AULA 3 Probabilidade

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ESTATÍSTICA APLICADA
AULA 3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Tiago Claudino Barbosa
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CONVERSA INICIAL
INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
Nesta aula, aprenderemos um pouco sobre a teoria da probabilidade, seus conceitos principais e
algumas de suas aplicações na estatística. A estatística inferencial, por se basear em amostras,
descreve seus resultados em termos probabilísticos. Esse conteúdo inicialmente não parece ser tão
conectado aos conteúdos anteriores, mas, ao final desta aula e de conteúdos posteriores, ficará clara
a ligação entre esses tópicos e os tópicos mais diretamente relacionadas à estatística.
Os esforços de aprendizado são no sentido de entender: (i) o conceito de probabilidade e outros
conceitos iniciais relacionados, (ii) a regra da adição; (iii) probabilidade condicional e a regra da
multiplicação; (iv) o que é uma distribuição de probabilidade e (v) o exemplo da distribuição de
probabilidade binomial.
CONTEXTUALIZANDO
É possível observar algum padrão que nos ajude a tirar conclusões a partir de variáveis aleatórias
que, a princípio, parecem caóticas? Como considerar resultados aleatórios que são independentes
uns dos outros dos que são dependentes? Como tomar decisões com base em variáveis aleatórias?
Essas perguntas são abordadas na presente aula e serão relevantes para o entendimento dos
demais conteúdos. O objetivo é entender os conceitos e a lógica de interpretação dos resultados,
não os cálculos em si.
TEMA 1 – CONCEITOS INICIAIS
Alguns conceitos iniciais são apresentados por Pinheiro et al. (2009):
Probabilidade é uma descrição numérica do quão provável é a ocorrência de um evento
específico;
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Espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de uma variável aleatória, um
exemplo é o lançamento de um dado, há seis resultados possíveis – 1, 2, 3, 4, 5, 6;
Um evento é um subconjunto do espaço amostral de interesse. Por exemplo: quais as
possibilidades de ocorrer um número par no lançamento de um dado? - 2, 4, 6;
Um evento simples é um resultado do espaço amostral que não pode mais ser subdivido em
componentes menores, um exemplo – ao se lançar um dado, obter 1 ponto;
Experimento aleatório é quando realizamos tentativas repetidas de processos semelhantes e
seus resultados são imprevisíveis, ou seja, são uma variável aleatória;
Os conceitos de espaço amostral, evento e evento simples se referem a possibilidades de
ocorrência da variável ou resultado de interesse, não diz nada sobre probabilidades de ocorrência
(Pinheiro et al., 2009).
É importante conhecer todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A
probabilidade de um evento ou conjunto de eventos nem sempre é conhecida, se os eventos são
todos de mesma probabilidade, como é o caso do lançamento de uma moeda ou de um dado, a
probabilidade do evento A é:
Considerando o caso do lançamento de um dado, a probabilidade de se obter 3 pontos é:
Como os pontos dos dados possuem mesma probabilidade de ocorrer, o cálculo da
probabilidade se resume a contar os resultados favoráveis ao evento de interesse, no caso o dado dar
3 pontos, e dividir pelo número de resultados possíveis (espaço amostral), no caso 6.
Porém, para a maioria dos fenômenos do mundo real, os eventos ou conjuntos de eventos
possíveis não possuem a mesma probabilidade de ocorrência. Essas probabilidades muitas vezes nem
são conhecidas. É possível aproximar a probabilidade real de um evento por sua frequência relativa
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de ocorrência em experimentos aleatórios de grande tamanho (Larson, Farber, 2010a). Considerando
um experimento aleatório, a probabilidade de A fica:
A lógica é que se o experimento tem resultados aleatórios, conforme se aumenta o número de
resultados obtidos, mais as frequências relativas se aproximam das probabilidades teóricas do
fenômeno, a chamada Lei dos Grandes Números. Lógica é similar ao uso de amostras aleatórias para
aproximar a população de interesse. Essa lógica fundamenta a chamada Abordagem Frequencista da
Estatística, que aproxima as probabilidades de um fenômeno das frequências relativas de
experimentos que tentam analisar esse fenômeno (Larson, Farber, 2010b).
