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ISSN 0104-8910 
CURSO DE MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS, 
CAPÍTULOS I E lI: FUNÇÕES, ÁLGEBRA LINEAR E 
APLICAÇÕES 
Rubens Penha Cysne 
Humberto lIe Athayde Moreira 
Junho de 1996 
Curso de Matemática para Economistas 
Capítulos I e ÍI 
Funções, Álgebra Linear e Aplicações 
Rubens Penha Cysne 
Humberto de Athayde Moreira 
Junho de 1996 
Endereço para Contato: 
Escola de Pós Graduação em Economia da 
Fundação Getulio Vargas 
Praia de Botafogo 190, 110. andar, Sala 1124 
Rio de Janeiro - RJ - Brasil 
Telefone: 55-21-552-5099 
Fax: 55-21-536-9409 
e-mail: 
rubens@sede.fgvtj.br 
PREFÁCIO 
Rubens Penha Cysne 
Humberto Moreira 
Junho de 1996 
Os autores objetivam, com este trabalho preliminar, bem como com aqueles que 
lhe darão continuidade, na seqüência de composição de um livro de matemática para 
economistas, registrar as suas experiências ao longo dos últimos anos ministrando 
cadeiras de matemática nos cursos de pós-graduação em economia da Fundação Getulio 
Vargas, da UFF (Universidade Federal Fluminense) e da PUC-RJ. 
Reveste-se de constante repetição em tais cursos a discussão sobre que pontos 
abordar, bem como com qual grau de profundidade, e em que ordem. É neste sentido que 
os autores esperam, com a seqüência didática que aqui se inicia, trazer alguma 
contribuição para o assunto. 
CAPÍTULO I 
CONCEITOS BÁSICOS, CONJUNTOS E FUNÇÕES 
Neste livro, salvo menção em contrário, utilizaremos as primeiras letras do 
alfabeto a, b, c, ... para designar números reais e as últimas x, y, w, z para designar 
vetores do mn . Em alguns casos x, y, z ... designarão também componentes de 
vetores, o que ficará claro no contexto utilizado. 
o símbolo 91 denota os números reais e mn as n-uplas de números reais; 91+ 
equivale a números reais não negativos (onde se inclui o zero) e 91++ a números reais 
positivos (onde não se inclui o zero). Esta simbologia estende-se às n-uplas: 91: 
denota uma n-upla de números reais todos não negativos, e 91:+ uma n-upla de 
números reais todos pOSItIVOS. Assim, ao denotarmos as n-uplas por 
x = (x\,x2 , ••• ,x n ), sendo cada Xi um número real (utilizaremos esta simbologia para 
nos referirmos às coordenadas de x), a afirmativa x E 91:+ equivale a afirmar-se que 
Xi > O para todo i = 1,2, ... , n. 
Valor absoluto e norma no mn 
Dado o número real a, utiliza-se a simbologia lal para denominar o maior dos 
valores entre a e - a. Lê-se lal = módulo de a. A regra de correspondência assim 
definida representa uma função definida no corpo dos reais e com valores no mesmo. 
Evidentemente, tem-se 
(1.2) 
lal = max {a, - a} ~a 
lal = max {a, - a} ~ -a 
Multiplicando-se (1.2) por -1 e utilizando-se (1.1) segue que 
as duas igualdades valendo se, e somente se a = o. De forma alternativa, 
r-a 
lal = ~ O l a 
sea <O 
sea =0 
sea >0 
(1.1) 
(1.3) 
Proposição 1.1: As seguintes propriedades são equivalentes: dados a, b E 91 e E > O 
2 
a) la- bl <E 
b)b-E<a<b+E 
Demonstração: 
1 2 
la- bl < E~E> a- b e E> -(a- b) ~E> a- b e 
3 4 
-E<a-b~E+b>a e b-E<a~b-E<a<b+E 
Explicações para as passagem no sentido ( ..... ): • 
A passagem 1 utiliza a definição de la - bl como o maxuno entre 
a - b e - ( a - b). Assim, se E é maior do que o máximo entre a - b e - ( a - b) 
então E deve ser simultaneamente maior do que ambos. Na passagem 2 multiplica-se a 
segunda parte da sentença anterior por -1, tomando-se o cuidado de inverter o sentido 
de desigualdade. A passagem 3 obtém-se somando-se b a ambos os membros das duas 
desigualdades Finalmente a passagem 4 se dá por um simples reordenamento da 
sentença anterior. 
As explicações para as passagens no sentido inverso (+-) devem ficar claras 
para o leitor. É claro também que a proposição 1.1 vale também para a desigualdade 
não estrita :5: . 
Proposição 1.1': Dados a E 9{ e E > O, as seguintes proposições são equivalentes: 
a) lal <E 
b) -E <a<E 
Demonstração: Faça b = O na proposição 1.1. • 
Interpretação Gráfica da Proposição 1.11: Dado a E 9{, o sentido de lal é a 
distância de a à origem. 
Assim, lal = la - ~ mede a distância de a ao ponto O (origem). Da mesma 
forma, para bEm, b * O, la - bl mede a distância de a ao ponto b. Assim, dado E > O 
a sentença la - bl < E equivale a dizer que a distância de a ao ponto b é inferior a E. 
Graficamente, se fixarmos b, isto significa que a pode representar qualquer 
ponto entre b - E e b+E. 
E E 
,-A-,,-A-, 
I I I I 
b-E a. b (fixo) b + E 
3 
(figura 1.1) 
Proposição 1.2: Dados a, bem, vale que la + bl:5; lal +Ibl 
Demonstracão: Segue da definição apresentada da função módulo que 
-Ial :5; a :5; lal 
-Ibl :5; b :5; Ibl 
Somando-se estas desigualdades membro a membro, tem-se 
-(Ial + Ib!) :5; a + b :5; la! + Ibl ~ la + bl :5; lal + Ibl . 
Observe que, da mesma fonna, la - bl :5; lal + Ibl 
Norma Euclidiana 
Da fonna mais abstrata possível, uma nonna (11 x 11 lê-se nonna de x) é uma 
função real definida num espaço vetorial V real ou complexo, satisfazendo às seguintes 
propriedades : 
1) IIÂ.xll = I~ Ilxll para qualquer escalar  e qualquer x E V . 
2) Se x 7: 0, Ilxll > O. 
3) Ilx + yll :5; Ilxll + IIYII para quaisquer x e y E v. 
Usualmente trabalhamos no espaço mD com a mesma nonna euclidiana, dada 
por: 
Deixamos ao leitor o encargo de verificar que tal definição de nonna (chamada 
nonna euclidiana) satisfaz às três propriedades listadas acima. 
Observações: 
1) Quando n = 1, Ilxll = & = Ixl 
2) Tal como no caso da função valor absoluto, a idéia da função nonna definida no mn 
e com valores em m+ é de distância de um ponto à origem. 
Exemplo: Seja x = (3,4). Então II xii = (32 +42 )112 = 5. 
4 
X 
1---...... 
4 
3 
(figura 1.2) 
Observe-se que IIx II é o comprimento da hipotenusa do triângulo retângulo aqui 
desenhado , que equivale à distância do ponto (vetor) x à origem. 
Duas normas em m", 11.11,11.11' são ditas equivalentes se existem a> O, b > O tais 
que a Ilxll ~ Ilxl!' e b Ilxl!' ~ Ilxll , \;Ix E mn • 
Exemplo: Define-se no m" duas outras normas importantes: 
a) norma do máximo I!.IIM : IlxllM = max{lxil; i = 1, ... ,n}, x = (xp ... ,X") Em". 
" b)normadasomalll :IIxlls= L Ixil,x =(x\, ... ,X")Em". 
i=\ 
Não é dificil mostrar que a norma do máximo e a norma da soma são 
equivalentes. Basta observar que II xii. ~ n IlxllM e IlxllM ~ II xii. ' \;Ix E mn 
Não há de fato nenhuma particularidade nestas normas devido ao ponto 
seguinte: 
Proposição 1.3: Quaisquer duas normas no m" são equivalentes. 
Esta proposição é muito importante, pois para questões de limite e topologia 
não importará com que norma nós vamos trabalhar. Utilizaremos a que for mais 
conveniente em cada momento. 
Lógica 
O homem geralmente se expressa através da linguagem. Assim, o 
estabelecimento sistemático das disciplinas dedutivas está muito ligado ao problema da 
linguagem. A linguagem corrente, por ser vaga e ambígua, não é adequada ao 
tratamento científico. Por isso necessitamos, para o tratamento da matemática, de uma 
linguagem mais adequada chamada linguagem simbólica. 
Nesta linguagem destaca-se o uso do termo (expressão que nomeia ou descreve 
algum objeto) e do enunciado (expressão que correlaciona objetos, descreve 
propriedades de objetos, etc ... ) 
5 
Exemplo: 
r x 
I x+y 
Tennos: ~ cI> 
l{3,5,7} 
r x+2=4 
la>b 
enunciado: ~ 7 
l <x x2 -5x+6=O 
, 
Chamaremos de enunciado aberto qualquer expressão que contém variáveis. 
Entendemos por variável ou indeterminada um elemento que pode assumir qualquer 
valor dentro de um conjunto de escolhas. Caso contrário, chamaremos de enunciado 
fechado ou sentença ou proposição. 
Assim como na linguagem corrente, são necessárias regras que permitam 
agrupar as expressões que formam termos e enunciados nalinguagem matemática. 
Algumas partículas fundamentais ou átomos da linguagem são destacadas 
abaixo: 
Funtores: Formam termos a partir de termos 
ex.: +, x, -, U, n. 
Juntores: Fonnam enunciados a partir de enunciados. 
ex.: não; e; ou; se ... então; se, e somente se. 
Predicados: Fonnam enunciados a partir de termos. 
ex.: E, =, :),C,<,>. 
Operadores: 
• Quantificadores: Formam enunciados a partir de enunciados. Sua 
principal propriedade é transformar enunciados abertos em enunciados fechados. 
Exemplo: Qualquer que seja (\7'), existe (3) 
Vejamos agora o uso de cada juntor: 
o juntor não (simbolicamente -): dado um enunciado p, pode-se formar o 
enunciado - p, dito a negação de p. A tabela de valores lógico é dada a seguir: 
p -p 
V F 
F V 
o juntor ~: dados dois enunciados quaisquer p e q pode-se formar o enunciado 
"p e q" dito conjunção de p e q. A conjunção só é verdadeira se os componentes são 
verdadeiros. A seguir é dada a tabela de valores lógicos para a conjunção: 
6 
v v 
V F 
F V 
F F 
o juntor ou: dados dois enunciados quaiquer p e q pode-se fonnar o enunciado 
"p ou q" chamado disjunção desses enunciados. Sabemos que na linguagem corrente 
existem, pelo menos, dois usos distintos do juntor ou : o uso no sentido exclusivo e o 
uso no sentido não exclusivo. Vejamos exemplos: 
1) Antônio irá de carro ou de ônibus. 
2) Antônio passou no exame porque estudou ou porque estava calmo. 
Em (1) caracteriza-se o uso exclusivo do ou. Já em (2) temos o uso não 
exclusivo do ou. O sentido do ou que usaremos no contexto da lógica matemática será 
o sentido não exclusivo. 
A tabela de valores lógicos da disjunção é: 
V 
V 
F 
F 
V 
F 
V 
F 
V 
V 
V 
F 
O juntor se ... então (simbolicamente ~): dados p e q enunciados, p ~ q é dito 
ser a subjunção de p e q. Para melhor entendemos este juntor analisaremos o exemplo 
a segulr: 
Exemplo: Se fizer sol então Antônio irá à praia 
1) Fez sol e Antônio foi à praia: podemos concluir que a afirmação acima não foi 
falseada pelo experimento em questão. 
2) Fez sol e Antônio não foi à praia: pode-se concluir que o enunciado acima é falso. 
3) Não fez sol: neste caso não importa se Antônio foi ou não à praia, concluimos que 
o enunciado acima é verdadeiro. 
7 
Assim, a tabela de valores lógicos da subjunção: 
p 
v 
V 
F 
F 
q 
V 
F 
V 
F 
V 
F 
V 
V 
Na sub junção p => q , o enunciado p é chamado de condição suficiente para q e 
q é chamado de condição necessária para p. 
o juntor se. e somente se (simbolicamente: <=»: dados p e q enunciados, p <=> q 
é chamado de bijunção de p e q. Será considerado como verdadeiro quando os 
constituintes tiverem o mesmo valor lógico. A seguir a tabela de valores lógicos para a 
bijunção. 
p q 
V V 
V F 
F V 
F F 
Um enunciado atômico é uma sentença declarativa contendo uma idéia que é 
falsa ou é verdadeira, mas não ambas. Um enunciado é chamado composto se é obtido 
a partir de enunciados atômicos, através do uso de juntores. 
