EAD350 II 2017 Aula3

Prévia do material em texto

EAD 350 
 Pesquisa Operacional 
Aula 3 
Prof. Hiroo Takaoka 
 
takaoka@usp.br 
FEA/USP 
Estrutura Típica de um Modelo de 
Programação Linear (PL) 
Z = c1x1+...+cjxj+...+cnxn 
bi 
xj  0 
onde xj são variáveis de decisão 
 com j=1, ... , n e i=1, ... , m 
Max 
ou 
Min 
Função 
Objetivo 
Restrições 
 
= 
 
ai1x1+ ai2x2+...+ainxn 
Hipóteses do Modelo PL 
• Proporcionalidade: a contribuição de cada atividade (xj) 
ao valor da função objetivo Z e para o consumo de recursos 
bi é proporcional ao seu valor (parâmetros cj e aij). 
Máx Z = c1 x1+ c2 x2, ..., + cnxn 
ai1 x1+ ai2 x2, ..., + ainxn < bi 
• Aditividade: toda função em um modelo PL é a soma das 
contribuições individuais das diversas atividades. 
• Divisibilidade: as variáveis de decisão (xj) em um modelo 
de PL podem assumir quaisquer valores, inclusive valores 
não inteiros. 
• Certeza: o valor atribuído a cada parâmetro (cj, aij, bi) são 
assumidos constantes e certos (é um modelo 
determinístico). 
Exemplo 1 – Wyndor Glass Co. 
(Hillier e Lieberman, 2010) 
Modelo Matemático 
 
Função Objetivo 
 
Max Z (lucro)= 3X1 + 5X2 
 
 
Sujeito à (restrições): 
 
1X1 + 0X2 < 4 (Fábrica 1) 
0X1 + 2X2 < 12 (Fábrica 2) 
3X1 + 2X2 <18 (Fábrica 3) 
X1, X2 > 0 
 
Variáveis Decisórias 
X1- Quantidade de Produto 1 
X2- Quantidade de Produto 2 
Lembrando... 
Conjunto de 
soluções viáveis: 
Polígono 
ABCDE 
         










 
 
41 X
122 2 X
X2 
Exemplo 1 - Wyndor Glass Co. – Solução Gráfica 
X1 
1823 21  XX
A 
B C 
D 
E 
(Fábrica 1) 
(Fábrica 2) 
(Fábrica 3) 
Identificação gráfica do ponto ótimo. 
Função Objetivo: Max Z = 3X1 + 5X2 
Vamos atribuir um valor a Z (Por exemplo, 
valor 15 que é MMC de seus coeficientes 
(3; 5)) e traçar a reta. 
15Z
21 5315 XX 
(5; 0) 
(0; 3) 
X1 X2 
0 3 
5 0 
15 = 3X1 + 5X2 
Conjunto de 
soluções viáveis: 
Polígono 
ABCDE 
         










 
 
41 X
122 2 X
X2 
Exemplo 1 - Wyndor Glass Co. – Solução Gráfica 
X1 
1823 21  XX
A 
B C 
D 
E 
(Fábrica 1) 
(Fábrica 2) 
(Fábrica 3) 
15Z
21 5315 XX 
Identificação gráfica do ponto ótimo. 
Função Objetivo: Max Z = 3X1 + 5X2 
Note que a solução ótima ocorre em 
C, que é o ponto no conjunto de 
soluções além do qual qualquer 
aumento adicional levará Z para fora 
de contornos de ABCDE. 
Z fora do 
Contorno 
ABCDE 
Vamos traçar visualmente as retas 
paralelas cujo valor de Z é 
crescente. 
(0; 3) 
(5; 0) 
Conjunto de 
soluções viáveis: 
Polígono 
ABCDE 
         










 
 
41 X
122 2 X
X2 
Exemplo 1 - Wyndor Glass Co. – Solução Gráfica 
X1 
1823 21  XX
A 
B 
D 
E 
(Fábrica 1) 
(Fábrica 2) 
(Fábrica 3) 
36Z
21 5336 XX 
Solução Ótima 
C(2; 6) 
Função Objetivo: Max Z = 3X1 + 5X2 
Ponto ótimo 
Lucro ótimo 
Z = 3(2) + 5(6) = 36 
• Pergunta 1. Se a Wyndor puder aumentar a capacidade de ambas as 
fábricas (2 e 3), qual delas deve receber maior prioridade? 
• Pergunta 2. É dada uma sugestão para aumentar as capacidades das 
fábricas 2 e 3 ao custo adicional de 1,0/hora. Isso é aconselhável? 
• Pergunta 3. Se a capacidade da fábrica 2 for aumentada das atuais 12 
horas para 15 horas, qual será o impacto desse aumento no lucro ótimo? 
• Pergunta 4. Supondo que a capacidade da fábrica 2 seja aumentada 
para 20 horas, qual será o impacto desse aumento sobre o lucro ótimo? 
Exemplo 1 – Wyndor Glass Co. 
Perguntas 
Análise de Sensibilidade 
Resposta 
Análise de Sensibilidade 
• De modo geral, os parâmetros em modelo de PL não são exatos. 
Com análise de sensibilidade podemos averiguar o impacto dessa 
incerteza sobre a qualidade da solução ótima. 
– Sensibilidade da solução ótima às variações na disponibilidade 
dos recursos (bi - lado direito das restrições). Conhecido como 
Preço Sombra. 
ai1 x1+ ai2 x2, ..., + ainxn < bi 
– Sensibilidade da solução ótima às variações no lucro unitário 
ou no custo unitário (cj – coeficientes da função objetivo). 
Máx Z = c1 x1+ c2 x2, ..., + cnxn 
 
 
Os fundamentos da análise de sensibilidade serão explicados 
usando soluções gráficos de problemas de PL de duas 
variáveis. Estes fundamentos poderão ser estendidos ao 
problema geral de PL (mais de duas variáveis). 
Preço Sombra 
• Os valores bi (lado direito da restrição) podem ter sido 
definidos a partir de valores iniciais, mas com possível 
flexibilidade. ai1 x1+ ai2 x2, ..., + ainxn < bi 
• Parte dos valores bi então poderia ser alterada (por 
exemplo, aumentando os recursos) se houver justificativa 
econômica para isso. 
• O preço sombra para o recurso bi mede o valor marginal 
desse recurso, isso é, a taxa em que Z poderia ser 
aumentada elevando-se ligeiramente o valor de bi (uma 
unidade), mantidos os demais recursos constantes. ii
i
b
Z
b
Z
y






