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INSTITUTO DE FÍSICA
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Física II-A - manhã
1° período de 2009
1a Prova – 29/04/2009
1a Questão (2,5 pontos)
Um cubo de aresta a flutua dentro de um recipiente contendo mercúrio (densidade ρm), 
tendo um quarto de seu volume submerso.
(a) (1,0) Se o cubo for homogêneo, qual seria sua densidade em termos da densidade 
do mercúrio?
(b) (0,5) Acrescentamos água no recipiente (densidade ρa) até o cubo inteiro estar 
submerso com sua face superior abaixo do nível da água. Qual é o empuxo sofrido 
pelo cubo em termos da variáveis a, ρa, ρm e a aceleração da gravidade g?
(c) (1,0) Após o acréscimo da água, qual fração do volume do cubo que estará imersa 
(dentro) no mercúrio?
Resposta:
(a) (1,0) ρmgV/4 = ρcubogV , donde
 ρcubo = ρm/4
(b) (0,5) Como o cubo inteiro está submerso, o empuxo sofrido
pelo cubo é igual a seu peso :
 E = ρcubogV = ρmga3/4
(c) (1,0) Seja α a fração dentro do mercúrio, temos αρm + (1 − α)ρa = ρm/4, donde
 α =
2a Questão (2,5 pontos)
Uma mola de comprimento relaxado de L = 10,0 cm tem 
constante elástica k = 240N/m. Ela é cortada em dois 
pedaços: o primeiro de comprimento L1 = 6,0cm e o 
segundo de L2 = 4,0cm. As duas molas assim obtidas são 
amarradas sem deformação entre duas paredes e nos 
lados opostos de um bloco de massa M que pode deslizar, sem atrito, em cima de 
uma mesa horizontal ao longo do eixo Ox. Veja a figura ao lado.
(a) (1,0) As constantes elásticas, de cada uma das molas obtidas, são k1 = 5/3 k e k2 = 
5/2 k. Justifique estes valores.
(b) (1,0) Para uma massa M = 100 g qual é a frequência angular de oscilação do 
bloco?
(c) (0,5) Uma força externa periódica é aplicada na direção do eixo Ox com a 
frequência fext = 50,0Hz. Qual deve ser o valor da massa M para que o bloco oscile 
com amplitude máxima?
Resposta:
(a) (1,0) Usando o fato da constante elástica efetiva de duas molas em série ser 
dada por:
 
verificamos que k1 = k×5/3 = 400,0 N/m e k2=k×5/2 = 600,0 N/m satisfazem esta 
relação.
 Um argumento mais completo consiste na consideração seguinte:
Ao dividir a mola em N = 5 partes iguais, cada parte terá uma constante N k = 5 k. 
Juntando n pedaços em série, obtemos uma mola com constante elástica N k/n. No 
caso, N = 5 e n = 2, 3.
(b) (1,0) A constante da mola efetiva é:
 Kef = k1 + k2 = 1000 N/m
A frequência angular de oscilação do bloco é
 ω = = 100rad/s
(c) (0,5) A condição de ressonância fornece ωext = 2pifext = 100pirad/s
 M = Kef/ωext2 = 1000N/m/(100pi rad/s)2 = 10,1 g
3a Questão (2,5 ponto)
Uma das extremidades de uma corda de 20 cm é presa a uma 
parede. A outra extremidade está ligada a um anel sem massa 
que pode deslizar livremente ao longo de uma haste vertical 
sem atrito, conforme a figura apresentada ao lado.
(a) (1,5) Quais são os três maiores comprimentos de ondas estacionárias possíveis 
nesta corda? 
(b) (1,0) Esboce as ondas estacionárias correspondentes?
Resposta:
(a) (1,5) λ1 = 4L = 80,0 cm
 λ2 = 4L/3 = 26, 6 cm
 λ3 = 4L/5 = 16, 0 cm
(b) (1,0) 
4a Questão (2,5 ponto)
Uma fonte sonora de freqüência de 100 Hz se desloca a uma velocidade de v = 36 km/
h em uma via retilínea.
(a) (1,0) Qual é a freqüência que um observador, parado na via, percebe enquanto a 
fonte sonora se afasta?
(b) (1,0) A via termina em um grande muro perpendicular a ela. O som da fonte é 
refletido neste muro e retorna ao observador. Qual é a frequência do som refletido no 
muro que retorna ao observador?
