21 - Teorema de Herbrand

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Lógica de Predicados
Teorema de Herbrand 
e Unificação
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Desejo antigo...
Encontrar um procedimento geral de decisão para verificar a validade (ou inconsistência) de uma fórmula
Leibniz (1700s)
Peano (1700s-1800s)
Hilbert na década de 20 
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Church e Turing[1936] -> impossível!!
Não existe um procedimento de decisão para verificar a validade de fórmulas da lógica de predicados 
Mas existem métodos de prova que podem verificar se uma fórmula é válida se realmente ela for!! 
Para fórmulas inválidas, esses procedimentos são indecidíveis 
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Herbrand (1930) 
Uma fórmula válida é verdadeira sob todas as suas interpretações
Herbrand desenvolveu um algoritmo para encontrar uma interpretação que pode invalidar uma fórmula!
No entanto, se ela é válida, nenhuma dessas interpretações pode existir 
O algoritmo termina após um número finito de tentativas!
O método de Herbrand é a base para muitos métodos modernos de prova automática 
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Reduzindo o problema
Um conjunto S de cláusulas é insatisfatível sse for falso sob todas as interpretações sobre todos os domínios
Mas... é inconveniente e impossível considerar todas as interpretações sobre todos os domínios
Idéia: usar um domínio especial H, tal que S é insatisfatível se e somente se S é falso sob todas as interpretações sobre H
H é o universo de Herbrand de S
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Universo de Herbrand de um Conjunto de Cláusulas (H)
Se Ho é o conjunto de constantes que aparecem em S
Se nenhuma constante aparece em S
então Ho é formado por uma única constante, Ho={a}
Se f é um símbolo funcional n-ário ocorrendo em S, e 
se t1, ...,tn são termos que pertencem a H, então o termo f(t1, ...,tn) também pertence a H
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Exemplos de universos de Herbrand
S = {P(x)  Q(x), P(x)}
H0 = H = {a}
S = {P(a), P(x)  P(f(x))}
H0 = {a}
H1 = {a, f(a)}
H2 = {a, f(a), f(f(a))}
...
H = H = {a, f(a), f(f(a)), f(f(f(a))), ... }	
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Base de Herbrand
Um termo-base é um elemento de H 
Uma base de Herbrand para S é o conjunto B(S) de todas as fórmulas atômicas da forma P(t1, ...,tn)
P é um símbolo predicativo ocorrendo em S 
t1, ...,tn termos-base
Exemplo: S = {P(x)  Q(x), R(f(y))}
H = {a, f(a), f(f(a)), ... }
B(S) = {P(a), Q(a), R(a), P(f(a)), Q(f(a)), R(f(a)), ...}
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Interpretação de Herbrand
Uma interpretação I para S é uma interpretação de Herbrand para S sse 
o domínio U de I é H
para cada constante a de S, aI = a
para cada função f de S, fI(t1, ...,tn) = f(t1, ...,tn), 
para cada t1, ...,tn  H(S)
Também chamada de H-interpretação
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Exemplos de H-interpretações
S = {P(x)  Q(x), R(f(y))}
H = {a, f(a), f(f(a)), ... }
B(S) = {P(a), Q(a), R(a), P(f(a)), Q(f(a)), R(f(a)), ...}
Algumas H-interpretações para S:
I1 = {P(a), Q(a), R(a), P(f(a)), Q(f(a)), R(f(a)), ... }
I2 = {P(a), Q(a), R(a), P(f(a)), Q(f(a)), R(f(a)), ... }
I3 = {P(a), Q(a),  R(a), P(f(a)),Q(f(a)), R(f(a)),...}
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H-interpretação correspondente
Dada uma interpretação I, uma H-interpretação I* correspondente a I é uma H-interpretação em que
Sendo h1, ..., hn elementos de H (o universo Herbrand de S)
Sendo cada hi mapeado para alguma variável di 
Se é atribuído a P(d1, ... , dn) V(F) por I, 
então para P(h1, ... , hn) também é atribuído V(F) em I* 
Se uma interpretação I sobre algum domínio D satisfaz um conjunto de cláusulas S, então qualquer H-interpretação I* correspondente a I também satisfaz S 
Exs: I1 e I2
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Árvores semânticas
Encontrar uma prova para um conjunto de cláusulas S é 
gerar uma árvore semântica fechada!