• O preço sombra deve ser analisado considerando-se 
uma restrição limitante por vez, mantidas as demais 
restrições constantes. 
• No exemplo 1 (Wyndor Glass Co.), as restrições 
limitantes são: 
– Fábrica 2 
– Fábrica 3 
Exemplo 1 - Wyndor Glass Co. – Preço Sombra 
122 2 X
1823 21  XX
         










 
 
122 2 X
X2 
X1 
A 
B C 
D 
E 
(b2=12) 
36Z
C 
Preço Sombra 
Preço Sombra de Fábrica 2 (b2) 
1823 21  XX
(Fábrica 3) 
(Fábrica 2) 
(Exemplo 1 
Wyndor Glass Co.) 
41 X
(Fábrica 1) 
         










 
 
122 2 X
X2 
X1 
A 
B C 
D 
E 
(b2=12) 
36Z
C 
?´Z
C´ (?;?) B´ 
Resolvendo para C´: 
0X1 + 2X2 = 13 
3X1 + 2X2 =18 
Z´ = 3X1 + 5X2 = 3(5/3) + 5(13/2) = 37,5 
2
2
b
Z
y



5,37´Z
C´ (5/3;6,5) 
B´ 
5,1
1213
365,37
2
2 






b
Z
y
Preço Sombra 
Preço sombra 
Preço Sombra de Fábrica 2 (b2) 
1823 21  XX
(Fábrica 3) 
(Exemplo 1 
Wyndor Glass Co.) 
41 X
(Fábrica 1) 
Novo ponto 
ótimo 
2X2 = 13 X2 = 13/2 
3X1 + 2(6,5) = 18 
X1 = (18 -13)/3 = 5/3 
(Fábrica 2) 
132 2 X
(b2'=13 = b2+1) 
Aumentando uma unidade 
• Numa aplicação de negócios, o preço sombra é o preço máximo 
que a empresa está disposta a pagar para uma unidade adicional 
de um determinado recurso limitado. 
• No exemplo, o preço sombra (1,5) seria o preço máximo que a 
empresa estaria disposto a pagar para o funcionamento durante 
uma hora adicional. 
Preço Sombra de Fábrica 2 (b2) 
(Exemplo 1 
Wyndor Glass Co.) 
5,1
1213
365,37
2
2 






b
Z
y
Preço sombra 
Preço Sombra 
Taxa de variação 
no lucro resultante 
do aumento de 
uma hora na 
capacidade da 
fábrica 2 
(ponto C para C’) 
= 
Exemplo 1 – Wyndor Glass Co. 
Relatório de Análise de Sensibilidade do Solver 
Relatório de Sensibilidade 
• Quadro de Restrições 
– Valor Final 
Valor efetivamente usado na solução do modelo (bi). 
– Preço Sombra 
Mostra a taxa em que Z poderia ser aumentada elevando-se uma 
unidade o valor da restrição, mantidos os demais recursos 
constantes. 
– Restrição Lateral RH (Right Hand) 
Valor do lado direito da restrição 
– Acréscimo Permissível 
O preço sombra permanecerá válido até este acréscimo no valor da 
restrição.– Decréscimo Permissível 
O preço sombra permanecerá válido até este decréscimo no valor 
da restrição. 
 
         










 
 
X2 
X1 
A 
B C 
D 
E 
36Z
C 
Preço Sombra Faixa de Aplicabilidade 
de Preço Sombra 
F 
122 2 X
(b2=12) 
Preço Sombra de Fábrica 2 (b2) 
(Exemplo 1 
Wyndor Glass Co.) 
41 X
(Fábrica 1) 
1823 21  XX
(Fábrica 2) 
(Fábrica 3) 
         










 
 
X2 
X1 
A 
B C 
D 
E 
36Z
C 
Preço Sombra Faixa de Aplicabilidade 
de Preço Sombra 
F 
122 2 X
(b2=12) 
Preço Sombra de Fábrica 2 (b2) 
(Exemplo 1 
Wyndor Glass Co.) 
41 X
(Fábrica 1) 
C’ 
1823 21  XX
(Fábrica 2) 
(Fábrica 3) 
         










 
 
X2 
X1 
A 
B C 
D 
E 
36Z
C 
Preço Sombra Faixa de Aplicabilidade 
de Preço Sombra 
F 
122 2 X
(b2=12) 
Preço Sombra de Fábrica 2 (b2) 
(Exemplo 1 
Wyndor Glass Co.) 
41 X
(Fábrica 1) 
C’ 
1823 21  XX
(Fábrica 2) 
(Fábrica 3) 
C’ 
         










 
 
X2 
X1 
A 
B C 
D 
E 
36Z
C 
Preço Sombra Faixa de Aplicabilidade 
de Preço Sombra 
F 
122 2 X
(b2=12) 
Preço Sombra de Fábrica 2 (b2) 
(Exemplo 1 
Wyndor Glass Co.) 
41 X
(Fábrica 1) 
C’ 
Note que após o ponto F a restrição 
Fábrica 2 vai deixar de ser restrição 
limitante. Consequentemente a 
restrição Fábrica 2 só pode ser 
deslocada até o ponto F. 
1823 21  XX
(Fábrica 2) 
(Fábrica 3) 
C’ 
         










 
 
X2 
X1 
A 
B C 
D 
E 
36Z
C 
182 2 X
(b2'=18) 
Preço Sombra Faixa de Aplicabilidade 
de Preço Sombra 
F 
122 2 X
(b2=12) 
Preço Sombra de Fábrica 2 (b2) 
(Exemplo 1 
Wyndor Glass Co.) 
41 X
(Fábrica 1) 
Substituindo os valores do ponto 
F(0; 9) na restrição Fábrica 2: 
2(9) = 18 = b2’ 
C’ 
1823 21  XX
(Fábrica 2) 
(Fábrica 3) 
(0; 9) 
         










 
 
