Matematica_Unidade_08_seja

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Matemática e suas Tecnologias • Matemática 1
Módulo 1 • Unidade 8
Potenciação e 
radiciação
Para início de conversa...
Discutimos anteriormente as quatro operações aritméticas: adição, 
subtração, multiplicação e divisão. Agora trabalharemos com mais duas: 
a potenciação e a radiciação. Ambas são úteis em diversas situações, seja 
para realizarmos representações numéricas, seja para efetuarmos cálculos 
de forma mais rápida. Compreender essas operações e saber utilizá-las 
para resolver problemas é importante para o entendimento de diversas 
aplicações matemáticas. O problema abaixo retrata bem essa situação.
Com cerca de 51% de brasileiros, o Orkut, comunidade base-
ada em Redes Sociais criada pelo Google, é um campo fértil 
para a boataria, ou para o Hoax, como são chamadas as men-
sagens de cunho duvidoso que circulam pela Internet. 
Na disseminação desses boatos, duas características são im-
portantes: a densidade da rede do internauta e os graus de 
separação. A densidade da rede do internauta significa, de for-
ma simples, quantos contatos esse internauta tem. Já o grau 
de separação é a distância que separa você de outra pessoa 
na rede social. Por exemplo, o grau de separação entre você e 
seu amigo é um e entre você e 
o amigo de seu amigo é dois.
Por um usuário de Orkut, 
com muitos amigos, irá trafe-
gar a maioria das mensagens 
que circulam entre os bra-
sileiros. Em outras palavras, 
quem tem mais amigos no 
Orkut também recebe mais 
boatos por e-mail. 
Módulo 1 • Unidade 82
Isso porque o Orkut possibilita o envio de mensagens a seus amigos e aos ami-
gos dos seus amigos (grau um e grau dois, respectivamente). 
Sendo assim, se você tem 10 amigos e cada amigo seu tem mais dez amigos, um 
boato que circula no Orkut tem o potencial de atingir 100 pessoas. Felizmente, o 
Orkut permite apenas a comunicação em até dois graus de separação. Se fosse 
possível enviar mensagens para toda a minha rede em até cinco graus de separa-
ção, um boato como o de um sequestro, enviado por mim a meus 54 amigos do 
Orkut, poderia atingir mais de um milhão de pessoas. Um pesadelo. 
O texto foi adaptado. A versão completa pode ser encontrada em:
http://informatica.terra.com.br/interna/0,,OI359546-EI1684,00.html
Como você pensa que, ao final do texto, se chegou ao valor de um milhão de pessoas?
Objetivos de aprendizagem 
 ƒ Definir os conceitos de potenciação e radiciação.
 ƒ Operar com potenciação e radiciação.
 ƒ Verificar que as duas operações são inversas entre si.
Matemática e suas Tecnologias • Matemática 3
Seção 1
Potenciação 
Situação problema
Pensemos numa situação em que uma pessoa fica sabendo de um boato, não neces-
sariamente verdadeiro, e gasta 10 minutos para contar para os seus três melhores amigos. 
Creio que é assim que as fofocas espalham-se. Imagine que cada um dos três amigos resolve 
fazer a mesma coisa e 10 minutos depois contam a novidade para três colegas que ainda não 
a conheciam. Assim, cada um que recebia a notícia sempre a transmitia para três colegas de-
sinformados, gastando, para isso, 10 minutos.
Veja como a fofoca espalha-se e complete a tabela:
Módulo 1 • Unidade 84
Tempo (minutos) Novos alunos que ouvem a fofoca Representação em forma de potência
10 3 31
20 3 x 3 32
30 3 x 3 x 3
40
50
60
70
a) Quantos alunos ficaram sabendo do boato no período entre 20 e 30 minutos?
b) Quantos alunos ficaram sabendo do boato na primeira meia hora?
c) Se, na escola onde estudam, há 364 alunos, em quantos minutos todos os 
alunos ficaram sabendo do boato? Lembre-se que a quantidade de pessoas 
que ficam sabendo do boato acumula-se. Por exemplo, a partir do momen-
to que a primeira pessoa conta para outras três, já são quatro sabendo do 
boato. No segundo momento, já são 1 + 3 +9 e assim sucessivamente.
Atividade
O caso da disseminação da fofoca mostra uma situação em que a potenciação 
pode ser útil. Ela nos auxilia na representação de números grandes e, de certa forma, faci-
lita cálculos com esses números. Além disso, apresenta a evolução da ordem de grandeza 
desses números.
A notação an, onde a é um número real e n é um número natural diferente de zero, é a repre-
sentação de uma potência. a é chamado de base e n é o expoente, com n significando a quan-
tidade de vezes que a base aparece como fator de uma multiplicação.
Matemática e suas Tecnologias • Matemática 5
