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Física Mecânica
Aula 5
Prof. Me. Cristiano Cruz
Momento Linear e Impulso
Momento Linear
 Considere que as renas puxam 
uma massa total m, dada pela 
massa corporal do papai Noel, 
somado a massa do trenó e a 
massa do saco de presentes
 A força resultante aplicada 
pelas renas é dada por ܨԦ
 De acordo com a segunda lei 
de Newton
ܨԦ ൌ ݉ · Ԧܽ
 Considerando que a aceleração 
é dada por:
Ԧܽ ൌ 	݀ݒԦ݀ݐ
 Podemos escrever:
ܨԦ ൌ ݉ · ݀ݒԦ݀ݐ
ܨԦ ൌ 	݀	 ݉ · ݒԦ݀ݐ
 A quantidade entre parênteses (݉ · ݒԦ) 
é uma grandeza vetorial chamada de 
momento linear, designado por ܲ
2
ܲ ൌ ݉. ݒԦ
 Sendo o momento linear uma 
grandeza vetorial, sua direção e 
sentido é o mesmo da velocidade 
da partícula
 Escrevendo em função de suas 
componentes retangulares, temos:
݌௫ ൌ ݉ݒ௫ ݌௬ ൌ ݉ݒ௬ ݌௭ ൌ ݉ݒ௭
 A unidade do momento linear 
no sistema internacional de 
unidades (S.I.) é:
݇݃ · ݉ݏ
 Conhecendo-se o momento 
linear pode-se escrever a 
segunda Lei de Newton como:
ܨԦோ ൌ 	݀݌Ԧ݀ݐ
 A soma vetorial de todas as forças que 
atuam sobre uma partícula (força 
resultante) é dada pela derivada do 
momento linear da partícula em relação 
ao tempo
Teorema 
Impulso – Momento Linear
 Considere o movimento 
do trenó pela ação da força 
resultante constante ܨԦோ
produzida pela renas, agindo da 
posição xi até a posição xf, no 
intervalo de tempo t = tf – ti
xo x
t
Impulso ࡶԦ
 É definido pelo produto da força 
resultante multiplicada pelo 
intervalo de tempo no qual 
houve ação da força
ܬԦ ൌ 	෍ܨԦ 	 ݐ௙ െ ݐ௜
ܬԦ ൌ ܨԦோ∆ݐ
3
 A unidade de impulso no sistema 
internacional de unidades (S.I.) é:
Newton ∙ segundo (N∙s)
substituindo 1	ܰ ൌ 1	 ௞௚	·		௠௦మ , 
 A unidade alternativa de impulso é:
(࢑ࢍ	·	࢓࢙ ) 
A mesma unidade de momento linear
 A segunda Lei de Newton escrita em 
função do momento linear:
ܨԦோ ൌ෍ܨԦ ൌ 	݀݌Ԧ݀ݐ
 Se a força resultante é constante, a 
derivada do momento linear ௗ௣Ԧௗ௧
também é constante e resulta:
݀݌Ԧ
݀ݐ ൌ
݌Ԧ௙ െ	݌Ԧ௜
ݐ௙ െ	ݐ௜
 Então a força resultante será dada por:
ܨԦோ ൌ
݌Ԧ௙ െ	݌Ԧ௜
ݐ௙ െ	ݐ௜
 Reescrevendo
ܨԦோ 	 · 	 ݐ௙ െ	ݐ௜ ൌ 	݌Ԧ௙ െ	݌Ԧ௜	
ܨԦோ · ∆ݐ ൌ 	݌Ԧ௙ െ	݌Ԧ௜	
 Lembrando que
ܬԦ	ൌ 	ܨԦோ∆ݐ
Teorema 
Impulso – Momento Linear
 Combinando as equações obtemos o 
teorema do impulso – momento 
linear
