E Adriana 27 06 SEI uni II (pp) (RF) BB

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Unidade II 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA 
 
 
 
 
 
 
 
Profa. Adriana Bertolino 
Conceitos básicos – probabilidade 
 Experimento aleatório: são fenômenos que, mesmo repetidos 
inúmeras vezes em processos semelhantes, possuem 
resultados imprevisíveis. 
 Espaço amostral (S): é o conjunto de todos os resultados 
possíveis de um experimento aleatório, enquanto n(S) 
é o número de elementos do espaço amostral. 
 Exemplo: No lançamento de um dado, temos: 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
n(S) = 6 
Conceitos básicos – probabilidade 
 Evento (E): é qualquer subconjunto de um espaço amostral. 
Está relacionado com o experimento aleatório em questão. 
 n(E) é o número de resultados possíveis do evento. 
 Exemplo: No experimento aleatório de lançamento de um 
dado, considere o evento sair um número par na face 
superior. 
Logo, 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} – espaço amostral 
E = {2, 4, 6} – evento 
n(E) = 3 
 
Definição de probabilidade 
 Probabilidade (P): é a razão (divisão) entre o número de 
elementos (ou resultados) favoráveis a um determinado 
evento (E) e o número total de elementos (ou resultados) 
do espaço amostral (S). 
Fórmula: 
P = n(E) = número de elementos favoráveis 
 n(S) número de elementos de S 
 
 A probabilidade é um número que varia entre 0 
(evento impossível) e 1 (evento certo). 
Exemplo 
Considere o lançamento de um dado. Calcule a probabilidade de: 
a) Sair o número 3: 
 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, logo n(S) = 6 
 E = {3}, logo n(E) = 1 
 P = 1/6 
b) Sair um número par: 
 E = {2, 4, 6}, logo n(E) = 3 
 P = 3/6 = 1/2 
c) Sair uma dama de paus: 
 P = 0 
Exemplo 
Considere os lançamentos de um dado e de uma moeda, 
simultaneamente. Calcule a probabilidade de sair um número 
par e uma cara. 
Solução: 
Espaço amostral: 
1, cara 3, cara 5, cara 
1, coroa 3, coroa 5, coroa 
2, cara 4, cara 6, cara 
2, coroa 4, coroa 6, coroa 
 
P = 3/12 = 1/4 = 0,25 
Eventos complementares e eventos independentes 
Eventos complementares: Se P é a probabilidade de um evento 
ocorrer (sucesso), Q é a probabilidade de que o mesmo evento 
não ocorra (insucesso). Para obter Q, que é complementar de P, 
temos: 
P + Q = 1 = 100% 
Eventos independentes: Dois eventos são independentes 
quando a realização de um deles não afeta a probabilidade 
de realização do outro e vice-versa. 
A probabilidade de os eventos se realizarem simultaneamente é 
dada por: 
P = P1 x P2 
 
 
 
Interatividade 
Considere o lançamento de duas moedas. 
Determine a probabilidade de sair duas caras. 
a) 1/2 
b) 1/3 
c) 1/4 
d) 1/5 
e) 0 
Eventos independentes – exemplo 
 Lançando dois dados, qual é a probabilidade de obtermos 
1 no primeiro dado e um número par no segundo dado? 
 Solução: 
 Probabilidade de sair 1 = 1/6 
 Probabilidade de sair número par = 3/6 = 1/2 
 
 P = 1 x1 = 1 
 6 2 12 
 
Eventos mutuamente exclusivos – definição 
 Dois eventos são mutuamente exclusivos quando a realização 
de um exclui a realização do outro. Por exemplo, no 
lançamento de uma moeda, o evento tirar cara e o tirar coroa 
são mutuamente exclusivos, pois, se um deles for realizado, 
o outro não será. 
A probabilidade de que um ou outro evento se realize é dada 
por: 
P = P1 + P2 
 Em que: P1 e P2 são os eventos mutuamente exclusivos 
(também chamados de eventos soma). 
 
 
Eventos mutuamente exclusivos – exemplo 
 Lançando um dado, qual é a probabilidade de tirar 3 ou 5 na 
face superior? 
Solução: 
Probabilidade de sair o número 3 = 1/6 
Probabilidade de sair o número 5 = 1/6 
 
P = 1 + 1 = 2 = 1 
 6 6 6 3 
Exemplos de probabilidade 
 Em uma caixa existem dez bolinhas idênticas, numeradas de 1 
a 10. Qual a probabilidade de que, ao se retirar uma bolinha, 
ela seja múltiplo de 2 ou de 5? 
Solução: 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 
n(S) = 10 
E = {2, 4, 5, 6, 8,10} 
n(E) = 6 
 P = 6 = 3 = 0,6 
 10 5 
 
Exemplos de probabilidade 
 Lançando um dado, qual é a probabilidade de tirar 3 ou 5 na 
face superior? 
Solução: (EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS) 
Sair número 3: P = 1 
 6 
Sair número 5: P = 1 
 6 
P = 1 + 1 = 2 = 1 
 6 6 6 6 
 
 
 
Exemplos de probabilidade 
 Uma caixa contém 20 canetas iguais, das quais 7 são 
defeituosas, e outra caixa contém 12, das quais 4 são 
defeituosas. Uma caneta é retirada aleatoriamente de cada 
caixa. Determine as probabilidades de que ambas não sejam 
defeituosas. 
Solução: (EVENTOS INDEPENDENTES) 
Caixa A: 20 canetas, em que 7 são defeituosas e 13 são 
perfeitas. 
Caixa B: 12 canetas, em que 4 são defeituosas e 8 são perfeitas. 
P = 13 x 8 = 104 = 0,43 
 20 12 240 
Interatividade 
Considere uma urna que contém 7 bolas brancas, 2 bolas 
vermelhas e 5 bolas pretas. Determine a probabilidade de se 
retirar, ao acaso, uma bola preta. 
a) 5/14 
b) 7/5 
c) 2/5 
d) 2/7 
e) 5/2 
 
