Capítulo 9. Teoria de Jogos

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Caderno de Exercícios. Universidade Federal Fluminense. Microeconomia II.
Capítulo 9. Teoria de Jogos.
CAPITULO 9 
TEORIA DOS JOGOS
1 – Em que consiste um equilíbrio de Nash?
Solução
Um equilíbrio de Nash é um par de estratégias que representam simultaneamente para ambos os jogadores os ganhos máximos possíveis, dada a estratégia de seus rivais.
2 – Comente porque os equilíbrios de Cournot e Bertrand são equilíbrios de Nash.
Solução
Porque em ambos casos as firmas escolhem a melhor estratégia possível, dada a estratégia de seus rivais, mesmo sabendo que poderiam (atenção: dependendo da estratégia adotada pela firma rival) obter ganhos maiores seguindo outras estratégias.
3 – Elabore a matriz de ganhos de duas firmas que concorrem tipo Bertrand.
Solução
	
Firma A
	Firma B
	
	
	Abaixar preços
	Não abaixar os preços
	
	Abaixar preços
	(0,0)
	((a, -(b)
	
	Não abaixar os preços
	(-(a, (b)
	(1/2(a, 1/2(b)
4 – A solução de Bertrand, P = CMg, é um ótimo de Pareto? Justifique sua resposta. 
Solução
Não. Observando a matriz de ganhos anterior, se as firmas decidissem não abaixar os preços, as duas dividiriam lucros de monopólio, ou seja, existe um par de estratégias em que as duas melhoram. 
5 – Se o modelo de Bertrand é apresentado como um jogo repetido um número indefinido de vezes, o resultado do jogo continuará sendo P = CMg?
Solução
Não. Em um jogo do tipo Bertrand com um número infinito de jogadas, a traição poderá ser punida. As firmas estabelecem um cartel e o jogo se resolve da forma “olho por olho” em que cada firma receberá o tratamento que ela tiver dado na jogada anterior.
6 – Em teoria dos jogos, o que significa haver uma “estratégia dominante” em um jogo?
Solução
Que existe pelo menos para um dos jogadores uma estratégia de maximização de seus ganhos independente da estratégia seguida pelo rival.
7 – Considerando a matriz de ganhos de um jogo seqüencial como a que segue abaixo:
	
	
	Firma estabelecida
	
	
	Lutar
	Não lutar
	
	Entrar
	(0,0)
	(2,1)
	Firma entrante
	
	
	
	
	Não entrar
	(0,3)
	(0,5)
	
	
	
	
Represente o jogo na sua forma extensiva sabendo que a firma entrante é quem irá jogar primeiro
Qual é a melhor escolha que pode fazer a entrante?
Qual é a melhor escolha que pode fazer a firma estabelecida, dada a escolha da entrante? Este é o maior ganho que a firma estabelecida pode obter? Justifique sua resposta.
Se não for o maior ganho, a firma estabelecida poderia forçar a entrante a mudar sua estratégia? Como?
Solução
a)		Firma entrante		Firma estabelecida
					LUTAR 	(0,0)
		ENTRAR
					NÃO LUTAR	(2,1)
		NÃO			LUTAR 	(0,3)
		ENTRAR
					NÃO LUTAR	(0,5)
b) Entrar. Se ela não entrar, não irá ganhar nada. Entrando, poderá ganhar alguma coisa caso entre. Existe uma estratégia dominante para a entrante: ENTRAR, ou seja, independente do que faça sua rival, o ganho é maior com essa estratégia.
c) A melhor opção para a firma estabelecida é não lutar e deixar as coisas como estão, independentemente do que faça sua rival. Mas, o resultado final deste jogo não representa o maior ganho que esta firma pode obter, já que ela obteria maiores ganhos se a entrante não entrasse.
d) Não, porque não existe ameaça possível, pois de acordo com a matriz de ganhos, a entrante não tem nada a perder ao entrar.
8 – Considere os seguintes jogos:
Jogo 1:
	
	
	Jogador 2 
	
	
	X
	Y
	Jogador 
1
	A
	4,4
	1,5
	
	B
	5,1
	2,2
Jogo 2:
	
