)
∑n
i=1 Y
2
i = 28;
e)
∑n
i=1(YiXi) = 121;
f) (
∑n
i=1 Yi)
2 = 102 = 100;
g) (
∑n
i=1 Xi)
2 = 562 = 3136;
h)
∑n
i=1(Xi −
∑n
i=1Xi
n
)2 = (10− 11,2)2 + (15− 11,2)2 + . . .
. . . + (10− 11,2)2 = 22,8
i)
∑n
i=1(Yi −
∑n
i=1 Yi
n
)2 = (3− 2)2 + (4− 2)2 + . . . + (1− 2)2 = 8;
j)
∑n
i=1 X
2
i − (
∑n
i=1Xi)
2
n
(102 + 152 + . . . + 102)− (10+15+...+10)2
5
= 22,8;
k)
∑n
i=1 Y
2
i − (
∑n
i=1 Yi)
2
n
= (32 + 42 + . . . + 12)− (3+4+...+1)2
5
= 8;
l) A que conclusa˜o se pode chegar sobre os itens (h) e (j), bem como (i) e (k).
RESPOSTA: (h) e (j), bem como (i) e (j), apresentam respostas
iguais, respectivamente.
2
Questa˜o 6. Considere os dados de um levantamento de uma amostra de 40 famı´lias de um
conjunto residencial, com respeito ao n´ıvel de instruc¸a˜o (Co´digo: 1 - Nenhum;
2 - Fundamental; 3 - Me´dio)
3 3 2 2 3 1 3 3 3 2 2 1 2 2 3 2 3 3 3 3
3 3 3 2 2 3 1 3 2 3 3 2 3 1 1 1 3 3 3 3
a) Qual a natureza da varia´vel n´ıvel de instruc¸a˜o do chefe da casa;
Soluc¸a˜o: Varia´vel qualitativa ordinal.
b) Organize esses dados em distribuic¸a˜o de frequeˆncias;
Soluc¸a˜o:
X f i
1 6
2 11
3 23
c) Calcule a frequeˆncia absoluta (fi), frequeˆncia relativa (fr), frequeˆncia
acumulada absoluta acima (fiac↑), frequeˆncia acumulada abaixo (fiac↓),
frequeˆncia percentual (f%), frequeˆncia acumulada percentual acumulada
abaixo (f%↓), frequeˆncia percentual acima (f%↑);
Soluc¸a˜o:
X fi fr fac↑ fac↓ f% f%↑ f%↓
1 6 6/40 = 0,150 6 40 15% 15% 100%
2 11 11/40 = 0,275 17 40 - 6 = 34 27,5% 42,5% 75%
3 23 23/40 = 0,575 40 34 - 11 = 23 57,5% 100% 57,5%
Total 40 1 - - 100% - -
d) Qual o grau de instruc¸a˜o com maior porcentagem?
Soluc¸a˜o: O grau de instruc¸a˜o 3, isto e´, n´ıvel de instruc¸a˜o: Ensino
Me´dio.
Questa˜o 7. Considere a distribuic¸a˜o de frequeˆncias do u´ltimo n´ıvel de instruc¸a˜o comple-
tado pelo chefe de casa, numa amostra de 120 famı´lias, dividida segundo as
localidades de treˆs bairros diferentes de uma determinada cidade, apresentada
na seguinte tabela:
Localidade
Nı´vel de Instruc¸a˜o Bairro 1 Bairro 2 Bairro 3
Nenhum 6 14 18
Fundamental 11 14 13
Ensino Me´dio 23 15 6
Total 40 43 37
a) Qual a natureza da varia´vel n´ıvel de instruc¸a˜o do chefe da casa;
Soluc¸a˜o: A varia´vel n´ıvel de instruc¸a˜o do chefe de casa e´ uma
varia´vel qualitativa ordinal.