X2 
X1 
A 
B C 
D 
E 
36Z
C 
Preço Sombra 
F 
122 2 X
(b2=12) 
Preço Sombra de Fábrica 2 (b2) 
(Exemplo 1 
Wyndor Glass Co.) 
41 X
(Fábrica 1) 
Faixa de Aplicabilidade 
de Preço Sombra 
1823 21  XX
(Fábrica 2) 
(Fábrica 3) 
(0; 9) 
         










 
 
X2 
X1 
A 
B C 
D 
E 
36Z
C 
Preço Sombra 
F 
122 2 X
(b2=12) 
Preço Sombra de Fábrica 2 (b2) 
(Exemplo 1 
Wyndor Glass Co.) 
41 X
(Fábrica 1) 
Faixa de Aplicabilidade 
de Preço Sombra 
C’ 
1823 21  XX
(Fábrica 2) 
(Fábrica 3) 
(0; 9) 
         










 
 
X2 
X1 
A 
B C 
D 
E 
36Z
C 
Preço Sombra 
F 
122 2 X
(b2=12) 
Preço Sombra de Fábrica 2 (b2) 
(Exemplo 1 
Wyndor Glass Co.) 
41 X
(Fábrica 1) 
Faixa de Aplicabilidade 
de Preço Sombra 
C’ 
1823 21  XX
(Fábrica 2) 
(Fábrica 3) 
C’ 
(0; 9) 
         










 
 
X2 
X1 
A 
B C 
D 
E 
36Z
C 
Preço Sombra 
F 
122 2 X
(b2=12) 
Preço Sombra de Fábrica 2 (b2) 
(Exemplo 1 
Wyndor Glass Co.) 
41 X
(Fábrica 1) 
Faixa de Aplicabilidade 
de Preço Sombra 
C’ 
1823 21  XX
(Fábrica 2) 
(Fábrica 3) 
C’ 
(0; 9) 
C’ 
         










 
 
X2 
X1 
A 
B C 
D 
E 
36Z
C 
Preço Sombra 
F 
122 2 X
(b2=12) 
Preço Sombra de Fábrica 2 (b2) 
(Exemplo 1 
Wyndor Glass Co.) 
41 X
(Fábrica 1) 
Faixa de Aplicabilidade 
de Preço Sombra 
C’ 
C’ 
Note que, até o ponto D, o ponto C’ vai 
deslocando ao longo da reta da 
restrição Fábrica 3. Após o ponto D, o 
ponto C’ começa a deslocar ao longo 
da restrição Fábrica 1. Como o preço 
sombra da restrição Fábrica 2 foi 
calculado em relação à restrição de 
Fábrica 3, a restrição Fábrica 2 só 
pode ser deslocado até o ponto D. 
1823 21  XX
(Fábrica 2) 
(Fábrica 3) 
C’ 
(0; 9) 
C’ 
         










 
 
X2 
X1 
A 
B C 
D 
E 
36Z
C 
Preço Sombra 
F 
62 2 X
(b2'=6) 
122 2 X
(b2=12) 
Preço Sombra de Fábrica 2 (b2) 
(Exemplo 1 
Wyndor Glass Co.) 
41 X
(Fábrica 1) 
Faixa de Aplicabilidade 
de Preço Sombra 
Substituindo os valores do ponto 
D(4; 3) na restrição Fábrica 2: 
2(3) = 6 = b2’ 1823 21  XX
(Fábrica 2) 
(Fábrica 3) 
C’ 
(0; 9) 
(4; 3) 
         










 
 
X2 
X1 
A 
B C 
D 
E 
36Z
C 
182 2 X
(b2'=18) 
Preço Sombra 
F 
62 2 X
(b2'=6) 
A restrição pode ser 
deslocada até os pontos 
F(0; 9) e D(4, 3) 
6 < Fábrica 2 < 18 
122 2 X
(b2=12) 
Preço Sombra de Fábrica 2 (b2) 
(Exemplo 1 
Wyndor Glass Co.) 
41 X
(Fábrica 1) 
Faixa de Aplicabilidade 
de Preço Sombra 
1823 21  XX
(Fábrica 2) 
(Fábrica 3) 
(0; 9) 
(4; 3) 
Exemplo 1 – Wyndor Glass Co. 
Relatório de Análise de Sensibilidade do Solver 
 (12 – 6) < Fábrica 2 < (12 + 6) --> 6 < Fábrica 2 < 18 
Preço Sombra 
         










 
 
X2 
X1 
1823 21  XX
A 
B C 
D 
E 
(b3= 18) 
36Z
C 
122 2 X
Preço Sombra de Fábrica 3 (b3) 
 (Fábrica 2) 
(Fábrica 3) 
(Exemplo 1 
Wyndor Glass Co.) 
41 X
(Fábrica 1) 
(0; 9) 
F 
(4; 3) 
Preço Sombra 
         










 
 
1923 21  XX
(b3’= b3 + 1) 
X2 
X1 
1823 21  XX
A 
B C 
D 
E 
(b3= 18) 
36Z
C C´ (?;?) 
?Z
Resolvendo para C´: 
0X1 + 2X2 = 12 
3X1 + 2X2 =19 
2X2 = 12  X2 = 6 
3X1 + 2(6) =19  
X1 = (19-12)/3 = 7/3 
Z´= 3X1 + 5X2 = 3(7/3) + 5(6) = 37 
1
1819
3637
3
3 






b
Z
y
Preço sombra 
37´Z
122 2 X
Preço Sombra de Fábrica 3 (b3) 
 (Fábrica 2) 
(Fábrica 3) 
(Exemplo 1 
Wyndor Glass Co.) 
Novo ponto 
ótimo 
C´ (7/3;6) 
41 X
(Fábrica 1) 
Aumentando uma unidade 
(0; 9) 
F 
(4; 3) 
Exemplo 1 – Wyndor Glass Co. 
Relatório de Análise de Sensibilidade do Solver 
 (12 – 6) < Fábrica 2 < (12 + 6) --> 6 < Fábrica 2 < 18 
Preço Sombra 
X2 
X1 
1823 21  XX
A 
B C 
D 
E 
(b3=18) 
36Z
C 
H 
          