Árvores semânticas completas
contém todas as possibilidades
Em LPO, as árvores são infinitas...
Mas, se S é insatisfatível, uma árvore semântica sobre H é fechada e finita!
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Árvore semântica
S = {P(x), Q(f(x))}
B = {P(a), Q(a), P(f(a)), Q(f(a)), P(f(f(a))),...}.
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Árvore semântica completa
S = {P(x), P(a)}
B = {P(a)} 
P(a)		 P(a)
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Exemplos de árvores semânticas completas
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Nós de falha
S = {P, Q v R, P v Q, P v R}
B = {P, Q, R}. 
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Árvore semântica fechada
S = {P(x), 
	P(x) v Q(f(x)), Q(f(a))}
B = {P(a), Q(a), P(f(a)), Q(f(a)), ...} 
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Teorema de Herbrand
Um conjunto de cláusulas é insatisfatível sse há um conjunto finito insatisfatível de instâncias-base de cláusulas de S
Reduz o problema da insatisfatibilidade de um conjunto de cláusulas ao problema de gerar um conjunto finito de instâncias básicas das cláusulas do conjunto que seja insatisfatível
Tal conjunto sempre existirá se S for insatisfatível
...mas poderá não existir em caso contrário. 
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Método de Herbrand
1. Dado um conjunto S de cláusulas, gere todos os conjuntos finitos S0, S1, ..., Sn, ... de instâncias-base
2. Para cada conjunto Si gerado, teste se Si é insatisfatível
3. Pare com SIM, se Si é insatisfatível
4. Pare com NÃO, se não houver novos conjuntos a gerar
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Decidibilidade
Esse procedimento:
sempre pára com SIM quando S for insatisfatível
nunca pára quando S for satisfatível e existir um conjunto infinito de instâncias básicas de cláusulas de S
sempre pára com NÃO quando S for satisfatível mas o conjunto de instâncias básicas de cláusulas de S é finito
Procedimento de decisão parcial para o problema da insatisfatibilidade de conjunto de cláusulas
Procedimento de decisão para o problema da insatisfatibilidade de conjunto de cláusulas cujo conjunto de instâncias básicas é finito
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Implementação de Gilmore (60)
S = {P(a), ~P(x)  Q(f(x)), ~Q(f(a))}
H0	= {a}
Geram-se todos os Si (método multiplicativo)
S0	= P(a) & (~P(a)  Q(f(a))) & ~Q(f(a))
= ((P(a) & ~P(a))  (P(a) & Q(f(a)))) & Q(f(a))
= (P(a) & ~P(a) & ~Q(f(a)))  (P(a) & Q(f(a)) & ~Q(f(a)))
=				F		  F
= 					F
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Avaliação do algoritmo
MUITO INEFICIENTE!!!
Ordem de 2n , onde n é o número de instâncias-base
Imagine com 500 instâncias...
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Algoritmo de Davis-Putnam
	M .Davis, H. Putnam, “A computing procedure for quantification theory", J. of ACM, Vol. 7, pp. 201-214, 1960
Iterativamente escolhe uma variável até que não haja mais variáveis
INSAT se chegarmos à cláusula vazia
Joga fora cláusulas resolvidas depois de cada iteração
SAT
INSAT
Problemas de explosão de memória!
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Para resolver isso: Unificação 
2 fórmulas são unificáveis sse existir uma substituição que, se aplicada a ambas, torna-as iguais
Como unificar??
Fazendo substituições inteligentes de variáveis nas 2 fórmulas 
Existe um bom algoritmo para isso...