Um enunciado composto é dito ser uma tautologia se é verdadeiro ao 
considerarmos todas as possíveis valorações dos seus componentes atômicos. 
Exemplo: p => p~ p ou - p~- p <=> p~ 
(p e q) <=> - ( - p ou - q) ~ p ou q <=> - ( - p e - q) ~ (p => q) <=> ( - q =>- p) 
Se um enunciado é uma tautologia, podemos substituir todas as ocorrências 
de um componente por outro enunciado e o enunciado resultante é ainda uma 
tautologia. Se p é uma tautologia, diz-se que - p é uma contradição. 
Dizemos que o enunciado p é logicamente equivalente ao enunciado q 
quando o enunciado p <=> q é uma tautologia. 
Assim, por exemplo 
(i) -(p e q) é equivalente a - p ou -q 
(ü) -(p ou q) é equivalente a - p e - q 
(ili) p => q é equivalente a - q => - p 
8 
Quantificadores: 
Como já definimos, os quantificadores transformam enunciados abertos em 
enunciados fechados. Vamos apresentar primeiro os quantificadores de forma 
intuitiva. Para isso, seja o conjunto X = {1,3,5, 7} e os enunciados abertos: 
p{x} ~ x é número ímpar 
q{x} ~ x é múltiplo de 3 
r{x} ~ x ~ 10 
Pode-se observar facilmente que: 
• Todo elemento de X satisfaz p. 
• Existe elemento de X que satisfaz q. 
• Não existe elemento de X que satisfaz r. 
Estas afirmações podem ser escritas simbolicamente como 
• 'dx(x E X ~ p{x}) 
.:3x(xEXeq{x}) 
• - :3x(x E X e r{x}) 
Observação: O quantificador ('d) é dito quantificador universal e os quantificadores 
:3 ( existe ) ,:3! ( existe apenas um ), são chamados de quantificadores existenciais. Os 
enunciados onde aparecem quantificadores são ditos enunciados quantificados. 
Vejamos agora as principais equivalências de enunciados quantificados. Para isto 
usaremos exemplos da linguagem corrente. Pode-se facilmente ver que: 
Todo brasileiro é feliz 
equivale a 
Não existe brasileiro que não seja feliz. 
simbolicamente (B coleção dos brasileiros e F a coleção das pessoas felizes): 
'd x{ x E B ~ X E F) equivale a - :3 x( X E B e x ~ F) 
De forma geral valem as seguintes tautologias para uma preposição p : 
'dx p<=>-:3x -p 
:3x p<=>-'dx -p 
e em seqüência são tautologias 
-:3xp<=>'dx-p 
-'dxp<=>:3x-p 
9 
Observação: Em todo enunciado quantificado devemos esclarecer qual é o conjunto 
onde as variáveis podem assumir valores. Este conjunto será chamado de conjunto 
uruverso. 
Conjuntos e Funções 
Formalmente conjuntos e elementos são conceitos prurutlVOS, isto é, sem 
definição. Empiricamente, um conjunto é constituído de objetos, chamados de 
elementos do conjunto. A relação entre elementos e conjuntos é a relação de 
pertinência. Assim quando x é um dos elementos que compõem o conjunto A, 
dizemos que x pertence a A e denotamos por x E A . Caso contrário, dizemos que x 
não pertence a A e denotamos por x !é A . 
Exemplos de Conjuntos: 
1) ~ = {I, 2, 3, ... } conjunto dos números naturais 
2) Z = { ... ,-2, -1, O, 1,2, ... } conjunto dos números inteiros 
3) Q = {pI q~ p, q E Z, q :t:. O} conjunto dos números racionais 
4) 91 = conjunto dos números reais 
Podemos descrever um conjunto enumerando seus elementos (por exemplo o 
conjunto dos naturais) ou caracterizando seus elementos por alguma propriedade 
exclusiva destes, i.e., {x~ x satisfaz p} onde P é uma propriedade. Por exemplo, o 
conjunto dos racionais entre O e 1 pode ser expresso como x E Q~ O ~ x ~ 1. 
O conjunto que não possui algum elemento será chamado vazio e denotado por cj>. 
A relação entre conjuntos é a relação de inclusão, isto é, dados A e B conjuntos, A 
está incluído ou contido em B (A c B) se x E A implicar x E B. Neste caso, dizemos 
que A é subconjunto de B. Caso contrário, A não está contido em B (A ct. B). 
Simbolicamente 
A c B <=> V x (x E A => X E B) 
e A ct. B <=> 3x(x E A e x!é B) (ou seja, A ct. B <=>- (A c B») 
1) NcZ e ZcQ 
Exemplo: 2) Ao A l .. A 
'I' C , qua quer que seja o conjunto 
De fato, se cj> ex. A então 3 XE cj> tal que x E A, o que não ocorre, pois cj> vazio não 
possui elementos. 
A relação de inclusão tem as seguintes propriedades: 
i) (Reflexiva): A c A, para todo conjunto A 
ü) (Transitiva): A c B e B c C c A c C 
iü) (Anti-simétrica): A c B e B c A => A = B 
(A = B, significa que A e B tem exatamente os mesmos elementos) 
10 
Dado um conjunto A podemos pensar no conjunto de todos os subconjuntos de 
A:P(A) = {B; B cAl chamado de conjunto das partes de A. É fácil ver que 
4>, A EP(A). 
Vamos definir agora operações de conjuntos: -
1) Reunião: dados A e B conjuntos podemos definir o conjunto formado pelos 
elementos de A mais os elementos de B: 
AuB = {x; x E A ou X E B} chamado de reunião (ou união) de A e B. 
2) Interseção: dados A e B conjuntos a interseção de A e B é o conjunto formado 
pelos elementos comuns a A e B: AIlB= {x,x E A e x E B} 
Quando A li B = 4>, dizemosque A e B são disjuntos. 
3) Diferença: dados A e B conjuntos, a diferença entre A e B é o conjunto formado 
pelos elementos de A que não pertencem a B: A/B = {x; X E A e x ~ B} . 
Quando B c A, A/B chama-se o complementar de B em relação a A e denota-se 
por A-B=CAB. 
4) Complementar: quando nos restringimos a considerar elementos pertencentes a um 
conjunto básico U, então o complementar de um conjunto A em relação a U será 
chamado simplesmente de complementar e denotado por A c . 
Abaixo listamos algumas propriedades da reunião interseção, reunião, diferença e 
complementar (cuja as demonstrações ficam a cargo do leitor): 
i) Aucj>=A 
ü)AuA=A 
üi)AuB=A<:>BcA 
iv) Au(BIlC) = (AuB)Il(AuC) 
A~=4> (Ac )" =A 
AIlA=A AcB<=:>Bc cAC 
AIlB=A<=:>AcB (AuB)" =Ac IlBc 
AIl(BuC) = (AIlB)u(AIlC) (AIlB)" = AC uBc 
Sejam a e b elementos. O par ordenado (a, b) é um conceito primitivo fomado 
pela ordenação dos objetos a e b. Alguns autores identificam (a, b) por {{ a}, {a, b}} e 
neste caso é claro que (a, b) não pode ser confundido com o conjunto {a, b}. Assim 
( a, b) = ( c, d) <:> a = c e b = d . 
Dados A e B conjuntos, o produto cartesiano de A e B é o conjunto A x B 
formado pelos pares ordenados (a, b) tal que a E A e b E B, isto é, 
A x B = {( a, b); a E A e b E B} 
11 
Função 
Uma função é uma tema de objetos (f, A, B) onde A é um conjunto chamado de 
domínio da função, B um conjunto de contradomínio da função e f é a regra que 
associa a cada elemento de A um único elemento de B. Assim uma função é uma 
I - 'U - f: A ~ B '. I f A B d re açao uruvoca. sa-se a notaçao x ~ f(x)' ou sunp esmente: ~ ,on e para 
cada x EA, f(x) E B é o único elemento de B associado a x por f 
É conveniente referirmo-nos a f e não à tema (f, A, B), por comodidade, quando 
estão subentendidos os conjuntos A e B. 
Duas funções (f, A e B) e (f, A', B') são Igu8.1S quando 
A = A',B = B' ef(x) = f'(x), V x EA. 
o gráfico de uma função f: A ~ B é o conjunto 
G( f) = {( x, y) E A x B; Y = f( x)}. Segue-se que duas funções são iguais se, e somente 
se seus gráficos coincidem e ambas têm o mesmo contradomínio. 
Dadas f: A ~ B uma função, A'cAeB'cB,f(A')={f(x);XEA'} é a 
imagem do conjunto A' por f e f-I(B') = {x E A; f(x) E B'} é a imagem inversa do 
conjunto B' por f; f(A) é chamado simplesmente de imagem de f. 
Tipos de Funções 
Injetiva: f: A ~ B é uma função IDJetlva quando 
Vx, y E A, J(x) = J(y) =>x = y, i.e., x :t; y em A implica f (x) :t; f(y) em B. 
Sobrejetiva : f: A ~ B é uma função sobrejetiva quando Vy E B, :3 x E A tal que 
f(x) = y, i.e., f(A) = B. 
Bijetiva: f: A ~ B é uma função bijetiva quando é sobrejetiva e injetiva. 
Composição de Funções 
Dadas f: A ~ B e g:B ~ C funções, podemos definir a função composta 
gof:A ~ C tal que (gofXx) = g(f(x)), Vx E A. 
Observe que a composição de funções é associativa, mas em geral não é 
comutativa ( mesmo que o domínio seja igual ao contradomínio ); a composta de 
funções injetivas é também injetiva, o mesmo valendo para funções sobrejetivas. 
12 
A restrição de uma função f: A ~ B a um subconjunto A' c A é a função 
~A':A' -> B definida por ~A'(x) = f(x}, \Ix EA'. Dado X:::> A, g:X -> B é a 
extensão de f quando g A = f. 
Dados f: A ~ B e g:B ~ A funções, g é uma inversa à esquerda para f quando 
gof = id A' onde idA: A ~ A é a função identidade, i.e., idA x = x, \/x E A. 
Analogamente, pode-se definir inversa à direita de f como h:B ~ A tal que 
foh=id B · 
Temos os seguintes resultados ( cuja a demostração ficará a cargo do leitor): 
"Uma função f: A ~ B possui inversa à esquerda ( respectivamente à direita) 
se, e somente se f é injetiva ( respectivamente sobrejetiva )". 
Uma função f: A ~ B é inversível quando existe g: B ~ A função tal que 
gof = id A e fog = id B • Neste caso, g chama-se a inversa de f Usaremos a notação f-I 
para a inversa g. 
Observe que as inversas à esquerda e à direita não são únicas, enquanto a 
inversa é única ( verifique esta afirmação ). 
Família 
Dado um conjunto A, uma família de elementos de A com índices em um 
conjunto I é simplesmente uma função x: I ~ A. O valor de x em um elemento à E I 
será denotado por xÀ. Assim a família pode ser denotada por (xJ ÀEI ou de forma mais 
simples por (xÀ) quando o conjunto I é subentendido. 
Exemplos 
1) I = {I, ... , n} : uma família em A neste caso é denominada uma n-upla em A, ou seja, 
um elemento do cartesiano: A x. .. x A. 
'-'" n-~ 
2) I=~ uma família em A neste caso é denominada uma seqüência em A. 
3) Podemos considerar uma família de conjuntos: (AJ ÀE1 ' onde AÀ é um subconjunto 
de um mesmo conjunto universo U, para cada à E I . Define-se neste caso a reunião 
desta família como u A À = {x;::I Ã E I com x E A À} e a interseção desta família como ÀEI 
nAÀ={X;XEAÀ, \/ ÃEI}. ÀEI 
13 
Exercícios Resolvidos 
1) Dados a, b e x reais e E > O prove que 
a) la-bl <E~lal-E<lbl <lal+E 
Solução: 
Segue da proposição 1.2 que 
lal = la - b + bl $; la - bl + Ibl ~ lal-Ibl $; la - bl 
Ibl = Ib - a + ai $; Ib - ai + lal ~ Ibl-Ial $; la - bl 
(1) 
(2) 
De (1) e (2), Ilbl-lall $; la - bl. De la - bl < E segue que Ilbl-lall < E e que 
- E < Ibl-Ial < E. Somando-se lal a ambas as equações obtém-se a desigualdade 
procurada. 