ܬԦ ൌ 	݌Ԧ௙ െ	݌Ԧ௜
 A variação do momento linear, durante 
um intervalo de tempo, é igual ao impulso 
da força resultante que atua sobre a 
partícula durante esse intervalo de tempo
Teorema Impulso –
Momento Linear Força Variável
 Vamos integrar a segunda Lei de 
Newton em relação ao tempo entre 
os limites ti e tf
න ෍ܨԦ
௧೑
௧೔
݀ݐ ൌ 	න ݀݌Ԧ݀ݐ
௧೑
௧೔
	݀ݐ
න ෍ܨԦ
௧೑
௧೔
݀ݐ ൌ 	න ݀݌Ԧ
௣೑
௣೔
	݀ݐ ൌ 	݌Ԧ௙ െ	݌Ԧ௜ ൌ 	 ܬԦ
ܬԦ ൌ න ෍ܨԦ
௧೑
௧೔
݀ݐ
 Essa equação é a forma geral da equação do 
impulso, se o somatório das forças for uma 
constante, a equação se reduz a:
ܬԦ ൌ ܨ	 ݐଶ െ	ݐଵ
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Conservação do Momento 
Linear
 Quando a soma vetorial das 
forças externas que atuam 
sobre o sistema é igual a zero, 
o momento linear total do 
sistema permanece constante
Força de Ação e Reação
ܨ஺஻ܨ஻஺
A B
 Devido as forças FAB e FBA exercidas, 
ocorre variação do momento linear da 
pessoa A e da pessoa B, dadas por:
ܨԦ஻஺ ൌ 	 ௗ௣Ԧಲௗ௧ ܨԦ஺஻ ൌ 	
ௗ௣Ԧಳ
ௗ௧
 Como, de acordo com a terceira Lei 
de Newton, ܨԦ஻஺ ൌ 	െ	ܨԦ஺஻ podemos 
escrever:
ܨԦ஻஺ ൅ ܨԦ஺஻ ൌ 0
ܨԦ஻஺ ൅ ܨԦ஺஻ ൌ 	݀݌Ԧ஺݀ݐ ൅	
݀݌Ԧ஻
݀ݐ ൌ 	
݀ ݌Ԧ஺ ൅	݌Ԧ஻
݀ݐ ൌ 0
 Considerando ܲ como momento linear 
total do sistema, podemos escrever:
ܲ ൌ 	݌Ԧ஺ ൅	݌Ԧ஻
 Então:
ܨԦ஻஺ ൅ ܨԦ஺஻ ൌ ݀ܲ݀ݐ ൌ 0
ܨԦ஻஺ ൅ ܨԦ஺஻ ൌ 	݀ܲ݀ݐ ൌ 0
 A taxa de variação do momento 
linear total do sistema ܲ é igual a 
zero
 Mesmo que os momentos lineares de 
cada partícula do sistema variem, o 
momento linear total será constante
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Conservação do Momento 
Linear e Colisões
 Colisão significa a interação 
de dois corpos, ou duas 
partículas, que aplicam forças 
relativamente grandes e 
mutuamente entre eles por um 
pequeno intervalo de tempo
Colisões Elásticas
 Tipo de colisão que além 
da conservação do momento 
linear, ocorre também 
conservação da energia 
cinética
 As forças, devido a colisão entre 
os corpos, são conservativas, 
nenhuma energia mecânica é 
adquirida ou perdida devido a 
colisão, a energia cinética total 
do sistema, antes ou depois da 
colisão, é a mesma
Modelo de Colisão Elástica
4
3
 Como a colisão é elástica, 
há conservação do momento 
linear e também conservação 
da energia mecânica
