Mecânica dos Fluidos

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Mecânica dos Fluidos 
AULA 09: ESCOAMENTO INTERNO 
MECÂNICA DOS FLUIDOS 
Aula 09: Escoamento interno 
Mecânica dos Fluidos 
AULA 09: ESCOAMENTO INTERNO 
Temas/objetivos desta aula 
PRÓXIMOS 
PASSOS 
ESCOAMENTO LAMINAR 
EM DUTOS FECHADOS 
1 
ESCOAMENTO 
TURBULENTO 
2 
PERDAS 
SECUNDÁRIAS 
3 
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AULA 09: ESCOAMENTO INTERNO 
Escoamento laminar em dutos fechados 
• As velocidades baixas à viscosidade tendem a dominar a estrutura do escoamento e as linhas de 
correntes são paralelas; 
• O número de Reynolds é critério que define a transição de um escoamento: 
 
 
• Em tubos L=D (diâmetro interno): 
𝑅𝑒 =
𝜌𝑉𝐿
𝜇
 
𝑅𝑒 =
𝜌𝑉𝐿
𝜇
=
𝑚 
𝜌𝐴
=
𝑣𝐷
𝜈
 
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AULA 09: ESCOAMENTO INTERNO 
• Em tubulações, o critério de escoamento é definido por: 
 
• As equações de Navier-Stokes também são definidas em coordenadas cilíndricas. A partir delas 
pode ser encontrado o perfil de velocidade para escoamento interno em tubulações. 
𝑅𝑒 < 2000 𝑙𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 
2000 < 𝑅𝑒 < 10000 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑖çã𝑜 
𝑅𝑒 > 10000 𝑡𝑢𝑟𝑏𝑢𝑙𝑒𝑛𝑡𝑜 
http://slideplayer.com.br/slide/4354893/ 
Escoamento laminar em dutos fechados 
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• Em tubos de raio R, regime estacionário, não escoamento em θ e x, o perfil de velocidade é 
parabólico. 
Escoamento laminar em dutos fechados 
r 
x 
vmáx 
𝑣𝑥 𝑟 =
2𝑚 
𝜋𝜌𝑅4
 𝑅2 − 𝑟2 =
2𝑚 
𝜋𝜌𝑅2
 1− 
𝑟
𝑅
 
2
 
𝑣𝑚á𝑥 =
2𝑚 
𝜋𝜌𝑅2
 
𝑣(𝑟) = 𝑣𝑚á𝑥 1− 
𝑟
𝑅
 
2
 
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Perda de energia devido ao atrito 
• De acordo com a equação de energia, em uma tubulação tem-se: 
 
 
• W é trabalho; 
• O fator de atrito adimensional para escoamento interno laminar, também chamado de fator de 
atrito de Darcy, é: 
 
Escoamento laminar em dutos fechados 
𝑑𝐸
𝑑𝑡
= ±𝑄 ±𝑊 + 𝑚 
𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎
 𝐻 +
𝑣2
2
+ 𝑔𝑧 − 𝑚 
𝑆𝑎𝑖
 𝐻 +
𝑣2
2
+ 𝑔𝑧 
𝑊 = 𝑚 
𝑃1 − 𝑃2
𝜌
 = Δ𝑃 ∙ 𝑄 
𝑓 =
64
𝑅𝑒
 
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Escoamento laminar em dutos fechados 
• Pode ser expressado também por unidade de comprimento hf 
 
 
• Ou por cabeça de perda: 
 
 
• Ex. 1. calcule as perdas por atrito na seção de um tubo capilar horizontal sujeito às seguintes 
condições de escoamento: água flui através de um pequeno tubo de vidro de 2mm de diâmetro 
interno a uma vazão de 0,15 L/min. Calcule o fator de atrito f e queda de pressão ΔP por unidade 
de comprimento. 
𝑕𝑓 = 𝑓
𝐿
𝐷
𝑣2
2𝑔
 
𝑕𝑓 = 
𝑃1
𝜌𝑔
+
𝑣1
2
2𝑔
+ 𝑧1 − 
𝑃2
𝜌𝑔
+
𝑣2
2
2𝑔
+ 𝑧2 
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Escoamento laminar em dutos fechados 
• Verificamos se é laminar: 
 
• O fator de atrito é: 
 
• Perda por atrito em unidades de comprimento, ou head 1m: 
𝑄 = 0,15
𝐿
𝑚𝑖𝑛
∙ 
1 𝑚3
1000 𝐿
 ∙ 
1 𝑚𝑖𝑛
60 𝑠
 = 2,5𝑥10−6
𝑚3
𝑠
 