b) Organize esses dados em distribuic¸a˜o de frequeˆncias;
Soluc¸a˜o: Para o bairro 1, temos:
X f i
Nenhum 6
Fundamental 11
Ensino Me´dio 23
3
Para o bairro 2, temos:
X f i
Nenhum 14
Fundamental 14
Ensino Me´dio 15
Para o bairro 3, temos:
X f i
Nenhum 18
Fundamental 13
Ensino Me´dio 6
c) Calcule a frequeˆncia absoluta (fi), frequeˆncia relativa (fr), frequeˆncia
acumulada absoluta acima (fiac↑), frequeˆncia acumulada abaixo (fiac↓),
frequeˆncia percentual (f%), frequeˆncia acumulada percentual acumulada
abaixo (f%↓), frequeˆncia percentual acima (f%↑);
Soluc¸a˜o: Para o bairro 1, temos:
X fi fr fac↑ fac↓ f% f%↑ f%↓
Nenhum 6 6/40 = 0,150 6 40 15% 15% 100%
Fundamental 11 11/40 = 0,275 17 40 - 6 = 34 27,5% 42,5% 75%
Ensino Me´dio 23 23/40 = 0,575 40 34 - 11 = 23 57,5% 100% 57,5%
Total 40 1 - - 100% - -
Para o bairro 2, temos:
X fi fr fac↑ fac↓ f% f%↑ f%↓
Nenhum 14 14/43 = 0,3256 14 43 32,56% 32,56% 100%
Fundamental 14 14/43 = 0,3256 28 43 - 14 = 29 32,56% 65,12% 67,44%
Ensino Me´dio 15 15/43 = 0,3488 43 29 - 14 = 15 34,88% 100% 34,88%
Total 43 1 - - 100% - -
Para o bairro 3, temos:
X fi fr fac↑ fac↓ f% f%↑ f%↓
Nenhum 18 18/37 = 0,4865 18 37 48,65% 48,65% 100%
Fundamental 13 13/37 = 0,3514 31 37 - 18 = 19 35,14% 83,79% 51,35%
Ensino Me´dio 6 6/37 = 0,1622 37 19 - 13 = 6 16,22% 100% 16,22%
Total 37 1 - - 100% - -
d) Qual o bairro que apresentou uma maior porcentagem de chefes de casa
com maior grau de instruc¸a˜o? E o que apresentou o menor grau de ins-
truc¸a˜o?
Soluc¸a˜o: O bairro que apresentou uma maior porcentagem de
chefes de casa com maior grau de instruc¸a˜o foi o BAIRRO 1. E
o que apresentou o menor grau de instruc¸a˜o foi o BAIRRO 3.
Questa˜o 8. Considere os dados de taxas de afalbetismo de uma amostra de 40 munic´ıpios
brasileiros, apresentados a seguir.
57,25 76,85 92,90 89,07 75,49 65,28 94,59 71,20 71,20 82,30
72,81 66,01 90,52 87,94 58,88 45,37 81,15 94,83 94,83 81,42
54,70 67,95 69,91 95,02 77,62 91,22 64,65 85,70 85,70 81,34
59,07 68,04 73,22 95,34 83,52 64,19 64,17 95,34 95,34 84,66
a) Qual a natureza da varia´vel taxa de alfabetismo;
Soluc¸a˜o: Varia´vel quantitativa cont´ınua.
4
b) Organize esses dados em distribuic¸a˜o de frequeˆncias;
Soluc¸a˜o: At = 95, 34 − 45, 37 = 49, 97; k =
√
40 = 6, 32 ≈ 6 classes;
c = At/(k − 1) = 49, 97/5 = 9, 99; LI1a = X(1) − c/2 = 45, 37− 9, 99/2 =
40, 38
Classes fi
40,38 |— 50,37 1
50,37 |— 60,36 4
60,36 |— 70,35 8
70,35 |— 80,34 7
80,34 |— 90,33 10
90,33 |— 100,32 10
c) Determine o nu´mero de classes pelo crite´rio emp´ırico;
Soluc¸a˜o: Pelo crite´rio emp´ırico, temos k =
√
40 = 6, 32 ≈ 6 classes.
d) Determine a amplitude;
Soluc¸a˜o: A amplitude total: At = 95, 34− 45, 37 = 49, 97.
e) Determine a amplitude de cada classe;
Soluc¸a˜o: A amplitudeda classe e´ dado por: c = At/(k − 1) =
49, 97/5 = 9, 99.
f) Determine o ponto me´dio de cada classe;
Soluc¸a˜o: Ponto me´dio - X˜.
