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Mecânica das Rochas para Recursos Naturais e Infraestrutura 
SBMR 2014 – Conferência Especializada ISRM 09-13 Setembro 2014 
© CBMR/ABMS e ISRM, 2014 
 
SBMR 2014 
Aplicação do Método dos Elementos de Contorno na Estabilidade 
de Túneis – Abordagem Probabilística da Influência das Tensões 
Iniciais e dos Parâmetros de Resistência do Maciço Rochoso 
 
Amanda Jarek 
Universidade Federal do Paraná (UFPR), Institutos Lactec, Curitiba, Brasil, ajarek@gmail.com 
 
André Pacheco de Assis 
Universidade de Brasília (UnB), Brasília, Brasil, aassis@unb.br 
 
Luiz Alkimin de Lacerda 
Universidade Federal do Paraná (UFPR), Institutos Lactec, Curitiba, Brasil, alkimin@lactec.org.br 
 
RESUMO: Com o avanço tecnológico, as ferramentas de análise numérica têm se tornado cada vez 
mais abrangentes devido à rapidez com que é possível avaliar modelos físicos representativos do 
comportamento mecânico de estruturas com elevada complexidade. Como consequência direta, 
tem-se e a determinação dos coeficientes de segurança mínimos para a construção de estruturas 
econômicas e com qualidade. Um dos aspectos que deve ser avaliado em um maciço rochoso são as 
tensões in-situ, pois, durante a escavação, alterações no campo de deformações do maciço são 
geradas e novas tensões surgem podendo impactar diretamente na estabilidade da escavação. Além 
disso, outro fator de fundamental importância no estudo da abertura de um túnel são as 
características das descontinuidades e do maciço rochoso, pois podem induzir anisotropia na 
direção do plano de ruptura do maciço rochoso. Para o problema em estudo, foi elaborado um 
código computacional utilizando o método dos elementos de contorno por meio da linguagem de 
programação Fortran, para análise de problemas de elasticidade sob o estado plano de deformações. 
Tendo em vista a natureza heterogênea do problema, o foco desta fase da pesquisa consistiu em 
preparar algoritmos auxiliares ao código principal para a inclusão de um modelo probabilístico de 
análise com a introdução das incertezas inerentes aos parâmetros de entrada do modelo 
computacional. Esta implementação é ilustrada considerando um modelo básico elástico linear e 
isotrópico para o maciço rochoso e um campo de tensões iniciais cujos parâmetros são 
representados por funções densidade de probabilidade uniforme e normal. Parte-se do princípio que 
ensaios de campo e análises do modelo geológico representativo possibilitam estimar os intervalos e 
funções probabilísticas de cada parâmetro do tensor de tensões iniciais. Por meio da aplicação do 
método de Monte Carlo avalia-se a distribuição dos resultados de tensões críticas no maciço. No 
programa computacional, as tensões iniciais foram inseridas pela aplicação de forças de superfície 
no perímetro da escavação, que compatibilizam a condição de deformação do perímetro da seção 
escavada no maciço sob tensões iniciais com a geometria indeformada do túnel. Com relação à 
verificação dos critérios de ruptura, optou-se por utilizar o critério de Hoek-Brown. Os resultados 
obtidos demonstram o potencial da abordagem implementada para a execução de análises de risco. 
 
