Mecanica dos Fluidos Aula 8

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Mecânica dos Fluidos 
AULA 08: SOLUÇÕES PARA ESCOAMENTO LAMINAR 
MECÂNICA DOS FLUIDOS 
Aula 08: Soluções para escoamento laminar 
Mecânica dos Fluidos 
AULA 08: SOLUÇÕES PARA ESCOAMENTO LAMINAR 
Temas/objetivos desta aula 
PRÓXIMOS 
PASSOS 
CONCEITO DA 
CAMADA LIMITE 
1 
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• Em geometrias simples, é possível obter soluções exatas das Equações de Navier-Stokes para 
escoamento laminar; 
• Um fluido movendo-se paralelo a uma placa plana; 
• Diretamente sobre a superfície do objeto a velocidade é nula (não deslizamento). 
Camada limite numa placa plana 
http://www.ebah.com.br/content/ABAAAguP4AK/capitulo-1-trc-ii http://aerospaceengineeringblog.com/boundary-layers/ 
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• Entre a região mais externa de velocidade constante e a superfície da placa com velocidade nula, existe 
uma camada limite que propicia uma transição suave e um perfil de velocidade contínuo; 
• x na direção do escoamento, y perpendicular à superfície e z na largura da placa. 
Camada limite numa placa plana 
https://fachlerio.wordpress.com/2012/05/21/understanding-a-boundary-layer/ 
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A partir das equações de Navier-Stokes procuraremos uma aproximação do perfil de velocidade assumindo 
as seguintes considerações: 
• Considera-se escoamento ao longo da largura uniforme, ou seja, a velocidade w=0; 
• Somente terá escoamento em xy; 
• Regime estacionário; 
• Escoamento incompressível. 
Camada limite numa placa plana 
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Camada limite numa placa plana 
 
0 0 
0 0 0 0 
0 0 0 0 
Não tem 
escoamento 
em z 
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Camada limite numa placa plana 
 • Temos: 
 (I) 
 
 (II) 
 
 (III) 
• A camada limite tem gradiente de pressão nulo. Placas planas; 
• Admite-se que as variáveis de escoamento viscosas variem mais rapidamente em y do que em x; 
• A velocidade v na camada limite é menor do que u; portanto, desconsideramos a III. 
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Camada limite numa placa plana 
 • Ou seja, temos as seguintes equações, e deixando em termo de viscosidade cinemática: 
 
 
 
 
• Pode-se admitir uma solução função polinomial de 2º grau da forma: 
 
 
• Onde A, B e C são constantes e δ é a camada limite em função de x. Nesse caso, precisamos de 3 
equações com 3 incógnitas para encontrar os valores das constantes. 
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Camada limite numa placa plana 
 
Condições de contorno: 
1. Não se tem deslizamento na superfície sólida, ou seja: 
 
 
2. Na camada limite, temos velocidade constate de fluxo, ou seja: 
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Camada limite numa placa plana 
3. Preciso de mais uma condição, logo, admite-se que a camada limite imerge lentamente do 
escoamento mais externo, de modo que: 
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Camada limite numa placa plana 
 
• Precisa-se agora obter os valores de δ(x). Infelizmente, não há teorias simples, mas uma 
aproximação mediante medições empíricas da seguinte forma: 
 
 
 
• Podemos encontrar outra aproximação utilizando Séries de Taylor (tópico da disciplina de Cálculo 
III, olha que interessante!); 
• As Séries de Taylor aproxima a um polinômio em relação a um ponto xo: 
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Camada limite numa placa plana 
 • Da seguinte forma: 
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• Nosso caso u(x,y) no ponto de y=δ na camada limite e truncamos em dois termos só: 
 
 
 
 
 
 
 
• Precisamos de condições de contorno para encontrar esse termo incógnito. 
u0 0 
? 
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Camada limite numa placa plana 
 
 • Nosso caso u(x,y) no ponto de y=δ na camada limite e truncamos em dois termos só: 
 
 
 
 
 
 
 (IV) 
 
u0 0 
? 
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Camada limite numa placa plana 
 • Precisamos de condições de contorno para encontrar esse termo incógnito: 
 
 
 
 
 
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Camada limite numa placa plana 
 • Substituindo em IV temos: 
 
 
 
 
 
 
• É uma aproximação! 
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Saiba mais 
• Assista aos seguintes vídeos: 
https://www.youtube.com/watch?v=KfCTIB-22bQ 
https://www.youtube.com/watch?v=lGpEjfKMYp0 
https://www.youtube.com/watch?v=YJ-uvS-Iqdo 
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VAMOS AOS PRÓXIMOS PASSOS? 
 
 
Escoamento interno. 
AVANCE PARA FINALIZAR 
A APRESENTAÇÃO.