O entendimento da teoria das probabilidades junto ao conhecimento da estatística descritiva,
explorada nas duas primeiras aulas, formam a base da estatística inferencial. Uma das regras básicas
da estatística inferencial é que se, sob uma dada premissa, a probabilidade de um evento em
particular é muito pequena, a conclusão é que a premissa é provavelmente incorreta (Triola, 2006).
Essa questão ficará bastante clara em conteúdos posteriores.
O próximo tópico apresenta casos em que as probabilidades de ocorrência de um evento são ou
não afetadas pela ocorrência de outros eventos e como isso afeta os cálculos e interpretações das
probabilidades.
TEMA 2 – EVENTOS INDEPENDENTES E DEPENDENTES
Dois eventos A e B são independentes se a ocorrência de um deles não afeta a probabilidade de
ocorrência do outro, se a ocorrência de um deles afeta de alguma forma a probabilidade de
ocorrência do outro, trata-se de eventos dependentes (Triola, 2006).
A regra da soma postula que a probabilidade de ocorrência de um evento A ou de um evento B
como resultado de um experimento é igual a soma das probabilidades desses eventos, descontada a
probabilidade de ocorrência simultânea do evento A e do evento B (Pinheiro et al., 2009).
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Os eventos A e B são mutuamente exclusivos se não podem ocorrer ao mesmo tempo. Nesse
caso, a probabilidade de ocorrer A ou B é:
Um exemplo: qual a probabilidade de, ao se lançar um dado, a pontuação ser 2 e 3?
Se não forem mutuamente exclusivos, a probabilidade de A ou B deve descontar a probabilidade
de que os eventos ocorram simultaneamente, ou seja:
Um exemplo: qual a probabilidade de, ao se lançar um dado, A – obter uma pontuação ímpar e B
– uma pontuação maior que 3?
Probabilidade de A – pontuação par – 2, 4, 6
P (A) – 3/6 = 0,5
Probabilidade de B – pontuação maior que 3 – 4, 5, 6
P (B) – 3/6 = 0,5
Se eventos fossem independentes, P (A ou B) = 1, ou seja, 100%. Porém há sobreposição entre os
eventos e essa probabilidade está superestimada, considerando o espaço amostral 1, 2, 3, 4, 5 e 6 e
que eventos têm mesma probabilidade.
P (A) ou P (B) mostrada acima não engloba os valores 1 e 3 e considera os valores 4 e 6 duas
vezes. O evento A ou B engloba os valores – 2, 4, 5 e 6, logo a probabilidade de pontuação ser par ou
ser maior que três é:
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TEMA 3 – PROBABILIDADE CONDICIONAL
A probabilidade de ocorrer o evento A na primeira tentativa de um experimento, e de ocorrer o
evento B na segunda tentativa é descrita pela regra da multiplicação. A regra da adição, explicada no
tema anterior, é descrita pelo termo ou, já a regra da multiplicação pelo termo e, no caso a P (A e B).
Um ponto importante a considerar é que a probabilidade do segundo evento B deve levar em
conta o fato de que o evento A já ocorreu (Triola, 2006). A regra geral é:
Probabilidade de ocorrer A e depois B é igual à probabilidade de ocorrência do primeiro evento
A multiplicada pela probabilidade de ocorrência do evento B, dado que A já ocorreu, essa última
parte é expressa por P (B|A).
Se o evento A e B forem independentes, ou seja, a ocorrência de um deles não afeta positiva ou
negativamente a probabilidade de ocorrência do outro, a P (B|A) = 0 e expressão se resume a:
Um exemplo é a probabilidade de obter dois números um ao se lançar um dado duas vezes. A
probabilidade de se obter 1 em um lançamento é de umsexto, como eventos são independentes, ou
seja, o resultado alcançado no primeiro lançamento do dado em nada interfere no resultado do
segundo lançamento, a probabilidade de obter dois números 1 ao se lançar duas vezes o dado é de
1/6 * 1/6 = 1/36 = 2,8%, uma probabilidade relativamente baixa. A probabilidade de obter três
números 1 em três lançamentos do dado seria 1/6 * 1/6 * 1/6 = 1/216 = 0,5%, muito baixa.