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Preço Sombra de Fábrica 3 (b3) 
(Exemplo 1 
Wyndor Glass Co.) 
Faixa de Aplicabilidade 
de Preço Sombra 
(0; 6) 
122 2 X
(Fábrica 2) 
41 X
(Fábrica 1) 
(Fábrica 3) 
(0; 9) 
F 
(4; 3) 
Preço Sombra 
X2 
X1 
1823 21  XX
A 
B C 
D 
E 
(b3=18) 
36Z
C 
          
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Preço Sombra de Fábrica 3 (b3) 
(Exemplo 1 
Wyndor Glass Co.) 
Faixa de Aplicabilidade 
de Preço Sombra 
122 2 X
(Fábrica 2) 
41 X
(Fábrica 1) 
(Fábrica 3) 
C’ 
H 
F 
(0; 9) 
(4;3) 
(0; 6) 
Preço Sombra 
X2 
X1 
1823 21  XX
A 
B C 
D 
E 
(b3=18) 
36Z
C H 
          
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Preço Sombra de Fábrica 3 (b3) 
(Exemplo 1 
Wyndor Glass Co.) 
Faixa de Aplicabilidade 
de Preço Sombra 
122 2 X
(Fábrica 2) 
41 X
(Fábrica 1) 
(Fábrica 3) 
C’ C’ 
H 
F 
(0; 9) 
(4; 3) 
(0; 6) 
Preço Sombra 
X2 
X1 
1823 21  XX
A 
B C 
D 
E 
(b3=18) 
36Z
C 
          
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Preço Sombra de Fábrica 3 (b3) 
(Exemplo 1 
Wyndor Glass Co.) 
Faixa de Aplicabilidade 
de Preço Sombra 
122 2 X
(Fábrica 2) 
41 X
(Fábrica 1) 
(Fábrica 3) 
C’ 
C’ 
Note que, até o ponto B, o ponto C’ vai 
deslocando ao longo da reta da 
restrição Fábrica 2. Após o ponto B, o 
ponto C’ começa a deslocar ao longo 
eixo X2. Como o preço sombra da 
restrição Fábrica 3 foi calculado em 
relação à restrição de Fábrica 2, a 
restrição Fábrica 3 só pode ser 
deslocado até o ponto B. 
C’ 
H 
F 
(0; 9) 
(4; 3) 
(0; 6) 
Preço Sombra 
X2 
X1 
1823 21  XX
A 
B C 
D 
E 
(b3=18) 
36Z
C 
          
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1223 21  XX
(b´3=12) 
Preço Sombra de Fábrica 3 (b3) 
(Exemplo 1 
Wyndor Glass Co.) 
Faixa de Aplicabilidade 
de Preço Sombra 
Substituindo os valores do 
ponto B(0; 6) na restrição 
Fábrica 3: 
3(0) + 2(6) = 12 = b2’ 
122 2 X
(Fábrica 2) 
41 X
(Fábrica 1) 
(Fábrica 3) 
C’ 
H 
F 
(0; 9) 
(4; 3) 
(0; 6) 
Preço Sombra 
X2 
X1 
1823 21  XX
A 
B C 
D 
E 
(b3=18) 
36Z
C 
          
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Preço Sombra de Fábrica 3 (b3) 
(Exemplo 1 
Wyndor Glass Co.) 
Faixa de Aplicabilidade 
de Preço Sombra 
122 2 X
(Fábrica 2) 
41 X
(Fábrica 1) 
(Fábrica 3) 
H 
F 
(0; 9) 
(4; 3) 
(0; 6) 
Preço Sombra 
X2 
X1 
1823 21  XX
A 
B C 
D 
E 
(b3=18) 
36Z
C 
          
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Preço Sombra de Fábrica 3 (b3) 
(Exemplo 1 
Wyndor Glass Co.) 
Faixa de Aplicabilidade 
de Preço Sombra 
122 2 X
(Fábrica 2) 
41 X
(Fábrica 1) 
(Fábrica 3) 
C’ 
H 
F 
(0; 9) 
(4; 3) 
(0; 6) 
Preço Sombra 
X2 
X1 
1823 21  XX
A 
B C 
D 
E 
(b3=18) 
36Z
C 
          
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Preço Sombra de Fábrica 3 (b3) 
(Exemplo 1 
Wyndor Glass Co.) 
Faixa de Aplicabilidade 
de Preço Sombra 
122 2 X
(Fábrica 2) 
41 X
(Fábrica 1) 
(Fábrica 3) 
C’ C’ 
H 
F 
(0; 9) 
(4; 3) 
(0; 6) 
Preço Sombra 
X2 
X1 
1823 21  XX
A 
B C 
D 
E 
(b3=18) 
36Z
C 
          
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Preço Sombra de Fábrica 3 (b3) 
(Exemplo 1 
Wyndor Glass Co.) 
Faixa de Aplicabilidade 
de Preço Sombra 
122 2 X
(Fábrica 2) 
41 X
(Fábrica 1) 
(Fábrica 3) 
C’ C’ 
H 
C’ 
Note que após o ponto H a restrição 
Fábrica 3 vai deixar de ser restrição 
limitante. Consequentemente a 
restrição Fábrica 3 só pode ser 
deslocada até o ponto H. 
F 
(0; 9) 
(4; 3) 
(0; 6) 
Preço Sombra 
X2 
X1 
1823 21  XX
A 
B C 
D 
E 
(b3=18) 
36Z
C 
          
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2423 21  XX
(b´3=24) 
Preço Sombra de Fábrica 3 (b3) 
(Exemplo 1 
Wyndor Glass Co.) 
Faixa de Aplicabilidade 
de Preço Sombra 
Substituindo os valores do ponto 
H(4; 6) na restrição Fábrica 3: 
3(4) + 2(6) = 24 = b2’ 
H(4; 6) 
122 2 X
(Fábrica 2) 
41 X
(Fábrica 1) 
(Fábrica 3) 
C’ 
F 
(0; 9) 
(4; 3) 
(0; 6) 
Preço Sombra 
X2 
X1 
1823 21  XX
A 
B C 
D 
E 
(b3=18) 
36Z
C H 
          