Ache os valores reais de x para os quais: 
b) f (x) = Ix-Si +lx-31 ~ 2 
Solução 1: Segue da proposição 1.2 que Ix - Si + Ix - 31 ~ Ix - s - x + 31 = 2. Logo, a 
preposição vale \;Ix E 9t 
Solução 2:Se x>S então f(x»2 pois Ix-31>2 e o termo Ix-si é sempre 
positivo. Da mesma forma, se x < 3, f (x) > 2, pois Ix - Si > 2 e Ix - 31 > o. Por último, 
para 3 $; x $; S teremos Ix - si = S-x elx - 31 = x - 3 (pela definição da função módulo). 
Somando-se os termos obtém-se f (x) = S - x + x - 3 = 2. Assim, em qualquer caso, 
f(x) ~ 2. 
2) Encontre x E m (se existir) que satisfaça: 
a) 12x-21=14x+31 
Solução 1: Elevando ao quadrado, e lembrando que Ixl2 = x2, (2x-2)2 =(4x+3)2 ~ 
12x2 + 32x + S = O . Daí obtêm-se as raízes solução XI = - ~,X2 = - %. . 
Solução 2: Caso 1: 2x-2 ~ O ~ x ~ 1 4x+3 > O 
12x-21 = 2x-2, 14x+31 =4x+3 
2x-2=4x+3 ~ x=-S/2 
Solução do caso 1: {-SI 2}n[I,+oo} = 0 
Caso 2: 2x - 2 < O ~ x < 1 
4x + 3 ~ O ~ x ~ - 3 I 4 
12x -21 = -2x +2 14x +31 = 4x +3 
-2x +2=4x +3 ~ x =-1/6 
Solução do caso 2: {-I I 6} n[-3 I 4, 1) = {-I I 6} 
14 
Caso 3: 2x - 2 < O ~ x < 1 
4x + 3 < O ~ x < - 3 I 4 
14x +31 = -4x -3,12x -21 = -2x +2 
-4x -3=-2x +2 ~ x =-S/2 
Solução do caso 3: {-SI 2}1I(-00,-31 4)11(-00,1) = (-SI 2} 
Solução do Problema: {-I I 6,-S I 2} 
IS 
Exercícios propostos 
1) Prove que, dados c E 9t, dE 9t e e E 9t, tem - se: 
a) Ic + di :s; lei + Idl (proposiç ã> 1.2) 
b) Icdl = Ielldl 
c) Se d ;:t; 0, Ic / di = lei / Idl 
d) Ic - eI :s; Ic - di + Id - eI 
e) -Ic - di :s; leI-ldl :s; Ic - di 
Sugestões: 
a) Escreva as desigualdades 1.3 para c, para d, e em seguida some as desigualdades 
membro a membro (o que é permitido). Em seguida observe que, pela proposição LI', 
escrever-se -( lei + Idl ) :s; c + d :s; ( lei + Idl ) é equivalente a escrever-se Ic + di :s; lei + Idl· 
b) Observe que ICdl2 = (cd)2e que tanto Icdl quanto Icl.ldl são não negativos 
c) Repita b. 
d) Ic - el = Ic - d + d - el 
e) lei = Ic-d +dl 
2) Denomina-se "Princípio da Indução" uma regra de demonstração de propriedades 
relativas aos números naturais. Este Princípio enuncia-se da seguinte forma: "Dada 
uma propriedade qualquer relativa aos números naturais verifique a) se ela é válida 
para o número natural 1; b) se, a partir da hipótese (chamada hipótese de indução) de 
que ela é válida para o número natural n pode-se provar que ela também é válida para 
o número natural n + 1. Caso (a) e (b) se confirmem, então esta propriedade é válida 
para todos os números naturais". 
Demonstre, usando o princípio da indução,que dado x)' x2 , ... , xn números 
reais (n E ~). 
a) Ix) +X2+···+Xnl:s;IX)I+IX21+.··+lxnl 
b) Ix) X2 ···Xnl = IX)IIX21···IXnl 
3) Seja Sn a soma dos n primeiros números naturais. Demonstre por indução que 
S = n(n+I) 
n 2 
4) Demonstre por indução a desigualdade de Beumoulli: Se x E 9t, n E~ e x ~ -1, 
(l+xt ~ I+nx 
5) Verifique (caso existam) quais os valores de x E9t que satisfazem a: 
a) Ix-31<2 b) Ix-31+lx-21<I c) Ix-31+lx-21=I 
d) Ix-31 < IX-41 e) Ilx-II
I 
< 3 f) IX-Illx-21 > 5 
x-2 
16 
6) Define-se a distância entre dois vetores do 9tn x e y como d(x,y) = Ilx - yll. Calcule 
a distância entre os vetores: 
a) (1,2,3) e (5,6,7) 
b) (0,0,0) e (1,2,3) 
Faz sentido falar na distância entre x = (0,0,1) e y = (l,O)? 
7) Sabendo-se que p e q são enunciados verdadeiros, verifique o valor lógico dos 
enunciados abaixo: 
i) ( (p e q) => r) => (p => (q => r)) 
ii) p => - q e r 
iii) ((p ou r) => q) => (r => p) 
iv) (p e q) => (p => - q) 
8) Sabendo-se que p => q é um enunciado falso, qual valor deve-se atribuir a r para 
que o enunciado abaixo seja falso? 
(p ou q => r) => p e q 
9) Usando a tabela dos valores lógicos, examinar a validade das conclusões: 
i) Se Antônio precisar de dinheiro reduzirá os gastos ou fará empréstimos. Sei 
que Antônio não fará empréstimos. Logo se Antônio não reduzir os gastos é porque 
não precisa de dinheiro. 
ü) Sabe-se que quando o déficit público sobe, a inflação sobe. Logo se o 
déficit público não subir então a inflação também não subirá. 
10) Verifique quais dos enunciados abaixo são equivalentes ao enunciado: 
- (p ou q) => (q => r) 
i) - (q => p) =>- q ou r 
ii) (-pouq)=>-(qou-r) 
iii) - (- q ou r) => (q => p) 
iv) q => (p ou r) 
17 
11) Identifique os enunciados verdadeiros e os falsos. 
a) 3xp~(Vx(p~q)) 
b) 3x(pouq)~3x(peq) 
c) Vxp~3xp 
d) 3x(pouq)~3xpou3xq 
e) 3 x (p ~ p ou q) 
f) 3xq ~ Vx(p ~ q) 
12) Dê o valor lógico dos enunciados abaixo, considerando o conjunto universo 
especificado em cada caso. 
a) V x (x < x + 1) 
b) Vx(2x2 +3x+ 1 = o) 
c) 3x{x = O) 
d) 3x 3y(x = 2y) 
e) Vx 3y(x+y=0) 
f) Vx 3y(y > x) 
g) 3x 3y(x < y) 
u=9t 
U=N 
U = {O, I} 
U = {0,I,2} 
U=Z 
U= {0,I,2} 
U=Z 
13) Demonstre ou dê um contra-exemplo 
i) Sejam A,B conjuntos 
a) AuB=A~BcA 
b) AnB=A~AcB 
c) Au(BnC) = (AuB)n(AuC) 
d) An(BuC) = (AnB)u(AnC) 
~~-~u~-~=~u~-~n~ 
f) AcB~Bc cAc 
g) (AnBY = AC uBc 
h) (AnBY = A C uBC 
i) AcB~AnBC =0 
18 
li) Sejam f:A~B função, X, YcA, Z,WcB conjuntos 
a) f(XuY) = f(X)uf(Y) 
b) f(Xí'I Y) c f(X)í'lf(Y) 
c) f(X)í'lf(Y) c f(Xí'I Y) 
d) X c Y <:) f(X) c f(Y) 
e) Z cW <:) f-l(y) C f-l(Z) 
t) r-1(CZ) = Cf-1(Z) 
g) f-l(ZUW) = f-1(Z)uf-1(W) 
h) f-I (Zí'lW) = f-1(Z)í'lr-1(W) 
14) Dados A e B conjuntos, seja X um conjunto com as seguintes propriedades: 
i) X~A e X~B 
li) se Y ~ A e Y ~ B então Y ~ X 
Prove que X = AuB 
15) Prove as seguintes afirmações: 
a) (AuB)xC=(AxC)u(BxC); 
b) (Aí'lB) x C = (Ax C)í'I(Bx C); 
c) (A-B)xC=(AxC)-(BxC); 
d) AcA',BcB':::::>AxBcA'xB' 
19 
, 
CAPITULO II 
, -ALGEBRA LINEAR E APLICAÇOES 
1) Espaços Vetoriais, Ortogonalidade, Autovalores e Autovetores 
Em tennos infonnais, um espaço vetorial é um sistema algébrico abstrato cuja 
construção se deve a sua utilidade na solução de certos problemas. Particulannente, tal 
utilidade se dá quando se deseja considerar um conjunto de elementos que serão 
objetos de combinações lineares. Tal sistema algébrico constitui-se de a) um corpo de 
escalares que no nosso caso serão os reais ou os complexos; b) um conjunto V de 
objetos, chamados vetores; c) uma regra de soma destes vetores satisfazendo às 
propriedades (para quaisquer x, y, e z pertencentes a V): 
c 1) comutativa: x+y = ytx 
c2) associativa: x+(y+z) = (x+y)+z 
c3) existência do elemento neutro O: x+O = x para qualquer x em V 
c4) existência de simétrico aditivo: dado x E V, :J um elemento de V (que 
chamamos de -x), tal que x +( -x) = O 
d) uma regra de multiplicação de um vetor por um escalar, satisfazendo às 
propriedades (para a e b escalares quaisquer e x e y vetores quaisquer de V) : 
dI) 1.x = x 
d2) Associatividade: (ab)x = a(bx) 
d3) Distributividade em relação aos vetores: a(x+y) = art-ay 
d4) Distributividade em relação aos escalares: (a+b)x = art-bx 
Se o conjunto de escalares considerado for o corpo dos reais, o espaço vetorial 
considerado é dito um espaço vetorial sobre o corpo dos reais. De fonna genérica, se 
os escalares correspondem ao corpo K (veja a definição da estrutura algébrica "corpo" 
em algum livro de análise matemática ou álgebra), o espaço vetorial é dito um espaço 
"sobre o corpo K". Os exemplos mais usuais de corpo são os reais (9t)e os complexos 
(C). 
Um espaço vetorial importante é o espaço euclidiano n-dimensional, 
constituído de n-uplas de elementos de um corpo neste espaço; os vetores são 
somados somando-se coordenada a coordenada, o mesmo ocorrendo com respeito à 
multiplicação de um vetor por um escalar. 
flJND,\ÇAO GETULIO VAR(;AS 
.tBUOl ECA MARIO HF...~RlQUE SIMO~Sg. 
20 
Dado x = (Xt>X2, ... ,Xn) E 91n (O que significa dizer que x 1,x2 , ••• ,x" são 
números reais), y = (y I'Y 2' ···,Y ") E 91" , e a E 91, tem-se: 
x+ Y = (xl + Yt. x2 + Y2,···,xn + Yn) e 
ax= (axt.ax2, ... ,ax,,) 
o leitor pode verificar que estas operações satisfazem aos reqUlsltos 
c1- c4 e d1- d4 de um espaço vetorial. Diz-se que x e Y são vetores do espaço 
vetorial 91n , onde o elemento neutro da adição é o vetor 0= (0,0, ... ,0) e o simétrico 
aditivo de x = (xJ,x2, ... ,xn)é dado por (-xJ,-x2' ... '-xn). 
Outro exemplo de espaço vetorial, onde os elementos do conjunto (vetores) 
são funções, é o conjunto de todas as funções de um certo conjunto não vazio S sobre 
um dado corpo K. Se f e g são funções de S em K definem-se soma de dois vetores e a 
multiplicação de um escalar por um vetor neste espaço fazendo-se: 
(f + g)(x) = f(x) + g(x) 
(af)(x) = af(x), 
onde x ES e a EK 
(1) e 
(2) 
Sejam V um espaço vetorial sobre um corpo K e S c V não vazio. Dizemos 
que S é um subespaço vetorial de V se ele mesmo é um espaço vetorial com as 
operações induzidas do espaço vetorial. Ou equivalentemente, quando 
x, y E S e a, J3 E K implicar J3x + ay E S. 