𝑣 =
𝑄
𝐴
=
2,5𝑥10−6
𝑚3
𝑠
𝜋
4 2𝑥10
−3𝑚 2
= 0,796 𝑚 𝑠 
𝑅𝑒 =
𝑣𝐷
𝜈
=
 0,796 𝑚 𝑠 0,002 𝑚 
1𝑥10−6 𝑚
2
2 
= 1591 ∴ 𝑙𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 
𝑓 =
64
𝑅𝑒
=
64
1591
= 0,04 
𝑕𝑓 = 𝑓
𝐿
𝐷
𝑣2
2𝑔
= 0,04 
1𝑚
0,002𝑚
 
 0,796 𝑚 𝑠 
2
2 9,8 𝑚 𝑠2 
= 0,647 𝑚 
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Escoamento laminar em dutos fechados 
• A queda de pressão: 
 
 
• Qual é a potência necessária para bombear água para o tubo horizontal? 
Δ𝑃 = 𝜌𝑔𝑕𝑓 = 9,8 
𝑚
𝑠2 1000 
𝑘𝑔
𝑚3
 0,647 𝑚 = 6340 𝑃𝑎 
𝑊 = Δ𝑃 ∙ 𝑄 = 6340 𝑃𝑎 ∙ 2,5𝑥10−6
𝑚3
𝑠
= 0,016 𝑊 
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Escoamento turbulento 
• As linhas de corrente não são mais paralelas; 
• Existe uma transição entre laminar e turbulento, um Recrítico=2300, somente para tubos e dutos. 
http://www.ebah.com.br/content/ABAAAg-uoAK/medicao-vazao?part=2 
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Escoamento turbulento 
Efeitos da rugosidade da superfície: 
• O escoamento turbulento é afetado pela rugosidade da superfície ε das paredes do tubo: 
http://docslide.com.br/documents/laboratorio-de-fluidomecanicos-relatorio-06-perda-de-cargadoc.html 
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Escoamento turbulento 
• Para obter o fator de 
atrito para tubos no 
escoamento turbulento, 
é utilizado o diagrama de 
Moody (obtido a partir 
de dados experimentais): 
𝑓 = −1,8𝑙𝑜𝑔 
6,9
𝑅𝑒
+ 
𝜀
𝐷 
3,7
 
1,11
 
−2
 
https://pt.wikibooks.org/wiki/Mec%C3%A2nica_dos_fluidos/C%C3%A1lculo_da_pe
rda_de_carga_em_tubula%C3%A7%C3%B5es 
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Escoamento turbulento 
• Ex. 2. Considere um tubo de aço comercial com 1m de comprimento e 5cm de diâmetro 
conduzindo água na direção horizontal a uma velocidade média de 3 m/s. Calcule o fator de atrito, 
cabeça de perda e queda de pressão devido ao atrito. 
• Verificamos o tipo de escoamento mediante Reynolds: 
 
 
• Precisamos utilizar Moody para calcular o fator de atrito. No entanto, antes precisamos calcular a 
rugosidade relativa: 
𝑅𝑒 =
𝑣𝐷
𝜈
=
 3 𝑚 𝑠 0,05 𝑚 
1𝑥10−6𝑚
2
2 
= 150000 ∴ 𝑡𝑢𝑟𝑏𝑢𝑙𝑒𝑛𝑡𝑜 
𝜀
𝐷 =
0,045𝑚𝑚
50 𝑚𝑚
= 0,0009 
𝑓 = −1,8𝑙𝑜𝑔 
6,9
150000
+ 
0,0009
3,7
 
1,11
 
−2
= 0,0209 
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Escoamento turbulento 
• A altura de perda ou cabeça de perdas por atrito é: 
 
