prova-p1-gab-geom-2015-1-mat

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
INSTITUTO DE MATEMA´TICA
Departamento de Me´todos Matema´ticos
Gabarito da 1a Prova de Geometria I - Matema´tica - Monica
04/05/2015
1a Questa˜o: (3 pontos) (soluc¸a˜o na folha 1) Deˆ uma prova ou um contra-exemplo:
1. E´ poss´ıvel dar um exemplo de um quadrila´tero na˜o convexo com duas diagonais que
na˜o se intersectam.
Soluc¸a˜o
E´ poss´ıvel. Seja ABCD o quadrila´tero da figura. O quadrila´tero na˜o e´ convexo
pois a reta r que conte´m os pontos B e C, determina dois semi-planos, um contendo
o ve´rtice A e outro contendo o ve´rtice D, isto e´, ABCD na˜o esta´ inteiramente contido
em um so´ semi-plano determinado por r, reta contendo um lado do quadrila´tero.
Ale´m disso, a diagonal AC esta´ contida no interior do quadrila´tero e a diagonal BD
esta´ contida no exterior do quadrila´tero e na˜o se intersectam.
2. Na geometria do motorista de taxi, a distaˆncia entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) do
plano cartesiano e´ calculada por |x1 − x2|+ |y1 − y2|. Seja C1 o c´ırculo centrado no
ponto A1 e raio de comprimento igual a 1. Seja A2 ∈ C1. Seja C2 o c´ırculo centrado
no ponto A2 e raio de comprimento igual a 2. Enta˜o C1 e C2 se intersectam em um
u´nico ponto.
Soluc¸a˜o Falso. Contra-exemplo:
Seja C1 o c´ırculo centrado no ponto A1 = (0, 0) e raio de comprimento igual a 1, que
na geometria do motorista de taxi tem equac¸a˜o |x|+ |y| = 1.
Seja C2 o c´ırculo centrado no ponto A2 = (1, 0) e raio de comprimento igual a 2, que
na geometria do motorista de taxi tem equac¸a˜o |x− 1|+ |y| = 2.
Repare na figura que a intersec¸a˜o dos c´ırculos e´ igual aos segmentos y = x+ 1,−1 ≤
x ≤ 0 e y = −x− 1,−1 ≤ x ≤ 0, isto e´, C1 e C2 se intersectam em mais de um ponto.
2a Questa˜o: (4 pontos) (soluc¸a˜o na folha 2)
1. Seja OAB um triaˆngulo iso´sceles com base AB. Seja M o ponto me´dio de AB.
Mostre que a mediana OM e´ perpendicular a AB.
Soluc¸a˜o
Temos que:
• AM = BM (M e´ ponto me´dio de AB)
• OM = OM (lado comum)
• AO = BO ( o triaˆngulo OAB e´ iso´sceles)
Logo, por congrueˆncia LLL, MAO = MBO. Em particular, AM̂O = BM̂O. Mas,
AM̂O + BM̂O = 180◦, pois A, M e B sa˜o colineares. Logo, AM̂O = BM̂O = 90◦ e
a mediana OM e´ perpendicular a AB.
2. Sejam A e B pontos de um c´ırculo e M o ponto me´dio de AB. Sejam C e D pon-
tos do segmento AB equidistantes do ponto me´dio. Mostre que C e D tambe´m sa˜o
equidistantes do centro do c´ırculo.
Soluc¸a˜o
Seja O o centro do c´ırculo.
• Se M = O, como C e D sa˜o pontos equidistantes do ponto me´dio M = O enta˜o
C e D tambe´m sa˜o equidistantes do centro do c´ırculo.
• Se M 6= O, ligamos os pontos A, C, D e B ao centro O. Considere os triaˆngulos
OAB e OCD. Como A e B sa˜o pontos do c´ırculo, OA = OB e OAB e´ iso´sceles.
Temos:
– MC =MD (C e D sa˜o pontos equidistantes do ponto me´dio M)
– CM̂O = DM̂O = 90◦ (pelo item anterior, OM e´ perpendicular a AB.
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– MO =MO (lado comum)
Logo, por congrueˆncia LAL, MCO = MDO. Em particular, CO = DO, isto e´,
C e D tambe´m sa˜o equidistantes do centro do c´ırculo.
3a Questa˜o: (3 pontos) (soluc¸a˜o na folha 3)
1. Deˆ a definic¸a˜o de semi-plano determinado por uma reta n.
Soluc¸a˜o Ver no livro.
2. Complete a seguinte sentenc¸a: ’Dizemos que uma semi-reta divide um semi-plano
quando ...’
Soluc¸a˜o Ver no livro.
3. Sejam m e n duas retas. Mostre que se m esta´ contida em um dos semi-planos
determinados por n, enta˜o, ou m = n ou m e n na˜o se intersectam. (use axiomas de
medic¸a˜o de aˆngulos)
Soluc¸a˜o
Supomos que m e n se intersectam no ponto P . Sejam E,D ∈ m tal que E−P −D.
Sejam A,B ∈ n tal que A− P −B.
Comom ⊂ PnE, as semi-retas SPE e SPD dividem PnE. Logo, pelo axioma de medic¸a˜o
de aˆngulos e pelo fato de A, P e B serem colineares, temos
AP̂E + EP̂D +BP̂D = 180◦.
Mas, E, P e D tambe´m sa˜o colineares e
EP̂D = 180◦.
Logo AP̂E = BP̂D = 0◦ e m = n.
Portanto m = n ou m e n na˜o se intersectam.
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