aula9 - Controle Digital de Sistemas Dinâmicos - Argolo

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Controle Digital de Sistemas Dinaˆmicos -
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado - Parte II
Prof. Tales Argolo Jesus
tales@cefetmg.br
Sala 303
CEFET-MG
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 9 1 / 15
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Exemplo pra´tico - Modelagem Discreta de um Motor Ele´trico
Entrada → Torque τk
Sa´ıda → Aˆngulo de giro do eixo θk
Paraˆmetros → Momento de ine´rcia J; coeficiente de atrito viscoso b
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 9 2 / 15
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Exemplo pra´tico - Modelagem Discreta de um Motor Ele´trico
J θ¨(t) = τ(t)− bθ˙(t)
Discretizac¸a˜o de θ˙(t) e θ¨(t):
θ˙(t)|t=kT = θ˙k ≈
θk+1 − θk
T
θ¨(t)|t=kT = θ¨k ≈
θ˙k+1 − θ˙k
T
=
θk+2 − 2θk+1 + θk
T 2
Logo:
J
T 2
(θk+2 − 2θk+1 + θk) = τk −
b
T
(θk+1 − θk)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 9 3 / 15
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Exemplo pra´tico - Modelagem Discreta de um Motor Ele´trico
J θ¨(t) = τ(t)− bθ˙(t)
Discretizac¸a˜o de θ˙(t) e θ¨(t):
θ˙(t)|t=kT = θ˙k ≈
θk+1 − θk
T
θ¨(t)|t=kT = θ¨k ≈
θ˙k+1 − θ˙k
T
=
θk+2 − 2θk+1 + θk
T 2
Logo:
J
T 2
(θk+2 − 2θk+1 + θk) = τk −
b
T
(θk+1 − θk)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 9 3 / 15
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Exemplo pra´tico - Modelagem Discreta de um Motor Ele´trico
J θ¨(t) = τ(t)− bθ˙(t)
Discretizac¸a˜o de θ˙(t) e θ¨(t):
θ˙(t)|t=kT = θ˙k ≈
θk+1 − θk
T
θ¨(t)|t=kT = θ¨k ≈
θ˙k+1 − θ˙k
T
=
θk+2 − 2θk+1 + θk
T 2
Logo:
J
T 2
(θk+2 − 2θk+1 + θk) = τk −
b
T
(θk+1 − θk)
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Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Exemplo pra´tico - Modelagem Discreta de um Motor Ele´trico
J θ¨(t) = τ(t)− bθ˙(t)
Discretizac¸a˜o de θ˙(t) e θ¨(t):
θ˙(t)|t=kT = θ˙k ≈
θk+1 − θk
T
θ¨(t)|t=kT = θ¨k ≈
θ˙k+1 − θ˙k
T
=
θk+2 − 2θk+1 + θk
T 2
Logo:
J
T 2
(θk+2 − 2θk+1 + θk) = τk −
b
T
(θk+1 − θk)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 9 3 / 15
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Exemplo pra´tico - Modelagem Discreta de um Motor Ele´trico
J θ¨(t) = τ(t)− bθ˙(t)
Discretizac¸a˜o de θ˙(t) e θ¨(t):
θ˙(t)|t=kT = θ˙k ≈
θk+1 − θk
T
θ¨(t)|t=kT = θ¨k ≈
θ˙k+1 − θ˙k
T
=
θk+2 − 2θk+1 + θk
T 2
Logo:
J
T 2
(θk+2 − 2θk+1 + θk) = τk −
b
T
(θk+1 − θk)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 9 3 / 15
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Exemplo pra´tico - Modelagem Discreta de um Motor Ele´trico
Manipulando-se a expressa˜o, tem-se que:
θk+2 = a1θk+1 + a0θk + b0τk ,
em que a1 =
(
2− Tb
J
)
, a0 =
(
Tb
J
− 1
)
e b0 =
T 2
J
.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 9 4 / 15
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Exemplo pra´tico - Modelagem Discreta de um Motor Ele´trico
Manipulando-se a expressa˜o, tem-se que:
θk+2 = a1θk+1 + a0θk + b0τk ,
em que a1 =
(
2− Tb
J
)
, a0 =
(
Tb
J
− 1
)
e b0 =
T 2
J
.
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Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Exemplo pra´tico - Modelagem Discreta de um Motor Ele´trico
Manipulando-se a expressa˜o, tem-se que:
θk+2 = a1θk+1 + a0θk + b0τk ,
em que a1 =
(
2− Tb
J
)
, a0 =
(
Tb
J
− 1
)
e b0 =
T 2
J
.
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Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Exemplo pra´tico - Modelagem Discreta de um Motor Ele´trico


