P1 2011 2

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE FI´SICA
FI´SICA III – 2011/2
PRIMEIRA PROVA (P1) – 26/09/2011
VERSA˜O: A
INSTRUC¸O˜ES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leg´ıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor, Turma e
Versa˜o de Prova) do cabec¸alho do caderno de resoluc¸a˜o, fornecido em separado. Sem isso, a correc¸a˜o de
sua prova podera´ ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte objetiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por dez (10) questo˜es objetivas
(de mu´ltipla escolha), cada uma das quais valendo 0,5 ponto, sem penalizac¸a˜o por questa˜o errada.
• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por duas (2) questo˜es discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. O item considerado correto, em cada uma das questo˜es objetivas, deve ser assinalado, a caneta, na tabela
de respostas correspondente do caderno de resoluc¸a˜o.
4. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletroˆnico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formula´rio
F
e
= qE , E =
1
4πǫ0
q
r2
rˆ ,
∮
S
E ·dA = Qint
ǫ0
,
∮
C
E ·dℓ = 0 , E = −∇V , U = 1
4πǫ0
qq′
r
C = Q/V , E =
E0
K
(1 + x)α ≃ 1 + αx+ 1
2
α(α− 1)x2 + . . . , (x, α ∈ R, |x| ≪ 1)
1
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Uma casca esfe´rica espessa, condutora, descar-
regada, tem raios interno a e externo b, estando
situada no va´cuo. No centro de tal casca, e´ colo-
cada uma part´ıcula de carga q > 0. Considerando
que o potencial eletrosta´tico V e´ zero no infinito,
qual dos diagramas abaixo melhor representa o
gra´fico de V contra r?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
2. Considere duas distribuic¸o˜es lineares, con-
forme mostra a figura, com a mesma carga
total Q: (I) um anel circular uniformemente
carregado, de raio R, e (II) um anel semi-
circular uniformemente carregado, de raio
tambe´m R. Assinale a opc¸a˜o que indica cor-
retamente o campo ele´trico e o potencial, de
cada distribuic¸a˜o, no centro P . Suponha que
o potencial e´ tomado como zero no infinito.
(a) EI = 0, VI =
Q
4πǫ0R
;
EII =
Q
4π2ǫ0R2
xˆ, VII =
Q
4πǫ0R
.
(b) EI =
Q
4πǫ0R2
xˆ, VI = 0;
EII = − Q
2π2ǫ0R2
xˆ, VII =
Q
8πǫ0R
.
(c) EI = 0, VI = 0;
EII =
Q
4πǫ0R2
xˆ, VII =
Q
4πǫ0R
.
(d) EI = 0, VI =
Q
4πǫ0R
;
EII =
Q
8πǫ0R2
xˆ, VII =
Q
8πǫ0R
.
(e) EI = 0, VI =
Q
4πǫ0R
;
EII =
Q
2π2ǫ0R2
xˆ, VII =
Q
4πǫ0R
.
2
3. O mostrador de um relo´gio (analo´gico), circular
tem part´ıculas com cargas negativas 3q, 6q, 9q e
12q nas posic¸o˜es da periferia correspondentes a 3,
6, 9 e 12 horas, respectivamente. Os ponteiros do
relo´gio na˜o perturbam o campo eletrosta´tico cri-
ado por tais part´ıculas. A que horas o ponteiro
das horas aponta na mesma direc¸a˜o e sentido do
campo ele´trico no centro do mostrador?
(a) 3 horas e 30 minutos.
(b) 4 horas e 30 minutos.
(c) 8 horas e 30 minutos.
(d) 10 horas e 30 minutos.
(e) 1 hora e 30 minutos.
4. Temos um condutor oco, com carga Q, em
equil´ıbrio eletrosta´tico, conforme mostra a figura.
Com uma pequena esfera condutora, tambe´m de
carga Q, considere as quatro seguintes situac¸o˜es:
(I) a esfera e´ colocada dentro da cavidade oca,
sem tocar a superf´ıcie interna Si.
(II) a esfera e´ colocada dentro da cavidade, em
contato com a superf´ıcie interna Si.
(III) a esfera e´ colocada em contato com a
superf´ıcie externa Se do condutor oco.
(IV) a esfera e´ colocada na vizinhanc¸a (externa)
do condutor oco, sem tocar nele.
Apo´s atingido o equil´ıbrio eletrosta´tico e
referindo-se a`s cargas nas superf´ıcie interna e
externa do condutor oco como Qi e Qe, res-
pectivamente, qual das alternativas corresponde
a`s quatro situac¸o˜es descritas anteriormente?