Classes f i X˜
40,38 |— 50,37 1 45,38
50,37 |— 60,36 4 55,36
60,36 |— 70,35 8 65,35
70,35 |— 80,34 7 75,34
80,34 |— 90,33 10 85,34
90,33 |— 100,32 10 95,32
g) Calcule a frequeˆncia absoluta (fi), frequeˆncia relativa (fr), frequeˆncia
acumulada absoluta acima (fiac↑), frequeˆncia acumulada abaixo (fiac↓),
frequeˆncia percentual (f%), frequeˆncia acumulada percentual acumulada
abaixo (f%↓), frequeˆncia percentual acima (f%↑);
Soluc¸a˜o: Ponto me´dio - X˜ = (LI + LS)/2.
Classes fi X˜ fr fac↑ fac↓ f% f%↑ f%↓
40,38 |— 50,37 1 45,38 1/40 = 0,025 1 40 2,5% 2,5% 100,0%
50,37 |— 60,36 4 55,36 4/40 = 0,100 5 39 10,0% 12,5% 97,5%
60,36 |— 70,35 8 65,35 8/40 = 0,200 13 35 20,0% 32,5% 87,5%
70,35 |— 80,34 7 75,34 7/40 = 0,175 20 27 17,5% 50,0% 67,5%
80,34 |— 90,33 10 85,34 10/40 = 0,250 30 20 25,0% 75,0% 50,0%
90,33 |— 100,32 10 95,32 10/40 = 0,250 40 10 25,0% 100,0% 25,0%
Total 40 - 1 - - - - -
h) Qual a porcentagem de munic´ıpios com taxa de afalbetismo superior a 80?
Soluc¸a˜o: Podemos apresentar duas formas de resolver esse pro-
blema. A primeira consiste simplesmente em observar os dados
originais e contar quantos munic´ıpios apresentam taxa de alfa-
betismo superior a 80, que nesse caso sa˜o 20 munic´ıpios, e que
portanto, a porcentagem e´ de 20/40×100 = 50, 0%. A outra forma
consiste em fazer a interpolac¸a˜o nas classes. Primeiro sabemos
5
que as duas u´ltimas classes apresentam taxa de alfabetimo su-
periores a 80, e portanto, temos 20 munic´ıpios. Contudo, a an-
tepenu´ltima classe temos o intervalo entre 70,35 e 80,34 com
frequeˆncia igual a 7, do qual na˜o sabemos quantos esta˜o entre 80
e 80,34. Assim, calculamos via interpolac¸a˜o, considerando que
os dados em cada classe e´ uniforme. Assim, temos que:
Variac¸a˜o fi
80,34 - 70,35 = 9,99 → 7
80,34 - 80,00 = 0,34 → x
Logo, x = 0,34×7
9,99
≈ 0, 24, e portanto, temos aproximadamente 20
+ 0,24 = 20,24 munic´ıpios com taxa de alfabetismo superior
a 80. Dessa forma a porcentagem e´ (20, 24/40) × 100 = 50, 6%.
A contagem direta na amostra e´ a mais precisa, mas pode-se
observar que a utilizac¸a˜o da tabela de frequeˆncias e´ relativamente
eficiente, pois a diferenc¸a em pontos percentuais na˜o ultrapassou
1%. E´ natural que, ao se simplificar a informac¸a˜o por meio de
tabelas, haja uma perda de precisa˜o, mas espera-se que ainda seja
confia´vel utilizar os dados sumariados para extrair informac¸o˜es
u´teis a respeito do que se esta´ estudando.
i) Obtenha a taxa em que 20% dos munic´ıpios sa˜o inferiores a este valor.
Soluc¸a˜o: Observando os dados originais e ordenando-os em rol,
temos que 20% dos dados inferiores a um determinado valor,
corresponde as 8 primeiras observac¸o˜es dentre as 40, pois 8/40×
100 = 20%. Logo o oitavo valor e´ 64,65. Usando a interpolac¸a˜o
para os dados agrupados, temos que as duas primeiras classes,
conte´m as 5 primeiras observac¸o˜es. Restam 3 observac¸o˜es para
completar as 8 primeiras. Assim, na terceira classe, precisamos
saber qual o valor que compreende a 8a observac¸a˜o. Assim,
Variac¸a˜o Frequeˆncia
70,36 - 60,36 = 9,99 → 8
x - 60,36 → 3
Logo, 8× (x− 60, 36) = 3× 9, 99⇒ x = 512, 85/8 = 64, 11. Por-
tanto, o valor e´ 64,11.