PALAVRAS-CHAVE: Túnel, MEC, Tensões Iniciais, Estabilidade, Abordagem Probabilística. 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
Investigações geológicas geotécnicas são de 
extrema importância no que diz respeito à 
escolha do local onde se pretende efetuar a 
perfuração de um túnel. Com isso, realizar 
ensaios laboratoriais e de campo, a fim de obter 
os parâmetros do maciço rochoso, é necessário 
para minimizar as incertezas e garantir a 
segurança visando a qualidade da construção. 
SBMR 2014 
Durante a investigação de uma rocha, um dos 
principais pontos que deve ser avaliado com 
cuidado são as tensões in-situ, pois ao escavar 
uma cavidade novas tensões induzidas surgem, 
decorrentes das tensões in-situ, impactando 
diretamente na estabilidade do maciço. 
O foco principal deste trabalho é avaliar a 
influência das tensões iniciais na estabilidade de 
túneis. Para isto foi desenvolvido um programa 
em estado plano de deformações, utilizando o 
método dos elementos de contorno, cujo 
objetivo é analisar as regiões de falha a partir do 
critério de ruptura de Hoek-Brown (Hoek et al., 
2000). A escolha deste critério deu-se por ser o 
mais abrangente quando comparado a outros 
critérios como, por exemplo, o de Mohr 
Coulomb. 
Para a modelagem do problema foram 
implementados elementos com funções 
constantes e lineares, que representam a 
variação dos deslocamentos e tensões no 
contorno do domínio infinito em estudo. Além 
disso, para avaliação das tensões críticas no 
maciço, implementou-se o método de Monte 
Carlo utilizando distribuições uniformes e 
constantes. 
 
 
2 MODELAGEM COMPUTACIONAL 
 
2.1 Método dos Elementos de Contorno 
(MEC) 
 
Numa modelagem utilizando o método dos 
elementos de contorno é necessário discretizar o 
contorno do problema para obtenção da solução 
no domínio. Normalmente, em problemas 
elástico-lineares este método possui precisão 
maior quando comparado a outros métodos de 
discretização. A adoção deste método neste 
estudo deu-se por ser o mais apropriado para 
análises em domínios infinitos, pois é possível 
utilizar as soluções fundamentais das equações 
diferenciais parciais associadas ao problema em 
tais domínios. 
Para problemas de elasticidade a formulação 
pode ser derivada do teorema do trabalho 
recíproco de Betti para dois estados auto 
equilibrados (ui,ti,bi) e (
* * *
i i iu ,t ,b
) (Aliabadi, 
2002). O teorema de Betti é representado por: 
 
* * * *
i i i i i i i i
Γ Ω Γ Ω
t u dΓ+ b u dΩ= t u dΓ+ b u dΩ   
 (1) 
 
Onde:  representa o domínio;  é o contorno, 
 as tensões, ui representa os deslocamentos; bi 
as forças de corpo; e ti as forças de superfície. 
Neste trabalho as forças de corpo foram 
desprezadas para efeito de simplificação das 
análises. 
Substituindo os termos que representam as 
soluções particulares, forças de superfície (
*
it
) e 
deslocamentos (
*
iu
), é possível obter pela 
Identidade de Somigliana para os 
deslocamentos onde 
x Γ
. Os valores dos 
deslocamentos, num ponto interno 
X'
, 
pertencente ao domínio Ω, se relacionam com 
os valores dos deslocamentos e forças de 
superfície do contorno  por meio da seguinte 
equação: 
 
       i ij j ij j
Γ Γ
u (X')= U X',x t x dΩ- T X',x u x dΓ 
 
(2) 
 
A obtenção das tensões no domínio por meio 
da Identidade de Somigliana e pela Lei de 
Hooke é dada por: 
 
       ij kij k kij k
Γ Γ
σ (X')= D X',x t x dΓ- S X',x u x dΓ  
 
(3) 
 
Para problemas bidimensionais, as soluções 
fundamentais para os deslocamentos e forças de 
superfície são dadas por (Brebbia e Dominguez, 
1992): 
 
 
 
 ij ij ,i ,j
1 1
U X',x = 3-4ν ln δ +r r
8πμ 1-ν r
  
  
  
 (4) 
 
 
 
 
 
   
ij ij ,i ,j
,i j ,j i
-1 r
T X',x = 1-2ν δ +2r r
4π 1-ν r n
1
+ 1-2ν r n -r n
4π 1-ν r
 
    
 
 
 
(5) 
 