(a) I: Qi = −Q, Qe = 2Q;
II: Qi = 2Q, Qe = 0;
III: Qi = 0, Qe = 2Q;
IV: Qi = 2Q, Qe = −Q.
(b) I: Qi = 0, Qe = Q;
II: Qi = Q, Qe = Q;
III: Qi = Q, Qe = Q;
IV: Qi = 0, Qe = Q.
(c) I: Qi = −Q, Qe = 2Q;
II: Qi = 0, Qe = 2Q;
III: Qi = 0, Qe = 2Q;
IV: Qi = 0, Qe = Q.
(d) I: Qi = Q, Qe = 0;
II: Qi = 0, Qe = 2Q;
III: Qi = 0, Qe = 2Q;
IV: Qi = Q, Qe = 0.
(e) I: Qi = −Q, Qe = 2Q;
II: Qi = Q, Qe = Q;
III: Qi = 0, Qe = 2Q;
IV: Qi = 0, Qe = Q.
3
5. Se o mo´dulo da diferenc¸a de potencial num capa-
citor dobra de valor, por quais fatores mudam o
mo´dulo do campo ele´trico e a energia armazenada,
respectivamente?
(a) 4 e 2.
(b) 2 e 4.
(c) 2 e 2.
(d) 1/2 e 1/4.
(e) 1/4 e 1/2.
6. Duas part´ıculas com cargas Q > 0 e −Q e massa
m sa˜o colocadas nas pontas de uma vareta de
massa desprez´ıvel, presa ao tampo de uma mesa
por um pino que passa no seu centro. O vetor
posic¸a˜o relativa da part´ıcula positiva com respeito
a` negativa e´ dado por Lyˆ. Se o aparato e´ subme-
tido a um campo ele´trico Exxˆ paralelo ao tampo
da mesa e perpendicular a` vareta, encontre o tor-
que τ no sistema vareta+cargas.
(a) τ = QExLzˆ.
(b) τ = QExLxˆ.
(c) τ = −QExLzˆ.
(d) τ = QExLyˆ.
(e) τ = −QExLyˆ.
7. Uma bola esfe´rica, condutora, de cargaQ e raioR,
em equil´ıbrio eletrosta´tico esta´ envolta por uma
casca esfe´rica, espessa, isolante, conceˆntrica, de
raios interno R e externo a (a > R) e constante
diele´trica K1. Imediatamente depois, ha´ uma ou-
tra casca esfe´rica, espessa, isolante, conceˆntrica,
de raios interno a e externo b (b > a) e cons-
tante diele´trica K2. Ambas as cascas sa˜o neutras.
Assinale a opc¸a˜o que indica corretamente os va-
lores do campo ele´trico nas quatro regio˜es: (I)
0 ≤ r < R, (II) R < r ≤ a , (III) a ≤ r ≤ b e (IV)
b ≤ r <∞.
(a) EI = 0, EII =
Q
4πǫ0r2
rˆ,
EIII =
Q
4πǫ0r2
rˆ, EIV =
Q
4πǫ0r2
rˆ.
(b) EI =
Q
4πǫ0r2
rˆ, EII =
Q
4πǫ0r2
rˆ,
EIII =
Q
4πǫ0r2
rˆ, EIV =
Q
4πǫ0r2
rˆ.
(c) EI =
Q
4πǫ0r2
rˆ, EII =
Q
4πǫ0K1r2
rˆ,
EIII =
Q
4πǫ0K2r2
rˆ, EIV =
Q
4πǫ0r2
rˆ.
(d) EI = 0, EII =
Q
4πǫ0K1r2
rˆ,
EIII =
Q
4πǫ0K2r2
rˆ, EIV =
Q
4πǫ0r2
rˆ.
(e) EI = 0, EII = 0,
EIII = 0, EIV =
Q
4πǫ0r2
rˆ.
4
8. Na figura a seguir, mostramos um capaci-
tor de placas planas e paralelas que tem a
regia˜o entre as suas placas completamente
preenchida com meios isolantes diferentes.
Qual dos diagramas corresponde ao capacitor da
figura?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
9. Considere um quadrado, de aresta L, tal que, em
dois ve´rtices cont´ıguos encontram-se part´ıculas
de mesma carga q. Qual e´ o trabalho realizado
pela forc¸a ele´trica quando duas novas part´ıculas,
ideˆnticas a`s primeiras, sa˜o colocadas nos ve´rtices
vazios, “completando” assim o quadrado?
(a)
(3 +
√
2)q2
4πǫ0L
.
(b)
q2
2πǫ0L
.
(c) − q
2
2πǫ0L
.