Nos casos em que a ocorrência de A afeta a probabilidade de ocorrência de B em seguida, diz-se
que são casos de probabilidade condicional, logo a P (B|A) é diferente de zero.
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Ou seja, é a probabilidade de ocorrer A e depois B dividida pela probabilidade de A. É a razão
entre a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B e a probabilidade geral de A.
Um exemplo: ao se lançar um dado uma vez, qual a probabilidade de A – resultado ser um
número ímpar e B – resultado ser no mínimo 3 pontos (Pinheiro et al., 2009)?
Há três números ímpares possíveis para A – 1, 3, 5
Dos seis números do dado, quatro são iguais ou maiores que 3 – 3, 4, 5, 6
Há dois elementos que sobrepõem A e B – 3 e 5
Considerando que há seis resultados possíveis do lançamento de um dado e todos têm a mesma
probabilidade de ocorrer, a probabilidade de, ao se lançar um dado, obter um número ímpar e igual
ou maior que três é 2/6 ou 1/3.
Aplicando a fórmula:
A probabilidade de se obter um número igual ou maior que 3, dado que resultado foi ímpar, é
de 2/3.
Muitas das técnicas estatísticas combinam resultados de diversas variáveis conhecidas para se
obter o resultado e/ou a probabilidade de ocorrência de uma variável que dependa dessas outras.
Por exemplo: um meteorologista pode determinar que há 40% de probabilidade de chuva com base
na frequência relativa de chuva sob condições climáticas semelhantes às que estão ocorrendo no
momento. Saber características do ambiente, como temperatura e umidade do ar, faz com que se
estime com maior precisão a probabilidade de ocorrência de chuva em determinado dia (Larson,
Farber, 2010b).
TEMA 4 – DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE
Uma distribuição descreve a probabilidade de cada valor possível de uma variável aleatória. Esta
deve cobrir todos os resultados possíveis, acumulando 100% das probabilidades, e o valor da
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probabilidade de um valor específico ou intervalo de valores é zero ou positivo, nunca negativo
(Pinheiro et al., 2009).
Muitas distribuições de probabilidade, na estatística, são descritas por gráficos, tabelas ou por
funções que possuem como variável independente o valor da variável de interesse X e variável
dependente a probabilidade de ocorrência do valor de X específico (Triola, 2006). Algumas das
principais distribuições utilizadas pela estatística e suas derivações serão estudadas mais adiante e
em conteúdos posteriores.
É importante conhecer a forma, o centro e a variabilidade de uma distribuição de probabilidade
para que se possa tomar decisões baseadas em inferências estatísticas (Larson, Farber, 2010b). O
conhecimento desses parâmetros das distribuições de probabilidade é fundamental para o uso de
técnicas de estatística inferencial.
As variáveis aleatórias descritas podem ser tanto discretas quanto contínuas. Uma variável
aleatória discreta é uma com resultados contáveis, com números geralmente inteiros, que podem ser
finitos ou infinitos; já variáveis aleatórias contínuas têm infinitos valores associados, mesmo que sua
amplitude seja finita, já que cada subintervalo pode ser dividido em infinitos números e as escalas
não têm vazios ou saltos – esse tipo de variável geralmente está associado a mensurações (Pinheiro
et al., 2009).
O valor esperado de uma variável aleatória discreta E é a média dos valores ponderados pelas
suas probabilidades de ocorrência e seria como sua média, no caso:
A variância e o desvio-padrão de distribuições de probabilidade discretas possuem as seguintes
fórmulas:
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O caso para variáveis contínuas exige o conhecimento de ferramentas matemáticas mais
avançadas, ficando fora do escopo dessa aula o conhecimento de suas fórmulas, porém as
distribuições mais utilizadas da estatística já possuem suas distribuições bem analisadas e
incorporadas nos diferentes softwares estatísticos, tornando cálculos desse tipo desnecessários.
Em muitos casos da estatística, e mesmo da vida real, não sabemos a distribuição de
probabilidade detalhada do fenômeno que estamos analisando. Contudo, podemos aproximar,
considerando a frequência relativa observada dos resultados (Larson, Farber, 2010b).