Assim:
24 = 2 x 2 x 2 x 2
36 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3
510 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5
Perceba que esta notação facilita a escrita, simplificando a comunicação e a 
representação numérica.
Por definição, consideram-se verdadeiras as seguintes afirmações:
a1 = a
a0 = 1, para qualquer número a ≠ 0
a-n = 
1
na
, para qualquer número a ≠ 0 e para qualquer número inteiro n.
Fractal é uma forma geométrica irregular que normalmente está dividida em 
partes e cada parte é uma cópia reduzida da forma toda. A palavra fractal vem do 
latim fractus, que significa quebrado, partido ou, ainda irregular. Vários fractais são 
verdadeiras obras de arte. Algumas pessoas chegam a duvidar que, por trás de tanta 
beleza, haja fórmulas matemáticas avançadas. Veja alguns exemplos de fractais feitos 
em computador, a partir de fórmulas matemáticas. São ou não são muito belas?
Módulo 1 • Unidade 86
Além desses fractais, construídos com a utilização da Informática, outros mais 
simples podem ser encontrados. Um deles é o Triângulo de Sierpinsky (descoberto pelo 
matemático Waclav Sierpinsky 1882-1969), construído a partir de um triângulo inicial e 
uma regra: dividir o triângulo em 4 partes iguais e retirar a parte central. A cada triângulo 
restante é aplicada a mesma regra, infinitas vezes. Veja o desenho abaixo:
Observe que, com base nesse desenho, podemos realizar algumas operações 
matemáticas com a utilização da potenciação.
Fase Número de Triângulos
1 1 30
2 3 31
3 9 32
4
5
6
7
8
9
10
Matemática e suas Tecnologias • Matemática 7
a) Escreva em forma de potência quantos triângulos haveria na fase 50? 
_______________.
b) Que fração do triângulo da fase 1 permanece pintada na fase 5? 
________________
c) E na fase 10? ________________.
A Água em Números
Estoque total de água do planeta: 1,5 bilhão de Km3
Volume mundial disponível para consumo: 9 mil de Km3
Superfície da Terra coberta pela água: 372 milhões de Km3
1,4 bilhão de pessoas carecem de acesso à água potável, o que corresponde 
aproximadamente a um sexto da população mundial;
2.400 milhões dos habitantes do planeta não têm acesso a serviços de sanea-
mento adequados, ou seja, o equivalente a 40% dos habitantes do planeta;
Fonte: Departamento de Informação Pública da ONU, DPI/2283/Rev.1, Dezembro de 2002
Módulo 1 • Unidade 88
a) Observe que aparecem diversos valores grandes. Veja alguns desses núme-
ros escritos de outras formas:
 ƒ 1,5 bilhão de Km3 = 1.500.000.000 de km3 = 1,5 x 109 de km3
 ƒ 9 mil de km3 = 9.000 de km3 = 9 x 103 de km3
 ƒ 372 milhões de km3 = 372.000.000 de km3 = 3,72 x 108 de km3
b) No texto, aparecem ainda outros números. Escreva esses números, usando 
outras representações:
a) 1,4 bilhão de pessoas =
b) 1100 milhões de pessoas =
c) 2400 milhões dos habitantes =
É normal o uso da notação científica, isto é a escrita de um número com auxílio 
de potências de base 10. Geralmente, usa-se o seguinte formato:
A x 10n
Nessa fórmula, A é um número maior que 1 e menor que 10, e n é o expoente de 10.
Para escrever um número muito grande em notação científica, procede-se 
a divisão sucessiva por 10 até que encontremos um resultado entre 
1 e 10, lembrando que ao dividirmos um número por 10 há um deslocamento da vír-
gula para a esquerda. A quantidade de divisões efetuadas, ou seja,a quantidade de 
deslocamentos da vírgula é o expoente do 10. Observe o exemplo:
Hoje vivem na terra cerca de 6 bilhões de habitantes.
6 bilhões = 6.000.000.000 = 6 x 109
Matemática e suas Tecnologias • Matemática 9
Você sabia que a massa da Terra é 
aproximadamente 6,02 x 1024 kg? Isto repre-
senta 6.020.000.000.000.000.000.000.000 kg. 
Como vê, a notação inicial é muito mais con-
veniente. Veja outros valores escritos em 
notação científica e escreva-os em sua repre-
sentação decimal:
a) Raio da Terra: 6,40 x 106 m = 
b) Massa da Lua: 7,44 x 1022 kg = 
c) Distância Terra-Lua (centro a centro): 3,84 x 108 m = 
Observe que até agora a notação científica foi utilizada para representar valores muito gran-
des. Acontece que ela também pode ser utilizada para representar valores muito pequenos. 
Em Biologia, Química e tecnologias computacionais, costuma-se fazer muito uso desse tipo 
de notação.
Para escrever um número muito pequeno em notação científica, procede-se a multiplicação 
sucessiva por 10 até que encontremos um resultado entre 1 e 10, lembrando que ao multi-
