Cap 1 - Distribuição de Frequências

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1 
Estatística 
Por que estudar Estatística? 
 As aplicações da estatística se desenvolvem de tal forma que, hoje, praticamente todo campo de 
estudo se beneficia da utilização de métodos estatísticos. 
 Os fabricantes fornecem melhores produtos a custos menores através de técnicas de controle de 
qualidade. 
 Controlam-se doenças com auxílio de análises que antecipam epidemias. 
 Espécies ameaçadas são protegidas por regulamentos e leis que reagem a estimativas estatísticas de 
modificação do tamanho das populações. 
 Visando reduzir as taxas de casos fatais, os legisladores têm melhor justificativa para leis como as 
que regem a poluição atmosférica, inspeções de automóveis, utilização do cinto de segurança e 
dirigir em estado de embriaguez. 
Citamos apenas esses exemplos, porque uma compilação completa das aplicações da estatística facilmente 
tomaria dezenas de páginas. 
 
 O estudo da estatística pode tornar o aluno mais crítico em sua análise de informações, e menos 
sujeito a afirmações enganosas, como as que se acham comumente associadas a pesquisas, gráficos e médias. 
Como membro educado e responsável da sociedade, o aluno deve aguçar sua capacidade de reconhecer dados 
estatísticos distorcidos e de interpretar inteligentemente dados que se apresentem sem distorção. 
 
Definição de alguns termos: 
 Estatística é uma parte da Matemática Aplicada que fornece métodos para a coleta, organização, 
descrição, análise e interpretação de dados e para a utilização dos mesmos na tomada de decisões. 
 Uma população é uma coleção completa de todos os elementos (valores, pessoas, medidas etc. ) a 
serem estudados. 
 Um censo é uma coleção de dados relativos a todos os elementos de uma população. 
 ·Uma amostra é um subconjunto de elementos extraídos de uma população. 
 Um parâmetro é uma medida numérica que descreve uma característica de uma população. 
 Uma estatística é uma medida numérica que descreve uma característica de uma amostra 
 
Exemplo 
 Em uma pesquisa com 1.015 pessoas escolhidas aleatoriamente, 269 (ou 26,5%) possuíam 
computador. 
 Como a cifra de 26,5 % se baseia em uma amostra, e não em toda população, trata-se de uma 
estatística (e não um parâmetro). 
 
 2 
Abusos da Estatística 
Alguns dos que abusam da estatística o fazem simplesmente por descuido ou ignorância; outros, 
porém, têm objetivos pessoais, pretendendo suprimir dados desfavoráveis enquanto dão ênfase aos dados que 
lhes são favoráveis. Passemos a alguns exemplos das diversas maneiras como os dados podem ser distorcidos. 
Perguntas Tendenciosas – as perguntas em pesquisa podem ser formuladas de modo a “sugerirem” 
uma resposta. Um caso famoso envolve o candidato à presidência dos EUA, Ross Perot, que formulou a 
seguinte pergunta em um questionário: “O presidente deve ter o poder de vetar decisões no 
Congresso?”Noventa e sete por cento das respostas foram “sim”. Entretanto, o percentual de respostas “sim” 
caiu para 57% quando a pergunta foi “O presidente deve ter, ou não, o poder de vetar decisões no 
Congresso?” Às vezes as perguntas se apresentam involuntariamente tendenciosas em virtude de fatores 
como a ordem dos itens a serem considerados. Por exemplo, uma pesquisa alemã formulou estas duas 
perguntas: O leitor diria que o tráfego contribui em maior ou menor grau do que a indústria para a poluição 
atmosférica? 
O leitor diria que a indústria contribui em maior ou menor grau do que o tráfego para a poluição 
atmosférica? Quando o tráfego foi mencionado em primeiro lugar, 45% acusaram o tráfego e 32% 
acusaram a indústria; quando a indústria foi citada em primeiro lugar, as porcentagens se modificaram 
grandemente para 24% e 57%, respectivamente. 
Gráficos Enganosos – muitos dispositivos visuais – como gráficos em barras e gráficos em setores – 
podem ser utilizados para exagerar ou diminuir a verdadeira natureza de um conjunto de dados. Os dois 
gráficos abaixo representam os mesmos dados, mas a parte (b) tem como objetivo exagerar a diferença entre 
os ganhos dos homens e das mulheres. 
 