	
	Jogador 2 
	
	
	X
	Y
	Jogador 
1
	A
	2,1
	0,0
	
	B
	0,0
	1,2
Define-se uma estratégia dominante para um jogador da seguinte maneira: “
 é estratégia dominante para o jogador J1 se para cada estratégia 
 do J2 cumpre-se: 
”. 
Encontre, em cada jogo, as “estratégias dominantes” de cada jogador, se existirem.
Encontre os equilíbrios de Nash, em estratégias puras, em cada jogo.
Solução
No jogo 1. Para o jogador 1 a estratégia dominante é jogar B independentemente do que o jogador 2 vai fazer, porque os ganhos são maiores (5>4 se o jogador 2 joga X e 2>1 se o jogador 2 jogar Y).
No jogo 1. Para o jogador 2 a estratégia dominante é jogar Y independentemente do que o jogador 1 vai fazer, porque os ganhos são maiores (5>4 se o jogador 1 joga A e 2>1 se o jogador 1 jogar B).
No jogo 2. Para o jogador 1 não há estratégia dominante, pois sua escolha será diferente para cada estratégia adotada pelo jogador 2.
No jogo 2. Para o jogador 2 não há estratégia dominante, pois sua escolha será diferente para cada estratégia adotada pelo jogador 1.
No jogo 1. Equilíbrio de Nash: (B,Y), lembre-se que há estratégias dominantes para os dois jogadores neste jogo.
No jogo 2. (A, X) e (B, Y) são equilíbrios de Nash.
9 – Silvia namora Marcelo e valoriza estar com ele. Marcelo também valoriza estar com Silvia. Marcelo gostaria de ir ao futbol no domingo, mas Silvia quer ir ao cinema. Para ambos, ir ao seu programa favorito é tão bom quanto estarem juntos. Suponha que ir ao futebol valha para Marcelo 1 e ir ao cinema valha para Silvia também 1. Ir ao programa favorito do outro vale 0. Pede-se:
Montar o jogo em forma normal contendo as opções de programa dos dois jogadores e seus respectivos retornos (pay-offs).
Encontrar os possíveis equilíbrios de Nash se ambos têm que se mover simultaneamente.
Encontrar os possíveis equilíbrios de Nash se Silvia tiver que deixar um recado na secretaria eletrônica de Marcelo.
Solução
a)
	
	
	Marcelo
	
	
	Cinema
	Futbol
	Silvia
	Cinema
	(2,1)
	(1,1)
	
	Futbol
	(0,0)
	(1,2)
O equilíbrio de Nash será (cinema, futebol), dado que ir ao cinema é uma estratégia fracamente dominante para Sílvia e ir ao futebol é estratégia fracamente dominante para Marcelo.
Silvia deixará um recado dizendo o que ela vai fazer (cinema). Nesse caso, a melhor resposta de Marcelo é ir com ela. O único equilíbrio de Nash neste caso é (cinema, cinema).
10 – Considere as seguintes matrizes de payoffs relacionadas a um jogo entre duas firmas numa indústria que opera como duopólio: 
Situação 1: 
	
	
	Firma 2
	
	
	Preço Baixo
	Preço Alto
	Firma 1
	Preço Baixo
	0, 0
	20, -8
	
	Preço Alto
	-8, 20
	5, 5
Situação 2: 
	