Questa˜o 9. Com base nas nas questo˜es anteriores, apresente para todas as questo˜es os
valores das me´dia, mediana e moda.
Soluc¸a˜o:
Na questa˜o 7 todas varia´veis qualitativas, portanto, podemos apenas
calcular o valor da moda.
Questa˜o 1. mo(X) = Me´dio.
Questa˜o 2. Bairro 1: mo(X) = Ensino Me´dio; Bairro 2: mo(X) =
Ensino Me´dio; Bairro 3: mo(X) = Nenhum.
Com relac¸a˜o a varia´vel da questa˜o 8 - Varia´vel quantitativa cont´ınua:
• Me´dia: X¯ =
∑k
i=1 X˜ifi
40
= 45,38×1+55,36×4+...+95,32×10
40
= 78, 09% da taxa
de alfabetismo.
6
• Mediana: n/2 = 40/2 = 20o ⇒ A classe da mediana e´ a quarta
classe: 70, 35 |— 80, 34. Assim,
md(X) = LImd +
{
n/2− facant
fimd
}
× c
= 70, 35 +
{
40/2− 13
7
}
× 9, 99 = 80, 34% da taxa de alfabetimo.
• Moda: A classificac¸a˜o da moda e´ bimodal, uma vez que as duas
u´ltimas classes apresentaram frequeˆncias superiores e iguais as
demais. A primeira moda e´
mo(X)1 = LImo +
{
∆1
∆1 + ∆2
}
× c
= 80, 34 +
{
(10− 7)
(10− 7) + (10− 10)
}
× 9, 99
= 80, 34 +
{
3
3 + 0
}
× 9, 99 = 90, 33% da taxa de alfabetismo.
mo(X)2 = LImo +
{
∆1
∆1 + ∆2
}
× c
= 90, 33 +
{
(10− 10)
(10− 10) + (10− 0)
}
× 9, 99
= 90, 33 +
{
0
0 + 10
}
× 9, 99 = 90, 33% da taxa de alfabetismo.
Questa˜o 10. A tabela a seguir mostra a evoluc¸a˜o da receita bruta anual nos treˆs u´ltimos
anos de cinco microempresas (ME) que se encontram a` venda.
Um investidor deseja comprar duas das empresas listadas na tabela. Para
tal, ele calcula a me´dia da receita bruta anual dos u´ltimos treˆs anos (de 2009
ate´ 2011) e escolhe as duas empresas de maior me´dia anual. Qual das duas
empresas esse investidor deveria escolher. Justifique e apresente os ca´lculos.
Soluc¸a˜o: As duas maiores me´dias sa˜o X e Y, com 225 e 230 respec-
tivamente.
7
Questa˜o 11. As notas de um professor que participou de um processo seletivo, em que
a banca avaliadora era composta por cinco membros, sa˜o apresentadas no
gra´fico. Sabe-se que cada membro da banca atribuiu duas notas ao professor,
uma relativa aos conhecimentos espec´ıficos da a´rea de atuac¸a˜o e outra, aos
conhecimentos pedago´gicos, e que a me´dia final do professor foi dada pela
me´dia aritme´tica de todas as notas atribu´ıdas pela banca avaliadora.
Utilizando um novo crite´rio, essa banca avaliadora resolveu descartar a maior
e a menor notas atribu´ıdas ao professor. A nova me´dia, em relac¸a˜o a` me´dia
anterior, e´:
a) 0,25 ponto maior.
b) 1,00 ponto maior.
c) 1,00 ponto menor.
d) 1,25 ponto maior.
e) 2,00 pontos menor.