x1(k) = θk
x2(k) = θk+1
u(k) = τk
y(k) = θk
=⇒


x1(k + 1) = x2(k)
x2(k + 1) = a1x2(k) +a0x1(k) + b0u(k)
y = x1(k)
Reescrevendo em formato matricial:
[
x1(k + 1)
x2(k + 1)
]
=
[
0 1
a0 a1
] [
x1(k)
x2(k)
]
+
[
0
b1
]
u(k)
y =
[
1 0
] [ x1(k)
x2(k)
]
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Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Exemplo pra´tico - Modelagem Discreta de um Motor Ele´trico


x1(k) = θk
x2(k) = θk+1
u(k) = τk
y(k) = θk
=⇒


x1(k + 1) = x2(k)
x2(k + 1) = a1x2(k) +a0x1(k) + b0u(k)
y = x1(k)
Reescrevendo em formato matricial:
[
x1(k + 1)
x2(k + 1)
]
=
[
0 1
a0 a1
] [
x1(k)
x2(k)
]
+
[
0
b1
]
u(k)
y =
[
1 0
] [ x1(k)
x2(k)
]
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 9 5 / 15
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Exemplo pra´tico - Modelagem Discreta de um Motor Ele´trico


x1(k) = θk
x2(k) = θk+1
u(k) = τk
y(k) = θk
=⇒


x1(k + 1) = x2(k)
x2(k + 1) = a1x2(k) +a0x1(k) + b0u(k)
y = x1(k)
Reescrevendo em formato matricial:
[
x1(k + 1)
x2(k + 1)
]
=
[
0 1
a0 a1
] [
x1(k)
x2(k)
]
+
[
0
b1
]
u(k)
y =
[
1 0
] [ x1(k)
x2(k)
]
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 9 5 / 15
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Exemplo pra´tico - Modelagem Discreta de um Motor Ele´trico


x1(k) = θk
x2(k) = θk+1
u(k) = τk
y(k) = θk
=⇒


x1(k + 1) = x2(k)
x2(k + 1) = a1x2(k) +a0x1(k) + b0u(k)
y = x1(k)
Reescrevendo em formato matricial:
[
x1(k + 1)
x2(k + 1)
]
=
[
0 1
a0 a1
] [
x1(k)
x2(k)
]
+
[
0
b1
]
u(k)
y =
[
1 0
] [ x1(k)
x2(k)
]
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 9 5 / 15
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Exemplo pra´tico - Modelagem Discreta de um Motor Ele´trico
Obtenha o modelo discretizado em espac¸o de estados para o motor com
u(t) = τ(t), y(t) = θ(t) e fazendo-se
~˙x(t)|t=kT = ~˙xk ≈
~xk+1 − ~xk
T
.
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Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Exemplo pra´tico - Modelagem Discreta de um Motor Ele´trico
~xk+1 = (I + TA)~xk + TBuk
yk = C~xk
[
x1(k + 1)
x2(k + 1)
]
=
[
1 T
0 1− Tb
J
] [
x1(k)
x2(k)
]
+
[
0
T
J
]
u(k)
y =
[
1 0
] [ x1(k)
x2(k)
]
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 9 7 / 15
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Exemplo pra´tico - Modelagem Discreta de um Motor Ele´trico
~xk+1 = (I + TA)~xk + TBuk
yk = C~xk
[
x1(k + 1)
x2(k + 1)
]
=
[
1 T
0 1− Tb
J
] [
x1(k)
x2(k)
]
+
[
0
T
J
]
u(k)
y =
[
1 0
] [ x1(k)
x2(k)
]
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 9 7 / 15
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Exemplo pra´tico - Modelagem Discreta de um Motor Ele´trico
~xk+1 = (I + TA)~xk + TBuk
yk = C~xk
[
x1(k + 1)
x2(k + 1)
]
=
[
1 T
0 1− Tb
J
] [
x1(k)
x2(k)
]
+
[
0
T
J
]
u(k)
y =
[
1 0
] [ x1(k)
x2(k)
]
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 9 7 / 15
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Obtenc¸a˜o de Representac¸a˜o em Varia´veis de Estado a partir da Func¸a˜o de
Transfereˆncia Discreta
H(z) =
Y (z)
U(z)
=
b2z
2 + b1z + b0
z3 + a2z2 + a1z + a0
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 9 8 / 15
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Obtenc¸a˜o de Representac¸a˜o em Varia´veis de Estado a partir da Func¸a˜o de
Transfereˆncia Discreta
H(z) =
Y (z)
U(z)
=
b2z
2 + b1z + b0
z3 + a2z2 + a1z + a0
(
X (z)
X (z)
)
Consideremos que
Y (z) = b2X (z)z
2 + b1X (z)z + b0X (z)
e
U(z) = X (z)z3 + a2X (z)z
2 + a1X (z)z + a0X (z)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 9 9 / 15
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Obtenc¸a˜o de Representac¸a˜o em Varia´veis de Estado a partir da Func¸a˜o de
Transfereˆncia Discreta
H(z) =
Y (z)
U(z)
=
b2z
2 + b1z + b0
z3 + a2z2 + a1z + a0
(
X (z)
X (z)
)
Consideremos que
Y (z) = b2X (z)z
2 + b1X (z)z + b0X (z)
e
U(z) = X (z)z3 + a2X (z)z
2 + a1X (z)z + a0X (z)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 9 9 / 15
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Obtenc¸a˜o de Representac¸a˜o em Varia´veis de Estado a partir da Func¸a˜o de
Transfereˆncia Discreta
Aplicando-se a transformada Z inversa:y(k) = b2x(k + 2) + b1x(k + 1) + b0x(k)
e
u(k) = x(k + 3) + a2x(k + 2) + a1x(k + 1) + a0x(k)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 9 10 / 15
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Obtenc¸a˜o de Representac¸a˜o em Varia´veis de Estado a partir da Func¸a˜o de
Transfereˆncia Discreta
Aplicando-se a transformada Z inversa:
y(k) = b2x(k + 2) + b1x(k + 1) + b0x(k)
e
u(k) = x(k + 3) + a2x(k + 2) + a1x(k + 1) + a0x(k)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 9 10 / 15
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Obtenc¸a˜o de Representac¸a˜o em Varia´veis de Estado a partir da Func¸a˜o de
Transfereˆncia Discreta