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2423 21  XX
(b´3=24) 
A restrição pode ser deslocada 
até os pontos 
B(0; 6) e H(4; 6). 
12 < Fábrica 3 < 24 
1223 21  XX
(b´3=12) 
Preço Sombra de Fábrica 3 (b3) 
(Exemplo 1 
Wyndor Glass Co.) 
Faixa de Aplicabilidade 
de Preço Sombra 
H(4; 6) 
41 X
(Fábrica 1) 
122 2 X
(Fábrica 2) 
(Fábrica 3) 
F 
(0; 9) 
(4; 3) 
(0; 6) 
Exemplo 1 – Wyndor Glass Co. 
 (18 – 6) < Fábrica 3 < (18 + 6) --> 12 < Fábrica 3 < 24 
Relatório de Análise de Sensibilidade do Solver 
• Pergunta 1. Se a Wyndor puder aumentar a capacidade de ambas as 
fábricas, qual delas deve receber maior prioridade? 
Os preços sombras para as fábricas 2 e 3 são 1,5/hora e 1,0/hora 
respectivamente. Isso significa que que cada hora adicional da fábrica 2 
resultará em um aumento de 1,5 no lucro, em comparação com apenas 
1,0 para a fábrica 3. Por isso, deve ser dada prioridade à fábrica 2. 
• Pergunta 2. É dada uma sugestão para aumentar as capacidades das 
fábricas 2 e 3 ao custo adicional de 1,0/hora. Isso é aconselhável? 
Para a fábrica 2, o lucro liquido adicional por hora é 0,5 (1,5 - 1,0 = 0,5), 
e, para a fábrica 3, o lucro liquido é 1,0 (1,0 – 1,0 = 0,0). Portanto, só a 
capacidade da fábrica 2 deve ser aumentada. 
Exemplo 1 – Wyndor Glass Co. 
Perguntas 
• Pergunta 3. Se a capacidade da fábrica 2 for aumentada das atuais 12 
horas para 15 horas, qual será o impacto desse aumento no lucro ótimo? 
O preço sombra para a fábrica 2 é 1,5 e aplicável na faixa (6 a 18) 
horas. O aumento proposto para 15 horas cai dentro da faixa de 
viabilidade. Portanto, o aumento no lucro é 1,5(15-12) = 4,5. 
• Pergunta 4. Supondo que a capacidade da fábrica 2 seja aumentada 
para 20 horas, qual será o impacto desse aumento sobre o lucro ótimo? 
 A alteração proposta está fora da faixa (6 a 18) horas, para a qual o 
preço sombra de 1,5 permanece aplicável. Assim, só podemos tirar uma 
conclusão imediata em relação a um aumento para 18 horas. Passando 
disso, serão necessários mais cálculos para achar a resposta. Lembre-se 
de que cair fora da faixa de viabilidade não significa que o problema não 
tenha nenhuma solução. Significa apenas que não temos informações 
suficientes para tomar uma decisão imediata. 
Exemplo 1 – Wyndor Glass Co. 
Perguntas 
Exemplo 1 – Wyndor Glass Co. 
a. Qual seria a variação do lucro se aumentássemos mais 4 
horas de produção da Fábrica 2? 
b. Se cada hora adicional de produção da Fábrica 3 custa 0,5, 
qual seria a variação do lucro se aumentássemos mais 7 
horas de produção? 
c. Até quanto a empresa pode gastar para aumentar uma hora 
de produção da Fábrica 3? 
Exercício 
 Um fabricante deseja maximizar a receita bruta de vendas de ligas de 
metal. A tabela abaixo ilustra as composições das ligas, seus preços e 
as limitações na disponibilidade de matéria-prima. 
Itens/ 
Atividades 
Liga 
tipo A 
Liga 
tipo B 
Matéria-prima 
disponível 
Cobre 2 1 16 
Zinco 1 2 11 
Chumbo 1 3 15 
Preço unitário 
de venda 
R$30 R$50 
Exemplo 2 - Produção 
 A) Formule o modelo de PL para esse problema 
 B) Resolva o problema pelo método gráfico. 
Exemplo 2 – Produção -Modelo de PL 
Variáveis Decisão 
 x1 = Qtde Liga A (em Kg) x2 = Qtde Liga B (em Kg) 
Função Objetivo 
 Max Z = 30x1 + 50x2 
Restrições 
 2x1 + x2 < 16 (1 - Cobre)x1 + 2x2 < 11 (2 - Zinco) 
 x1 + 3x2 < 15 (3 - Chumbo) 
 x1, x2 > 0 
Exemplo 2 – Produção - Solução 
5 
10 
15 
5 15 
A 
B 
C 
D 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 (b1) 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 (b2) 
x2 
x1 
Chumbo: x1 + 3x2 < 15 (b3) 
240 0 8 E 
310 2 7 D 
290 4 3 C 
250 5 0 B 
0 0 0 A 
R x2 x1 Pto 
16 
5,5 
A solução ótima 