Produto Interno, Ortogonalidade e Projeção Ortogonal 
Define-se produto interno no espaço euclidiano 91n como uma função que a 
cada dois elementos x e Y de 91n associa um número real (x ,y ). Tal função deve 
satisfazer às seguintes propriedades (para quaisquer vetores x, Y e z de 91n e qualquer 
real a): 
1) (x,y+z) = (x,y)+(x,z) 
2)(ax,y) = a(x,y) 
3)(x,y) = (y,x) 
4) Se x;to 0, (x,x) > ° 
Desigualdade de Cauchy - Schwarz: Seja V um espaço vetorial real com produto 
interno . Então: 
21 
I( x, y)1 ~ Ilxllllyll 
onde Ilxll = ~(x,x) 
Demonstração: Sejam A = Ilx112, B = I(x, y ~ e C = Ily112. Para todo real r, temos que 
° ~ < x-ry, x- ry > = < x,x > -2r< x,y -> + r 2 < y,y >. 
A - 2 Br + Cr2 ~ 0, \I r E 9t Se C = 0, A ~ 2 Br, \Ir E 9t, logo B = ° 
Portanto, 
pOIS caso 
contrário teríamos um absurdo fazendo r suficientemente grande (por exemplo r > 
A/2B). Se C > 0, tome r = B/C na expressão acima obtendo então B2 ~ AC. 
Resumindo, B2 ~ AC se C = ° (pois neste caso B = O) e B2 ~ AC se C > O. Em 
qualquer caso, obtém-se a desigualdade de Cauchy-Schwarz. 
A definição mais usual de produto interno (chamado de produto interno 
euclidiano) consiste em se fazer, para 
x = (x 1 ,x 2'··· ,x n) e Y = (y 1 ,y 2'··· ,y n), 
(x ,y) = X 1Yl +X~2+···+X nY n 
Dois vetores x e y num espaço vetorial com produto interno são ditos 
ortogonais entre si se o seu produto interno é igual a zero. Assim, os vetores x = (0,1) 
e y = (1,0) são ortogonais pois (x ,y) = 1.0 + 0.1 = O. Define-se projeção ortogonal de 
um vetor y sobre um vetor x:;é{} como o pontocolinear ao vetor x de mínima distância 
do vetor y. O desenho abaixo ilustra este ponto: 
) x 
Na figura, ExY é o ponto colinear ao vetor x à mínima distância do vetor y. 
Fica evidente na figura o porquê da denominação de ExY como projeção ortogonal de 
y sobre x. Um teorema que demonstraremos neste capítulo nos garante que, para que 
ExY seja o ponto colinear a x de mínima distância de y, é necessário e suficiente que 
Y - ExY seja ortogonal a x. Daí o nome projeção ortogonal. 
Em particular, já sabemos que ExY = ax , pois ExY é colinear a x .A questão 
que se coloca é: como calcular o valor de a ? Basta usar o teorema enunciado e a 
definição de ortogonalidade. Devemos ter 
22 
(y -ExY,x)=(y -ar,x)=O 
Das propriedades enunciadas de produto interno segue que 
( ) () (y,x) y, x = ax, x => a = -( -) . 
X,x 
Passemos a um exemplo numérico: Seja x = (1,0) e y = (3,3) 
y(3,3) 
x (3,0) 
Intuitivamente, não é dificil perceber que ExY deve corresponder ao 
vetor (3,0). Usando a fórmula acima, ExY = a (1,0), onde 
a=(3.1 +3.0)/ 1.1 =3 
Projecões Ortogonais Sobre Subespacos Gerados 
Seja W um subconjunto não vazio de um espaço vetorial V definido sobre um 
corpo K. Dados x), ... , x p vetores em V, uma combinação linear destes é qualquer 
vetor da forma a)x) +a2 x 2 + ... +apxp , ondea), ... ,ap EK. PeloquevimosantesWé 
um subespaço quando dados quaisquer x e Y em W e a, b escalares em K, ar + by 
pertencer a W. Desta definição, é imediato que todo subespaço deve conter a origem, 
pois em particular podemos tomar a = b = o. 
Dado um subconjunto finito C de um espaço vetorial V sobre o corpo K, 
define-se o subespaço gerado por C (W (C)) como o conjunto de todas as 
combinações lineares finitas de elementos de C. 
Diz-se que um conjunto de vetores C é linearmente independente (L. I. ) quando 
v), ... ,vn EC e a)v) +llzv 2 + ... +anv n =0 implica a) =a2 = ... =an =0. Caso contrário, 
diz-se que tal conjunto de vetores é linearmente dependente (L.D.). Um conjunto de 
23 
vetores é gerador do espaço vetorial V quando qualquer vetor de V pode ser escrito 
como uma combinação linear de um subconjunto (finito) de vetores deste conjunto. 
Por definição, uma base do espaço vetorial V é um conjunto gerador de V que seja 
linearmente independente. Uma base ordenada é uma base cuja ordem de seus 
elementos é bem definida, por exemplo, BI =; {(O, I), (I,O)} e B2 = {(1,0),(0,1)} 
representam duas bases ordenadas distintas de 9{2. Um espaço vetorial diz-se de 
dimensão finita quando admite um gerador finito. Caso contrário, diz-se que o espaço 
vetorial é de dimensão infinita. Nos espaços vetoriais de dimensão finita, a dimensão 
do espaço é dada pelo número de vetores de qualquer uma de suas bases. Tal definição 
é sempre precisa, pois o número de vetores de qualquer uma das bases de um espaço 
vetorial de dimensão finita é sempre o mesmo. Se (vl>"" v p) é a base ordenada de um 
espaço vetorial V sobre um corpo K, não é dificil mostrar que para cada vetor yEV 
existem únicos al>'" ap E K tais que y = aI v 1+' .. +ap v p; (aI"'" a p ) serão chamados de 
coordenadas do vetor y na base (v I , ... , v p) . 
Um problema que ocorre frequentemente em economia é o de encontrar um 
ponto num subespaço gerado por um conjunto de vetores do 9{n à mínima distância 
de um dado vetor y. Define-se este ponto à mínima distância de y no subespaço gerado 
como projeção ortogonal de y sobre o subespaço. É claro que se y pertencer ao 
subespaço gerado pelo conjunto de vetores, a solução é o próprio ponto y. Também 
não oferece qualquer dificuldade adicional o caso em que o conjunto de vetores 
geradores do subespaço é composto de um só vetor. De fato, este é exatamente o 
problema que resolvemos anteriormente ao achar o escalar a tal que ExY = ax. 
Vejamos agora como estender o problema ao caso em que o conjunto gerador 
do subespaço projetivo é formado por p (p > I) vetores. Para isto, utilizaremos o 
teorema I. I (cujo resultado já utilizamos explicitamente na solução do exercício 
anterior) e o teorema 1.2 abaixo: 
Teorema 1.1. Sejam W subespaço vetorial do 9{n e Xo E 9{n. y = Ewxo é o ponto a 
menor distância de Xo em W se, e somente se Xo - Y é ortogonal a W, i.e. 
(xo -y,x) = O, \Ix EW. 
Demonstração: Um ponto y EW será a projeção ortogonal de Xo em W, ou seja, o 
ponto em W à mínima distância de Xo se, e somente se lixo - yll ::;; lixo - xii, \Ix E W , 
ou ainda, se, e somente se lixo - yl12 ::;; lixo - (1- a)y + tn'~12, \Ix EW, \Ia E (0,1), 
visto que W é subespaço vetorial. Desenvolvendo esta desigualdade vem que 
24 
(Xo -y, Xo - y) ~ (Xo - y+a.(y- x), Xo - y+a.(y- x)) 
~ 2a.(Xo -y,y-X)+a.2(y-x,y-X) ~ 0, 'Vx e W, 'Va. e (0,1). 
Dividindo por a. e depois fazendo a. tender a ° temos que 
(Xo - y,y-x)~O, 'Vx eW. 
Dado weW temos que y -we W (pois y eW e W é subespaço vetorial), logo 
tomando x = y - w e W devemos ter (xo - y, w) ~ 0, 'Vw e W. Novamente, por ser W 
um subespaço vetorial podemos substituir w por -w na desigualdade acima e obter 
(xo -y,-w) ~ 0, 'Vw eW, ou seja, (xo -y, w) ~ 0, 'VweW. Destas desigualdades 
segue-se que (xo -y, w) = 0, 'Vw eW, como queríamos demonstrar .• 
Teorema 1.2. Seja y um vetor do espaço vetorial 9ln , onde se define a função produto 
interno euclidiano. Seja W o subespaço gerado pelos vetores supostos linearmente 
independentes xI, X2 , ... , X P também pertencentes ao 9ln . Então, as coordenadas 
a},a2, ... ap do ponto em W à mínima distância de y (denominada projeção ortogonal 
de y sobre W) são determinadas pela equação matricial 
a=(ap a2, ... ,ap)'=(X'Xrl X'y ,onde a é o vetor de coordenadas com 
respeito à base {x I , X 2 , ... , x p } . 
Nesta equação, X é a matriz cujas colunas são os vetores XI' x2 , ... xp. Trata-se, 
portanto, de uma matriz n x p ; X' (p x n) é a transposta de X; X'X é uma matriz p x p 
e obviamente também a sua inversa, (X' X) -I. O símbolo ' sobre o vetor a indica que 
a é um vetor coluna p x 1. 
Demonstração: Denotando-se por EwYo ponto de W à mínima distância de y, temos, 
de acordo com o enunciado do teorema, EwY = alxl +a2x2+ ... +apxp. Pelo teorema 
1.1, sabe-se que para que o vetor EwY seja o ponto de W à mínima distância de y é 
necessário e suficiente que y-EwY seja ortogonal a todo vetor de W. Isto ocorrerá, se, 
e somente se y-EwY for ortogonal a cada um dos vetores geradores do subespaço W. 
Assim, devemos ter, para i = 1,2, ... , p, 
(y - EwY,x j) = ° ~ (y -alxl - a2x2-···-apxp,xj)= ° 
(y,x j ) = aI (XI ,x j)+ a2 (x2,xj )+ ... +ap (xp,x j) 
25 
A validade desta última equação para i = 1,2, ... , P é equivalente ao sistema: 
f(XpX I) (X2,XI) ... (xp,xl) l-
I (.X,.:~~.}(X'.:~~}:(~:'~:) I 
I I l (xl,xp) (x2,xp) ... (xp,xp) J 
f(XI,y) l 
I (x 2 ,y) I 
I········· I 
I········· I 
I········· I 
l (xp,y)J 
ou ainda, em notação matricial, e usando a simetria do produto interno euclidiano 
(xj,Xj) = (xj'X j), "i/ I,j = 1,2, ... ,p. 
(X'X) a = X'y 
Como os vetores XI' X2 , ... , xp são supostos linearmente independentes, as 
coordenadas da projeção de y sobre o subespaço W ficam unicamente determinadas 
(veja exercício resolvido desta seção). Neste caso, pode-se garantir que a matriz X'X 
acima (chamada matriz de Gram) é inversível, obtendo-se então a unicidade da 
determinação do vetor a : a = (X' X )-1 X' Y . 
Pelo que vimos, EwY = Xa, onde a = (X'XrIX'y. Temos então EwY = X(X'XrIX'y . 
• 
A matriz Z = X (X ' X rI X' acima é a matriz pela qual se deve pré-multiplicar 
o vetor y de forma a obter-se o seu ponto à mínima distância (projeção ortogonal) no 
subespaço W. Trata-se, por definição, da matriz, na base natural do 9ln , da projeção 
ortogonal sobre o subespaço W. Esta matriz Z deve ser idempotente pois, como Zy já 
é um ponto de W, a sua projeção ortogonal sobre W deve ser o próprio Zy (em outra 
palavras, o ponto em W à mínima distânciade um ponto que já está em W é o próprio 
ponto). Assim, devemos ter 
Z2y = Z(Zy) = Zy. De fato, Z2 = X(X' Xr l X' X(X' Xr l X' = X(X' Xr l X' =Z. 
Transformações Lineares, Autovalores e Autovetores 
Dados ~ e V2 espaços vetoriais definidos sobre um corpo K, uma 
transformação linear T de VI em V2 é uma função de VI em V2 satisfazendo 
T (ax- + y) = a T(x) + T(y) 
para quaisquer vetores x e y em V, e qualquer escalar (elemento do corpo) a. 