x1(k) = x(k)
x2(k) = x(k + 1)
x3(k) = x(k + 2)
=⇒


x1(k + 1) = x2(k)
x2(k + 1) = x3(k)
x3(k + 1) = −a0x1(k) − a1x2(k)
−a2x3(k) + u(k)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 9 11 / 15
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Obtenc¸a˜o de Representac¸a˜o em Varia´veis de Estado a partir da Func¸a˜o de
Transfereˆncia Discreta
Reescrevendo em formato matricial:

 x1(k + 1)x2(k + 1)
x3(k + 1)

 =

 0 1 00 0 1
−a0 −a1 −a2



 x1(k)x2(k)
x3(k)

+

 00
1

 u(k)
y =
[
b0 b1 b2
]  x1(k)x2(k)
x3(k)


Forma Canoˆnica Controla´vel
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 9 12 / 15
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Obtenc¸a˜o de Representac¸a˜o em Varia´veis de Estado a partir da Func¸a˜o de
Transfereˆncia Discreta
Reescrevendo em formato matricial:

 x1(k + 1)x2(k + 1)
x3(k + 1)

 =

 0 1 00 0 1
−a0 −a1 −a2



 x1(k)x2(k)
x3(k)

+

 00
1

 u(k)
y =
[
b0 b1 b2
]  x1(k)x2(k)
x3(k)


Forma Canoˆnica Controla´vel
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 9 12 / 15
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Obtenc¸a˜o de Representac¸a˜o em Varia´veis de Estado a partir da Func¸a˜o de
Transfereˆncia Discreta
Reescrevendo em formato matricial:

 x1(k + 1)x2(k + 1)
x3(k + 1)

 =

 0 1 00 0 1
−a0 −a1 −a2



 x1(k)x2(k)
x3(k)

+

 00
1

 u(k)
y =
[
b0 b1 b2
]  x1(k)x2(k)
x3(k)


Forma Canoˆnica Controla´vel
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 9 12 / 15
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Obtenc¸a˜o de Representac¸a˜o em Varia´veis de Estado a partir da Func¸a˜o de
Transfereˆncia Discreta
Reescrevendo em formato matricial:

 x1(k + 1)x2(k + 1)
x3(k + 1)

 =

 0 1 00 0 1
−a0 −a1 −a2



 x1(k)x2(k)
x3(k)

+

 00
1

 u(k)
y =
[
b0 b1 b2
]  x1(k)x2(k)
x3(k)


