introduçao

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO - UFRJ
INTRODUÇÃO A TEORIA DOS GRUPOS
Nome: Angélica Mattozinho
Professor Bernardo F.
E-mail: mattozinho.angelica@hotmail.com
Data de Entrega: 12/09/11
INTRODUÇÃO A TEORIA DOS GRUPOS
(RESUMO)
	Um grupo é definido por dois elementos básicos, que devemos saber: Um conjunto não vazio e uma operação binária. Essas duas satisfazendo três axiomas: Que são:
A associatividade da operação:
(ab)c = a (bc) para todo a , b G
A existência de elemento neutro:
ae = ea = a para todo a ϵ G e G
 “ O elemento neutro de um grupo é único.”
	Dado um (G,), suponha que existam e e e’ satisfazendo a propriedade x e = x e xe’ = x para todo x G. Em particular para x = e temos:
e’ = e’ e = e
A existência de um inverso (oposto) para cada elemento: 
Para todo a G, para todo a’ ϵ G +q aa’=a’a= e.
“Dado um grupo [G,], para cada x G ! Elemento neutro”
	De fato seja x’ G o elemento oposto de x. se y G tal que yx = e então:
y = ye = y(xx’) = (yx)x’ = e x’
	Proposição:
		Seja S c Mm() o conjunto de todas as matrizes inversíveis de ordem n, e seja a multiplicação de matrizes . S, é um grupo.
		Vamos estudar o caso particular dessa proposição tomando n=z.
 tal que a,b,c,d e ad- bc 0 }
		E se fizermos
		Veremos que 
 Então existem grupos que satisfazem a condição para todo a,b e outros não.
 Então um grupo é dito comutativo ou abeliano se obedece a condição .
		Definição: O número de elementos de um grupo é chamado de ordem grupo. Os grupos podem ser finito ou não.
Exemplo de Grupos:
Conjunto O conjunto dos inteiros positivos e negativos forma um grupo infinito e abeliano em relação a adição, pois:
Vetores no O conjunto de vetores no espaço tridimensional forma um grupo infinito abeliano em relação a adição vetorial, pois:
Definição de Permutação
	Uma permutação de um conjunto X é uma bijeção X em X ( . Seja x em um conjunto diferente de 0. O conjunto das permutações de x denotemos p(x). Quando X é finito, denotemos esse grupo das permutações por Sn[é de fato,(Sn,o)].
Grupo de Permutações (Sn)
	Sejam n(>1) objetos que numeramos com os números inteiros 1,2,3,...,n . Com eles podemos formar n! permutações. Seja uma delas:
 Tal permutação significa que o elemento que está na posição ou ordem indicada por P1, vai para a primeira posição, o que esta na posição ou ordem indicada por P2, vai para a segunda posição, e assim sucessivamente.
 Por exemplo, a permutação indica que a permutação que quer se realizar, é obtida da permutação fundamental (1 2 3), fazendo com que o seu terceiro elemento (3) ocupe a primeira posição, o seu primeiro (1) ocupe a segunda posição elemento ( 2) ocupe a terceira posição . Veja outro exemplo:
 Definição: Produto de Permutações P1P2 à permutação obtida primeiro aplicando P2 e depois P1 assim, se:
P1P2 = 
 Um grupo de permutações possui n! elementos.
Grupos cíclicos
	Dados um grupo um número inteiro n>1, e g G, Escrevemos para simbolizar o elemento convencionamos .
 Definição: Um grupo é dito ser cíclico se existe tal que todo elemento de G é uma potência de g. Neste caso g é dito ser um gerador de G.
	Exemplo: Dado primo o conjunto dos elementos inversíveis com a operação que a cada par a,b associa o resto da divisão do produto a b por m, é um grupo cíclico gerado por qualquer elemento diferente do elemento neutro e da classe de p-1.
 	Todo grupo cíclico é abeliano, mas todo grupo abeliano não é cíclico.
	Obs: Uma permutação também pode ser representada por um ciclo. Por exemplo:
 = ( 
 
 Ciclo j Ciclo Z
	 Os ciclos disjuntos comutam.
	“Toda permutação é um produto de ciclos disjuntos dois a dois.”
	“Todo ciclo é um produto de transposições.”
	“Toda permutação é um produto de transposições.”
Definição de subgrupo
	 é um subgrupo de G ( se e somente se, H obedecer as 3 condições de grupo :
operação associativa
 ter um elemento neutro
Possuir um inverso
E ter a mesma operação de G.
 “Todo grupo sempre é subgrupo dele mesmo”.
		L = { é subgrupo de S3!
 G = (Z6,+)
 <> = { 
 
 e 
 
Teorema de Lagrange
	Seja G um grupo finito e H um subgrupo de G então ,
Aplicação de Lagrange
 “se n é primo e os únicos subgrupos de G {e} e .
Classe de Equivalência
 Defini-se como classe de equivalência.
Relação de Equivalência
	Dados , então a relação define uma relação de equivalência no conjunto G.
	Demonstração:
 i)Existência de inverso de 
 ii) Simetria logo, 
	iii) transitividade : 
		 
 b * 
	Logo,