Onde: 
 ijU X',x
é o deslocamento na direção j 
no ponto x em função de uma força unitária 
pontual atuante na direção i no ponto fonte 
X'
; 
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 ijT X',x
é a força de superfície na direção j no 
ponto x em função de uma força unitária 
pontual atuante na direção i no ponto fonte 
X'
; 
ν
 é o Coeficiente de Poisson; 
ijδ
 é o Delta de 
Kronecker; r é a distância do ponto x ao ponto 
fonte 
X'
; e n é o vetor normal unitário. 
Um dos atributos distintos do MEC éa 
concordância natural às condições de contorno 
para regiões infinitas, evitando a necessidade de 
aproximação numérica do contorno infinito. 
Considerando uma cavidade com contorno  e 
normal n num meio infinito, conforme ilustra a 
Figura 1, por meio de um processo limite, 
obtém-se a equação (Aliabadi, 2002): 
 
       
       
   
ij j ij j
ij j ij j
Γ
ij j
Γ
C x' u x' + T x',x u x dΓ+
+ T x',x u x dΓ = U x',x t x dΓ+
+ U x',x t x dΓ







 

 
(6) 
 
onde 
     ij ij ijC x' =δ x' +α x'
 é o termo livre. 
 
 
 
Figura 1. Esquema do domínio infinito com uma 
cavidade e vetor normal. 
 
O primeiro passo para execução das análises 
de elasticidade, utilizando o método dos 
elementos de contorno, é dividir o contorno  
em N elementos (discretização numérica). 
Para o caso em que se utilizam elementos de 
contorno constantes, os nós funcionais do 
contorno são locados nos centros dos 
elementos. Nestes elementos, os valores de uj e 
tj são constantes e iguais aos valores nodais. Já 
para elementos lineares, têm-se dois nós 
funcionais por elemento. Neste caso, são 
inseridas funções de interpolação lineares, 
representada pelo símbolo 

. 
A equação discretizada, onde 
ju
 e 
jt
 são os 
deslocamentos e forças de superfície nos nós 
funcionais do elemento, respectivamente, é 
dada por (Aliabadi, 2002): 
 
     
 
n
n
N
ij j j ij n
n=1 Γ
N
j ij n
n=1 Γ
C x' u x' + u T x',x dΓ =
= t U x',x dΓ
 
 
 
(7) 
 
2.2 Tensões Iniciais 
 
As tensões in-situ são introduzidas no modelo 
por meio de uma combinação de dois estudos 
(Telles et al., 1995), conforme ilustra a Figura 
2, evitando assim a necessidade de considerar 
integrais de domínio. 
 
 
 
Figura 2. Representação Física das Tensões Iniciais em 
um domínio com cavidade substituído pela combinação 
de dois estudos complementares. 
 
Conhecendo o tensor 
0σ
, obtém-se o vetor Ti 
das forças de superfície, que com sinal trocado 
são as condições de contorno do problema 
definido na Figura 2c, o qual é dado por: 
 
      x xx 1 xy 2T i = - σ N i +σ N i
 
 
      y xy 1 yy 2T i = - σ N i +σ N i
 (8) 
 
 
Onde: 
xx xy yyσ ,σ e σ :
 são as tensões iniciais já 
transformadas para eixos x e y; N1, N2 são as 
componentes dos vetores normais segundo x e y 
para cada elemento; Tx, Ty são as forças de 
superfície. 
A solução deste problema deve ser 
superposta com as tensões iniciais para obter o 
campo de tensões e deformações desejado, 
definido na Figura 2a. 
 
SBMR 2014 
3 CRITÉRIO DE RUPTURA DE HOEK-
BROWN 
 
Definido o campo de tensões e deformações 
com o modelo numérico, adotou-se o critério de 
Hoek-Brown para as análises de estabilidade, 
por ser o método mais abrangente quando 
comparado a outros métodos. Este método 
descreve o aumento não linear na resistência de 
pico de uma rocha intacta ou maciço rochoso 
isotrópico, com o aumento da tensão 
confinante. 
Para as análises foi utilizada a equação que 
representa o critério de Hoek-Brown 
Generalizado (Hoek et al., 2000) dada por: 
 
a
'
' ' 3
1 3 c b
c
σ
σ =σ +σ m +s
σ
 
 
 
 (9) 
 