26 
Se T é uma transformação linear do espaço vetorial em si mesmo diz-se 
que T é um operador linear. No caso em que T leva vetores do espaço a elementos do 
corpo no qual o espaço está definido diz-se que T é um funcional linear. 
Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e vI> v2 , ••. , VII uma base de V. 
Fixada esta base ordenada, existe uma e apenas uma matriz representativa de qualquer 
transformação linear T definida em V. A transformação linear T fica perfeitamente 
determinada pelos valores que assume numa base qualquer de V (exercício resolvido 
número 11). A matriz representativa (A) da transformação T na base (v I , V 2' ... , V n ) 
fica univocamente determinada pela regra: 
n 
TVj = a lj VI +a2j v2+···+anj Vn = Laij Vi 
i=1 
(j = 1,2, ... , n) 
A matriz A é a matriz cuja j-ésima coluna representa as coordenadas, na base 
(vI> v2, ... , v n)' da aplicação de T sobre v j . 
Seja T um operador linear definido em um espaço vetorial V sobre o corpo K. 
Um valor característico (ou autovalor) de T é um escalar c em K definido de forma 
que Tx = ex para algum x -:t: 0, X E V. Se c é um valor característico de T e Tx = ex 
para x -:t: 0, diz-se que x é um autovetor associado ao autovalor c. 
Observe-se que Tx = cx para x -:t: ° implica que (T - cI)x = ° seja satisfeito 
para x -:t: 0, o que significa dizer que o operador T - cI é singular (não inversível). 
A correspondência biunívoca existente entre operadores definidos em espaços 
de dimensão finita e matrizes quadradas nos sugere a extensão do conceito de 
autovalores e autovetores também para matrizes quadradas. Se B = (XI' X2 , ... , xn ) é 
uma base ordenada de V e a matriz A é a matriz de T na base B (escreve-se A = [T] B ) 
então T - cI é inversível se, e somente se A - cI é inversível. Daí, se A é uma matriz 
n x n definida sobre um corpo K, diz-se que c é um autovalor de A quando para algum 
x -:t: 0, X E 9tn , Ax = cx. O vetor x neste caso é denominado autovetor associado ao 
autovalor c. É claro que c é valor característico de A se, e somente se det (cI-A) = ° 
(i.e., se a matriz quadrada cI - A é singular). Definindo-se ftc) = det (cI-A) como o 
polinômio característico de A (de ordem n), os autovalores podem ser encarados como 
raízes do polinômio característico de A. Devido a este fato os autovalores recebem 
também a denominação de valores característicos. 
Dado um operador T num espaço vetorial de dimensão finita V, como definir o 
seu polinômio característico? A resposta imediata seria: tome-se uma base ordenada de 
27 
V, acha-se a matriz representativa A de T nesta base e defina-se o polinômio 
característico de T como f(c) = det (cl - A). Só resta um problema: será que f(c) assim 
definido independe da escolha da base ordenada B tomada em V (e, consequentemente, 
da matriz representativa de T)? A resposta é positiva, o que nos permite adotar este 
procedimento. 
Vejamos um exemplo dos pontos aqui discutidos. Para isto seja T um operador 
linear em m2 cuja representação, na base canônica ordenada (ep e2 ) do m2 , seja dada 
pela matriz: 
rI ° l 
A=lo -d 
o polinômio característico associado a T(ou aA) é dado por 
c-I ° f(c) = det (cl - A) = 
° 
c+l 
Tem-se quej(c) = ° para c = 1 e c = -1 sendo, portanto, 1 e -los dois auto-
valores de T (ou A). Tomemos agoa c = 1 e façamos para x E m2 ,Ax = 1. x. Daí, (A -
I) x = O. Temos então: 
onde (1,0) é um vetor solução para o sistema diferente de (0,0). Logo, (1,0) é um 
autovetor associado ao auto-valor 1. Se procedermos de forma semelhante, com 
c = -1 , concluiremos que (0,1) é um autovetor associado ao autovalor -1. 
o leitor obviamente perguntará se (r,O) e (O,r), onde r Em, não constituiria 
uma família de autovetores. A resposta é positiva. Observe aí que os autovetores 
obtidos são ortorgonais. Isto decorre do fato de A ser uma matriz simétrica. 
Se V é um espaço vetorial de dimensão finita sobre um corpo K, T:V~V é um 
operador linear e Â. é um autovalor de T pode-se mostrar sem dificuldade que 
SI = {x EV~ Tx = Â.x} é um subespaço de V chamado de autoespaço associado ao 
autovalor Â.. Mais ainda, se definirmos para cada k E~ Sk = {x E V~ (T - Â.I)k (x) = 
O} temos que Sk é um subespaço de V e S k c Sk+1. Como V tem dimensão finita deve 
existir ko E~ tal que Sk = Sko, Vk ~ ko. Neste caso, chamaremos Sko de autoespaço 
generalizado associado ao autovalor Â.. Pode-se provar que a união das bases dos 
autoespaços generalizados é uma base de V. 
28 
Diagonalização de Formas Quadráticas 
Dada uma matriz A * nx n, define-se no 9ln a função que a cada x E 9ln associa 
o valor x' A *x em 9l. Como exemplo, para 
Observe-se que o coeficiente de Xi x j na forma quadrática é dado por a~ + a ;i , 
sendo a~ e a;i elementos de A * . Se a~ ~ a;i pode-se sempre definir 
aij = a ji = (a~ + a;J / 2 e operar-se com a matriz simétrica A = (ai}) tendo-se ainda, 
neste caso, x' Ax = x~ *x. Ou seja, esta redefinição dos coeficientes não altera o valor 
da forma quadrática. Dada uma matriz A * = (~ ~) podemos substituí-la por A = 
G ~) e obter o mesmo valor para x'Ax ou x'A 'x, sendo a nova matriz A uma matriz 
simétrica. 
A passagem de uma matriz não simétrica A * a uma matriz simétrica A no 
manuseio algébrico de formas quadráticas mostrar-se-á muito adequada devido às úteis 
particularidades das matrizes simétricas no que diz respeito aos seus autovalores, 
autovetores, e diagonalização. 
No capítulo 3 deste livro utilizaremos o fato de algumas formas quadráticas 
definidas por uma matriz simétrica A n x n apresentarem sempre valores positivos (ou 
negativos ) para x~x, independentemente do vetor x E 9ln , x ~ O. A estas formas 
quadráticas (ou, equivalentemente, às matrizes simétricas que lhes dão origem), 
daremos o nome de positiva (ou negativa) definida. Esta caracterização será muito 
importante, por exemplo, no estudo de máximos e mínimos de funções de várias 
variáveis. Como caracterizar uma matriz simétrica como positiva definida 
(Xl Ax > 0, 'v'x ~ O), negativa definida (Xl Ax < 0, 'v'x ~ O) ou indefinida (quando x~x 
>0 para algum x E 9l ne y , Ay < ° para algum y E 9ln ) utilizando somente os seus 
autovalores, eis o problema ao qual nos dedicaremos no restante desta seção. 
29 
Para simplificar a análise, seja dada uma forma quadrática xj4x com x E 912 . 
Temos então, x'Ax. = ~)X)2 +(~2 +~))X)X2 +~xi. Tomemos três configurações 
rI Il r-I ol 
numéricas para a matriz A. Na primeira, A = II 2J' na segunda A = l O _de na 
terceira A = 
rI Il 
II -d· No '. . pnmetro caso, xj4x = 
xi +2x; +2x)x2 =(x) +X2)2 +x; >0 para todo x:;tO. No segundo caso, 
x' Ax = -x; - xi < O para todo x:;t O. E, no terceiro caso, xj4x = xi - x; + 2x) x2 , 
podendo ser negativa para, por exemplo, x = (xl, x2) = (1, -1) e positiva para 
x = (x) , x2 ) = (-1, -1). 
Pelo que vimos anteriormente, A é positiva definida no primeiro caso, negativa 
definida no segundo e indefinida no terceiro. Embora não possamos, sem recorrer a 
outros teoremas, classificar a matriz A apenas pela observação de seus elementos, uma 
coisa fica evidente. No caso em que A é uma matriz diagonal (ou seja, na qual todos os 
elementos fora da diagonal principal são iguais a zero), os termos cruzados x)x2 não 
mais aparecerão, restando apenas os termos em x~ e x;. Neste caso, poder-se-ia 
rI ol r-I ol 
afirmar de imediato que, por exemplo, A = lo d é positiva definida, A = lo -d 
rI Ol 
é negativa definida e A = lo _ d é indefinida (porquê? Obtenha a expressão para 
xj4x). Este será o caminho que trilharemos. Como x é um elemento qualquer do 91n , 
se trocarmos x por y = Qx, sendo Q uma matriz não singular, o contradomínio de xj4x 
será, evidentemente, o mesmo de yj4y. A afirmação se x' Ax > O, para \/x E91" ,x:;t O, 
equivale, neste caso à afirmação se y:;t O,y' Ay > O, \/y E91n . De fato, como Q é 
inversível x:;t O <=> y :;t O, e tanto x quando y podem representar qualquer vetor de 
91D - {O}. Em outras palavras, uma forma quadrática definida positiva (ou definida 
negativa) permanece definida positiva (ou definida negativa) quando é expressa em 
relação a um novo conjunto de variáveis, desde que esta transformação de variáveis 
seja não singular (dê um exemplo que mostre que, se a transformação for singular, isto 
não mais ocorre). Uma solução para o problema de visualizar rapidamente a 
classificação de uma forma quadrática, consequentemente, consiste em obter uma 
transformação de variáveis y = Qx, Q não singular, tal que a nova matriz da forma 
quadrática, B = Q'AQ, seja uma matriz diagonal. 
Das técnicas de diagonalização de matrizes simétricas, decorre de imediato que 
a matriz Q que atende a este objetivo é a matriz cujas colunas são formadas por auto-
vetores ortonormais da matriz A (prova-se em um dos exercícios resolvidos desta 
30 
seção, para uma matriz A simétrica e real nxn, que sempre é possível obter-se um 
conjunto de autovetores ortonormais de A que seja uma base do espaço 9tn ; prova-se 
também que os autovalores de A são todos reais). Neste caso a matriz B = Q'AQ é 
uma matriz diagonal em que os elementos da diagonal são os autovalores (todos reais) 
D 
de A. Neste caso, y By = L bjY~ , aparecendo somente os quadrados das variáveis, e 
j=i 
não mais os produtos cruzados YiYj (i:;; j). 
Decorre de tudo o que vimos que, através do conhecimento dos autovalores de 
uma matriz A, podemos imediatamente determinar se ela é definida positiva, definida 
negativa ou indefinida. 
(1) x'Ax será positiva definida se, e somente se todos os seus autovalores forem 
positivos. 
(2) x'Ax será negativa definida se, e somente se todos os seus autovalores 
forem negativos. 
(3) x'Ax será indefinida se, e somente se apresentar autovalores positivos e 
negativos. 
Exercício: Diz-se que x'Ax é positiva (negativa) semi-definida se x'Ax ~ O (~ O) para 
todo x E 9tn . Conclua da análise acima que x' Ax será positiva (negativa) semi-
definida se, todos os autovalores de A forem não negativos (não positivos). 
31 
Exercícios resolvidos: Seção 1 
1) Seja V o conjunto de todas as funções reais definidas em um conjunto não vazio X, 
isto é, V = {f; f: X ~ m}. Dadas f, g e V, k em, definimos f + g e lif em V tais que 
(f + g) (x) = f{x) + g(x) e (kf) (x) = kf (x) , \:Ix e X. Verifique que V com estas 
operações é um espaço vetorial real. 