(c) (0,5) O observador percebe, então, na superposição do som vindo diretamente da 
fonte com o refletido pelo muro um batimento. Qual é a frequência do batimento?
Resposta:
Conforme a figura, a fonte se afasta do observador parado na direção do muro. 
Sendo vsom = 340m/s a velocidade do som no ar parado.
A velocidade da fonte é vfonte = 36,0 km/h = 10,0m/s
(a) (1,0) fo = 
 = = 97Hz
(b) (1,0) A frequência do som refletido pelo muro é :
 fmuro = 
 = = 103Hz
(c) (0,5) fbat = (103 − 97)Hz = 6 Hz
__________________________________
Formulário
vsom = 340 m/s, g=10m/s2, ρágua= 1,0x103kg/m3, sen(a) + sen(b) = 2.sen [(a+b)/2].cos[(a-b)/2]
P+½ρv2+ρgy = const., v = [F/µ]1/2, v = [B/ρ0]1/2, f' = (v±vO)/(vvS).f, ∆pm = v.ρ.ω.sm, I = ½ρvω2sm2, Pméd= 
A(∆pm)2/(2ρv), ∆p(t) = [2∆pmcos[(ω1-ω2)t/2].sen[(ω1+ω2)t/2], NIS = 10 log(I/Io), 
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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Física II-A - tarde 
1° período de 2009
1a Prova – 29/04/2009
1a Questão (2,0 pontos)
Uma casca esférica oca, feita de ferro, flutua quase completamente submersa na 
água, conforme mostrado na figura ao lado. O diâmetro externo da esfera é de 
60,0 cm e a massa específica do ferro é de 7,9 g/cm3. Determine o volume da parte 
oca da esfera.
Resposta:
Em termos do diâmetro D da esfera, o seu volume é dado por:
V = 
3
2
D
3
4 

pi
=
3D
6
pi
O empuxo, i.e. o peso do volume de água deslocado, que é o volume da esfera, é igual 
ao peso da esfera;
ρag(pi/6)D3 = ρFeg(pi/6) (D3 − d3)
onde d é o diâmetro da parte oca da esfera. Logo:
Voca = (pi/6) d3 = 
3
Fe
aFe D
6
pi
×
ρ
ρ−ρ
≈ 99x103cm3
2a Questão (3,0 pontos)
A figura mostra um bloco de massa M, em cima de uma mesa horizontal 
sem atrito, preso a uma mola cuja outra extremidade é fixada a uma 
parede. Ao ser puxado e posteriormente, no instante t = 0 s, ser solto o 
bloco oscila harmonicamente entre as posições x1 = 0,8m e x2 = 1,2m. 
Algum tempo depois, um segundo bloco de massa m = 1,5 kg é colocado 
sobre o primeiro, quando da passagem deste por um de seus pontos de 
retorno. Sabendo que o coeficiente de atrito estático entre os dois blocos é μ= 0,40, 
que o sistema com apenas um bloco oscila 50 vezes em 1,0 min e o sistema composto 
pelos dois blocos oscila 40 vezes neste mesmo intervalo de tempo, determine:
a) (0,5+0,5) a massa M do primeiro bloco, e a constante elástica k da mola;
m
m
m
M
MM
k
kk
x
x
1
x
2
22
b) (0,2+0,2+0,2+0,2) a função x(t), com os valores todas as constante determinadas 
(posição de equilíbrio xeq, amplitude A, frequência angular ω e fase φ), que dá a 
posição do primeiro bloco com o passar do tempo, antes da colocação do segundo 
bloco;
c) (0,4+0,4) as velocidades máximas de oscilação v(1)max e v(2)max do sistema com o 
primeiro bloco e com os dois blocos;
d) (0,4) a amplitude máxima Amax que poderia ter o movimento harmônico descrito pelo 
sistema com os dois blocos sem que o bloco de cima viesse a escorregar.
Resposta:
(a) (0,5+0,5) Temos duas relações 2pif = [k/M]1/2 e 2pif' = [k/(m +M)]1/2,
onde f = 5/6 s−1 , f' = 4/6 s−1 , m = 1,5 kg.