Onde: 
' '
1 3σ ,σ :
 são as tensões principais maior e 
menor, respectivamente; mb é o valor da 
constante m para maciços rochosos fraturados; 
σ :c
 é a resistência à compressão uniaxial da 
rocha intacta; mi constante do material para a 
rocha intacta; s e a são constantes dependentes 
das características do maciço rochoso. 
Para obtenção dos parâmetros a, s e mb as 
seguintes relações são utilizadas: 
 
GSI 20
- -
15 3
GSI-100 1 1
s = exp a = + e +e
9-3D 2 6
  
  
   
 
 
 
b i
GSI-100
m = m exp
28-14D
 
 
 
 (10) 
 
O índice de resistência geológica (GSI) e o 
fator de dano (D) estão presentes nas equações 
(10) com o intuito de incluir o efeito das 
descontinuidades e a perturbação devido ao 
fogo no maciço rochoso (Eberhardt, 2012). 
Para a variação do parâmetro de dano D, 
neste trabalho, é proposta a seguinte equação: 
 
P
max
D
dist
D = D 1.0 -
dist
 
 
 
 (11) 
 
 
Onde: Dmax é o dano máximo o qual o maciço 
está sujeito; distP é a distância do ponto no 
domínio até o ponto mais próximo da cavidade; 
e distD representa a extensão máxima da região 
danificada. 
 
 
4 MÉTODO DE MONTE CARLO 
 
O método de Monte Carlo foi utilizado com o 
objetivo de avaliar a distribuição dos resultados 
das tensões críticas no maciço rochoso em 
função da variabilidade presente nos parâmetros 
que caracterizam o maciço. 
Tendo em vista as incertezas inerentes aos 
dados de entrada do modelo computacional, 
foram inseridos neste trabalho modelos 
probabilísticos representados por distribuições 
uniforme e normal, dadas por: 
 
P min max min ALF =P + (P - P ) N
 (12) 
 
P P PF =DesvP Z+ Media
 (13) 
 
 
Onde: FP é a função que calcula o parâmetro 
variável; Pmin, Pmax são os valores mínimo e 
máximo para o parâmetro variável; NAL é um 
número aleatório; Z é a variável normal com 
distribuição aleatória; DesvPP é o desvio 
padrão; e MediaP é a Média. 
A função densidade de probabilidade 
adotada refere-se a transformação de Box-
Muller (Box e Muller, 1958) que é um método 
para geração de distribuição normal padrão 
independente representada por: 
 
 1 2Z= -2 lnU cos 2πU
 (14) 
 
 
Onde: U1 e U2 são os números aleatórios 
independentes. 
 
 
5 MODELO DE ESTUDO 
 
O modelo empregado para validação das 
implementações efetuadas e avaliação da 
influência dos parâmetros de entrada, em 
especial, das tensões iniciais no domínio, é 
definido por uma cavidade circular de diâmetro 
d em meio infinito, isotrópico e elástico-linear 
SBMR 2014 
em estado plano de deformações sob tensão 
inicial 
x yσ = σ σ
. 
A Figura 3 ilustra o modelo citado, cuja 
solução analítica para uma condição de pressão 
interna constante é dada por (Aliabadi, 2002): 
 
 
 
Figura 3. Cavidade circular em meio infinito submetida à 
pressão interna de compressão. 
 
2
θ 2
2
r 2
p dist
σ = + σ
r
p dist
σ = - σ
r

 
(15) 
 
 
Onde: p representa as forças de superfície 
uniformes aplicadas em todo o contorno da 
cavidade; dist é a distância do centro da 
cavidade até o ponto no domínio;  é a tensão 
inicial e r é o raio. 
 
5.1 Validação do Algoritmo 
 
O código para análise da estabilidade em túneis 
foi elaborado em Fortran 95 e validado 
comparando-se os resultados com os resultados 
fornecidos pelo Examine 2D (Rocscience Inc., 
2013). 
Para validação dos resultados foram 
utilizados os valores indicados na Tabela 1. 
 
Tabela 1. Dados para análise do problema. 
E (MPa) ν p (MPa) r (m) 
4600 0,25 -100 3,0 
 
Por meio da solução analítica do problema, 
foi possível o cálculo do erro relativo para 
comparação dos resultados. O gráfico da Figura 
4 apresenta os resultados obtidos com o 
Examine 2D e com o algoritmo elaborado para 
tensões radiais em função da distância ao centro 
da cavidade. 
 