(d)
(2 +
√
2)q2
4πǫ0L
.
(e) − (3 +
√
2)q2
4πǫ0L
.
10. Considere as treˆs seguintes afirmativas:
(I) Se o fluxo do campo ele´trico atrave´s de uma su-
perf´ıcie for zero, enta˜o o campo ele´trico em qual-
quer ponto da superf´ıcie tambe´m sera´ zero.
(II) Se o campo ele´trico em todo ponto de uma su-
perf´ıcie for zero, enta˜o o fluxo do campo atrave´s
de tal superf´ıcie tambe´m sera´ zero.
(III) Numa certa regia˜o, temos duas part´ıculas
carregadas, sendo uma delas circundada (encer-
rada) por uma superf´ıcie fechada. Enta˜o, para a
determinac¸a˜o do campo ele´trico num ponto de tal
superf´ıcie, so´ contribui a part´ıcula encerrada pela
dita superf´ıcie.
Assinale a opc¸a˜o que indica qual(is) dessas afir-
mativas esta´(a˜o) correta(s).
(a) Somente a II.
(b) Nenhuma delas.
(c) Somente a I.
(d) Somente a III.
(e) Somente a I e a II.
(f) Somente a I e a III.
(g) Somente a II e a III.
(h) Todas elas.
5
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1. [2,5 pontos] Um segmentoretil´ıneo, de
comprimento 2a, situado ao longo do
eixo Z, e´ composto por duas metades,
uniformemente carregadas, com cargas Q
e −Q, conforme mostra a figura ao lado.
O centro do sistema coincide com a origem
do eixo Z.
(a) Determine o campo ele´trico em um
ponto P , do plano z = 0, a uma distaˆncia
r do segmento. [1,5 ponto]
(b) Deduza uma expressa˜o limite para
tal campo, como func¸a˜o de r, quando o
ponto P esta´ muito afastado do segmento.
Interprete o resultado obtido. [1,0 ponto]
2. [2,5 pontos] Um cilindro circular reto, so´lido, de com-
primento L muito grande e de raio a, e´ constitu´ıdo
de material isolante (com constante diele´trica igual a
1) e esta´ envolto por uma casca cil´ındrica, espessa,
tambe´m de comprimento L muito grande e de raios b
e c (b < c), coaxial com o cilindro isolante interno, de
eixo Z. Tal casca e´ constitu´ıda de material condutor.
No cilindro interno, temos uma carga total Q, uni-
formemente distribu´ıda em volume, ao passo que, na
casca externa, temos uma carga total −Q. Considere
que o sistema todo esta´ em equil´ıbrio eletrosta´tico.
Determine, enta˜o,
(a) as densidades superficiais de carga σb e σc, nas
superf´ıcies correspondentes da casca condutora. [0,5
ponto]
(b) o campo ele´trico nas quatro regio˜es do espac¸o:
0 ≤ r ≤ a, a ≤ r < b, b < r < c, e c < r < ∞. [1,0
ponto]
(c) o potencial eletrosta´tico nas quatro regio˜es supra-
citadas, tomando-o como zero no infinito. [1,0 ponto]
6
Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. (a)
2. (e)
3. (d)
4. (c)
5. (b)
6. (c)
7. (d)
8.
(b)
9. (e)
10. (a)
1
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
(a) Devido a` simetria do problema, podemos escrever o campo no ponto P como:
E(P) = Ez(P)zˆ .
Um elemento infinitesimal do segmento superior produz um campo
dE(P) = 1
4πǫ0
dq
r2 + z2
zˆ ,
onde, obviamente,
dq = λdz =
Q
a
dz .
Destarte,
dEz(P) = dE(P) · zˆ
= − Q
4πǫ0a
dz
r2 + z2
z
(r2 + z2)1/2
= − Q
4πǫ0a
zdz
(r2 + z2)3/2
.
Logo, a componente Ez resultante sera´
Ez(P) = − Q
4πǫ0a
2
∫ a
z=0
zdz
(r2 + z2)3/2
.
Para resolvermos a integral, fazemos a substituic¸a˜o simples u := r2 + z2 ⇒ du = 2zdz, de modo que:
Ez = − Q
4πǫ0a
∫ r2+a2
u=r2
du
u3/2
= − Q
4πǫ0a
u−1/2
(−1/2)
∣∣∣∣
r2+a2
u=r2
=
Q
2πǫ0a
[
1√
r2 + a2
− 1
r
]
,
ou seja,
E(P) = Q
2πǫ0a
[
1√
r2 + a2
− 1
r
]
zˆ
�
(b) Para valores de r tais que r >> a podemos expandir a expressa˜o para E(P) em se´rie de Taylor. Temos
que:
(1 + w)p ≃ 1 + pw + p(p− 1)
2
w2 + ...