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Conservação do Momento 
Linear
݌௜ ൌ ݌௙
 Sendo:
݌௜ ൌ 	݉௔ݒ௔௜ ൅ ݉௕ݒ௕௜
݌௙ ൌ 	݉௔ݒ௔௙ ൅ ݉௕ݒ௕௙
 Logo:
݉௔ݒ௔௜ ൅ ݉௕ݒ௕௜ ൌ ݉௔ݒ௔௙ ൅ ݉௕ݒ௕௙
Conservação da Energia 
Cinética
݇௜ ൌ 	݇௙
 Sendo: 
݇௜ ൌ 	12݉௔ݒ௔௜
ଶ ൅	12݉௕ݒ௕௜
ଶ
݇௙ ൌ 	12݉௔ݒ௔௙
ଶ ൅	12݉௕ݒ௕௙
ଶ
 Logo:
݉௔ݒ௔௜ଶ ൅ ݉௕ݒ௕௜ଶ ൌ 	݉௔ݒ௔௙ଶ ൅	݉௕ݒ௕௙ଶ
Colisões Inelástica
 A energia cinética total do 
sistema de corpos que sofrem 
colisões não se conserva
 Há apenas conservação do 
momento linear
 A velocidade do carro A, ݒԦ஺௙, após a 
colisão será a mesma do carro B, ݒԦ஻௙, 
a qual iremos chamar de ݒԦ௙
ݒԦ஺௙ ൌ 	ݒԦ஻௙ ൌ 	ݒԦ௙
 Como na colisão inelástica há 
conservação do momento linear então:
݌Ԧ௜ ൌ 	݌Ԧ௙
݉஺ݒԦ஺௜ ൅ ݉஻ݒԦ஻௜ ൌ 	 ݉஺ ൅	݉஻ ݒԦ௙
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Centro de Massa
Urano
Saturno
Júpiter
 Para o planeta Urano, suas 
coordenadas do centro de massa c1, 
com massa m1, são (x1 , y1)
 Para o planeta Saturno, as 
coordenadas do seu centro de massa 
são (x2 , y2) e sua massa m2
 Para o planeta Júpiter, as 
coordenadas do seu centro de massa 
são (x3 , y3) e sua massa m3
 Podemos definir o centro de massa 
entre esses três planetas como 
o ponto localizado pelas coordenadas 
(xcm, ycm), calculadas pelas relações 
matemáticas
ݔ௖௠ ൌ 	݉ଵݔଵ ൅ ݉ଶݔଶ ൅	݉ଷݔଷ ൅ ⋯݉ଵ ൅	݉ଶ ൅	݉ଷ ൅⋯
ݕ௖௠ ൌ 	݉ଵݕଵ ൅ ݉ଶݕଶ ൅	݉ଷݕଷ ൅ ⋯݉ଵ ൅	݉ଶ ൅	݉ଷ ൅⋯
 Se as posições das partículas do 
sistema forem definidas através de 
vetores posição para cada partícula
 O vetor posição do centro de 
massa do sistema de partículas 
será definido como:
ݎԦ௖௠ ൌ 	݉ଵݎԦଵ ൅ ݉ଶݎԦଶ ൅	݉ଷݎԦଷ ൅ ⋯݉ଵ ൅	݉ଶ ൅	݉ଷ ൅ ⋯
 Objetos com uma distribuição 
homogênea de massa possuem seu 
centro de massa em um ponto que 
coincide com o centro geométrico 
do objeto em questão, se este 
objeto possuir um eixo de simetria, 
o centro de massa está posicionado 
sobre este eixo, mesmo que este 
ponto esteja localizado fora do 
objeto
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Movimento do Centro de 
Massa
 A determinação do centro 
de massa de um sistema de 
partículas é uma ferramenta 
bastante importante para 
analisar este sistema quando 
ele encontra-se em movimento
Velocidade do Centro 
de Massa
 Realizando a derivada das 
coordenadas de posição 
(xcm e ycm) do centro de massa 
