anel classes resto modulo m

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O anel das classes de resto módulo m 
 
Para todo inteiro , definamos em 
 
as seguintes operações: 
 
 
para quaisquer . 
Observemos que se, e somente se, o resto da divisão de por 
é o mesmo resto da divisão de por . 
 
Proposição: é um anel comutativo com unidade. 
 
Prova: De fato, sejam elementos quaisquer. 
 
I. A adição é uma operação associativa, uma vez que o resto da 
divisão de por é o mesmo resto da divisão de 
 por . Em símbolos, temos que: 
 
 
 
II. Observamos que é o elemento neutro aditivo pois 
 
 
III. Observamos que é o elemento inverso aditivo de 
 uma vez que 
 
 
IV. A adição é uma operação comutativa, pois o resto da divisão de 
 por é o mesmo resto da divisão de por . Em 
símbolos, temos que: 
 
 
V. A multiplicação é uma operação associativa uma vez que o resto 
da divisão de por é o mesmo resto da divisão de 
 por . Em símbolos, temos que: 
 
 
VI. Como o resto da divisão de por é o mesmo resto da 
divisão de por , então 
 
 
E, analogamente, Logo, valem as leis 
distributivas. 
 
VII. A multiplicação é uma operação comutativa, uma vez que o resto 
da divisão de por é o mesmo resto da divisão de por 
 . Em símbolos, temos que: 
 
 
VIII. O elemento é o elemento neutro multiplicativo, uma vez 
que