plicarmos um número por 10 há um deslocamento da vírgula para a direita. A quantidade de 
multiplicações efetuadas, ou seja, a quantidade de deslocamentos da vírgula é representada 
por um número. Esse número com o sinal negativo é o expoente do 10.
O exemplo a seguir mostra porque o sinal do expoente é negativo. Para representar o número 
0,000000000000000000000006 em notação científica, poderíamos pensar da seguinte forma:
−= = = × 2424
6 6
0,000000000000000000000006 6 10
1000000000000000000000000 10
Módulo 1 • Unidade 810
Represente os valores seguintes em notação científica:
a) 34000000000000000
b) 1230000000000
c) 0,000000000123
d) 0,000000173
Represente os valores abaixo em notação decimal:
a) 1,23x108
b) 3,4x105
c) 5,3x10-6
d) 1,2x10-8
Seção 2
Radiciação
Situação problema 2:
Ainda com base no que você estudou na seção anterior, tente colocar nos quadrados 
os valores que torne as igualdades verdadeiras:
2 3 4
a) = 9 a) = 27 a) = 16
2 3 4
b) = 64 b) = 1000 b) = 81
2 3 4
c) = 100 c) = 64 c) = 10000
Matemática e suas Tecnologias • Matemática 11
Perceba que nessa atividade você conhecia o resultado da potenciação e queria des-
cobrir a base. Veja o exemplo:
2
= 9
Veja que aqui estávamos procurando um número que elevado ao quadrado (2) tem 9 
como resultado. Nesse caso, dizemos que estamos realizando a operação inversa da poten-
ciação. É o que denominamos radiciação e dizemos que a raiz quadrada de 9 é o número que 
poderia substituir o quadradinho, no caso 3.
Outro exemplo: 
3
= 27
Aqui procuramos um número que elevado ao cubo (3) tem 27 como resultado. A raiz 
cúbica de 27 é o número que poderia substituir o quadradinho, 3.
=3 27 3 porque =33 27 
Generalizando: se um número A for elevado a um expoente n ( nA ) resultando em um 
valor B ( =nA B ), então a raiz enésima de B ( n B ) será A ( =n B A ), logo:
=n B A porque =nA B 
A, B e n devem ser números reais e n deve ser maior que zero.
Os elementos da radiciação possuem nomes específicos, na operação =
n A B ,
n é o índice;
A é o radicando;
 é o radical;
B é a raiz.
16 se escreve sem o índice, pois quando o índice é 2 ele não é representado.
Módulo 1 • Unidade 812
Calcule os resultados das seguintes raízes:
16 = 
=3 27
=4 256
=5 32
=6 1000000
Você sabe o que são números irracionais?
Nem sempre conseguimos encontrar um valor inteiro como resultado de uma raiz de um nú-
mero natural. Por exemplo 5 , onde precisaríamos encontrar um número que elevado ao qua-
drado (2) tem 5 como resultado. Em casos como esse, podemos utilizar a calculadora ou atribuir 
uma aproximação para o resultado pretendido.
Números como esse pertencem ao conjunto dos números irracionais, isto é, números que não 
podem ser escritos em forma de fração.
Coloque nos  os símbolos = ou ≠.
a) 25 + 16  41
b) +100 36  10 + 6
c) ⋅100 36  10 · 6
d) +2 210 6  10 + 6
e) +2 210 6  10 + 6
f ) +2 210 6  136
7
Matemática e suas Tecnologias • Matemática 13
Momento de reflexão
Potenciação, radiciação, notação científica. Pois é, muito cálculo e muita coisa para se 
pensar. Esses assuntos foram tratados nessa unidade e cada um tem sua importância, seja 
para resolver problemas, efetuar cálculos ou para representação numérica de forma diferen-
ciada. Muito disso já pode ter sido visto por você em outros momentos, porém pode ser que 
isso já faça algum tempo. Mas, se tudo isso é novidade para você, não ser preocupe, o que 
importar é saber reconhecer o que foi aprendido e o que ainda precisa ser reforçado, e escre-
ver sobre isso poder orientar você na busca de ampliação de seu conhecimento. É isso que 
propomos aqui, pense e escreva sobre as seguintes questões:
 ƒ O que foi mais difícil na discussão dos conteúdos tratados?
 ƒ O que mais chamou a atenção?
 ƒ Já deparou com esses conteúdos ao estudar outras disciplinas? O que especificamente?
Momento
de
reflexão
Voltando à conversa inicial...
As operações de Potenciação e Radiciação foram tratadas nessa unidade. Vimos que 
a representação de números por meio das potências torna mais simples a representação de 
quantidades muito grandes ou muito pequenas. Dizer 5x1012 é bem mais simples e econômi-
co do que escrever 5.000.000.000.000, da mesma forma que 3x10-7 é mais interessante de se 
escrever do que 0,0000003.
A radiciação, como inversa da potenciação, foi trabalhada ao mesmo tempo em que 
vimos a impossibilidade de se calcular diretamente algumas raízes cujo resultado são núme-