do sistema de partículas em 
função do tempo, obtemos a 
velocidade do centro de massa 
do sistema
 Para o eixo x:
݀ݔ௖௠
݀ݐ ൌ 	
݉ଵ ݀ݔଵ݀ݐ ൅ ݉ଶ
݀ݔଶ݀ݐ ൅	݉ଷ
݀ݔଷ݀ݐ ൅ ⋯
݉ଵ ൅	݉ଶ ൅	݉ଷ ൅⋯
 Para o eixo y:
݀ݕ௖௠
݀ݐ ൌ 	
݉ଵ ݀ݕଵ݀ݐ ൅ ݉ଶ
݀ݕଶ݀ݐ ൅	݉ଷ
݀ݕଷ݀ݐ ൅ ⋯
݉ଵ ൅	݉ଶ ൅	݉ଷ ൅⋯
 Como a derivada da posição da partícula em 
função do tempo é a velocidade da partícula 
ௗ௫
ௗ௧ ൌ ݒ௫ e 
ௗ௬
ௗ௧ ൌ ݒ௬ , temos:
ݒ௖௠௫ ൌ 	݉ଵݒଵ௫ ൅ ݉ଶݒଶ௫ ൅	݉ଷݒଷ௫ ൅ ⋯݉ଵ ൅	݉ଶ ൅	݉ଷ ൅⋯
ݒ௖௠௬ ൌ 	݉ଵݒଵ௬ ൅ ݉ଶݒଶ௬ ൅	݉ଷݒଷ௬ ൅ ⋯݉ଵ ൅	݉ଶ ൅	݉ଷ ൅⋯
 O mesmo ocorre com o vetor 
posição do centro de massa 
do sistema, a derivada do vetor 
posição em função do tempo 
fornece a velocidade vetorial 
do centro de massa
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݀ݎԦ௖௠
݀ݐ ൌ 	
݉ଵ ݀ݎԦଵ݀ݐ ൅ ݉ଶ
݀ݎԦଶ݀ݐ ൅	݉ଷ
݀ݎԦଷ݀ݐ ൅ ⋯
݉ଵ ൅	݉ଶ ൅	݉ଷ ൅⋯
ݒԦ௖௠ ൌ 	݉ଵݒԦଵ ൅ ݉ଶݒԦଶ ൅	݉ଷݒԦଷ ൅ ⋯݉ଵ ൅	݉ଶ ൅	݉ଷ ൅⋯
 Como a soma das massas de cada 
partícula fornece a massa total (M) 
do sistema, m1 + m2 + m3 = M,
temos:
ܯݒԦ௖௠ ൌ 	݉ଵݒԦଵ ൅ ݉ଶݒԦଶ ൅	݉ଷݒԦଷ ൅ ⋯ ൌ	ܲ
Momento Linear Total do 
Sistema de Partículas
 O momento lineartotal do 
sistema (ܲ) é obtido pelo 
produto da massa total pela 
velocidade do centro de massa 
do sistema de partículas
ܲ ൌ ܯݒԦ௖௠
 Quando a força resultante externa 
que atua em um sistema de 
partículas é igual a zero, o 
momento linear total ܲ é 
constante e a velocidade do 
centro de massa ݒԦ௖௠ ൌ 		 ௉ெ também 
é constante
 Quando a força resultante que 
atua no sistema de partículas 
não é nula, o momento linear 
total não é conservado e a 
velocidade do centro de massa 
do sistema irá variar
Aceleração do Centro de 
Massa
 De acordo com a segunda 
Lei de Newton, a principal 
característica de uma força 
resultante não nula é que 
ela irá produzir uma 
aceleração no sistema
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 Aplicando-se a derivada em 
relação ao tempo na equação 
de velocidade ௗ௩ௗ௧ iremos obter 
uma equação da aceleração 
resultante proporcionada 
pela força
Ԧܽ௖௠ ൌ 	݀ݒԦ௖௠݀ݐ
ܯ ݀ݒԦ௖௠݀ݐ ൌ ݉ଵ
݀ݒԦଵ
݀ݐ ൅ ݉ଶ
݀ݒԦଶ
݀ݐ ൅	݉ଷ
݀ݒԦଷ
݀ݐ ൅ ⋯
ܯ Ԧܽ௖௠ ൌ 	݉ଵ Ԧܽଵ ൅ ݉ଶ Ԧܽଶ ൅	݉ଷ Ԧܽଷ ൅ ⋯
Força que atua 
na partícula 1
Força que atua 
na partícula 2
Força que atua 
na partícula 3
 O somatório sugerido no membro 
direito é a soma vetorial de todas as 
forças atuantes no sistema, forças 