 
• A queda de pressão: 
𝑕𝑓 = 𝑓
𝐿
𝐷
𝑣2
2𝑔
= 0,0209 
1𝑚
0,05𝑚
 
 3𝑚 𝑠 
2
2 9,8 𝑚 𝑠2 
= 0,192 𝑚 
Δ𝑃 = 𝜌𝑔𝑕𝑓 = 9,8 
𝑚
𝑠2 1000 
𝑘𝑔
𝑚3
 0,192 𝑚 = 1880 𝑃𝑎 
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Método iterativo para a solução de problemas de escoamento interno 
Algumas vezes, a solução explícita não é possível e, portanto, um método iterativo deve ser utilizado. 
A continuação das etapas necessárias para uma iteração: 
• ETAPA 1: Escreve a equação de energia em unidade de comprimento; 
• ETAPA 2: Identifica a grandeza incógnita a ser determinada (P, v, D, Q, etc.); 
• ETAPA 3: Utiliza a relação hf=f(Re, ε/D) para a principal perda no escoamento; 
• ETAPA 4 Determine se você pode resolver a equação para a variável incógnita explicitamente (diretamente): 
• Se a incógnita for P, z ou hf, então você pode; 
• Se a incógnita for D ou v, então você não pode; 
• Se você não puder, então estabeleça uma solução iterativa e resolva manualmente ou com auxílio de um 
programa. 
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Método iterativo para a solução de problemas de escoamento interno 
• ETAPA 4.1: Escreva todas as equações em termos da variável incógnita; 
• ETAPA 4.2: Determine que variável ou parâmetro é o melhor para realizar a iteração. Geralmente é o fator f, 
uma vez que varia menos; 
• ETAPA 4.3: Estabeleça uma valor inicial de f; 
• ETAPA 4.4: Calcule a incógnita (D ou v) com base no valor admitido para f. Calcule o número de Reynolds e 
rugosidade relativa; 
• ETAPA 4.5: Calcule o novo valor de f e veja como ele se compara ao valor estabelecido. Se apresentar um erro 
inferior a 1x10-3, pare. Caso contrário, retorne à etapa 4.4, assumindo como novo valor de f esse último 
encontrado. 
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Método iterativo para a solução de problemas de escoamento interno 
Ex. 3. Qual é a vazão em litros por minuto referentea um tubo de concreto de 23cm de diâmetro e 
500m de comprimento conduzindo água ao longo de uma diferença de elevação de 10m? Considere 
desprezível a variação na pressão da água. 
• A partir da equação de energia: 
 
• A incógnita é a velocidade, ou seja, precisamos iterar. 
𝑕𝑓 = 
𝑃1
𝜌𝑔
+
𝑣1
2
2𝑔
+ 𝑧1 − 
𝑃2
𝜌𝑔
+
𝑣2
2
2𝑔
+ 𝑧2 = ∆𝑧 
𝑕𝑓 = 𝑓
𝐿
𝐷
𝑣2
2𝑔
 
𝑣 = 
2𝑔𝐷𝑕𝑓
𝑓𝐿
= 
2𝑔𝐷∆𝑧
𝑓𝐿
 
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Método iterativo para a solução de problemas de escoamento interno 
• Atribui um valor para f para calcular a velocidade. Se f=0,01: 
 
 
• Verificamos o tipo de escoamento: 
 
 
• Rugosidade: 
• Calculamos o novo valor de f mediante Moody: 
𝑣 = 
2 9,8 𝑚 𝑠2 
 0,23𝑚 10𝑚 
 0,01 500 𝑚 
= 3𝑚 𝑠 
𝑅𝑒 =
𝑣𝐷
𝜈
=
 3 𝑚 𝑠 0,23 𝑚 
1𝑥10−6𝑚
2
2 
= 691000 ∴ 𝑡𝑢𝑟𝑏𝑢𝑙𝑒𝑛𝑡𝑜 
𝜀
𝐷 =
1𝑚𝑚
230 𝑚𝑚
= 0,00435 
𝑓 = −1,8𝑙𝑜𝑔 
6,9
691000
+ 
0,00435
3,7
 
1,11
 
−2
= 0,0293 
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Método iterativo para a solução de problemas de escoamento interno 
• A diferença entre o valor encontrado e o primeiro não é menor de 1% de erro. Portanto, 
precisamos calcular de novo o valor da velocidade com esse valor novo de f. 
 
 
 
 
 
• O erro é menor de 1x10-3, assumimos mesmo esse valor de f. Assim: 
𝑣 = 
2 9,8 𝑚 𝑠2 
 0,23𝑚 10𝑚 
 𝟎,𝟎𝟐𝟗𝟑 500 𝑚 
= 1,75𝑚 𝑠 
 
𝑅𝑒 =
𝑣𝐷
𝜈
=
 𝟏,𝟕𝟓 𝑚 𝑠 0,23 𝑚 
1𝑥10−6𝑚
2
2 
= 403000 ∴ 𝑡𝑢𝑟𝑏𝑢𝑙𝑒𝑛𝑡𝑜 
𝑓 = −1,8𝑙𝑜𝑔 
6,9
𝟒𝟎𝟑𝟎𝟎𝟎
+ 
0,00435
3,7
 
1,11
 
−2
= 0,0294 
𝑣 = 
2 9,8 𝑚 𝑠2 
 0,23𝑚 10𝑚 
 𝟎,𝟎𝟐𝟗𝟒 500 𝑚 
= 1,75𝑚 𝑠 
𝑄 = 𝑣𝐴 =
𝜋
4
 0,23𝑚 2 1,75𝑚 𝑠 = 0,0727 
𝑚3
𝑠 4360 
𝐿
𝑚𝑖𝑛 
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Saiba mais 
Assista aos seguintes vídeos: 
• https://www.youtube.com/watch?v=j4zQIbOBZCg 
• https://www.youtube.com/watch?v=i-bCKBvgUfg 
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