Vamos preparar a expressa˜o do campo para fazer a expansa˜o. Observe que:
E(P) = Q
2πǫ0a
1
r
{[
1 +
(a
r
)2]− 12
− 1
}
zˆ.
Basta tomarmos ate´ o segundo termo da expansa˜o (linear em w); assim:
E(P) ≈ Q
2πǫ0a
1
r
{
1 +
(
−1
2
)(a
r
)2
− 1
}
zˆ,
2
ou seja,
E(P) ≈ − Qa
4πǫ0r3
zˆ.
Neste limite, r >> a, o campo da barra corresponde ao campo de um dipolo ele´trico na origem, como era
de se esperar.
�
2. Resoluc¸a˜o:
(a) A carga Q do cilindro isolante vai atrair a carga −Q da casca condutora que, no equil´ıbrio eletrosta´tico,
ficara´ distribu´ıda na superf´ıcie interna da mesma. Portanto, a densidade superficial de carga na superf´ıcie
externa da casca e´
σc = 0, (1)
enquanto que na superf´ıcie interna e´
σb = − Q
2πbL
(2)
�
(b) Vamos considerar, para aplicar a lei de Gauss, superf´ıcies Gaussianas que sa˜o cilindros coaxiais ao
isolante, com raio r e comprimento l. Por simetria, temos que o campo ele´trico, desprezando efeitos de
borda, e´ da forma
~E = E(r)rˆ, (3)
Portanto, na˜o ha´ fluxo ele´trico atrave´s das bases dos cilindros,∮
~E · nˆdA = E(r)2πrl. (4)
Para aplicar a lei de Gauss, precisamos calcular a carga total Qint no interior das superf´ıcies Gaussianas
de interesse. A densidade volumar de carga no isolante e´
ρ =
Q
V
=
Q
πa2L
(5)
• Para 0 ≤ r ≤ a:
Qint = ρVG = ρπr
2l = Q
r2l
a2L
(6)
• Para a ≤ r ≤ b:
Qint = ρVG = ρπa
2l = Q
l
L
(7)
• Para b ≤ r ≤ c, temos que somar a carga no isolante com a carga na superf´ıcie interna da casca
condutora:
Qint = ρVG + σb2πbl = 0 (8)
• Para r ≥ c, temos que somar a carga no isolante com a carga nas superf´ıcies interna e externa da casca
condutora:
Qint = ρVG + σb2πbl+ σc2πcl = 0 (9)
Com isso, a lei de Gauss se resume a:
• Para 0 ≤ r ≤ a:
E(r)2πrl =
Qr2l
ǫ0a2L
, (10)
que leva a
E(r) =
Qr
2πǫ0a2L
(11)
3
• Para a ≤ r ≤ b:
E(r)2πrl =
Ql
ǫ0L
, (12)
que leva a
E(r) =
Q
2πǫ0rL
(13)
• Para b ≤ r ≤ c:
E(r)2πrl = 0⇒ E(r) = 0, (14)
como esperado, uma vez que estamos no interior de um condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico.
• Para r ≥ c:
E(r)2πrl = 0⇒ E(r) = 0. (15)
�
(c) Podemos calcular o potencial ele´trico a partir do campo ele´trico usando:
V1 − V2 =
∫ 2
1
~E · ~dl (16)
• Para r ≥ c:
V (r)− V (r →∞) =
∫ ∞
r
~E · ~dl = 0. (17)
Escolhendo V (r →∞) = 0, temos que
V (r) = 0. (18)
• Para b ≤ r ≤ c, temos novamente:
V (r) − V (r = c) =
∫ c
r
~E · ~dl = 0. (19)
Pelo resultado anterior, V (r = c) = 0, temos que
V (r) = 0. (20)
• Para a ≤ r ≤ b:
V (r) − V (r = b) =
∫ b
r
~E · ~dl = Q
2πǫ0L
∫ b
r
dr
r
. (21)
Pelo resultado anterior, V (r = b) = 0, temos que
V (r) =
Q
2πǫ0L
ln
(
b
r
)
. (22)
• Para 0 ≤ r ≤ a:
V (r)− V (r = a) =
∫ a
r
~E · ~dl = Q
2πǫ0a2L
∫ a
r
rdr. (23)
Pelo resultado anterior, V (r = a) = Q
2πǫ0L
ln
(
b
a
)
, temos que
V (r) =
Q
2πǫ0L
[
a2 − r2
2a2
+ ln
(
b
a
)]
. (24)
�
4