Considerando o exemplo do lançamento de um dado, o espaço amostral consiste de seis
elementos – 1, 2, 3, 4, 5, 6 com igual probabilidade de ocorrência. A distribuição de probabilidade
desse fenômeno está expressa na tabela 1 e no gráfico 1.
Tabela 1 - Tabela de probabilidades de lançamento de um dado
Pontuação do dado Probabilidade
1 1/6
2 1/6
3 1/6
4 1/6
5 1/6
6 1/6
Fonte: Barbosa, 2021.
Os dados no gráfico foram arredondados para três casas decimais.
Gráfico 1 - Gráfico de probabilidade do lançamento de um dado
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Fonte: Barbosa, 2021
Como a probabilidade de ocorrência é igual para qualquer valor da pontuação dos dados, o
gráfico de barras tem o formato de um retângulo. Raramente os fenômenos do mundo real são
assim, com probabilidades uniformes para toda a escala de valores possível, em geral, as
distribuições de probabilidade são bem mais complexas.
Um exemplo de distribuição mais complexa seria a soma da pontuação do lançamento de dois
dados, o espaço amostral vai de 2 a 12, já que valor mínimo de cada dado é 1, logo a soma mínima
do lançamento de dois dados é 2 e a soma máxima é 12, já que valor máximo por dado é 6. Contudo,
a probabilidade de ocorrência dos valores difere, como pode ser visto na tabela 2 e no gráfico 2.
Tabela 2 - Tabela de probabilidades da soma do lançamento de dois dados
Valor da soma Probabilidade
2 1/36
3 2/36
4 3/36
5 4/36
6 5/36
7 6/36
8 5/36
9 4/36
10 3/36
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11 2/36
12 1/36
Fonte: elaborado com base em Pinheiro et al., 2009.
Fica claro que a probabilidade de ocorrência dos valores da variável X diferem entre si. O gráfico
2 mostra visualmente os dados da tabela 2. Os resultados foram arredondados para três casas
decimais.
Gráfico 2 - Gráfico de probabilidade da soma do lançamento de dois dados
Fonte: elaborado com base em Pinheiro et al., 2009.
Essa distribuição de probabilidades é bem diferente da distribuição de quando se lança um
dado. O caso da soma do lançamento de dois dados está bem longe de ser uma distribuição de
probabilidade uniforme, já que ela varia substancialmente, com probabilidades maiores nos valores
do meio da escala do que nos valores das pontas. A seguir apresentamos a primeira distribuição de
probabilidade utilizada com certa frequência na estatística.
TEMA 5 – DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE BINOMIAL
A distribuição de probabilidade binomial descreve variáveis aleatórias que podem ser divididas
em duas categorias, como sim ou não, aceitável ou defeituoso, votou em X ou não votou em X, cara
ou coroa. Em geral, se classificam os resultados em sucessos e fracassos, sem necessariamente uma
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valoração subjetiva que um sucesso é algo positivo e um fracasso é algo negativo. Duas exigências
dessa distribuição é que cada elemento seja independente, ou seja, obter um resultado individual
não afeta a probabilidade de se obter o mesmo resultado ou algum outro resultado específico nas
outras tentativas e que a probabilidade de obter um sucesso é a mesma para cada tentativa, ou seja,ela se mantém constante (Triola, 2006).
A função abaixo descreve a distribuição de probabilidade binomial.
Na qual:
p é a probabilidade de sucesso
q é a probabilidade de fracasso (1-p)
n é o número de tentativas
X é o número específico de sucessos em n tentativas
P (x) é a probabilidade de obter exatamente X sucessos em n tentativas
! fatorial é a multiplicação de fatores decrescentes, exemplo 4! = 4*3*2*1 = 24
Analisar a fórmula dessa distribuição não é relevante para nós, nosso foco é saber sua aplicação
e interpretar seus resultados. Abaixo estão as fórmulas que descrevem a média, variância e desvio-
padrão da distribuição binomial.
Os valores das probabilidades são expressos em decimais. Um exemplo é: qual a chance de
obter exatamente sete jurados de origem mexicana entre os doze jurados de um tribunal
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selecionados aleatoriamente de uma população que é 80% de origem mexicana em uma localidade
dos EUA (Triola, 2006)?