Forma Canoˆnica Controla´vel
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 9 12 / 15
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Obtenc¸a˜o da Func¸a˜o de Transfereˆncia Discreta a partir de uma Representa-
c¸a˜o em Varia´veis de Estado
~xk+1 = A~xk + Buk
yk = C~xk
Aplicando-se a transformada Z:
zX (z)− z~x(0) = AX (z) + BU(z), X (z) = [X1(z) X2(z) . . .Xn(z)]
T
Y (z) = CX (z) + DU(z)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 9 13 / 15
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Obtenc¸a˜o da Func¸a˜o de Transfereˆncia Discreta a partir de uma Representa-
c¸a˜o em Varia´veis de Estado
~xk+1 = A~xk + Buk
yk = C~xk
Aplicando-se a transformada Z:
zX (z)− z~x(0) = AX (z) + BU(z), X (z) = [X1(z) X2(z) . . .Xn(z)]
T
Y (z) = CX (z) + DU(z)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 9 13 / 15
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Obtenc¸a˜o da Func¸a˜o de Transfereˆncia Discreta a partir de uma Representa-
c¸a˜o em Varia´veis de Estado
~xk+1 = A~xk + Buk
yk = C~xk
Aplicando-se a transformada Z:
zX (z)− z~x(0) = AX (z) + BU(z), X (z) = [X1(z) X2(z) . . .Xn(z)]
T
Y (z) = CX (z) + DU(z)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 9 13 / 15
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Obtenc¸a˜o da Func¸a˜o de Transfereˆncia Discreta a partir de uma Representa-
c¸a˜o em Varia´veis de Estado
Da equac¸a˜o de estados transformada, tem-se que:
(zI − A)X (z) = BU(z) =⇒ X (z) = (zI − A)−1BU(z)
Da equac¸a˜o de sa´ıda transformada, tem-se que:
Y (z) = C (zI − A)−1BU(z) + DU(z) = [C (zI − A)−1B + D]U(z)
Logo:
H(z) = C (zI − A)−1B + D
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 9 14 / 15
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Obtenc¸a˜o da Func¸a˜o de Transfereˆncia Discreta a partir de uma Representa-
c¸a˜o em Varia´veis de Estado
Da equac¸a˜o de estados transformada, tem-se que:
(zI − A)X (z) = BU(z) =⇒ X (z) = (zI − A)−1BU(z)
Da equac¸a˜o de sa´ıda transformada, tem-se que:
Y (z) = C (zI − A)−1BU(z) + DU(z) = [C (zI − A)−1B + D]U(z)
Logo:
H(z) = C (zI − A)−1B + D
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 9 14 / 15
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Obtenc¸a˜o da Func¸a˜o de Transfereˆncia Discreta a partir de uma Representa-
c¸a˜o em Varia´veis de Estado
Da equac¸a˜o de estados transformada, tem-se que:
(zI − A)X (z) = BU(z) =⇒ X (z) = (zI − A)−1BU(z)
Da equac¸a˜o de sa´ıda transformada, tem-se que:
Y (z) = C (zI − A)−1BU(z) + DU(z) = [C (zI − A)−1B + D]U(z)
Logo:
H(z) = C (zI − A)−1B + D
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 9 14 / 15
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Obtenc¸a˜o da Func¸a˜o de Transfereˆncia Discreta a partir de uma Representa-
c¸a˜o em Varia´veis de Estado
Da equac¸a˜o de estados transformada, tem-se que:
(zI − A)X (z) = BU(z) =⇒ X (z) = (zI − A)−1BU(z)
Da equac¸a˜o de sa´ıda transformada, tem-se que:
Y (z) = C (zI − A)−1BU(z) + DU(z) = [C (zI − A)−1B + D]U(z)
Logo:
H(z) = C (zI − A)−1B + D
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 9 14 / 15
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Obtenc¸a˜o da Func¸a˜o de Transfereˆncia Discreta a partir de uma Representa-
c¸a˜o em Varia´veis de Estado
Da equac¸a˜o de estados transformada, tem-se que:
(zI − A)X (z) = BU(z) =⇒ X (z) = (zI − A)−1BU(z)
Da equac¸a˜o de sa´ıda transformada, tem-se que:
Y (z) = C (zI − A)−1BU(z) + DU(z) = [C (zI − A)−1B + D]U(z)
Logo:
H(z) = C (zI − A)−1B + D
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 9 14 / 15
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Obtenc¸a˜o da Func¸a˜o de Transfereˆncia Discreta a partir de uma Representa-
c¸a˜o em Varia´veis de Estado
Da equac¸a˜o de estados transformada, tem-se que:
(zI − A)X (z) = BU(z) =⇒ X (z) = (zI − A)−1BU(z)
Da equac¸a˜o de sa´ıda transformada, tem-se que:
Y (z) = C (zI − A)−1BU(z) + DU(z) = [C (zI − A)−1B + D]U(z)
Logo:
H(z) = C (zI − A)−1B + D
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 9 14 / 15
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Obtenc¸a˜o da Func¸a˜o de Transfereˆncia Discreta a partir de uma Representa-
c¸a˜o em Varia´veis de Estado
H(z) = C
Cof[zI − A]T
det(zI − A)
B + D
Conclusa˜o: os autovalores da matriz A sa˜o os po´los do SLIT discreto!
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 9 15 / 15
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Obtenc¸a˜o da Func¸a˜o de Transfereˆncia Discreta a partir de uma Representa-
c¸a˜o em Varia´veis de Estado
H(z) = C
Cof[zI − A]T
det(zI − A)
B + D
Conclusa˜o: os autovalores da matriz A sa˜o os po´los do SLIT discreto!
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 9 15 / 15
	Introdução