ros irracionais. Essas podem ser calculadas por aproximação, com o auxílio da calculadora. 
Voltando ao problema apresentado inicialmente, sobre o Orkut, primeiramente é im-
portante dizer que quando o autor fala de dois graus de separação ele se refere aos seus 
amigos e aos amigos de seus amigos. Considerando cinco graus de separação teremos:
Grau de 
separação
Quantidade de novas pessoas 
atingidas
Total de pessoas atingidas pelo 
boato
1 54 54 
2 54 x 20 = 1.080 1.080 + 54 = 1.134 
3 1.080 x 20 = 21.600 21.600 + 1.134 = 22.734 
4 21.600 x 20 = 432.000 432.000 + 22.734 = 454.734 
5 432.000 x 20 = 8.640.000 8.640.000 + 454.734 = 9.094.734 
São nove milhões, noventa e quatro mil, setecentos e trinta e quatro pessoas: muita 
gente!
Você já pensou em um número que está em todo lugar. Que tal assistir a um filme e 
pensar sobre isto? O filme é Número 23 dirigido por Joel Schumacher.
Ao assistir a esse filme, fique atento como a presença dos números influencia as diver-
sas ações da personagem principal. 
Matemática e suas Tecnologias • Matemática 15
Referências
Imagens
  •  http://www.sxc.hu/photo/789420
  •  http://www.sxc.hu/photo/1260787
  •  http://www.flickr.com/photos/rosepetal236/2511852611/
  •  http://www.flickr.com/photos/craft_uas/1693597432/
  •  http://www.flickr.com/photos/49403380@N00/2437476071/
  •  http://www.flickr.com/photos/doodle_m/4678606798/
  •  http://www.sxc.hu/photo/1191367
  •  http://www.sxc.hu/photo/1093768
  •  http://www.sxc.hu/photo/1370768
  •  http://www.sxc.hu/photo/923013
  •  http://www.sxc.hu/browse.phtml?f=download&id=1220957  •  Ivan Prole.
  •  http://www.sxc.hu/985516_96035528.
Bibliografia consultada
PAIVA, M. A. V.; FREITAS, R. C. O. Matemática. In: SALGADO, Maria Umbelina Caiafa; 
AMARAL, Ana Lúcia.. (Org.). ProJovem Urbano. Ed. Brasilia DF: Governo Federal/Programa Na-
cional de Inclusão de Jovens, 2008, v. 1,2,3,4,5,6.
POZO, Juan Ignacio et al. (Org.); tradução de Beatriz Affonso Neves. A Solução de Pro-
blemas: Aprender a resolver, resolver para aprender.Porto Alegre: Artmed, 1998.
Módulo 1 • Unidade 816
Matemática e suas Tecnologias • Matemática 17
Anexo • Módulo 1 • Unidade 8
O que 
perguntam 
por aí?
Atividade 1 (ENEM 2010)
Um dos grandes problemas da poluição dos mananciais (rios, córregos e outros) ocor-
re pelo hábito de jogar óleo utilizado em frituras nos encanamentos que estão interligados 
com o sistema de esgoto. Se isso ocorrer, cada 10 litros de óleo poderão contaminar 10 mi-
lhões (107) de litros de água potável.
Manual de etiqueta. Parte integrante das revistas Veja (ed. 2055), Cláudia (ed. 555), National Geographic (ed. 
93) e Nova Escola (ed. 208) (adaptado).
Suponha que todas as famílias de uma cidade descartem os óleos de frituras através 
dos encanamentos e consomem 1 000 litros de óleo em frituras por semana. Qual seria, em 
litros, a quantidade de água potável contaminada por semana nessa cidade?
a) 10-2
b) 103
c) 104
d) 106
e) 109
Anexo • Módulo 1 • Unidade 818
Atividade 2 (ENEM 2011)
Matemática e suas Tecnologias • Matemática 19
Anexo • Módulo 1 • Unidade 8
Caia na 
Rede!
Na onda dos fractais
Na atividade 1 desta unidade, falamos um pouco sobre os fractais, essas imagens sur-
preendentes realizadas a partir de padrões matemáticos. Se você ficou interessando em co-
nhecer mais sobre os fractais, tenho duas dicas para te dar.
A primeira dica é o site: www.fractarte.com.br. 
Lá você poderá encontrar mais formas parecidas com 
as vistas na atividade. Clique no link galeria e visite 
as imagens que estão expostas. Caso queria aprender 
um pouco mais sobre fractais e como eles são elabo-
rados, clique no link artigos, nele você vai encontrar 
muita informação interessante.
Caso você queira ter um fractal só seu, a se-
gunda dica é baixar um arquivo de Excel, disponível 
no  site:  info.abril.com.br/downloads/mandelbrot-
-macro. Com este arquivo você poderá gerar fractais 
para salvar em seu computador. 
Anexo • Módulo 1 • Unidade 820
Seção 1 – Potenciação
Situação problema
9 alunos
3 + 9 + 27 = 39 alunos
Em 50 minutos todos os alunos da escola ficam sabendo do boato. Observe:
Tempo (minutos) 10 20 30 40 50
Novos alunos que ouvem a fofoca 3 9 27 81 243
3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 363
363 +1(o que cria a fofoca) = 364 (número de alunos)
Atividade 1
Fase Número de triângulos
1 1 30
2 3 31
3 9 32
4 27 33
5 81 34
6 243 35
7 729 36
8 2187 37
9 6561 38
10 19683 39
a) 349 triângulos
b) 
 