 
 
Estimativas por Suposição – Outra fonte de engano estatístico envolve estimativas que são, na verdade, 
suposições (ou, na linguagem popular, “palpites”), podendo apresentar erros substanciais. É preciso 
0
200
400
600
800
Mulheres HomensG
a
n
h
o
 s
e
m
a
n
a
l 
m
e
d
in
o
 
500
550
600
650
700
750
Mulheres Homens
G
a
n
h
o
 s
e
m
a
n
a
l 
m
e
d
ia
n
o
 
 3 
considerar a fonte da estimativa e a maneira como foi estabelecida. Quando o Papa visitou Miami, as 
fontes oficiais estimaram a multidão em 250.000 pessoas, mas, utilizando fotos aéreas e grades, chegou a uma 
cifra mais precisa de apenas 150.000. 
 
Pressão do Pesquisador – quando se formulam perguntas a indivíduos, esses freqüentemente dão respostas 
favoráveis à sua auto-imagem. Em uma pesquisa telefônica 94% dos que responderam disseram que lavavam 
suas mãos após usar um banheiro, mas a observação em lugares tais como a Estação Penn, em Nova York e 
Golden Park em São Francisco mostraram que o percentual efetivo é de apenas 68%. 
 
Más Amostras – outra fonte de estatística enganosa são os métodos inadequados de coleta de dados. É 
comum um pesquisador analisar dados, formular conclusões errôneas porque o método de coleta de dados foi 
deficiente. 
 Um exemplo típico é a pesquisa “Nightline” em que 186.000 espectadores de televisão pagaram 50 
centavos para discar um número de telefone “900” dando sua opinião sobre se a sede das Nações Unidas deve 
permanecer nos EUA. Os resultados mostraram que 67% dos que foram consultados eram favoráveis a que a 
sede da ONU saísse dos EUA. Como os próprios espectadores é que decidiram se seriam incluídos na 
pesquisa, temos um exemplo de pesquisa auto-selecionada, que se define como segue. 
 
Uma pesquisa auto-selecionada é uma pesquisa em que os próprios entrevistados decidem se serão 
incluídos. 
Em tais pesquisas, o que frequentemente ocorre é que participam apenas aqueles que têm uma 
opinião firmada, resultando daí que a amostra dos que respondem não é representativa da população como um 
todo. Como 67% dos 186.000 pesquisados eram favoráveis à mudança da sede da ONU dos EUA, nada 
podemos concluir sobre a população em geral, dada a maneira como se obteve a amostra. Na realidade, uma 
pesquisa “científica” de 500 pessoas revelou que 72% delas desejavam que a sede da ONU permanecesse nos 
EUA. Nessa pesquisa de 500 pessoas, os que responderam foram selecionados aleatoriamente pelo 
pesquisador, de modo que o resultado tende muito mais a refletir a verdadeira opinião da população em geral. 
 
Exercícios 
 
1) Uma pessoa foi encarregada de pesquisar o reconhecimento da marca Nike, devendo contactar por telefone 
1500 consumidores nos EUA. Por que razão é incorreta a utilização de listas telefônicas como população para 
fornecer a amostra? 
 
2) Um jornal afirma que as mães grávidas podem aumentar sua chances de ter um bebê sadio comendo 
lagostas. A alegação se baseia em um estudo mostrando que as crianças nascidas de mães que comem lagostas 
têm menos problemas de saúde do que as nascidas de mães que não comem lagostas. Qual é o erro nesta 
alegação? 
 4 
Natureza dos dados 
 
Alguns conjuntos de dados (como altura, peso, número de filhos, salário, etc.) constituem em 
números, enquanto outros são não-numéricos (estado civil, sexo, religião, nível de educação, etc. ). Aplica-se 
as expressões dados qualitativos e dados quantitativos para distinguir esses dois tipos. 
 
Definições 
Os dados quantitativos constituem em números que representam contagens ou medidas. 
 
Os dados qualitativos (ou dados categóricos, ou atributos) podem ser separados em diferentes 
categorias que se distinguem por alguma característica não-numérica. 
 