Soluc¸a˜o:
Me´dia pelo crite´rio anterior (todas as notas)
Total de notas = 5 (no de avaliadores) × 2 (no de notas) = 10
Me´dia aritme´tica 1= (18+16+17+13+14+1+19+14+16+12)/ 10
Me´dia aritme´tica 1 = 140/ 10
Me´dia aritme´tica = 14
Me´dia pelo novo crite´rio (descartando 2 notas)
Total de notas = 10 -2 = 8
Notas que sera˜o descartadas: maior nota: 19 e menor nota: 1
Me´dia aritme´tica 2= (18+16+17+13+14+14+16+12) / 8
Me´dia aritme´tica 1 = 120 / 8
Me´dia aritme´tica = 15
A nova me´dia sera´ 1,0 ponto maior que a anterior. (Letra B)
Questa˜o 12. Um estudante esta´ procurando um esta´gio para o pro´ximo ano. As compa-
nhias A e B teˆm programas de esta´gios e oferecem uma remunerac¸a˜o por 20
8
Companhia A B
Me´dia 2,5 2,0
Mediana 1,7 1,9
Moda 1,5 1,9
horas semanais com as seguintes caracter´ısticas (em sala´rios mı´nimos): Qual
a companhia mais adequada com base nesses dados? Soluc¸a˜o:
Inicialmente vamos discutir as informac¸o˜es fornecidas supondo que
o estudante tera´ seu sala´rio “escolhido” de acordo com uma pol´ıtica
salarial cuja tabela acima e´ um resumo. A companhia A tem 50%
dos seus estagia´rios recebendo ate´ 1,7 sala´rios mı´nimos e o valor com
mais chance de ocorreˆncia e´ 1,5. Como a me´dia e´ 2,5 devem haver
alguns poucos estagia´rios com sala´rio bem mais alto. A companhia
B tem as treˆs medidas bem pro´ximas indicando uma razoa´vel sime-
tria entre sala´rios altos e baixos. A opc¸a˜o do estudante dependera´
de sua qualificac¸a˜o. Se ele for bem qualificado, deve preferir a com-
panhia A pois tera´ maior chance de obter um dos altos sala´rios.
se tiver qualificac¸a˜o pro´xima ou abaixo dos outros estudantes, deve
preferir B que parece ter uma pol´ıtica mais homogeˆnea de sala´rios.
Questa˜o 13. Cronometrando o tempo para va´rias provas de uma gincana em um congresso
de psicologia, encontramos:
• Equipe 1: 40 provas; Tempo me´dio: 45 segundos; Variaˆncia:400 segun-
dos ao quadrado.
• Equipe 2:
Tempo: 20 40 50 80
No de provas: 10 15 30 5
a) Qual o coeficiente de variac¸a˜o relativo a` equipe 1?
Soluc¸a˜o:
CV =
S
X¯
× 100 =
√
400
45
× 100 = 44, 44%
b) Qual a me´dia da equipe 2?
Soluc¸a˜o:
X¯ =
20 + 40 + 50 + 80
60
= 45 seg.
c) Qual o desvio padra˜o da equipe 2?
Soluc¸a˜o:
S =
√
S2
=
√
135.000, 00− (2.700,00)2
60
60− 1
= 15, 1266 seg.
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d) Qual a equipe que apresentou resultados mais homogeˆneos? Justifi-
que.
Soluc¸a˜o:
Como as unidades das amostras bem como suas me´dias sa˜o
iguais, podemos comparar a dispersa˜o pelo desvio padra˜o.
Assim, a amostra que tem menor dispersa˜o (isto e´, mais
homogeˆnio) e´ a Equipe 2.
Questa˜o 14. Os dados a seguir referem-se ao nu´mero de cl´ınicas falidas/ano observadas em
n = 85 anos. A amostra foi obtida em Lavras, MG (Dados fict´ıcios).
Cl´ınicas falidas Frequeˆncias
0 36
1 19
2 16
3 7
4 4
5 2
6 1
(a) Calcular: me´dia, mediana e moda.
Soluc¸a˜o:
• Me´dia
X¯ =
0× 36 + . . . + 6× 1
85
= 1, 22 cl´ınicas falidas.
• Mediana
md(x) = Xn+1
2
= X43 = 1 cl´ınicas falidas.
• Moda
mo(X) = 0 cl´ınicas falidas.
(b) Calcular a amplitude, variaˆncia, desvio padra˜o, erro padra˜o da me´dia e
coeficiente de variac¸a˜o;
Soluc¸a˜o:
• Ampliude
At = 6− 0 = 6 cl´ınicas falidas.