Solução: Vamos verificar os axiomas que definem espaço vetorial. Observe que, 
nestas verificações, utilizaremos sempre as propriedades de um corpo, do qual os 
números reais são um caso particular ( ao se fazer f{x) +g(x)=g(x)+f{x) em (cl), por 
exemplo). 
cl) Sejam f, geV, então f+g, g+feV, e (f+g) (x) = f{x) + g(x) = g(x) + f{x) = (g + f) 
(x), \:Ix eX, ou seja, f+ g = g + f 
c2) Sejam f, g, h e V, tem-se que (f + g) + h e f + (g + h) são elementos de V por 
definição, além disso, para todo x e X, «f + g) + h) (x) = (f + g) (x) + h(x) = 
(f{x) + g (x» + h(x) = f{x) + (g(x) + h(x» = f{x) + (g + h) (x) = (f + 
(g + h) ) (x). Assim (f+g)+h = f+(g+h). 
c3) Seja O e V tal que O (x) = O, \:Ix e X. Para toda f e V temos (f + O) (x) = f (x) + O 
(x) = f (x), \:Ix e X. Assim f + O = f 
c4) Dado f e V, seja -f e V tal que (-f) (x) = -f (x), \:Ix e X. Segue-se que 
(f+ (-f) (x) = f (x) + (-f (x) ) = O = O (x), \:Ix eX, ou seja, f+ (-f) = o. 
dI) Para todo f eV, (1.f) (x) = 1. f(x) = f (x), \:Ix e X, logo 1.f= f 
d2) Dados a, b em,f eV, temos que «ab) f) (x) = (ab) f (x) = a (bf(x» = a.(bf) 
(x) = (a (bf) (x), \:Ix e X, donde (ab) f= a (bf). 
d3) Dados a em, f,g eV, temos que (a (f+ g» (x) = a.(f+ g) (x) = a (f (x) + g 
(x» = af(x)+ag(x) = (af) (x) + (ag) (x) = (af+ag) (x), \:Ix eX, ou seja, a (f+g) 
= af+ ag. 
d4) Dados a,h em, f eV, temos que «a +b) f) (x) = (a + b) f (x) = af(x) + bf(x) = 
(af)(x) + (bf) (x) = (af+ bf) (x), ou seja, (a + b) f= af+ bf 
2) Determine se os seguintes vetores formam uma base do espaço m3 
( i) (1, O, 1), (1,3, O) 
(ii) (1, 1, 1), (O, O, 1) (1, O, 1) 
Solução: (i) Dado (O, 0,1) em3, suponha que existam a,h em tais que (O, 0,1) = a 
(1, O, 1) + b (1,3, O). Tem-se que 
32 
r a+ b = o 
~ 3b=0 l a=1 
ou seja, este sistema é imcompatível, pois não se pode ter ao mesmo tempo a = O e a = 
1. Logo, não é possível escrever-se o vetor (O, O, 1) como combinação linear dos 
vetores (1, O, 1) e (1, 3, O), donde se conclui que (1, O, 1) , (1, 3, O) não é gerador 
(e, consequentemente, não é uma base) de ~3. O leitor mais familiarizado com 
Álgebra Linear terá imediatamente recordado que para se formar um gerador de ~ 3 
são necessários no mínimo três vetores. 
(ii) Dado (x, y, z) E~3, tomemos a, b, c E~3 tais que (x, y, z) = a (1, 1, 1) 
+ b (O, O, 1) + c(1, O, 1). Tem-se que 
x=a+c 
y=a 
z=a+b+c 
logo 
a=y 
b =z-x 
c =x-y 
Assim (x, y, z) = Y (1, 1, 1) + (z - x) (O, O, 1) + (x - y) (1, O, 1), 
't(x,y,z) E~3, ou seja, {(1,1,1), (0,0,1), (l,0,1)} é gerador de ~3. Observe que se x = y 
= z = O, então a = b = c = O, implicando que estes vetores são também linearmente 
independentes e, consequentemente, formam uma base de ~ 3 . 
3) No .exercício 1, faça X = ~ e diga se os seguintes vetores são linearmente 
independentes, onde: 
(i) I(t) = t 2 , g(t) = cost, h(t) = t 
(ii) f(t) = cos2 t, g(t) = sen2 t, h(t) = 4 
(iii) f(t) = et , g(t) = sen t, h(t) = e2t 
Solução: (i) Sejam a, b, c tais que af + bg + ch = O, isto é, ae + b cost + ct = O, 'tt E ~. 
Em particular, 
1) se t =0 então a . 02 + b . cos O + c . O = O ~ b = O 
{
a+c=o 
2) como b = O e fazendo-se t = 1 e t = -1 teremos O 
a-c= 
~a=c=O 
Portanto, {f,g,h} é LI. 
33 
(ü) Como cos2 t + sen2 t = 1, \ft e 91 tem-se que 
4 cos2 t+4 sen2 t-1.4 = O, \ft e 91, ou seja, 4f+ 4g - 4h = O. Isto implica que {f,g,h} 
éLD. 
(iü) Sejam a,b,c e9t tais que af + bg+ ch = O, ou seja 
a e
t + b sen t + c e2t = O, \ft e 91. Sejam os seguintes "alores para t: 
1) se t = O então a + c = O 
2) se t = 7t então a ell + c e211 = O 
11 
3) se t = ~ então a e2 + b.1 + c ell = O 
a = -c ~ c - ce lr = O ~ c(l- elr ) = O ~ c = O ~ a = O 
Ir 
a e 2 + b + c elr = O ~ b = O 
Portanto, {e \ sen t, e2t } é LI. 
4) Seja E um operador linear em V, V espaço vetorial, tal que E 2 = E. Neste caso E é 
chamado idempotente. Dada uma transformação linear T de um espaço vetorial V em 
outro espaço vetorial, define-se a imagem de T como o conjunto T (V) = 
{T(x);x e V}e o núcleo de T como N(T) = {x eV;T(x) = O}. Mostre que: 
i ) T (V), N (T) são subespaços vetoriais. 
ü)E(u)=u, 't/u eE(V) 
iii) Se E ~ I então E é singular (i.e., E é não inversível) 
Solução: i) Seja T:V ~ W uma transformação linear, onde Ve W são espaços 
vetoriais sobre um corpo K. Dados a eK, w), w2 e T (V) existem v)' v2 e V tais que 
T(v)=wp e T(v2 )=W2 , assim T(av) +v2 )=a T(v)+T(v2 )=aw) +w2, logo 
a w) +w2 e T(V). Portanto T(V) é subespaço de W. Por outro lado, dados 
aeK,v),v2 eN(T), tem-se que T(a v)+v2 )= aT(v)+T(v2 )=aO+0=0, isto é, 
aVI +v2 e N(T). PortantoN(1) é supespaço de V.I 
ü) Seja u eE(V), então existe v e V tal que E (v) = u. Logo 
E(u) = E(E(v» = E2(V) = E(v) = u. 
iü) Como E ~ I, existe v eVtal que E (v) ~ v. Assim, E (E (v» = E (v), ou 
seja, E não é injetiva, e portanto não é inversível. 
I Observe O e N(T) e O e T(V) , e portanto N(T) ~ 0 e T(V) ~ 0. 
34 
5) Seja T: V ~ V um operador linear de umespaço vetorial V sobre o corpo K. 
Suponha que c E K é um autovalor de T. O autoespaço associado ao autovalor c é por 
definição L (c) = {x EV;(T-cl)x=O}, isto é, L (c) = N (T - cl). Logo L (c) é 
subespaço de V (ver exercício anterior). Cada matriz abaixo está associada a um 
operador do espaço euclidiano na base canônica. Encontre todos os autovalores c E 9t 
e uma base para L( c) em cada caso abaixo: 
rIO ° l 
lo 1 01 
lo 1 lJ 
(i) A= (ii) B = 
Solução: (i) Seja c E9t autovalor de A, então 
r c-100 l 
det I
lo 
c-I ° JI = ° => (c _1)3 = ° 
° -1 c-I 
=> c= 1 
Isto é, 1 é autovalor de A com multiplicidade 3. Com isto queremos dizer que o 
polinômio característico é divisível por (x _1)3 e não é divisível por (x _1)4. 
r(c-l)x=O 
Seja (x,y,Z) E L(I) ~ ~ (c-I) y = ° 
l-y+(C-l) z=o ~y=O (poisc=l) 
Assim L (1) = {(x,y,z) E 9t3; Y = O}, ou seja, L (1) é o plano xz. 
Neste caso {(l,O,O), (0,0,1)} éumabasedeL(I). 
(ü) Seja c E 9t autovalor de B. Então 
rC-2 -2l 
det l-I c _ 3 J = ° => c2 - 5c + 4 = ° => c = 1 ou c = 4 
Primeiro seja (x,y) E L(I). Tem-se que -x - 2y = ° o que implica x = -2y, e, 
portanto, L (1) = { (x,y) E9t 2 ; X = - 2y }. É fácil ver que {(- 2,1)} é uma base de L 
(1). Seja agora (x,y) E L(4). Então 2x - 2y = 0, ou seja x = y, donde L (4) = 
{(x,y) E 9t2 ; X = y} e {(1,1)} é uma base de L (4). 
6) Seja Q uma matriz real quadrada de ordem n. Diz-se que Q é simétrica quando 
Q = Q' (isto é, se Q = (qij) então qij = qji' Se para todo x E9tn - {O},x'Q x > 0, diz-
se que Q é positiva definida. Dada Q matriz real de ordem n simétrica positiva definida, 
prove que (x,y)Q = x'Q y define um produto interno em 9tn . 
Prova: Vamos provar que (,) Q verifica as propriedades de produto interno: 
1)(x,y +z)Q = x'Q(y +z) = x'Qy +x'Qz = (x,y)Q + (x,z)Q' Vx,y,z E9tn • 
2) (ax,y)Q = (ax) 'Qy =ax'Qy = a(x,y)Q' Va E9t, Vx,y E9tn . 
3) (x,y)Q = x'Qy = (x'Qy)' = y'Q'x"= y'Qx = (y,x)Q' Vx,y E9tn . 
(estamos usando propriedades da transposta e a simetria de Q) 
35 
4) Se x Eut" - {O}, (X,X)Q = X'Q X>o (pois Q é definida positiva). Portanto, (')Q é 
produto interno em utD • 
7) Encontre a projeção ortogonal do vetor (l,O,I) E ut3 sobre o subespaço 
W = {(XI>X2 ,X3 ) Eut3 ; XI +x2 +x3 = O}. 
Solução: Inicialmente econtraremos uma base para W. Para isto, seja (X1,X2,X3) EW. 
Então (XI' x 2 , x 3 ) = (XI' x 2 ,-XI - x2 ) = XI (1,0,-1) +x2 (O, 1, -1), donde conclui-se que 
{(I,O,-I),(O,I,-I)} é gerador de We, por tratar-se de um conjunto de vetores LI, é 
também uma base de W. 
r 1 
, 
Tomemos X = l ° 
-1 
ol 
IJ e y' = (1,0,1). Sabemos que a projeção dey sobre W é 
-1 
r 2 
X(X'XrIX' = ~ 'l-I 
-1 
1 
EwY = 3" (1,-2,1) 
8) Calcular o ponto à mínima distância do ponto (1,- 2, -3, -4) ao subespaço gerado 
pelos vetores: 
a) {(I,I,2,I), (1,4,2,3), (3,9,6,7)} 
b) {{l,0,0,0), (O,I,O,O)} 
Solução: 
a) Sejam VI' = (1,1,2,1), v2 '= (1,4,2,3), v3 '= (3,9,6,7) e y' = (l, -2, -3, -4), W = L 
(vI> v2 ' v 3), ou seja, W é o subespaço gerado por vI> v2 e v3 . Observe que v3 = VI + 2v2 . 
Assim, W = L (vI> v2 ) com {VI' v2 } LI. 
1 1 
1 4 
SejaX = 2 2 
1 3 
X' X=[:2 12 ] 30 (X'Xr l =_1 66 [30 -12] -12 7 
36 
[-11] Xy= -25 1 (XXr l Xy=-66 [-30] -43 
73 
i 202 
Finalmente, EwY = X(X' Xr l X'y = - 66 146 
159 
b) Como os vetores (1,0,0,0), (0,1,0,0,0) geram o plano das primeiras duas 
coordenadas tem-se que a projeção de (1,- 2,- 3,- 4) neste subespaço é (1,- 2,0,0). 
9) Dada a forma quadrática S(x) = x; + x~ + 3XI X2 , i) ache a matriz simétrica A tal que 
S(x) = x'Ax; ü)ache os autovetores de A e uma base do 91 2 formada por auto-vetores 
ortonormais de A; li) sendo Q a matriz cujas colunas são dadas por estes autovetores 
ortonormais, obtenha a matriz B = Q'AQ; iv) obtenha a forma quadrática 
x'Bx = x'Q'A Qx, cujo contradomínio é o mesmo de x'Ax e classifique-a nos termos 
discutidos no texto. 
Solução: 
rI 
i) A= l3/2 
ü)IA-cIl= Il-c 3/21 = c2 -2c-5/4, onde IMI éodetenninantedeurnamatrizquadradaM 
3/2 l-c 
IA - cIl = ° para cI = 512 e c2 = - I 12 
Trabalhando inicialmente com c = CI , temos, fazendo (A - c/)x = 0, 
r -3/2 3/2l r xll _ (01 
l3/2 - 3/2J lx2J - O) 
Dai obtem-se XI = x2 e o autovetor ( ..fi 1 2, ..fi 1 2 ) de norma igual à unidade. 