Podemos ainda descrever os dados quantitativos entre os tipos discreto e contínuo. 
 
Variáveis quantitativas discretas, cujospossíveis valores formam um conjunto finito ou 
enumerável de números que resultam, frequentemente, de uma contagem, como por exemplo números de 
filhos. 
 
Variáveis quantitativas contínuas, cujos possíveis valores formam um intervalo de números reais e 
que resultam, normalmente, de uma mensuração, como por exemplo estatura ou peso de um indivíduo. 
Dentre as variáveis qualitativas, ainda podemos fazer uma distinção entre dois tipos: variável 
qualitativa nominal, para a qual não existe nenhuma ordenação nas possíveis realizações, e variável 
qualitativa ordinal, para a qual existe uma certa ordem nos possíveis resultados. 
 
Exemplo 
 
Variável qualitativa nominal : sexo, religião, etc. 
 
Variável qualitativa ordinal : grau de instrução (1º grau, 2º grau ou superior); classe social (baixa, 
média ou alta). 
 
A tabela a seguir fornece informações sobre estado civil, grau de instrução, número de filhos, salário 
(expresso com fração do salário mínimo), idade e procedência de 36 funcionários da seção de orçamentos da 
Companhia Milsa. 
 
 
 
 5 
Nº Estado civil Grau de instrução Nº de filhos Salário ( x Sal. Min.) Idade Região de procedência 
1 solteiro 1º grau - 4 26 Interior 
2 casado 1º grau 1 4,56 32 Capital 
3 casado 1º grau 2 5,25 36 Capital 
4 solteiro 2º grau - 5,73 20 Outro 
5 solteiro 1º grau - 6,26 40 Outro 
6 casado 1º grau 0 6,66 28 Interior 
7 solteiro 1º grau - 6,86 41 Interior 
8 solteiro 1º grau - 7,39 43 Capital 
9 casado 2º grau 1 7,59 34 Capital 
10 solteiro 2º grau - 7,44 23 Outro 
11 casado 2º grau 2 8,12 33 Interior 
12 solteiro 1º grau - 8,46 27 Capital 
13 solteiro 2º grau - 8,74 37 Outro 
14 casado 1º grau 3 8,95 44 Outro 
15 casado 2º grau 0 9,13 30 Interior 
16 solteiro 2º grau - 9,35 38 Outro 
17 casado 2º grau 1 9,77 31 Capital 
18 casado 1º grau 2 9,8 39 Outro 
19 solteiro superior - 10,53 25 Interior 
20 solteiro 2º grau - 10,76 37 Interior 
21 casado 2º grau 1 11,06 30 Outro 
22 solteiro 2º grau - 11,59 34 Capital 
23 solteiro 1º grau - 12 41 Outro 
24 casado superior 0 12,79 26 Outro 
25 casado 2º grau 2 13,23 32 Interior 
26 casado 2º grau 2 13,6 35 Outro 
27 solteiro 1º grau - 13,85 46 Outro 
28 casado 2º grau 0 14,69 29 Interior 
29 casado 2º grau 5 14,71 40 Interior 
30 casado 2º grau 2 15,99 35 Capital 
31 solteiro superior - 16,22 31 Outro 
32 casado 2º grau 1 16,61 36 Interior 
33 casado superior 3 17,27 43 Capital 
34 solteiro superior - 18,75 33 Capital 
35 casado 2º grau 2 19,4 48 Capital 
36 casado superior 3 23,3 42 Interior 
Tabela 1 
 
 6 
Distribuição de Frequências 
 
 Quando se estuda uma variável, o maior interesse do pesquisador é conhecer a distribuição dessa 
variável através das possíveis realizações (valores) da mesma. O objetivo da distribuição de frequência é 
dispor um conjunto de valores, de modo a se ter uma ideia global sobre estes valores, ou seja, de sua 
distribuição. 
 
Grau de instrução Frequência Proporção Porcentagem 
1º grau 12 0,3333 33,33 
2º grau 18 0,50000 50,00 
Superior 6 0,1667 16,67 
Total 36 1,0000 100,00 
 
Tabela 2 – Distribuição de frequências da variável grau de instrução, usando-se os dados da tabela 1. 
 