• Variaˆncia
S2 =
02 × 36 + . . . + 62 × 1− (0×36+...+6×1)2
85
85− 1 = 2, 01 (cl´ınicas falidas)
2
• Desvio padra˜o
S =
√
S2 =
√
2, 01 = 1, 42 cl´ınicas falidas.
10
• Erro padra˜o da me´dia
SX¯ =
1, 42√
85
= 0, 15 cl´ınicas falidas.
• Coeficiente de variac¸a˜o
CV =
1, 42
1, 22
× 100 = 116, 39%
(c) quanto a simetria qual a natureza da distribuic¸a˜o de frequeˆncias das
cl´ınicas falidas.
Soluc¸a˜o:
Observando o gra´fico com as medidas descritivas:
temos que a distribuic¸a˜o e´ assime´trica positiva, uma vez que
X¯ > md(X) > mo(X).
Questa˜o 15. A seguir, esta˜o apresentadas estimativas do coeficiente de assimetria e de
curtose. Classifica´-las quanto a` simetria e grau de achatamento da distribuic¸a˜o
de frequeˆncia.
Coeficiente de Coeficiente de Classificac¸a˜o da Classificac¸a˜o do
Assimetria Curtose Simetria Grau de Achatamento
0,5 3,0 Ass. Postiva Mesocu´rtica
-2,0 1,0 Ass. Negativa Platicu´rtica
2,0 2,0 Ass. Positiva Leptocu´rtica
3,0 3,0 Ass. Positiva Leptocu´rtica
0,0 3,0 Sime´trica Mesocu´rtica
0,0 3,5 Sime´trica Leptocu´rtica
-3,0 4,5 Ass. Negativa Leptocu´rtica
Questa˜o 16. A tabela a seguir apresenta algumas estat´ısticas das notas dos alunos de de-
terminado curso que participaram do ENADE 2005.
11
Com base na tabela acima, pode-se afirmar que a(s):
I) menor dispersa˜o das notas ocorre no grupo dos alunos concluintes;
II) amplitude total das notas e´ menor no grupo dos concluintes;
III) variaˆncia das notas e´ menor no grupo de ingressantes;
IV) medidas de posic¸a˜o na distribuic¸a˜o de notas sa˜o menores no grupo dos
ingressantes.
Sa˜o verdadeiras APENAS as afirmac¸o˜es:
a) I e III;
b) I e IV;
c) II e III;
d) II e IV;
e) III e IV.
Soluc¸a˜o:
A comparac¸a˜o da dispersa˜o das notas tem que ser comparada pelo
CV, uma vez que as me´dias na˜o sa˜o iguais, logo as duas amostras na˜o
podem ser comparadas pelo desvio padra˜o ou a variaˆncia. Assim, o
CV para os dois grupos e´ dado por:
• Ingressantes
CV =
9, 3
26, 8
× 100 = 34, 70%
• Concluintes
CV =
11, 3
32, 2
× 100 = 35, 09%
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Logo, o grupo Ingressantes tem menor dispersa˜o que o grupo Con-
cluintes, sendo (I) uma afirmac¸a˜o falsa.
A amplitude total dos grupos e´ dado por:
• Ingressantes
At = 68, 2− 0, 0 = 68, 2 pontos
• Concluintes
At = 68, 2− 0, 0 = 68, 2 pontos
Logo, a amplitude e´ a mesma para os dois grupos, e a afirmac¸a˜o
(II) e´ falsa.
A variaˆncia dos grupos e´ dado por:
• Ingressantes
S2 = 9, 32 = 86, 49 pontos2
• Concluintes
S2 = 11, 32 = 127, 69 pontos2
Logo, a variaˆncia e´ menor no grupo dos ingressantes, e a afirmac¸a˜o
(III) e´ verdadeira.
Por fim, as medidas de posic¸a˜o apresentadas sa˜o a me´dia e a medi-
ana, e todas essas medidas sa˜o menores no grupo dos ingressantes,
logo a afirmac¸a˜o (IV) e´ verdadeira. Assim, a opc¸a˜o correta e´ a
RESPOSTA E.
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