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SEÇÃO 4.2 TEOREMA DO VALOR MÉDIO  1
 1. f (x) = x3 – x, [–1, 1]. f, sendo uma função polinomial, é contí-
nua em [−1, 1] e derivável em (–1, 1). Além disso, 
f (–1) = 0 = f (1). f ¢(c) = 3c2 – 1 = 0  1
3
.c = 
 2. f (x) = x3 + x2 – 2x + 1, [–2, 0]. f, sendo uma função poli-
nomial, é contínua em [−2, 0] e derivável em (−2, 0). Além 
disso, f (–2) = 1 = f (0). f ¢(c) = 3c2 + 2c – 2 = 0  
1 7
3
,c - = mas apenas 1 73- - está no intervalo (–2, 0).
 3. f (x) = cos 2x, [0, p]. f é contínua em [0, p] e derivável em 
(0, p). Também f (0) = 1 = f (p). f ¢(c) = –2 sen 2c = 0 
sen 2c = 0  2c = p  2c p= [uma vez que 
c Î (0, p)].
 4. f (x) = sen x + cos x, [0, 2p]. Uma vez que sen x e cos x são 
contínuos em [0, 2p] e deriváveis em (0, 2p), também o é 
sua soma f (x). f (0) = 1 = f (2p). f ¢(c) = cos c – sen c = 
0  cos c = sen c  5
4 4
 ou .c pp=
 5. f (x) = x2 – 4x + 5, [1, 5]. f, sendo uma função polinomial, 
é contínua em [1, 5] e derivável em (1, 5). 
(5) (1) 10 2
2
5 1 4
f f- -= =- e 
3
2
2 ( ) 2 .¢= = -  =f c c c
 6. f (x) = x3 – 2x + 1, [–2, 3]. f, sendo uma função polinomial, 
é contínua em [−2, 3] e derivável em (–2, 3).
 
2 2 7
3
(3) ( 2) 22 ( 3)
5 e
3 ( 2) 5
5 ( ) 3 2 3 7 .
f f
f c c c c
- - - -= =- -
¢= = -  =  = 
 7. f (x) = 1 – x2, [0, 3]. f, sendo uma função polinomial, 
é contínua em [0, 3] e derivável em (0, 3). 
 
3
2
(3) (0) 8 1
3 e
3 0 3
3 ( ) 2 .
f f
f c c c
- - -= = --
¢- = = -  =
 8. f (x) = 2x3 + x2 – x – 1, [0, 2]. f, sendo uma função polinomial, 
é contínua em [0, 2] e derivável em (0, 2).
 
2 2
2 244 1 61 1 61
2 6 6
(2) (0) 17 ( 1)
9 e
2 0 2
9 ( ) 6 2 1 0 6 2 10 
. mas apenas está em (0, 2).
f f
f c c c c c
c
-  -  - 
- - -= =-
¢= = + -  = + - 
= =
 9. f (x) = 1/x [1, 2]. f, sendo uma função racional, 
é contínua em [1, 2] e derivável em (1, 2).
 
2
1
2 1 1 1
2 2
2
1(2) (1)
 e ( ) 
2 1 1
2 2 (uma vez que deve estar em [1, 2]).
c
f f
f c
c c c
-- ¢= = - - = = - -
=  =
 10. ( ) , [1, 4].f x x= f (x) é contínua em [1, 4] e 
derivável em (1, 4). (4) (1) 2 1 1
4 1 3 3
f f- -= =- e
 
( )23 3 92 2 41 1( ) .3 2f c c cc¢= =  =  = =
 11. 1, x − 1 e 3 x são contínuas em  e portanto 
3( ) 1 1f x x= + - é contínua em  e, assim, contínua 
em [2, 9]. 2/313( ) ( 1) ,f x x
-¢ = - de forma que f é derivável 
para todo x ¹ 1 e assim f é derivável em (2, 9). Pelo Teorema 
do Valor Médio, existe um número c tal que
 
( ) ( )
( )
2/31
3
3 3/22/3 2 7 71 1
3 7 3 3
3/27
3
(9) (2) 3 2 1
( ) ( 1) 
9 2 7 7
( 1) ( 1) 1
 1 4,564 uma vez que [2, 9].
f f
f c c
c c c
c c
-
-
- -¢ = - = = = -
- =  - =  =  +
 = + » Î
 12. f (x) = x4 − 6x3 + 4x − 1 é contínua e derivável em  uma vez 
que é uma função polinomial. Pelo Teorema do Valor Médio, 
existe um número c tal que
 
3 2
3 2
(1) (0) 2 ( 1)
( ) 4 18 4 1
1 0 1
 4 18 5 0.
f f
f c c c
c c
- - - -¢ = - + = = = --
 - + =
 Utilizando um SCA para resolver essa equação, descobrimos 
que os números, com precisão de duas casas decimais, são 
c = 4,44, 0,56 e − 0,50.
 13. f (x) = x5 + 10x + 3. Uma vez que f é contínua e 
f (−1) = −8 e f (0) = 3, a equação f (x) = 0 tem pelo menos 
uma raiz em (−1, 0) pelo Teorema do Valor Intermediário. 
Suponha que a equação tenha mais de uma raiz; digamos que 
a e b sejam raízes com a < b. Então f (a) = 0= f (b), de modo 
que, pelo Teorema de Rolle, f ¢(x) = 5x4 +10 = 0 tem raiz em 
(a, b). Mas isso é impossível uma vez que claramente f ¢(x) ³ 
10 > 0 para todo x real.
 14. ( )2( ) 3 2 cos .f x x xp= - + Uma vez que f é contínua e f (0) 
= −1 e f (1) = 1, a equação f (x) = 0 tem pelo menos uma 
raiz em (0, 1) pelo Teorema do Valor Intermediário. Supo-
nha que a equação tenha mais de uma raiz; digamos que a 
< b sejam, ambas, raízes. Então f (a) = 0 = f (b), de modo 
que pelo Teorema de Rolle, ( )2 2( ) 3 sen 0f x xp p¢ = - = 
tem raiz em (a, b). Mas isso é impossível uma vez que 
2
sen 1 ( ) 3 0p¢- ³ -  ³ - >x f x para todo x real.
4.2 SOLUÇÕES
2  SEÇÃO 4.2 TEOREMA DO VALOR MÉDIO
 15. f (x) = x5 − 6x + c. Suponha que f (x) = 0 tenha duas raízes 
a e b com −1 £ a < b £ 1. Logo f (a) = 0 = f (b), de modo 
que, pelo Teorema de Rolle, exite um número d em (a, b) com 
f ¢(d) = 0. Agora 4 64 50 ( ) 5 6 ,f d d d¢= = -  =  
os quais estão ambos fora de [−1, 1] e, por consequência, fora 
de (a, b). Logo, f (x) tem no máximo uma raiz em [−1, 1].
 16. Pelo Teorema do Valor Médio, (5) (2) ( )
5 2
f f
f c
- ¢=- para 
algum c Î (2, 5). Uma vez que 1 £ f ¢(x) £ 4, temos 
 
(5) (2) (5) (2)
1 4 ou 1 4 ou
5 2 3
3 (5) (2) 12.
f f f f
f f
- -£ £ £ £-
£ - £