0.01%
0.10%
1.00%
10.00%
100.00%
0.000 2.000 4.000 6.000 8.000 10.000 12.000 14.000
E
rr
o 
(%
)
Distância (m)
GRÁFICO DAS TENSÕES RADIAIS - ERRO x DISTÂNCIA 
AJ - 12 Elementos Constantes Examine 2 D - 12 Elementos AJ - 24 Elementos Constantes
Examine 2D - 24 elementosAJ - 48 Elementos Constantes Examine 2 D - 48 elementos
AJ - 12 Elementos Lineares AJ - 24 Elementos Lineares AJ - 48 Elementos Lineares
 
 
Figura 4. Gráfico das Tensões Radiais – Erro (%) x 
Distância (m). 
 
Conclui-se a partir do gráfico que tanto para 
os elementos constantes quanto para os lineares, 
à medida que se aumenta o número de 
elementos no contorno, os resultados 
convergem para a solução analítica. Os 
resultados são semelhantes aos resultados do 
Examine 2D, entretanto, com convergência 
mais consistente à medida que a discretização 
aumenta. 
 
5.2 Modelo Teórico de um Túnel 
 
Nesta seção são apresentadas quatro situações 
de entrada de dados para o modelo teórico 
adotado. 
O maciço do túnel hipotético possui as 
propriedades mecânicas de um Granito-Gnaisse, 
com a tensão principal formando 14 graus com 
sistema cartesiano, e os valores dos respectivos 
parâmetros são apresentados na Tabela 2. Na 
primeira situação de análise todos os 
parâmetros são constantes. Na segunda 
situação, fez-se uma avaliação das diferenças 
com a introdução da variação linear do dano 
com a profundidade (equação 11). Na terceira 
situação, adotou-se um intervalo de incertezas 
para as tensões iniciais com probabilidade de 
ocorrência uniforme. Por fim, na quarta 
situação, foram inseridas incertezas com 
distribuições normais para alguns parâmetros 
(GSI, mi e resistência uniaxial da rocha intacta). 
A Figura 5 ilustra a malha com os pontos 
internos de domínio utilizados para verificação 
SBMR 2014 
em todas as análises efetuadas. O diâmetro do 
túnel possui 3,5 m de extensão e a região para 
análise das tensões e dos pontos de ruptura 
possui uma área 14 x 14 m². 
 
Tabela 2. Dados de entrada para as quatro situações. 
Variável Mínimo Máximo TD¹
Desvio 
Padrão
Média
E (MPa) 60000 60000 - - -
n 0,20 0,20 - - -
_11 (MPa) 55 55 - - -
_33 (MPa) 14 14 - - -
GSI 80 80 - - -
mi 32 32 - - -
q (°) 14 14 - - -
_c (MPa) 210 210 - - -
Distância 0 0 - - -
Dano 0 0 - - -
E (MPa) 60000 60000 - - -
n 0,20 0,20 - - -
_11 (MPa) 55 55 - - -
_33 (MPa) 14 14 - - -
GSI 80 80 - - -
mi 32 32 - - -
q (°) 14 14 - - -
_c (MPa) 210 210 - - -
Distância 2 2 - - -
Dano 1 1 - - -
E (MPa) 60000 60000 - - -
n 0,20 0,20 - - -
_11 (MPa) 52 58 1 - -
_33 (MPa) 11 17 1 - -
GSI 80 80 - - -
mi 32 32 - - -
q (°) 14 14 - - -
_c (MPa) 210 210 - - -
Distância 0 0 - - -
Dano 0 0 - - -
E (MPa) 60000 60000 - - -
n 0,20 0,20 - - -
_11 (MPa) 52 58 1 - -
_33 (MPa) 11 17 1 - -
GSI 75 85 2 5 80
mi 29 35 2 3 32
q (°) 14 14 - - -
_c (MPa) 180 240 2 30 210
Distância 0 0 - - -
Dano 0 0 - - -
1
ª
 
S
i
t
u
a
ç
ã
o
3
ª
 
S
i
t
u
a
ç
ã
o
4
ª
 
S
i
t
u
a
ç
ã
o
2
ª
 
S
i
t
u
a
ç
ã
o
 
¹TD: tipo de distribuição: 1 – uniforme; 2 – normal. 
 