	
	Firma 2
	
	
	Preço Baixo
	Preço Alto
	Firma 1
	Preço Baixo
	0, 0
	0, -10
	
	Preço Alto
	-10, 0
	5, 5
Nas duas situações, identifique a existência de “estratégias dominantes” por parte das firmas, bem como a existência de soluções de “equilíbrio de Nash”. 
Solução:
Situação 1.
Firma 1: A estratégia dominante praticar preço baixo, dado que independentemente do que a firma 2 venha a fazer seus ganhos serão maiores (0>-8 se a firma 2 também opta pela redução de preço e 20>5 se a firma 2 opta por aumentar o preço).
Firma 2: A estratégia dominante é praticar preço baixo, dado que independentemente do que a firma 1 venha a fazer seus ganhos serão maiores (0>-8 se a firma 1 também opta pela redução de preço e 20>5 se a firma 1 opta por aumentar o preço).
Solução: dado que existem estratégias dominantes para ambas as firmas (praticar preços baixos para as duas), o “equilíbrio de Nash” será (preço baixo, preço baixo).
Situação 2.
Firma 1: Nesta situação não haverá estratégia dominante para a firma 1, dado que seu comportamento dependerá da conduta da firma 2. No caso em que a firma 2 venha a adotar preços baixos, a melhor estratégia para a firma 1 seria praticar também preços baixos. No caso em que a firma 2 escolha praticar preços altos, a bmelhor estratégia para a firma 2 seria também praticar preços elevados.
Firma 2: Nesta situação não haverá estratégia dominante para a firma 2, dado que seu comportamento dependerá da conduta da firma 1. Caso a firma 1 venha a adotar preços baixos, a melhor estratégia para a firma 2 seria adotar
a mesma conduta da rival. O mesmo é válido caso a firma 1 escolha praticar preços altos.
Solução: Assim, teremos dois “equilíbrios de Nash”: (preço baixo, preço baixo) e (preço alto, preço alto).
11 – Considere a seguinte matriz de payoffs relacionada a um jogo entre duas firmas numa indústria que opera como duopólio, as quais produzem produtos substitutos próximos entre si que podem ser comercializados aos preços de $3 ou $5 (os dados nas células referem-se ao lucro obtido por cada firma): 
	
	
	Firma 2
	
	
	Preço = 5
	Preço = 3
	Firma 1
	Preço = 5
	90, 110
	50, 120
	
	Preço = 3
	150, 60
	80, 100
Identifique a existência de “estratégias dominantes” por parte das firmas, bem como a existência de soluções de “equilíbrio de Nash”. Compare o resultado obtido (em termos do lucro total gerado) com aquele que seria obtido no caso da formação de um acordo colusivo (cartel) entre as empresas. 
Solução:
Firma 1: o preço=3 se apresenta como estratégia dominante, dado que este lhe trará o maior lucro, independentemente do preço escolhido pela firma 2 (150>90 - se a firma 2 opta pelo preço=5 e 80>50 - se a firma 2 opta por cobrar 3).
Firma 2: O mesmo é válido para a firma 2, dado que seu lucro será maior praticando o preço=3 independentemente do preço cobrado pela firma 1 (120>110 - se a firma 1 também opta por cobrar 5 e 100>60 - se a firma 1 opta por cobrar 3) Solução: dado que existem estratégias dominantes para ambas as firmas (preço=3 para as duas), o “equilíbrio de Nash” será (preço=3, preço=3).
Caso as duas firmas formem um cartel, ambas cobraram o preço mais elevado, pois nesse caso ambas estarão obtendo lucros mais elevados que aqueles que serão realizados caso elas não cooperem. No jogo onde não haveria cooperação, o lucro da firma 1 seria 80 e aquele da firma 2, 100. Em um jogo cooperativo, ambas cobrariam 5, e seus lucros seriam respectivamente 90 e 110. 
12 - Duas firmas (A e B) são as únicas produtoras de determinada indústria. Elas concordam em estabelecer um acordo para divisão de mercado (i.e., um cartel), mas estão inseguras acerca da sustentabilidade desse tipo de acordo num mercado volátil. O quadro abaixo demonstra que estas firmas dispõem de duas estratégias alternativas: manter o cartel ou romper o acordo. No caso de um rompimento, o desdobramento seria uma redução de preços no intuito de elevar o market-share e o lucro da firma que adotasse essa estratégia. A partir dos dados apresentados, explique porque as firmas teriam incentivos para romper o acordo considerando as informações diretamente extraídas da matriz. Explique também porque o rompimento do cartel acaba sendo prejudicial às duas firmas em termos de rentabilidade. 
	