ao problema está 
em um dos pontos 
extremos do 
conjunto de 
soluções viáveis. 
Max Z = 30x1 + 50x2 
Conjunto de 
soluções viáveis: 
Polígono ABCDE 
E 
10 11 8 
Solução ótima 
F 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
Z = 30x1 + 50x2 
x2 
x1 
Z = 150 
16 
5,5 
Max Z = 30x1 + 50x2 
Identificação gráfica do ponto ótimo. 
E 
11 
A determinação da solução ótima requer 
identificar a direção na qual a função objetivo Z = 
30x1 + 50x2 aumenta (lembre-se que estamos 
maximizando Z). Podemos fazer isso 
designando valores crescentes arbitrários a Z 
(|Por exemplo, Z = 150, 290). 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 (b1) 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 (b2) 
Chumbo: x1 + 3x2 < 15 (b3) 
Exemplo 2 – Produção - Solução 
F 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
E 
Z = 30x1 + 50x2 
x2 
x1 G 
Z = 150 
16 
5,5 
Max Z = 30x1 + 50x2 
Z = 290 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 (b1) 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 (b2) 
Chumbo: x1 + 3x2 < 15 (b3) 
Exemplo 2 – Produção - Solução 
F 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
E 
Z = 30x1 + 50x2 
x2 
x1 G 
Z = 150 
16 
5,5 
Max Z = 30x1 + 50x2 
Z = 290 
Z = 310 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 (b1) 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 (b2) 
Chumbo: x1 + 3x2 < 15 (b3) 
Exemplo 2 – Produção - Solução 
F 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
E 
Z = 30x1 + 50x2 
x2 
x1 G 
Z = 150 
O ponto D é o ponto de máximo. 
As coordenadas (x1=7; x2=2) podem ser 
verificadas graficamente. 
16 
5,5 
Max Z = 30x1 + 50x2 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 (b1) 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 (b2) 
Chumbo: x1 + 3x2 < 15 (b3) 
Exemplo 2 – Produção - Solução 
F 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
E 
x2 
x1 G 
16 
5,5 
Max Z = 30x1 + 50x2 
O ponto D é o ponto de máximo. 
As coordenadas (x1=7; x2=2) podem ser 
verificadas graficamente. 
Ou, podem ser obtidas a partir da solução 
do par de equações das retas limites das 
restrições de Cobre e Zinco (ponto D): 
2x1 + x2 = 16 
x1 + 2x2 = 11 
x1 = 11 – 2x2 
2(11 – 2x2) + x2 = 16 
22 - 4x2 + x2 = 16 
x2 = 2 
x1 = 11 – 2(2) = 7 
D(7; 2) 
Z = 30(7) + 50(2) 
Z =310 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 (b1) 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 (b2) 
Chumbo: x1 + 3x2 < 15 (b3) 
Exemplo 2 – Produção - Solução 
F 
Exemplo 2 – Produção – Preço Sombra 
• O preço sombra deve ser analisado considerando-se 
uma restrição limitante por vez, mantidas as demais 
restrições constantes. 
– Cobre: 2x1 + x2 < 16 (b1) 
– Zinco: x1 + 2x2 < 11 (b2) 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
E 
x2 
x1 
Preço sombra de Zinco (b2) 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 (b2) 
Chumbo: x1 + 3x2 < 15 (b3) 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 (b1) 
Exemplo 2 – Produção – Preço Sombra 
F 
Z = 310 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
E 
x2 
x1 
Preço sombra de Zinco (b2) 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 (b2) 
Chumbo: x1 + 3x2 < 15 (b3) 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 (b1) 
Zinco: x1 + 2x2 < 12 (b2’ = b2 +1) 
D’ 
Exemplo 2 – Produção – Preço Sombra 
F 
Aumentando uma unidade 
Z = 310 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
E 
x2 
x1 G(11; 0) 
Preço sombra de Zinco (b2) 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 (b2) 
Chumbo: x1 + 3x2 < 15 (b3) 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 (b1) 
Zinco: x1 + 2x2 < 12 (b2’) 
Resolvendo para D’: 
Zinco: x1 + 2x2 = 12 (b2’ = b2 +1) 
Cobre: 2x1 + x2 = 16 (b1) 
 