Para (A - c2I)x = 0, temos 
r 3 1 2 3 1 2l r XI l _ (OJ 
b/2 3/2J lx2J - ° 
obtendo-se XI = - x2 e o autovetor (..fi 1 2, - ..fi 1 2) de norma igual à unidade e 
ortogonal ao autovetor (..fi 1 2, ..fi 1 2 ) . Estes dois autovetores formam uma base do 
91 2 (vetores ortonormais são sempre linearmente independentes). 
r..fi12 J2/2l 
iii)Q= lJ2/2 -J2/2J=Q' 
Q' A = rl..fi 1 2 ..fi 1 2 lJ rI 3 1 2l = rl5..fi 1 4 5..fi 1 4 lJ 
..fi 1 2 -..fi 1 2 l3 1 2 1 J -..fi 1 4 ..fi 1 4 
B = Q' A Q = rl5..fi 1 4 5..fi 1 4 lJ rl..fi 1 2 ..fi 1 2 lJ = r 5 1 2 ° l 
-..fi 1 4 ..fi 1 4 ..fi 1 2 -..fi 1 2 l ° -1/ 2J 
37 
Como era de se esperar, B é uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal 
são os autovalores da matriz A. 
iv) x'Bx = 5/ 2x; - 1/ 2xi que, obviamente é uma forma quadrática indefinida. De fato, 
x'Bx> ° para (1,0) e x'Bx < ° para (0,1). Segue do que vimos no texto que a forma 
quadrática x; + xi + 3X1X 2 é também indefinida (pois o contradomínio de x'Ax quando 
x E9l2 é o mesmo de x'Bx). 
10) Seja V um espaço vetorial sobre K. Prove que a representação de um vetor yEV 
numa base ordenada de V é única. Utilize este fato para justificar a inversibilidade da 
matriz de Gram. 
Solução: Seja (v l' ... , V n) uma base ordenada de V. Suponha que 
a)v) +an vn = y = b)v) + ... +bn vn onde ai' bi EK,i = 1, ... ,n. Então 
(a)-bJv)+ ... +(an-bn)vn=O. Como (v), ... ,vn) é base segue-se que é LI, logo 
ai -bi = O,i = 1, ... ,n, como queríamos demonstrar. Observe que a matriz de Gram do 
teorema 1.2 deve ser inversível visto que fazendo y = O neste teorema teremos que a=O 
é a única solução do sistema: (X'X)a = X' O = O pois a é a representação de EwY na 
base (x) , ... ,xp ) de W. 
11) Prove que uma transformação linear em espaços de dimensão finita fica 
unicamente determinanda pelos valores que assumem em uma base ordenada qualquer 
do espaço. 
Solução: Sejam V; , V2 espaços vetonalS sobre o corpo 
K, {v I, ... , V n} base de VI e T: VI -+ V2 uma transformação linear. Então dado x E VI 
existem (únicos) aI , ... , an, tais que x = aI v I + ... +an v n e portanto 
Tx=aITvl+ ... +anTvn. Assim basta conhecermos Tv1' ... ,Tvn para determinarmos a 
transformação linear T. 
12) Prove o teorema espectral em dimensão finita. Seja A:9l ft -+ 9l ft um operador 
linear simétrico, i.e., (Ax ,y) = (x, Ay) para todo X, y,e 9l ft (isto é o mesmo que dizer 
que a matriz (aiiri=1 que representa o operador A na base canônica é tal que aij = aji , 
Vi, j E {I, ... , n}) onde (.,.) é o produto interno euclidiano do 9l ft . Então 
i) todos os autovalores de A são reais. 
ü) existe uma base ortonormal (ou seja, com vetores ortogonais e de norma 
igual a um) do 9l ft constituída de autovetores. 
Demonstração: Vamos estender o operador A:9lft -+ 9l ft para 
n 
Ã: Cn -+ Cn tal que se x = Laiei é um vetor arbitrário de i=1 
Cn , onde ai E C, i = 1, ... , n, e {e1' ... , en} é base canônica de 9ln então 
n 
Ãx = LaiAei . Podemos também definir o produto interno hermitiano em C" da i=1 
38 
n 
então (x,y\ = La Ji 
i=) 
(observe que se x, y E mn então (x, y \ = (x, y)). Neste caso é fácil ver que: 
a) (X,y)b = (y,X}b' 'ix,y ECn 
b) (X+y,Z)b = (X,Z)b +(y,Z)b' 'ix,y,z ECn 
c) (ax,y) = a(x,y), 'ix ECn , 'ia EC 
Temos também que vale (Ãx,y\ = (x, ÃY)b ' 'ix,y E cn • Seja agora I.. EC 
uma raiz do polinômio característico de à que é o mesmo de A, visto que na base 
{ep ... ,eJ de mn sobre m ou de Cn sobre C os operadores A e à tem a mesma matriz 
de representação. Tomemos também x E cn - {O} tal que Ãx = ÂX. 
Logo Se 
x={ap... ,aJ entID (x,x\ = tlail2 e como x:;t O temos que ai :;tO para algum 
i=) 
i=I, .... ,n, ou seja, laJ >0, logo (x,x):;tO. Portanto Â=Â,ouseja,ÂEm. E isso 
demonstra (i). 
Suponhamos agora que  E m é autovalor de A e 
x E mn é tal que (A - 1..1)2 (x) = O. Temos que 
A2x-2ÂAx + Â2x = O, logo O = (A2x -2ÂAx+ Â2x,x)= (A2X-2ÂAx,x)+ Â2(X,X) 
= (Ax-2À.x,Ax)+ 1..2 (x, x) = IAxl2 -2À.(X,Ax)+ À.21xt = IAx-À.xI2 ,ou seja, Ax- À.x = O => Ax = À.x. 
Concluí-se que o núcleo de (A - 1..1) 2 é igual ao núcleo de (A - 1..1). Em outras 
palavras o auto-espaço generalizado de I.. é igual ao auto-espaço de Â. Segue-se do 
que foi dito nesta seção que m n tem uma base de autovetores de A, porque as bases 
dos autoespaços generalizadas formam uma base de mn . Resta agora mostrar que 
podemos escolher uma base de autovetores que seja ortonormal. Em primeiro lugar 
observe que se 1..), 1..2 E m são autovalores de A então dados Xi autovetor associado 
ao autovalor Âi, i = 1,2, 1..) (xp x2) = (Axp x2) = (xp Ax2) = (Xp Â2X2) = Â2(Xp X2). 
Como 1..) :;t 1..2 devemos ter (x)' X2)b = o. Assim, vetores pertencentes a autoespaços 
distintos são ortogonais. Para mostrar o que propomos basta escolher uma base 
ortonormal para cada autoespaço e tomar a base do mn como a união destas bases 
(será base pois mn é a soma direta dos autoespaços generalizados). 
39 
Exercícios Propostos - Seção 1 
1) Mostre que os conjuntos abaixo são espaços vetoriais sobre m com as operações 
USU81S: 
( i ) M m r n (m) conjunto de matrizes reais m x n 
( ü ) Pn (m) conjunto dos polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a 
n. 
( li ) C = {a + bi; a, bEm} 
2) Qual dos seguintes conjuntos de m3 são realmente subespaços? 
(a) o plano de vetores (x, y, z) com x = O 
(b) o plano dos vetores (x, y, z) com x = 1 
(c) os vetores (x, y, z) que satisfazem z - y + 3x = O 
(d) os vetores (x, y, z) com xy = O 
3) Mostre que as seguintes transformações T não são lineares: 
( i ) T: m2 ~ m definida por T (x,y) = (x + l).y 
( ii ) T: m2 ~ m3 definida por T (x, y) = (x + 3, 5y, 2x + y) 
(li) T: m3 ~ m3 definida por T (x, y, z) = (lxl,lyl,o) 
4) Diga se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, provando-a , se verdadeira, ou 
dando um contra-exemplo, se falsa: 
( i ) Se x, y e z são vetores LI, x + Y + Z e z + x também são vetores LI. 
( ü ) Se x, y e z são vetores LD então z é a combinação linear de x e y. 
5) Calcule a projeção ortogonal do vetor (1, O, l)e m3 sobre os seguintes subespaços: 
a)O próprio m3 
b) W = {x E m3;x] +x2 +x3 = O} 
c)W = {x E m3;x] +x2 +x3 = O e 2x] +x2 +x3 = O} e 
d) W = {x E m3;x] +x2 +x3 = O, 2x] +x2 +x3 = O e x] +x2 +2x3 = O} 
6) No exercício anterior calcule os vetores x - Ewx para cada uma das projeções 
efetuadas. Definindo-se a norma de um vetor y E m n por (y~ + yi + ... + y;) 1/2, o que 
você pode afirmar sobre cada uma das normas do vetor x - EwX nos quatro itens 
anteriores? 
7) Verifique que a norma euclidiana satisfaz as três propriedades listadas abaixo. 
Utilize em sua demonstração a desigualdade de Cauchy-Schwarz I( x, y)1 ::; Ilxll·lly 11· 
40 
a) Se x *- O, então Ilxll > O 
b) para qualquer a E 91, Ilaxll = lal Ilxll 
c) para qualquer vetores x e y, Ilx + yll ~ Ilxll + Ilyll 
8) Resolva o sistema AX=Yutilizando a matriz aum~ntada A' 
(
1 -2 1 Y\ J 
A'= 2 1 1 Y2 
O 5 -1 Y3 
Qual a condição necessária para que o sistema tenha uma solução? A que 
condição o vetor Y = (y \ , Y 2 , Y 3) deve satisfazer para pertencer ao subespaço gerado 
pelos vetores (1,2,0), (-2,1,5) e (1,1,-1)? E para pertencer à interseção de todos os 
subespaços que contém estes três vetores? Estas três perguntas são equivalentes? 
9) Encontre a dimensão e uma base do espaço das soluções W do sistema de equações 
lineares: 
x+2y-4z-s= O 
x+2y-2z+2r+ s= O 
2x+4y-2z+3r+4s= O 
10) Sejam U e W os seguintes subespaços do 914 : U={(a,b,c,d); b+c+d=O}, 
W={(a,b,c,d); a+b=O e c=2d}. Encontre a dimensão e uma base de U, W, U n W. 
11) Comente a seguinte proposição: "se x,y e z são vetores linearmente independentes, 
x+y, y+z e z+x também são linearmente independentes". 
41 
2) Equações de Diferenças Finitas e Equações Diferenciais Lineares 
com Coeficientes Constantes 
2.1) Equações de Diferenças Finitas Lineares homogêneas. 
Trataremos aqui de encontrar seqüências de números reais (XO,Xp x2 ,.,,) que 
satisfaçam a equações do tipo: 
(2.1) 
onde ao, aI , ... , ao são números reais. 
Tal equação denomina-se uma equação de diferenças finitas linear homogênea 
de ordem n com coeficientes constantes. A sua solução se dá através dos seguintes 
passos: 
a) Constrói-se o polinômio característico P(r) = aoro +alrO-I+ ... +ao e encontram-se as 
suas n raízes, que podem ser reais ou complexas. 
b) A cada raiz simples ri (ou seja, que não se repete), associa-se a solução kjrjt , kj E C 
c) A cada raiz rj de multiplicidade m ( ou seja, que se repete m vezes ) 2 associa-se a 
solução (kjl + kj2t+. .. +kjmtm-l)rj" kj E C. 
d) A solução geral no campo dos complexos obtém-se somando-se as soluções 
associadas às raízes do polinômio característico. A solução no campo dos reais 
x = (xO,XI,X2, ... ,xo, ... ), onde cada Xi é um número real, que desejamos obter, 
obtém-se tomando-se a parte real da solução complexa. 
Passemos agora ao estudo específico das equações que mais usualmente 
aparecem em problemas econômicos, quais sejam, as equações de primeiro e segundo 
grau. 
1) Equação de ordem 1 
axt+1 + bX t = O ab :t. O. 
Dividindo-se por a, Xt+1 + (b / a) x t = O. O polinômio característico associado 
será dado por P(r) = r + b / a, com raíz rI = -b / a. A solução geral será então a 
seqüência de números reais dada por x, = ko (-b / a)' . Fazendo t = O nesta solução 
obtém-se Xo = ko, ou seja, conclui-se que a seqüência solução 
(xo,xo(-b/a)l,xo(-b/a)2,xo(-b/a)3, ... ) apresenta como termo geral 
x, =xo(-b/a)'. 