 A construção de tabelas de frequências para variáveis contínuas necessita de certo cuidado. Por 
exemplo, a construção da tabela de frequências da variável salário não resumirá as 36 observações num grupo 
menor, pois não existem observações semelhantes. A solução empregada é agrupar os dados por faixas de 
salário. 
 
Classe de salários Frequência ( fi ) Porcentagem 
4,00  8,00 10 27,78 
8,00  12,00 12 33,33 
12,00  16,00 8 22,22 
16,00  20,00 5 13,89 
20,00  24,00 1 2,78 
Total 36 100,00 
Tabela 3 – Frequências e porcentagens dos 36 empregados da 
seção de orçamentos da Companhia Milsa, por faixa de salário 
 
Representação Gráfica da Variáveis 
 
 A representação gráfica da distribuição de frequências de uma variável tem a vantagem de, rápida e 
concisamente, informar sobre a variabilidade da mesma. 
 7 
0
2
4
6
8
0 1 2 3 5
nº de filhos
F
re
q
ü
ê
n
c
ia
Exemplo 
 
 Estamos interessados em estudar a distribuição do número de filhos dos empregados casados da 
seção de orçamentos da Cia. Milsa. 
 
Nº de filhos Frequência (fi) Porcentagem (100.fi) 
0 4 20% 
1 5 25% 
2 7 35% 
3 3 15% 
5 1 5% 
Total 20 100% 
Tabela 4 – Frequências e porcentagens dos empregados da seção de 
orçamento da Companhia Milsa, segundo o número de filhos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para variáveis quantitativas contínuas necessita-se de alguma adaptação, como no exemplo a seguir. 
 
Queremos representar graficamente a distribuição da variável S (salário dos empregados) da seção de 
orçamentos da Cia. Milsa. 
 
Classe de salários Ponto médio 
Pmi 
Frequência 
fi 
Porcentagem 
100. fi 
4,00  8,00 6,00 10 27,78 
8,00  12,00 10,00 12 33,33 
12,00  16,00 14,00 8 22,22 
16,00  20,00 18,00 5 13,89 
20,00  24,00 22,00 1 2,78 
Total __ 36 100,00 
Tabela 5 –Distribuição de frequência da variável S = salário dos empregados da seção de orçamento 
da Cia. Milsa. 
 8 
0%
10%
20%
30%
40%
6 10 14 18 22
Salários
P
o
rc
e
n
ta
g
e
m
0 4 8 12 16 20 24
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
 F
re
qü
ên
ci
a
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O artifício usado para representar a variável contínua faz com que se perca muito das informações 
nela contidas. Uma alternativa a ser usada nestes casos é o gráfico conhecido como histograma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tipos de Frequências 
 
 Frequências simples ou absolutas ( fi ) são os valores que realmente representam o número de 
dados de cada classe. 
obs: a soma das frequências simples é igual ao número total dos dados ( n ): 
 
 
 
 
 Frequências relativas ( fri ) são os valores das razões entre as frequências simples e a frequência 
total: 
 
 
  nf i
n
f
f
f
fr i
i
i
i 

 9 
Frequência acumulada (Fi) é o total das frequências de todos os valores inferiores ao limite superior do 
intervalo de uma dada classe: 
 
 
 
ou 
 
 
 
 
 Frequência acumulada relativa (Fri) de uma classe é a frequência acumulada da classe, dividida 
pela frequência total da distribuição. 
 
 
 
 
 
Considere a distribuição de frequência com intervalos de classe abaixo: 
 
 Estaturas de 40 alunos do colégio A. 
Estaturas (cm) Frequência ( fi ) 
150  154 4 
154  158 9 
158  162 11 
162  166 8 
166  170 5 
170  174 3 
Total 40 
 
 Considerando a tabela anterior, podemos montar a seguinte tabela com as frequências estudadas: 
 
 
 
i 
 
i 
 
Estaturas 
 (cm) 
 
 
 
 
Frequência 
fi 
 
 
Ponto 
médio 
Pm 
Frequência 
Relativa 
fri 
Frequência 
Acumulada 
Fi 
Frequência 
Acumulada 
relativa - Fri 
1 150  154 4 152 0,100 4 0,100 
2 154  158 9 156 0,225 13 0,325 
3 158  162 11 160 0,275 24 0,600 
kik fffF  ...2



k
i
ik fF
1
n
F
Fr ii 
 10 
4 162  166 8 164 0,200 32 0,800 
5 166  170 5 168 0,125 37 0,925 
6 170  174 3 172 0,075 40 1,000 
 =40  = 1,000 
 