D’(x1 = 6,67; x2 = 2,67) 
Exemplo 2 – Produção – Preço Sombra 
F 
D’ 
Z = 310 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
E 
x2 
x1 G(11; 0) 
33,2331033,333'  ZZZ
Preço Sombra 
Z = 333,33 
Z = 310 
Preço sombra de Zinco (b2) 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 (b2) 
Chumbo: x1 + 3x2 < 15 (b3) 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 (b1) 
Zinco: x1 + 2x2 < 12 (b2’) 
33,333)67,2(50)67,6(30' Z
Resolvendo para D’: 
Zinco: x1 + 2x2 = 12 (b2’ = b2 + 1) 
Cobre: 2x1 + x2 = 16 (b1) 
 
D’(x1 = 6,67; x2 = 2,67) 
Exemplo 2 – Produção – Preço Sombra 
F 
D’ 
Exemplo 2 – Produção 
Células ajustáveis
Valor Reduzido Objetivo Permissível Permissível
Célula Nome Final Custo Coeficiente Acréscimo Decréscimo
$B$3 Variável decisória x1 7 0 30 70 5
$C$3 Variável decisória x2 2 0 50 10 35
Restrições
Valor Sombra Restrição Permissível Permissível
Célula Nome Final Preço Lateral R.H. Acréscimo Decréscimo
$D$6 Cobre LE 16 3,333333333 16 6 6
$D$7 Zinco LE 11 23,33333333 11 1,2 3
$D$8 Chumbo LE 13 0 15 1E+30 2
Relatório de Análise de Sensibilidade do Solver 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
E 
x2 
x1 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 (b2) 
Chumbo: x1 + 3x2 < 15 (b3) 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 (b1) Preço sombra de Zinco (b2) 
Exemplo 2 – Produção – Preço Sombra 
Faixa de Aplicabilidade de Preço Sombra 
F 
D’ 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
E 
x2 
x1 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 (b2) 
Chumbo: x1 + 3x2 < 15 (b3) 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 (b1) Preço sombra de Zinco (b2) 
Exemplo 2 – Produção – Preço Sombra 
Faixa de Aplicabilidade de Preço Sombra 
D’ 
F 
D’ 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
E 
x2 
x1 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 (b2) 
Chumbo: x1 + 3x2 < 15 (b3) 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 (b1) Preço sombra de Zinco (b2) 
Exemplo 2 – Produção – Preço Sombra 
Faixa de Aplicabilidade de Preço Sombra 
Note que após o ponto F a restrição 
Zinco vai deixar de ser restrição 
limitante. Consequentemente a 
restrição Zinco só pode ser deslocada 
até o ponto F. 
D’ 
F 
D’ 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
E 
x2 
x1 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 (b2) 
Chumbo: x1 + 3x2 < 15 (b3) 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 (b1) Preço sombra de Zinco (b2) 
F(6,6; 2,8) 
Zinco : x1 + 2x2 < 12,2 (b2’) 
1(6,6) + 2(2,8) = 12,2 (b2’) 
Substituindo os valores do 
ponto F na restrição do Zinco: 
As coordenadas do ponto F (x1=6,6; x2=2,8) 
podem ser obtidas a partir da solução do par de 
equações das retas limites das restrições de 
Cobre e Chumbo: 
 x1 + 3x2 = 15 (Chumbo) 
 2x1 + x2 = 16 (Cobre) 
Exemplo 2 – Produção – Preço Sombra 
Faixa de Aplicabilidade de Preço Sombra 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
x2 
x1 
F(6,6; 2,8) 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 (b2) 
Chumbo: x1 + 3x2 < 15 (b3) 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 (b1) Preço sombra de Zinco (b2) 
Exemplo 2 – Produção – Preço Sombra 
Faixa de Aplicabilidade de Preço Sombra 
E D’ 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
x2 
x1 
F(6,6; 2,8) 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 (b2) 
Chumbo: x1 + 3x2 < 15 (b3) 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 (b1) Preço sombra de Zinco (b2) 
Exemplo 2 – Produção – Preço Sombra 
Faixa de Aplicabilidade de Preço Sombra 
E 
D’ 
D’ 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
x2 
x1 
F(6,6; 2,8) 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 (b2) 
Chumbo: x1 + 3x2 < 15 (b3) 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 (b1) Preço sombra de Zinco (b2) 
Exemplo 2 – Produção – Preço Sombra 
Faixa de Aplicabilidade de Preço Sombra 
E 
D’ 
Note que, até o ponto E, o ponto D’ vai 
deslocando ao longo da reta da 
restrição de Cobre. Após o ponto E, o 
ponto D’ começa a deslocarao longo 
eixo X1. Como o preço sombra da 
restrição Zinco foi calculado em 
relação à restrição Cobre, a restrição 
Zinco só pode ser deslocado até o 
ponto E. 
D’ 
D’ 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
x2 
x1 
F(6,6; 2,8) 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 (b2) 
Chumbo: x1 + 3x2 < 15 (b3) 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 (b1) Preço sombra de Zinco (b2) 
: x1 + 2x2 < 8 (b2’) 
E 
(8; 0) 
Zinco 
As coordenadas do ponto E (x1= 8; x2= 0) 
podem ser obtidas a partir da solução do 
par de equações das retas: 
 x2 = 0 
 2x1 + x2 = 16 (Cobre) 
(8) + 2(0) = 8 (b2’) 
Substituindo os valores do 
ponto F na restrição do Zinco: 
Exemplo 2 – Produção – Preço Sombra 
Faixa de Aplicabilidade de Preço Sombra 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
x2 
x1 
F(6,6; 2,8) 
A restrição de Zinco pode ser 
deslocada entre os pontos 
F(6,6; 2,8) e E(8; 0). 
8 < zinco < 12,2 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 (b2) 
Chumbo: x1 + 3x2 < 15 (b3) 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 (b1) Preço sombra de Zinco (b2) 
Zinco: x1 + 2x2 < 8 (b2’) 
E 
(8; 0) 
F(6,6; 2,8) 
: Zinco: x1 + 2x2 < 12,2 (b2’) 
Exemplo 2 – Produção – Preço Sombra 
Faixa de Aplicabilidade de Preço Sombra 
Exemplo 2 – Produção 
Células ajustáveis
Valor Reduzido Objetivo Permissível Permissível
Célula Nome Final Custo Coeficiente Acréscimo Decréscimo
$B$3 Variável decisória x1 7 0 30 70 5
$C$3 Variável decisória x2 2 0 50 10 35
Restrições
Valor Sombra Restrição Permissível Permissível
Célula Nome Final Preço Lateral R.H. Acréscimo Decréscimo
$D$6 Cobre LE 16 3,333333333 16 6 6
$D$7 Zinco LE 11 23,33333333 11 1,2 3
$D$8 Chumbo LE 13 0 15 1E+30 2
 (11 – 3) < Zinco < (11 + 1,2) --> 8 < Zinco < 12,2 
 (30 – 5) < C1 < (30 + 70) --> 25 < C1 < 100 
 (50 – 35) < C2 < (50 + 10) --> 15 < C2 < 60 
Relatório de Análise de Sensibilidade do Solver 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
E 
x2 
x1 
F 
G 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 (b2) 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 (b1) 
Chumbo: x1 + 3x2 < 15 (b3) 
(8; 0) 
Preço sombra de Cobre (b1) 
Exemplo 2 – Produção – Preço Sombra 
Z = 310 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
E 
x2 
x1 G(11; 0) 
Cobre: 2x1 + x2 < 17 (b1’ = b1 + 1) 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 (b1) 
Chumbo: x1 + 3x2 < 15 (b3) 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 (b2) 
Preço sombra de Cobre (b1) 
D’ 
Exemplo 2 – Produção – Preço Sombra 
Aumentando uma unidade 
Z = 310 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
E 
x2 
x1 G(11; 0) 
Cobre: 2x1 + x2 < 17 (b1’) 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 (b1) 
Chumbo: x1 + 3x2 < 15 (b3) 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 (b2) 
Preço sombra de Cobre (b1) 
Resolvendo para D’: 
Zinco: x1 + 2x2 = 11 (b2) 
Cobre: 2x1 + x2 = 17 (b1’ = b1 +1) 
 
D’(x1 = 7,67; x2 = 1,67) 
D’ 
Exemplo 2 – Produção – Preço Sombra 
Z = 310 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
E 
x2 
x1 G(11; 0) 
Cobre: 2x1 + x2 < 17 (b1’) 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 (b1) 
Chumbo: x1 + 3x2 < 15 (b3) 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 (b2) 
Preço sombra de Cobre (b1) 
Resolvendo para D’: 
Zinco: x1 + 2x2 = 11 (b2) 
Cobre: 2x1 + x2 = 17 (b1’ = b1 +1) 
 