Ao aplicar o critério de falha de Hoek-Brown 
para a primeira situação apresentada, os 
resultados obtidos correspondem às Figura 6 a) 
e b) que mostram a região de pontos onde 
ocorreram ruptura ao redor da cavidade quando 
são feitas análises com elementos constantes e 
lineares, respectivamente. 
Os resultados obtidos com os dois tipos de 
elementos são semelhantes e apresentam 
pequenas diferenças nas proximidades do 
contorno, em virtude da aproximação limitada 
do elemento constante. 
 
 
 
 
Figura 5. Malha de pontos internos adotada para 
apresentação dos resultados de domínio e verificação da 
estabilidade. 
 
 
 
Figura 6. Região de Ruptura para a 1ª Situação. a) 
Elemento Constante. b) Elemento Linear. 
 
As Figura 7 e 8 apresentam os campos de 
tensões principais 11 e 33 obtidas para o 
modelo com elementos constantes. 
 
 
 
Figura 7. Tensões na direção principal 11 (MPa) obtidas 
para a 1ª Situação com elemento constante. 
 
 
 
Figura 8. Tensões na direção principal 33 (MPa) obtidas 
para a 1ª Situação com elemento constante. 
a) b) 
d= 3,5m 
Centro 
14,0m 
14,0m 
SBMR 2014 
É possível perceber nas imagens a rotação de 
14 graus das tensões principais. 
A segunda situação difere da primeira no que 
diz respeito aos parâmetros que definem o fator 
de dano no entorno da cavidade. Nesta situação, 
definiu-se pela presença de dano com valor 
máximo junto à parede da cavidade, reduzindo 
a zero em distâncias superiores a 2 m da 
mesma. 
A Figura 9 ilustra a região de ruptura obtida 
para a 2ª situação e a Figura 10 ilustra a 
superposição das regiões de falha para as duas 
primeiras situações. 
 
 
 
Figura 9. Região de Ruptura para a 2ª Situação com 
elemento constante. 
 
Ao analisar a Figura 10 conclui-se que a 
região de falha da 1ª situação está contida pela 
região da 2ª situação (destacada em amarelo), o 
que era esperado. 
 
 
 
Figura 10. Superposição das regiões de falha das 
situações 1 e 2. 
 
Na terceira situação, como foi inserida uma 
distribuição uniforme para as tensões iniciais 
principais do problema, 1000 análises foram 
feitas para obtenção dos campos de tensões 
críticas. Na Tabela 3 mostram-se as duas 
análises (A e B) que correspondem à pior e à 
melhor combinação de 11 e 33, 
respectivamente. O caso A refere-se à 
combinação de dados de entrada em que 
ocorreram mais pontos de ruptura no modelo e 
o caso B corresponde à combinação de dados de 
entrada em que menos pontos de ruptura 
surgiram. 
 
Tabela 3. Valores das Tensões Principais significativas 
obtidas em 1000 análises. 
_11 (MPa) _33 (MPa) _11 (MPa) _33 (MPa)
55,44 14,44 57,44 16,44
Caso A Caso B
 
 
Para a representação das regiões de ruptura, 
foi feita a sobreposição das imagens obtidas de 
forma a ilustrar a diferença de áreas entre elas 
(Figura 11). No Caso B os pontos de ruptura 
ficaram concentrados no contorno da cavidade. 
 
 
 
Figura 11. Sobreposição das regiões de ruptura obtidas 
para os Casos A e B para a 3ª situação. 
 
Por fim, apresentam-se na Tabela 4 os piores 
e melhores resultados obtidos com a 4ª situação 
de análise em que os parâmetros da rocha (GSI, 
mi, _c) foram definidos com distribuição 
normal. 
 