 O conhecimento dos vários tipos de frequências ajuda-nos a responder a muitas questões com 
relativa facilidade, como as seguintes: 
 
a) Quantos alunos têm estatura entre 154 cm, inclusive, e 158 cm ? 
Esses são os valores da variável que formam a segunda classe. Como n2 = 9, a resposta é : nove alunos. 
 
b) Qual a percentagem de alunos cujas estaturas são inferiores a 154 cm ? 
 Esses valores são os que formam a primeira classe. Como f1=0,100, obtemos a resposta 
multiplicando a frequência relativa por 100: 
0,100 x 100 = 10 
 Logo, a percentagem de alunos é 10%. 
 
c) Quantos alunos têm estatura abaixo de 162 cm ? 
É evidente que as estaturas consideradas são aquelas que formam as classes de ordem 1,2 e 3. 
Assim, o número de alunos é dado por:Portanto, 24 alunos têm estatura abaixo de 162 cm. 
 
d) Quantos alunos têm estatura não inferior a 158 cm ? 
 O número de alunos é dado por: 
 
 
 
 
ou então: 
 
 
 
Polígono de Frequências 
 Um polígono de frequência é um gráfico de linha em que as frequências são locadas sobre 
perpendiculares levantadas nos pontos médios. Pode-se também obtê-los, ligando-se os pontos médios dos 
topos dos retângulos de um histograma. 
 
 
243
3
1
321  

Fffff
i
i
27358116543
6
3


fffff
i
i
2713402 2
6
1


FnFf
i
i
 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Polígono de Frequência Acumulada 
 O polígono de frequência acumulada é traçado marcando-se as frequências acumuladas sobre 
perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos pontos correspondentes aos limites superiores dos 
intervalos de classe. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
148 152 156 160 164 168 172 176
0
2
4
6
8
10
12
14
 F
re
q
ü
ê
n
c
ia
 Estatura ( cm )
152 156 160 164 168 172
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
 F
re
q
ü
ê
n
c
ia
 Estatura ( cm )
 12 
Exercícios 
1) A tabela abaixo apresenta uma distribuição de frequência das áreas de 400 lotes: 
 
Classe - i ÁREAS (m
2
) Nº de LOTES 
1 
2 
3 
 
300  400 14 
2 
 
400  500 46 
3 500  600 58 
4 600  700 76 
5 700  800 68 
6 800  900 62 
7 900  1000 48 
8 1000  1100 22 
9 1100  1200 6 
 Total 400 
 
 Com referência a essa tabela, determine: 
 
a) a amplitude total; 
b) o limite superior da quinta classe; 
c) o limite inferior da oitava classe; 
d) o ponto médio da sétima classe; 
e) a amplitude do intervalo da segunda classe; 
f) a frequência da quarta classe; 
g) a frequência relativa da sexta classe; 
h) a frequência acumulada da quinta classe; 
i) o número de lotes cuja área não atinge 700 m2; 
j) o número de lotes cuja área atinge e ultrapassa 800 m2; 
k) a percentagem dos lotes cuja área não atinge 600 m2; 
l) a percentagem dos lotes cuja área seja maior ou igual a 900 m2; 
m) a percentagem dos lotes cuja área é de 500 m2, no mínimo, mas inferior a 1.000 m2; 
n) a classe do 72º lote; 
o) até que classe estão incluídos 60% dos lotes. 
 
2) Conhecidas as notas de 50 alunos: 
 
68 85 33 52 65 77 84 65 74 57 
71 35 81 50 35 64 74 47 54 68 
80 61 41 91 55 73 59 53 77 45 
41 55 78 48 69 85 67 39 60 76 
94 98 66 66 73 42 65 94 88 89 
determine: 
 
a) a distribuição de frequência começando por 30 e adotando o intervalo de classe de amplitude igual a 10; 
b) as frequências acumuladas; 
c) as frequências relativas; 
d) o histograma e o polígono de frequência;