Distribuição normal de probabilidades – exemplo 
Os comprimentos das peças produzidas por certa máquina 
apresentaram as seguintes medidas estatísticas: média = 
2,00 cm e desvio-padrão = 0,04 cm. Qual é a probabilidade de 
uma peça retirada aleatoriamente do lote analisado ter 
comprimento entre 2,00 cm e 2,0508 cm? 
Solução: 
 
z = x – x = 2,00 – 2,00 = 0 
 S 0,04 
 
z = 2,0508 – 2,00 = 0,0508 = 1,27 
 0,04 0,04 
 
Distribuição normal de probabilidades – exemplo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Verificando na tabela, temos que a probabilidade é dada por: 
P = 0,3980 = 39,80% 
 
 
z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
0,0 
0,1 
0,2 
0,3 
... 
1,2 0,3980 
... 
 
Distribuição normal de probabilidades – exemplo 
A duração de um certo componente tem média igual a 850 dias 
e um desvio-padrão de 40 dias. Sabendo que a duração é, 
normalmente distribuída, calcule a probabilidade desse 
componente durar entre 800 dias e 950 dias. 
Solução: 
Vamos calcular separadamente: 
 entre 800 e 850 dias 
 z = (800 – 850)/40 = – 1,25 
 entre 850 dias e 950 dias 
 z = (950 – 850)/40 = 2,5 
Distribuição normal de probabilidades – exemplo 
Verificando na tabela: 
 Entre 0 e – 1,25 = entre 0 e 1,25 P1 = 0,3944 
 Entre 0 e 2,5 P2 = 0,4938 
 
 
 
 
 
 
 
 
 P1 + P2 = 0,8882 
 
Correlação linear 
 Em Estatística, a correlação é um parâmetro que indica o grau 
de correspondência entre duas variáveis (neste estudo, 
simbolizadas por x e y). 
Exemplos: 
 salário de um trabalhador X escolaridade do trabalhador; 
 quantidade de livros que uma pessoa já leu X escolaridade; 
 horas de estudo X nota na prova; 
 temperatura de um forno X tempo de cozimento no forno. 
Correlação linear 
A correlação pode ser: 
 Positiva: dada pela relação direta entre as variáveis 
(se a variável x aumentar, a variável y também aumentará, 
e vice-versa). Exemplo: horas de estudo x nota na prova. 
 Negativa: dada pela relação inversa entre as variáveis 
(se a variável x aumentar, a variável y tenderá a diminuir, e 
vice-versa). Exemplo: velocidade do carro x tempo da viagem. 
Interatividade 
Encontre, na tabela normal de probabilidades, a probabilidade 
de encontrar uma variável padrão entre 0 e 1,47. 
a) 0 
b) 0,4292 
c) 0,1258 
d) 1,4752 
e) 1,47 
Correlação linear – diagrama de dispersão 
Considereos dados apresentados abaixo que representam 
o número de anos que a pessoa estudou (xi) e número de livros 
que a pessoa já leu (yi). 
 
xi 3 5 7 9 10 14 16 
yi 1 2 3 5 7 10 13 
 
Construa o diagrama de dispersão equivalente. 
Correlação linear – diagrama de dispersão 
Solução: 
xi 3 5 7 9 10 14 16 
yi 1 2 3 5 7 10 13 
 
Correlação linear – coeficiente de correlação de Pearson 
Fórmula: 
 
 
 
 
Os possíveis valores de r variam de –1 a 1, em que: 
 r = –1,00: correlação negativa perfeita. 
 r = 0: correlação inexistente. 
 r = 1: correlação positiva perfeita. 
2 2 2 2
. . – .
[ . – ( ) ].[ . – ( ) ]
n xi yi xi yi
r
n xi xi n yi yi
=
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
Correlação linear – exemplo 
Abaixo estão apresentados os dados referentes ao número de 
anos que a pessoa estudou (xi) e número de livros que a pessoa 
já leu (yi). 
 
xi 3 5 7 9 10 14 16 
yi 1 2 3 5 7 10 13 
 
Calcule o coeficiente de correlação de Pearson e interprete-o. 
Correlação linear – exemplo 
Solução: 
 xi yi xi.yi xi2 yi2 
 3 1 3 9 1 
 5 2 10 25 4 
 7 3 21 49 9 
 9 5 45 81 25 
 10 7 70 100 49 
 14 10 140 196 100 
 16 13 208 256 169 
 64 41 497 716 357 
 
 
Correlação linear – exemplos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Interatividade 
Foi realizada uma pesquisa sobre a relação entre as horas de 
estudo e a nota da prova e verificou-se que o coeficiente de 
correlação é igual a 0,98. Interprete-o. 
a) A correlação entre essas duas variáveis é positiva forte, 
ou seja, quanto maior o número de horas de estudo, maior 
a nota. 
b) A correlação entre essas duas variáveis é positiva forte, 
ou seja, quanto maior o número de horas de estudo, menor 
a nota. 
c) Correlação pouco significativa. 
d) A correlação entre essas duas variáveis é negativa. 
e) Sem correlação. 
 
 
 
 
 
ATÉ A PRÓXIMA! 
 
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	Conceitos básicos – probabilidade
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	Distribuição normal de probabilidades – exemplo 
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	Correlação linear
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	Correlação linear – diagrama de dispersão
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	Correlação linear – coeficiente de correlação de Pearson
	Correlação linear – exemplo 
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