 
 
43
4
c)   
 
93
4
Matemática e suas Tecnologias • Matemática 21
Fase Fração pintada
1 1
2
3
4
3  =  
 
29 3
16 4
4  =  
 
327 3
64 4
5   
 
43
4
6   
 
53
4
... ...
10   
 
93
4
Atividade 2
a) 1,4 bilhão de pessoas = 1,4 x 109 de pessoas = 1.400.000.000 de pessoas
b) 1100 milhões de pessoas = 1,1 x 109 de pessoas = 1.100.000.000 de pessoas
c) 2400 milhões dos habitantes = 2,4 x 109 dos habitantes = 2.400.000.000 dos 
habitantes
Atividade 3
a) 6.400.000 m
b) 74.400.000.000.000.000.000.000 Kg
c) 384.000.000 m
Atividade 4
a) 34000000000000000 = 3,4 x 1016
b) 1230000000000 = 1,23 x 1012
c) 0,000000000123 = 1,23 x 10-10
d) 0,000000173 = 1,73 x 10-7
Anexo • Módulo 1 • Unidade 822
Atividade 5
a) 1,23x108 =123000000
b) 3,4x105 = 340000
c) 5,3x10-6 =0,0000053
d) 1,2x10-8 = 0,000000012
Situação problema 2
2 3 4
a) 3 = 9 a) 3 = 27 a) 2 = 16
2 3 4
b) 8 = 64 b) 10 = 1000 b) 3 = 81
2 3 4
c) 10 = 100 c) 4 = 64 c) 10 = 10000
Seção 2 – Radiciação
Atividade 6
16 = 4
=3 27 3
=4 256 4
=5 32 2
=6 1000000 10
Atividade 7
a) 25 + 16 ≠ 41
b) +100 36 ≠ 10 + 6
c) ⋅100 36 = 10 · 6
d) +2 210 6 = 10 + 6
Matemática e suas Tecnologias • Matemática 23
e) +2 210 6 ≠ 10 + 6
f ) +2 210 6 = 136
O que perguntam por aí?
Atividade 1
Resposta: Letra E
Atividade 2 
Resposta: Letra A