Achamos k = Mω2 = (M+m)ω'2 → M(ω2-ω'2) = mω'2 ↔ M(f2-f'2) = mf'2
∴ M =
m
'f
'ff
2
22
−
=
kg5,1
9
16
×
= 8/3 kg ≈ 2,7 kg
k = Mω2 = M.4pi2f2 = 8/3kgx4pi2x(5/6Hz)2 = 73,1 N/m
(b) (0,2+0,2+0,2+0,2)
x(t) = xeq + A cos(ωt) = xeq + A sin(ωt + pi/2)
xeq = (x1 + x2)/2 = 1,0 m; A = (x2 − x1)/2 = 0,2 m
ω = 2pif = 5,2 s−1; ϕ = pi/2
(c) (0,4+0,4)
v1(max) = Aω = 1,0 m/s; v2(max) = Aω' = v1(1)×4/5 = 0,8 m/s
(d) (0,4)As equações de Newton para os dois blocos são :
ma = −Fat, M d2x/dt2 = −k(x − xeq) + Fat
Os dois blocos se movem juntos se d2x/dt2 = a.
Eliminando Fat, temos
(M + m) d2x/dt2 = −k(x − xeq),
com solução x(t) = xeq + A cos(ω't).
A força de atrito é :
Fat = 
( )t'coskA
Mm
m
ω
+
A condição |Fat| ≤ μmg resulta em:
 (0,6) A ≤ k
Mmg+µ
 = 2'
g
ω
µ
 ≈ 0, 22 m
3a Questão (2,5 pontos)
Uma corda de violino de 30,0 cm de comprimento com densidade linear de massa de 
0,650 g/cm é colocada próxima de um auto-falante que está conectado a um oscilador 
de áudio de frequência variável. Descobre-se que a corda oscila somente nas 
frequências de 880 Hz e 1320 Hz, quando a frequência do oscilador varia entre 500 Hz 
e 1500 Hz. Determine:
(a) (1,0) a velocidade das ondas na corda;
(b) (0,5) a frequência do fundamental
(c) (1,0) a tensão na corda.
Resposta:
Os comprimentos de onda da corda são dados por λn = 2L/n, com n = 1, 2, 3,...
e as frequências por:
fn = v/λn = 
n
L2
v
onde v é a velocidade de propagação da onda.
A corda está em ressonância com as frequências sequenciais de:
880Hz = nv/(2L) e
1320Hz = (n+1)v/(2L)
Logo:
v/(2L) = 440Hz e
(a) (1,0) v = 264m/s
(b) (0,5)A frequência do modo fundamental corresponde a n = 1:
f1 = v/(2L) = 440 Hz
(c) (1,0) Finalmente, a tensão é obtida como:
T = μv2 = 65×10−3kg/m × (264m/s)2 = 4530N
4a Questão (2,5 pontos)
Dois alto-falantes estão localizados a 20,0m e a 22,0m, respectivamente, de um 
ouvinte em um auditório. Um gerador de áudio coloca os dois alto-falantes em fase 
com as mesmas freqüências e com as amplitudes iguais na posição do ouvinte. As 
freqüências podem ser ajustadas dentro do intervalo audível de 20 Hz a 20 kHz. 
(a) (1,5) Quais são as três mais baixas freqüências para as quais o ouvinte irá ouvir 
um sinal de mínimo, devido à interferência destrutiva?
(b) (1,0) Quais são as três mais baixas freqüências para as quais o ouvite ouvirá um 
sinal máximo?
Resposta:
y(x,t) = y1(x,t) + y2(x,t)
= A sin(kx1 − ωt) + A sin(kx2 − ωt)
= 2A sin(k(x1 + x2)/2 − ωt) × cos(k∆x/2)
com ∆x = x2 − x1 = 2,0 m.
(a) (1,5)
Teremos um sinal mínimo se k∆x/2 = (n+1/2)pi, ou
fn =
( )21n
x
vsom +
∆
∴ f0 = 85 Hz, f1 = 255 Hz, f2 = 425 Hz
(b) (1,0)
Teremos um sinal máximo se k∆x/2 = npi, ou
f'n = 
n
x
vsom
∆
f'1 = 170Hz, f'2 = 340Hz, f'3 = 510Hz
Formulário
vsom = 340 m/s, g=10m/s2, ρágua= 1,0x103kg/m3, sen(a) + sen(b) = 2.sen [(a+b)/2].cos[(a-b)/2]
P+½ρv2+ρgy = const., v = [F/µ]1/2, v = [B/ρ0]1/2, f' = (v±vO)/(vmvS).f, ∆pm = v.ρ.ω.sm, I = ½ρvω2sm2, Pméd= 
A(∆pm)2/(2ρv), ∆p(t) = [2∆pmcos[(ω1-ω2)t/2].sen[(ω1+ω2)t/2], NIS = 10 log(I/Io), 
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