	
	Firma B
	
	
	Mantém acordo
	Rompe o acordo
	Firma A
	Mantém acordo
	5, 5
	2, 4
	
	Rompe o acordo 
	6, 2
	4, 4
Solução:
As firmas teriam incentivo para romper com o acordo pois trata-se de estratégia dominante no caso da firma A e assim, sua promessa de manutenção do cartel não será crível, fazendo com que a firma B opte por romper também como acordo, embora para esta firma não haja estratégias dominantes (ver estratégias dominantes nos exercícios anteriores). Neste caso, o lucro das duas firmas será 4. Porém, podemos ver que esta solução não é a mais rentável para ambas as firmas, pois caso mantivessem o cartel, ambas lucrariam 5.
13 - Assuma que determinada firma está avaliando a possibilidade de entrada em determinada indústria, a qual será comparada com um retorno alternativo $45.000 que ela pode obter se permanecer fora do mercado em questão. Considerando que nesta indústria opera uma única firma que poderá reagir a essa possibilidade de entrada segundo a matriz de payoffs apresentada abaixo (que representa os lucros obtidos por cada firma), responda os itens que se seguem:
�
	
	
	Firma Estabelecida
	
	
	Preço Alto (acomodação)
	Preço Baixo (confronto)
	Firma 
Entrante
	Preço Alto
	-1.000, -1.000
	20.000, 80.000
	
	Preço Baixo 
	80.000, 20.000
	10.000, 10.000
a ) Identifique possíveis soluções de equilíbrio para o jogo;
b) Considerando um jogo seqüencial no qual a movimentos se iniciam com a entrada da nova firma, avalie se essa entrada efetivamente ocorrerá, considerando a possibilidade de “ameaças críveis” por parte dos agentes.
Solução
a) As possíveis soluções para este jogo caso não haja cooperação entre as firma são (preço alto, preço baixo) e (preço baixo, preço alto) dado que para 
i) a firma entrante a melhor estratégia quando a firma estabelecida opta pelo confronto é cobrar um preço elevado (20.000>10.000) e, quando a firma estabelecida opta pela acomodação é cobrar preços baixos (80.000>-1.000), e que para a 
ii) a firma estabelecida a melhor estratégia quando a firma entrante opta por cobrar um preço alto é partir para o confronto (80.000>-1.000) e, quando a firma entrante opta pelos preços baixos é adotar a acomodação (20.000>10.000).
Assim, os equilíbrios possíveis serão (20.000, 80.000) e (80.000, 20.000).
		Firma entrante		Firma estabelecida
					acomodação 	(-1.000,-1.000)
		PREÇO ALTO
					confronto	(20.000,80.000)
					acomodação	(80.000,20.000)
	 PREÇO BAIXO
					confronto	(10.000,10.000)
 Caso não haja ameaças por parte da firma estabelecida, a estratégia que adotará a firma entrante será cobrar preço baixo e assim aquela adotada pela firma estabelecida será a acomodação, fazendo com que o resultado seja (80.000, 20.000). Porém, a firma estabelecida poderá ameaçar a entrante com a estratégia confronto, o que faria com que a firma entrante cobrasse um preço elevado, ou seja, ficasse fora do mercado, mudando o resultado do jogo. 
EXERCÍCIO DE LABORATÓRIO
14 - Considere um mercado de salgadinhos (snacks) onde atuam apenas duas firmas, que os produzem com diferentes sabores. Essas empresas estão em processo de atualização dos sabores de suas linhas de produtos. A matriz de payoffs apresentada abaixo representa possíveis ganhos (+) e perdas (-) de market-share da firma A em razão das decisões – acerca de sabores dos salgados – que ela vier a tomar, face à reação de seu concorrente. A cada ganho (ou perda) dessa empresa corresponde uma perda (ou ganho) de mesmo montante para seu concorrente, caracterizando o jogo como de “soma zero”. A partir dos dados apresentados responda aos seguintes itens:
	
	
	Firma B
	
	
	Queijo
	Bacon
	Curry
	
Firma A
	Tomate
	+5
	-1
	-4
	
	Galinha
	+3
	+1
	+9
	
	Cebola
	+4
	-2
	-6
a) Identifique possíveis soluções de equilíbrio para o jogo.
b) Se, por alguma razão, as variações de market-shares nas células relacionadas às combinações galinha/queijo e galinha/bacon fossem invertidos, qual seria a importância estratégica dessa reversão? 
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