Se formos pela lei da multiplicação de probabilidades e considerarmos a seleção dos jurados
independentes uma das outras, o cálculo seria (0,8  = 0,21 ou 21% de chance. Porém, nesse caso
não é o valor correto porque assume que os sete primeiros jurados são de origem mexicana e os
últimos cinco dos doze não são, mas diversos outros arranjos são possíveis para sete jurados de
origem mexicana, e cinco, não. Tomando a distribuição binomial, essa probabilidade cairia para 0,053
ou 5,3% de obter exatamente sete jurados de origem mexicana entre os 12 jurados do tribunal, o
valor real é quase um quarto da probabilidade estimada pela lei da multiplicação.
Se formos calcular os parâmetros da distribuição desse exemplo, no caso média, variância e
desvio-padrão, obteríamos:
p - a probabilidade de sucesso é 0,8, no caso, obter um cidadão de origem mexicana em uma
seleção aleatória de uma população que é 80% dessa origem;
q - a probabilidade de fracasso 0,2, a probabilidade de não se obter um cidadão de origem
mexicana em uma seleção aleatória de uma população que é 80% de origem mexicana;
n – número de tentativas é 12, já que são 12 jurados selecionados aleatoriamente para compor o
júri;
Os cálculos abaixo se referem à média, variância e desvio-padrão desse exemplo:
 = 12*0,8 = 9,6
 = 12*0,8*0,2 = 1,92
 = 1,38
Para as 12 tentativas desse experimento, a média de sucessos obtidos (cidadãos de origem
mexicana selecionados aleatoriamente para o júri) é de 9,6, a variância de 1,92 selecionados para o
júri ao quadrado e o desvio-padrão de 1,38 pessoas de origem mexicana selecionadas para o júri.
TROCANDO IDEIAS
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Em um fórum de discussão, comente e reflita sobre mais casos práticos em que as regras da
adição e da multiplicação para as probabilidades se aplicam, tanto para eventos independentes
quanto dependentes.
NA PRÁTICA
Suponha que um teste de sangue para a detecção de uma doença tenha duas possibilidades de
dar resultados enganosos. Primeiro: há uma probabilidade de 3% de o teste dar um resultado falso
positivo – quando o exame diz que a pessoa tem a doença quando na verdade ela não tem – e uma
probabilidade de 4% de dar falso negativo – quando o exame aponta que a pessoa não tem a
doença em questão quando na verdade ela tem. Resultados falsos positivos e falsos negativos são
mutuamente excludentes, ou seja, não podem ocorrer ao mesmo tempo para o mesmo exame. Com
base nesses dados:
1. Calcule a probabilidade de um teste selecionado aleatoriamente ter resultados enganosos.
2. Se selecionarmos 50 testes aleatoriamente, qual o número esperado de testes que darão
resultados enganosos, seja falso positivo ou falso negativo?
FINALIZANDO
A presente aula abordou alguns conceitos fundamentais da teoria da probabilidade, que são
importantes para o entendimento das técnicas e da lógica da estatística inferencial, foco de
conteúdos posteriores, em especial o conceito de distribuição de probabilidade.
REFERÊNCIAS
LARSON, R.; FARBER, B. Capítulo 3 - Probabilidade. In:__ Estatística Aplicada. 4. ed. São Paulo:
Pearson Prentice Hall, 2010a, p. 104-153.
LARSON, R.; FARBER, B. Capítulo 4 – Distribuições de Probabilidade Discretas. In:__ Estatística
Aplicada. 4. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010b, p. 154-191.
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PINHEIRO, J. I. D.; DA CUNHA, S. B.; CARVAJAL, S. R.; GOMES, G. C. Capítulo 3 – Introdução ao
cálculo de probabilidades. In:__ Estatística Básica: a arte de trabalha com dados. São Paulo: Elsevier,
2009, p. 70-94.
TRIOLA, M. F. Capítulo 5 – Distribuições de probabilidade. In: TRIOLA, M. F. Estatística
Elementar. 10. ed. Boston: Pearson Prentice Hall, 2006, p. 198-243.