2 Diz-se que uma raiz rj de P(r) = aor2 + aI ro-I +. .. +ao = O apresenta multiplicidade m quando P(r) 
é divisível por (r - r)m mas não é divisível por (r - r)m+l. 
42 
2) Equação de Grau 2 
ac:;t:O 
o polinômio característico associado é P( r) = ar2 + br + c, cujas raízes podem 
ser reais e diferentes, reais e iguais ou complexas conjugadas (como supusemos que os 
coeficientes de (2.1), ao,ap ... an são todos números reais, pode-se mostrar que se um 
complexo a + J3i é raiz de P(r), o seu conjugado a - J3i também o será). Analisemos 
separadamente cada um dos casos. Para isto seja L\ = b2 - 4ac o discriminante de P(r). 
Caso 1: Raízes reais e diferentes (L\ > O) 
A solução será dada por X t = k1r1
t + k2r;. 
Caso 2: Raízes Iguais (L\ = O) 
Pelo que vimos antes, sendo r a raiz de multiplicidade dois, 
X t = (k l + k 2 t)r t 
Caso 3: Raízes Complexas (L\ > O) 
Como a, b e c por hipótese são números reais, as raízes são os complexos conjugados 
a + J3i e a- J3i. Temos então: 
Este terceiro caso nos remete ao problema de, uma vez tendo-se achado a solução de 
(2.1) no campo dos complexos,obtê-Ia no campo dos reais. Tal passagem se dá: 
a) Escrevendo-se os números complexos (a+ J3i) e (a- J3i) na forma polar 
p (cos e + i sen e) e p (cos e - i sen e), onde p = (a 2 + 132 ) 1/2 
e e = arc cos (a / (a2 + (32)1/2) 
Im 
Diagrama de Argand Gauss - Representação de a + J3i na forma polar ~ cose + i sen e) 
b) Utilizando a fórmula de De Moivre 
Temos então: 
(a± J3ir = (p (cose±i sen e)r = pt(cose t±i sen et) 
xt = k l pt(coset+i senet)+k2 pt(coset-i senet) 
xt = pt«k l + k2)coset +(k l - k2)i sen et) 
43 
Nesta solução p\ cos e t e sen e t são números reais, enquanto que 
k l + k2 e (kl - k2 )i são complexos. Tomando-se a parte real, obtém-se a solução de xt 
no campo dos reais, 
Xt = pt(A I coset+A 2 senet), (2.2) 
onde AI = Re (kl + k2 ) e A 2 = Re «kl - k2)i) 
Vejamos um exemplo numérico desteúltimo caso. Para isto, seja a equação de 
diferenças finitas Xt+2 - Xt+1 + xt = O com as condições iniciais dadas xo=l e x}=1/2 cujo 
polinômio característico associado: 
P( r) = r2 - r + 1 
tem raízes ri = 1/2+(/3 /2)i e r2 = 1/2-(.J3 /2)i. Temos 
p = (1/4 + 3 / 4)\12 = 1 e e = x / 3 rad. Dai obtém-se a solução, de acordo com (2.2), 
xt = A I cos (x / 3)t + A 2 sen (x / 3)t, onde as constantes A I e A 2 obtém-se a partir das 
condições iniciais Xo e XI' 
Fazendo-se Xo = 1 e XI = 1/2 
1- A 
- I 
1/2 = AI.{l/2) + A2 .(/3 /2) 
donde se obtém A I = 1 e A 2 = O. Neste caso, a solução se dá por x t = cos (x / 3) 1. 
Os possíveis erros na solução de equação de diferenças finitas podem ser 
evitados checando-se as soluções obtidas. Vejamos como proceder utilizando o 
exemplo anterior. A equação a ser resolvida nos diz que: 
Dada a nossa solução 
x t = cos (n-l 3)1 
Xt+1 = cos «7i / 3) 1+ 7i / 3) = COS (7i / 3)1 COS (7i / 3) - sen (7i /3)1 sen (7i / 3) 
x t+2 = cos «7i / 3) I + 27i / 3) = COS (7i /3)1 COS (27i / 3) - sen (27i /3). sen (7i / 3)1 
ou ainda, tendo em vista que : 
cos 7i / 3 = 1/ 2, cos 2 7i / 3 = - 1 / 2, sen 7i / 3 = sen 2 7i / 3 = /3 / 2 , 
Xt = cos (x / 3)t 
Xt+1 = (1/2) cos (x / 3)t - (.J3 / 2) sen (x /3)t 
Xt+2 = (-1/ 2)cos (x/ 3)t- (/3 / 2). sen (2x /3)t 
Observa-se claramente que a solução satisfaz a xt+2 - xt+1 + x t = O bem como às 
condições iniciais Xo = 1 e XI = 1 /2. 
44 
2.2) Equações de Diferenças Finitas Lineares Nilo HomogênetlS 
Uma equação de diferenças finitas linear de ordem n é dita não homogênea 
quando se tem: 
(2.3) 
sendo j{t) uma função de t não identicamente nula. A sua solução geral obtém-se 
somando-se à solução geral da equação homogênea correspondente (2.1 ) (que se 
obtém fazendo-se j{t) = O em (2.3» uma sua solução particular. Isto decorre de dois 
fatos facilmente verificáveis; a) se {y!} e {y;} são soluções de (2.3) , {y!.:... y;} I é 
solução de (2.1) e b) se {Yr} I é uma solução qualquer de (2.3) e {y I} é uma solução da 
equação homogênea correspondente, então {Y 1+ yr} I é uma solução de (2.3). 
Tomemos inicialmente a equação homogênea anteriormente apresentada 
a xI+1 + b XI = O e a sua correspondente versão não homogênea: 
a xI+1 + b XI = f(t) 
Analisemos alguns casos: 
a)f(t)=k:toO 
Neste caso devemos tentar inicialmente a solução particular constante S. Substituindo 
y 1+1 = Y I = S na equação acima, aS + bS = k ~ S = k / (a + b) para a + b :to o. 
Se a + b = O devemos tentar a solução particular St ao invés de S. Neste caso 
Y 1+ 1 = S( t + 1) = St + S, Y I = St o que nos leva a aSt + aS + bSt = k 
obtendo-se daí (como a + b = O) S = kla 
b)f(t) = ko + kt 
Tentando-se inicialmente a solução particular Y I = So + St obtém-se Y 1+1 = So + St + S 
e aYI+I + bYI = aSo + aSt+ aS + bSo + bSt = ko + kt, ou ainda, «a + b) So + aS - ko) 
+«a+ b)S- k) t = o. 
Como as funções y(t) = 1 e y(t) = t são, pelo que vimos na seção anterior, 
linearmente independentes, a igualdade acima exige, quando (a + b) :to O: 
S=k/(a+b) e So =(1/(a+b»(ko-k/(a+b» 
o leitor deve verificar por conta própria que quando a + b = O a solução 
particular a ser tentada é do tipo (So + St)t. 
45 
Como vimos acima, cada exemplo exigiu o estudo de dois casos; um no qual 
a + b = O e outro no qual a + b * O. De fonna geral, esse processo pode ser abreviado 
observando-se o seguinte teorema, muito útil no cálculo de soluções particulares: 
Teorema 2.1. Se, na equação (2.3) ao Yt+n +a) Yt+n-) + ... +anYt = f(t),f(t) é da fonna 
(ko + k) t + k2 e + ... + kp t P )ct então existe uma solução particular da fonna: 
a) (So + S) t + S2 e + ... + Sp t P )ct, se c não é raiz do polinômio característico P(r), ou 
b) (So + S) t + S2 e + ... + Sp t P )tmct, se c é raiz de multiplicidade m de P(r). 
Observe que no caso (a) em que analisamos tínhamos sempre c = 1, pois k = k.lt e 
ko + kt = (ko + kt) l t . Assim a solução no caso (a) foi uma constante no caso em que 1 
não é raiz do polinômio ar + b = O (o que ocorre se, e somente se, a + b * O). Como 
no caso analisado a multiplicidade máxima possível de uma raiz é igual a 1 Gá que P(r) 
é um polinômio do primeiro grau), no caso em que 1 era a raiz de P(r) (ou seja, 
quando a+ b = O) bastou tentar-se a solução So. t l .1t = So t. O mesmo procedimento foi 
usado no exemplo b. 
c) f(t) = k cose t 
Como regra geral, neste caso, devemos utilizar a solução particular 
Y t = So cos e t + S) sen e t. Obtém-se: 
Y t+) = So cos (e t +e) + SI sen (et +e), ou ainda, 
Y t+1 = So (cos e cos e t - sen et sen e) + SI (cos e sen e t + sen e cos e t) 
Fazendo-se aYt+) + bYt = k coset, obtém-se 
(a(So cose+s) sene)+bSo-k)coset+ 
(a(-So sene+S) cose) + bS))senet = O' 
Decorre desta expressão e da independência linear de cos e t e sen e t o sistema: 
(So cose+s) sene)a+Sob = k 
(-So sen e+ S) cose)a+S) b = O 
de onde se obtém as soluções para a e b, quando 
A = (So cose+s l sene) S) - So(-So sene+s) cose) * O 
a = kSI / A e b = -k(-So sene+S) cose)/ A 
Procedimento semelhante adota-se para 
f(t) = ksenet ou f(t) = k) coset+k2 senet. 
O método acima apresentado para as diferentes fonnas da função !tt) utiliza-se 
da mesma fonna quando se passa às equações de diferenças finitas de ordem mais 
46 
elevada, como por exemplo à equação a Y H2 + b Y HI + C Y t = f( t). Se f{ t) é constante, a 
solução particular será uma constante se o número 1 não for raiz de P( r) = ar2 + br + c, 
uma constante vezes t se 1 faz raiz de multiplicidade 1 de P(r) e uma constante vezes 
e se 1 for raiz dupla de P(t). Da mesma forma, se f(t) = ko + k l t as soluções 
possíveis, nos três casos analisados, são So + SI t, (So + SI t)t e (So + SI t) e. Se f(t) é 
do tipo (ko + k l t) c\ sendo c um número real, as so1uções possíveis são (So + SI t) ct 
se c não for raiz de P(r), (So + SI t) tct se c for raiz de multiplicidade 1 de P(r) e 
(So +SI t)ect se c for raiz dupla de P(r). Deixamos para o leitor a formulação e 
resolução de exercícios numéricos a este respeito. 
Cálculo da(s) Constante(s) 
A última etapa na obtenção da solução de uma equação de diferenças finitas é 
sempre o cálculo da(s) constante(s). Deve-se tomar cuidado, no cálculo das equações 
não homogêneas, de só se calcular o valor das constantes uma vez obtida a solução 
geral da equação não homogênea, e não utilizando-se a solução da homogênea 
associada. 
Vejamos um exemplo numérico. Para isto, tomemos a versão não homogênea 
da equação YH2 -Yt+1 +Yt anteriormente apresentada3 , com as mesmas condições 
iniciais, Yo = 1 e Y I = 1 / 2. Seja então a equação de diferenças: 
cuja solução da homogênea associada, como já vimos, é dada por 
Yt = AI cos(~)t+ A 2 sen ~)t. Como k pode ser escrito sob a forma klt e 1 não é 
raiz de P( r) = r2 - r + 1, a utilização do teorema nos permite concluir que há uma 
solução particular da forma Y t = Y t+1 = Y H2 = So· Por substituição, temos então So = k. 
Segue daí a solução particular k e a solução geral da não homogênea 
Estamos agora prontos para o cálculo de A I e A 2. Fazendo-se 
Yo = 1 e Y I = 1 / 2, 
Yo=I=AI+k 
Y I = 11 2 = (1 / 2) A I + (.fi / 2) A 2 + k 
de onde se conclui que: 
3 Evidentemente, é irrelevante se utilizamos x ou y para caracterizar a equação de diferenças. 
47 
2.3) Estabilidade de Equações de Diferenças Finitas Linetll'es 
Uma equação de diferenças finitas não homogênea é dita estável quando a 
equação homogênea associada for estável. Uma equação homogênea, por sua vez, é 
dita estável se, e somente se, toda sua solução {Y t} for tal que lim Y t = O t t-..o 
Em outras palavras, uma solução {Ytt de úma equação de diferenças finitas 
linear será dita estável quando a solução da homogênea associada converge para zero 
ao se fazer t tender a mais infinito. 
Analisemos separadamente as equações de primeira ordem. No caso da