externas e forças internas
ܨԦோ ൌ 	෍ܨԦ ൌ 	෍ܨԦ௘௫௧ ൅	෍ܨԦ௜௡௧ ൌ ܯ Ԧܽ௖௠
 Como, ∑ܨԦ௜௡௧ ൌ 0
ܨԦோ ൌ 	෍ܨԦ௘௫௧ ൌ ܯ Ԧܽ௖௠
ܨԦோ ൌ 	ܯ Ԧܽ௖௠
 A força resultante externa que 
atua em um sistema de partículas 
é igual a massa total do sistema 
multiplicado pela aceleração 
do centro de massa
 A ação do somatório de todas 
as forças que atuam no sistema de 
partículas provoca a mudança no 
movimento do centro de massa 
desse sistema, exatamente da 
mesmas maneira que mudaria se 
toda a massa do sistema estivesse 
localizada neste ponto, no centro 
de massa
 Um exemplo clássico para 
descrever o comportamento 
do centro de massa pode ser 
observado quando um morteiro 
de festa junina é lançado 
em movimento parabólico 
(desprezando a resistência 
do ar)
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CM
CM
CM
CM
CM
CMCM
CM CM
CM
CM
CM
CM
CM
CM
x
y  O morteiro explode no ar em 
fragmentos, desprezando a 
resistência do ar, os fragmentos 
descrevem trajetórias parabólicas 
individuais, no entanto o centro 
de massa continua a descrever a 
mesma trajetória parabólica que 
possuía antes da explosão
 A aceleração do centro de massa de um 
sistema de partículas pode ser relacionada 
com o momento linear total do sistema, 
lembrando que:
Ԧܽ௖௠ ൌ 	݀ݒԦ௖௠݀ݐ
 Então:
ܯ Ԧܽ௖௠ ൌ 	ܯ ݀ݒԦ௖௠݀ݐ ൌ 	
݀ ܯݒԦ௖௠
݀ݐ ൌ 	
݀ܲ
݀ݐ
ܨԦோ ൌ 	෍ܨԦ௘௫௧ ൌ 	݀ܲ݀ݐ
ܨԦோ ൌ 	෍ܨԦ௘௫௧ ൌ 	݀ܲ݀ݐ
 De acordo com a equação, um sistema de 
partículas comporta-se como um corpo 
rígido e demonstra que a interação entre 
as partículas, através de forças internas, 
somente irá alterar os momentos lineares de 
cada partícula individual, mas o momento 
linear total do sistema ܲ só pode ser 
alterado pela aplicação de forças externas 
ao sistema
 Na ausência de força resultante 
externa, a aceleração do centro de 
massa do sistema é nula ܽܿ݉ ൌ 0 , 
isso nos leva a concluir que a 
velocidade do centro de massa é 
constante ݒܿ݉ ൌ ܿ݋݊ݏݐܽ݊ݐ݁ , 
confirmando a lei da conservação 
do momento linear
Referências de Apoio
 HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; 
WALTER, J. Fundamentos de 
Física: mecânica. vol. 1. 6. ed. Rio 
de Janeiro: Livros Técnicos e 
Científicos Editora Ltda., 2007.
 SEARS, F.; ZEMANSKY, M. W. Física 
I – Mecânica. 12. ed. São Paulo: 
Pearson.