D’(x1 = 7,67; x2 = 1,67) 
D’ 
Exemplo 2 – Produção – Preço Sombra 
Z = 310 
33,313)3/5(50)3/23(30' Z
Preço Sombra 
33,331033,313'  ZZZZ = 313,33 
Exemplo 2 – Produção 
Células ajustáveis
Valor Reduzido Objetivo Permissível Permissível
Célula Nome Final Custo Coeficiente Acréscimo Decréscimo
$B$3 Variável decisória x1 7 0 30 70 5
$C$3 Variável decisória x2 2 0 50 10 35
Restrições
Valor Sombra Restrição Permissível Permissível
Célula Nome Final Preço Lateral R.H. Acréscimo Decréscimo
$D$6 Cobre LE 16 3,333333333 16 6 6
$D$7 Zinco LE 11 23,33333333 11 1,2 3
$D$8 Chumbo LE 13 0 15 1E+30 2
 (30 – 5) < C1 < (30 + 70) --> 25 < C1 < 100 
 (50 – 35) < C2 < (50 + 10) --> 15 < C2 < 60 
Relatório de Análise de Sensibilidade do Solver 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
E 
x2 
x1 G 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 (b1) 
Chumbo: x1 + 3x2 < 15 (b3) 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 (b2) 
Preço sombra de Cobre (b1) 
Exemplo 2 – Produção – Preço Sombra 
Faixa de Aplicabilidade de Preço Sombra 
Cobre 
D’ 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 (b1) 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
E 
x2 
x1 
F 
G 
Chumbo: x1 + 3x2 < 15 (b3) 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 (b2) 
Preço sombra de Cobre (b1) 
D’ 
Exemplo 2 – Produção – Preço Sombra 
Faixa de Aplicabilidade de Preço Sombra 
Cobre 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 (b1) 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
E 
x2 
x1 
F 
G 
Faixa de Aplicabilidade de Preço Sombra 
Chumbo: x1 + 3x2 < 15 (b3) 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 (b2) 
Preço sombra de Cobre (b1) 
Exemplo 2 – Produção – Preço Sombra 
Cobre 
D’ 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 (b1) 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
E 
x2 
x1 
F 
G 
Chumbo: x1 + 3x2 < 15 (b3) 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 (b2) 
Preço sombra de Cobre (b1) 
Note que após o ponto G a restrição 
Cobre vai deixar de ser restrição 
limitante. Consequentemente a 
restrição Cobre só pode ser deslocada 
até o ponto G. 
Exemplo 2 – Produção – Preço Sombra 
Faixa de Aplicabilidade de Preço Sombra 
Cobre 
D’ 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 (b1) 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
E 
x2 
x1 
F 
G 
D´ 
Substituindo os valores do ponto 
G na restrição do Cobre: 
Chumbo: x1 + 3x2 < 15 (b3) 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 (b2) 
Preço sombra de Cobre (b1) 
(11; 0) 
Cobre: 2x1 + x2 < 22 (b1’) 
Coordenada do ponto G: 
 x1 + 2x2 = 11 
 x2 = 0 
 G(x1 = 11; x2 = 0) 
2x1 + x2 = 2(11) + 1(0) = 22 (b1’) 
Exemplo 2 – Produção – Preço Sombra 
Faixa de Aplicabilidade de Preço Sombra 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
E 
x2 
x1 
F 
G 
D´ 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 (b1) 
Chumbo: x1 + 3x2 < 15 (b3) 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 (b2) 
Preço sombra de Cobre (b1) 
Cobre 
Exemplo 2 – Produção – Preço Sombra 
Faixa de Aplicabilidade de Preço Sombra 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
E 
x2 
x1 
F 
G 
D´ 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 (b1) 
Chumbo: x1 + 3x2 < 15 (b3) 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 (b2) 
Preço sombra de Cobre (b1) 
Exemplo 2 – Produção – Preço Sombra 
Faixa de Aplicabilidade de Preço Sombra 
Cobre 
D´ 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
E 
x2 
x1 
F 
G 
D´ 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 (b1) 
Chumbo: x1 + 3x2 < 15 (b3) 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 (b2) 
Preço sombra de Cobre (b1) 
Exemplo 2 – Produção – Preço Sombra 
Faixa de Aplicabilidade de Preço Sombra 
Cobre 
D´ D´ 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
E 
x2 
x1 
F 
G 
D´ 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 (b1) 
Chumbo: x1 + 3x2 < 15 (b3) 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 (b2) 
Preço sombra de Cobre (b1) 
Exemplo 2 – Produção – Preço Sombra 
Faixa de Aplicabilidade de Preço Sombra 
D´ 
D´ 
Cobre 
Note que, até o ponto C, o ponto D’ vai 
deslocando ao longo da reta da 
restrição de Zinco. Após o ponto C, o 
ponto D’ começa a deslocar ao longo 
da restrição Chumbo. Como o preço 
sombra da restrição Cobre foi 
calculado em relação à restrição Zinco, 
a restrição Cobre só pode ser 
deslocado até o ponto C. 
D´ 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
E 
x2 
x1 
F 
G 
D´ 
Substituindo os valores do 
ponto C na restrição do Cobre: 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 (b1) 
Chumbo: x1 + 3x2 < 15 (b3) 
Zinco: x1 +2x2 < 11 (b2) 
Preço sombra de Cobre (b1) 
Coordenada do ponto C 
 x1 + 2x2 = 11 
 x1 + 3x2 = 15 
 C(x1 = 3; x2 = 4) 
Cobre: 2x1 + x2 < 10 (b1’) 
(3; 4) 
2x1 + x2 = 2(3) + 1(4) = 10 (b1’) 
Exemplo 2 – Produção – Preço Sombra 
Faixa de Aplicabilidade de Preço Sombra 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
E 
x2 
x1 G 
A restrição de Cobre pode 
ser deslocada até os pontos 
C(3; 4) e G(11; 0). 
10 < cobre < 22 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 (b1) 
Chumbo: x1 + 3x2 < 15 (b3) 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 (b2) 
Preço sombra de Cobre (b1) 
Cobre: 2x1 + x2 < 22 (b1’) 
Cobre: 2x1 + x2 < 10 (b1’) 
(11; 0) 
(3; 4) 
Exemplo 2 – Produção – Preço Sombra 
Faixa de Aplicabilidade de Preço Sombra 
Exemplo 2 – Produção 
Células ajustáveis
Valor Reduzido Objetivo Permissível Permissível
Célula Nome Final Custo Coeficiente Acréscimo Decréscimo
$B$3 Variável decisória x1 7 0 30 70 5
$C$3 Variável decisória x2 2 0 50 10 35
Restrições
Valor Sombra Restrição Permissível Permissível
Célula Nome Final Preço Lateral R.H. Acréscimo Decréscimo
$D$6 Cobre LE 16 3,333333333 16 6 6
$D$7 Zinco LE 11 23,33333333 11 1,2 3
$D$8 Chumbo LE 13 0 15 1E+30 2
 (16 – 6) < Cobre < (16 + 6) --> 10 < Cobre < 22 
 (30 – 5) < C1 < (30 + 70) --> 25 < C1 < 100 
 (50 – 35) < C2 < (50 + 10) --> 15 < C2 < 60 
Relatório de Análise de Sensibilidade do Solver