Tabela 4. Valores dos parâmetros variáveis obtidos para 
2000 análises. Caso C Caso D
_11 (MPa) 56,70 58
_33 (MPa) 15,70 17
GSI 73 100
mi 28 44
_c (MPa) 170,81 329 
 
A Figura 12 apresenta as regiões de falha 
obtidas nos casos C (mais pontos de ruptura) 
sendo que para o caso D nenhum ponto de 
ruptura foi detectado. A diferença é nítida e 
demonstra a relevância da variabilidade dos 
dados de entrada sobre o domínio de falha. 
Ainda na Figura 12, foram identificados 
alguns pontos do domínio A-E para a 
apresentação dos resultados obtidos nas 2000 
análises. Para efeito de comparação, utilizou-se 
o gráfico definido no RocLab (Rocscience Inc., 
SBMR 2014 
2013) onde os parâmetros da rocha (GSI, mi, 
_c) adotados referem-se ao ponto médio para 
o traçado da Curva de Hoek-Brown. 
 
 
 
Figura 12. Sobreposição das regiões de ruptura obtidas 
para os Casos C e D para a 4ª situação. 
 
Os resultados obtidos são apresentados na 
Figura 13. Observa-se que em algumas análises 
efetuadas parte dos pontos A, B, C e D 
situaram-se dentro da faixa de segurança para o 
Critério de Hoek-Brown. Por fim, tem-se o 
ponto E que atendeu o critério de segurança em 
todas as análises. 
 
 
 
Figura 13. Gráfico das tensões principais 33 x 11 para 
2000 análises. 
 
 
6 CONCLUSÕES 
 
A formulação implementadafoi validada por 
meio de um problema simples com resposta 
conhecida. Sobre esta formulação foi 
acrescentado o método de análise de Monte 
Carlo, incluindo uma distribuição estatística 
para alguns parâmetros de entrada, entre estes, o 
campo de tensões iniciais. Outro aspecto 
inserido na formulação foi a variação linear do 
fator de dano com a profundidade. Diferentes 
situações de análise foram avaliadas onde foi 
possível concluir sobre a coerência da 
implementação do fator de dano próximo à 
cavidade. A inclusão deste fator pode trazer 
maior segurança às avaliações. 
O programa desenvolvido permitiu avaliar o 
impacto da incerteza na definição dos campos 
de tensões iniciais sobre a extensão das regiões 
de instabilidade próximos à cavidade. 
Os resultados obtidos demonstram o 
potencial da abordagem implementada para a 
execução de análises de risco, que pode ser 
facilmente adaptada e/ou melhorada com o uso 
de modelos mais representativos para o maciço 
rochoso. 
 
 
AGRADECIMENTOS 
 
À Cemig pelo apoio financeiro para realização 
desta pesquisa. 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
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Applications in Solids and Structure. [S.l.]: John 
Wiley & Sons. 
Box, G.E.P and Muller, E. M. (1958). A note on the 
Generation of Random Normal Deviates. The Annals 
of Mathematical Statistics. Pages: 610-611. 
Brebbia, C. A.; Dominguez, J. Boundary Elements An 
Introductory Course. [S.l.]: Mc Graw-Hill, 1992. 
Eberhardt, E. (2012). The Hoek-Brown Failure Criterion. 
Rock Mechanics and Rock Enginnering. Springer. 
Pages: 981-988. 
Hoek, E.; Kaiser, P.K. and Bawden, W. F. (2000). 
Support of Underground Excavations in Hard Rock. 
Taylor & Francis Group. 
Rocscience Inc. 2013. Examine2D Version 8.003 – 2D 
Stress Analisys for Underground Excavations. 
www.rocscience.com, Toronto, Ontario, Canada. 
Rocscience Inc. 2013, RocLab Version 1.033 - Rock Mass 
Strength Analysis using the Generalized Hoek-Brown 
failure criterion. www.rocscience.com, Toronto, 
Ontario, Canada. 
Telles, J.C.F.; Castor, G.S.; Guimarães, S. (1995). A 
numerical Green's Function Approach for Boundary 
Elments Applied to Fracture Mechanics. International 
Journal of Numerical Methods in Engineering, John 
Wiley & Sons.