Slides+Aula+1 4+Fisica+Energia+teorema+dos+eixos+paralelos

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Na seção anterior aprendemos como calcular a energia cinética em um
movimento de rotação.
Nesta seção, vamos falar sobre o teorema dos eixos paralelos, também
conhecido como teorema de Steiner. Com ele, vamos poder aproveitar muito
melhor as expressões do momento de inércia tabeladas que utilizamos
regularmente. Você notou que nas tabelas que encontramos nos livros-texto o
eixo de rotação sempre passa pelo centro de massa? Isso ocorre porque é fácil
generalizar para outros casos usando o teorema.
Voce agora está responsável por outro projeto! Desta vez, instalará um braço 
mecânico entre duas esteiras que se encontram a dois metros de distância 
uma da outra. As peças aprovadas para a utilização pelo setor técnico são as 
mesmas da última vez. Lembre-se de que os cilindros disponíveis possuem 
somente meio metro de comprimento. Você precisa descobrir como montar 
esse quebra-cabeças (literalmente) para resolver seu problema e também 
precisará calcular o momento de inércia do seu novo robô. 
Se encontrarmos um corpo rígido com um formato diferente dos indicados? É 
possível fazer uma integral , sendo que dm é uma função em termos da 
distância x ao eixo de rotação (dm = f(x)∙dx), que para corpos rígidos que 
ocupem um volume no espaço será a função densidade. 
Existem algumas situações, entretanto, que nos permitem estudar de maneira 
simples casos mais gerais do que aqueles apresentados na tabela e tudo o 
que pode simplificar a vida é muito bem-vindo. O teorema dos eixos 
paralelos, ou teorema de Steiner, é algo assim: 
Se conhecemos o momento de inércia de um corpo girando em torno de um 
determinado eixo que passa através de seu centro de massa, podemos obter 
o momento de inércia para qualquer movimento de rotação em torno de um 
outro eixo, paralelo ao original, graças à expressão:
I = ICM + M - x
2
• x é a distância entre o eixo que passa pelo centro de massa e o novo eixo 
de rotação 
• ICM é o momento de inércia conhecido, com base no eixo que atravessa o 
centro de massa 
• M é a massa do objeto. 
Um marceneiro toma uma casca esférica de madeira de raio 1 m e massa 3 kg e faz um furo 
atravessando a casca esférica, que não passa em seu centro, mas forma uma linha reta 
paralela a uma linha imaginária passando através de seu centro. Ambas as linhas distam em 
30 cm uma da outra. Se por esse furo for inserido um eixo fino preso a um motor elétrico, 
qual será o momento de inércia do sistema? Dado: momento de inércia de uma casca 
esférica girando em torno de um eixo que passa através de seu centro 
Exemplificando 
primeiramente calcular o momento de inércia da casca esférica girando em 
torno de um eixo que passa através de seu centro (para densidade uniforme, 
o centro de massa se localiza nele). 
𝐼𝑐𝑀 =
2
3
𝑀𝑅2 = 
2
3
. 3.1² = 2𝑘𝑔.𝑚²
Temos a resposta final? Não, pois o objeto girará em torno de outro eixo. 
Precisamos utilizar o teorema dos eixos paralelos: 
I = ICM+ M . X² = 2,27kg .m²= 2 + 3 . 0,3²
Nas seções anteriores, usamos um resultado importante: que o momento de inércia de um 
bastão girando ao redor de sua extremidade é dado pela expressão 𝐼 =
1
3
𝑀. 𝐿2. Esse 
resultado não costuma ser tabelado e agora você conhece a razão: é fácil descobri-lo com 
base no momento de inércia de um bastão girando ao redor de seu centro 𝐼 =
1
12
𝑀. 𝐿2, , e 
o teorema dos eixos paralelos. Vamos provar esse resultado?
Icm=
1
12
𝑀. 𝐿2
Utilizamos agora o teorema dos eixos paralelos 
I= Icm + M.x²
𝟏
𝟏𝟐
𝑴.𝑳𝟐 + I= 𝑴.
𝐿
2
2
Um bastão fino e homogêneo de massa 1,9 kg e 1,2 m de comprimento gira ao 
redor de um eixo perpendicular ao bastão, que o intercepta a 0,4 m de 
comprimento de uma das suas extremidades. Calcule o seu momento de 
inércia, considerando que um bastão fino girando ao redor de um eixo 
perpendicular ao seu comprimento, atravessando seu centro, é: 
Exemplificando 
1,2 m
0,4 m
1 .1,9 .1,2= 0,23kg.m²
12
=
Nosso amigo gerente recebeu a tarefa de estudar a implantação de um robô 
para transportar e encaixar uma peça de uma esteira para a outra, que distam 
em 2 m. O período do movimento está planejado para totalizar 6 s. A 
orientação da equipe técnica é que sejam utilizadas as peças do mesmo 
fornecedor, com um motor M2 e os cilindros C1 e C2 encaixados, com C1 mais 
próximo do motor e C2 conectado ao manipulador m. Precisamos estimar a 
energia cinética do conjunto, para verificar a viabilidade do projeto. Vamos lá?
motor é um cilindro de 35 cm de raio e 15 kg. 
O cilindro C1 gira em torno de sua extremidade, 
tem 0,5 m de comprimento e massa 1,2 kg. 
O cilindro C2, com comprimento de 0,5 m e massa 0,6 
kg, gira em torno de um eixo que está fora de seu 
comprimento, mas não há problema, pois conhecemos o 
teorema dos eixos paralelos 
Agora, utilizaremos o teorema dos eixos paralelos, 
percebendo que o eixo de rotação dista 0,75 m. Afinal, é 
a distância do centro do motor ao centro de C1. Pelo 
teorema dos eixos paralelos: 
O manipulador tem massa 1,2 kg e dista 1 m do eixo de 
giro. 
1)
2)
3)