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Substituição
É um conjunto O={x1<-t1, ..., xn<-tn}
xi é variável, ti termo e xi<>ti
xi<>xj, com i<>j
Existe substituição vazia ({})
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Aplicação de substituição
S é uma expressão e O uma substituição
O={x1<-t1, ..., xn<-tn}
A aplicação de O em S (SO) é o conjunto obtido de S substituindo simultaneamente: 
Todas as ocorrências xi por ti
Se O={}, SO=S 
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Exemplo 
C1 = {p(y1), q(y1,z,x)}
C2 = {p(x), q(w), r(w,y1,z,x,z)}
O = {y1w, wg(a,z,x), xw}
A aplicação de O em C1 e C2 é
C1O= {p(w), q(w,z,w)}
C2O = {p(w), q(g(a,z,x)), r(g(a,z,x),w,z,w,z)}
C1 e C2 não tinham literais complementares...
Mas C1O e C2O têm!
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Composição de substituições
Dadas 2 substituições O1 e O2
A composição O1O2 deve manter a propriedade S(O1O2) = (SO1)O2
S é um conjunto de expressões
O1={xy}, O2={yb}, S={p(x,y)}
S(O1)O2 = (p(x,y){xy}){yb}=p(b,b) 
S(O1O2) = p(x,y){xy,yb}=p(y,b)!!
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Como resolver??
Antes de substituir {x<-y} e {y<-b}
Aplicar {y<-b} nos termos y que ocorre em O1 ({x<-y})
O1O2={x<-y{y<-b},y<-b}={x<-b,y<-b}
O3= {x<-w} e O4= {w<-x}
O3O4=???
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Composição de substituições
O3O4={x<-w{w<-x},w<-x}=
{x<-x,w<-x} = {w<-x}
O5= {x<-a} e O6= {x<-b}
O5O6={x<-a{x<-b},x<-b}= 		{x<-a,x<-b} = {x<-a}
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Composição de substituições
O1={x1<-t1,...xn<-tn}
O2={y1<-s1,...ym<-sm}
Algoritmo para O1O2:
1- Construa F={x1<-t1O2,...,xn<-tnO2, y1<-s1,...ym<-sm}
2- Elimine as substituições yi si quando yi=xj
3- Elimine as substituições xi tiO2 quando xi=tiO2
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Exemplo de composição
O1={xf(y),wz,zx} e O2={yw,xz,zw}, O1O2=?
O1O2={xf(y)O2,wzO2,zxO2, yw,xz,zw} (1)
={xf(w),ww,zz, yw,xz,zw}
={xf(w),ww,zz, yw} (2: xz e zw foram eliminadas; x e z estão em O1)
={xf(w), yw} (3)
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Propriedades da composição
O1{}={}O1=O1
(CO1)O2=C(O1O2)
O1(O2O3)=(O1O2)O3
Provadas por indução
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Gerando complementares
C1={p(x)} e C2={p(a)} não possuem literais complementares
Com O1={xa}
C1O1={p(a)} e C2O2={p(a)} com literais complementares
C3={p(f(x),y,x)} e C4={p(z,g(z),a)} 
O2=?? | C3O2=C4O2
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Expressões unificáveis
Um conjunto de expressões é unificável se existir uma substituição O que faça SO=1
O é unificador de S
Ex: S={p(x,y),p(w,x)}
O1={xw, yx} é unificador de S
O2={xa, ya, wa} também
O1 é mais geral que O2
O2, usando a, é mais específica
O2 pode ser obtida de O1
O2=O1{wa,xa} 
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Unificador mais geral
Se O é unificador de S, ele é o mais geral se para qualquer unificador Oi
Exista uma substituição F | Oi=OF
Pode ter mais de um...
O1={xw,yg(f(w)),zf(w)} unifica S={p(f(x),y,x),p(z,g(z),w)} 
O2={xa,wa,yg(f(a)),zf(a)} tb!
O1 é mais geral pois O2=O1{wa}
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Conjunto de diferenças
Dado S={A1,...An}, um conjunto de expressões, o conjunto de diferenças é achado pelo algoritmo
1-Pegue o primeiro símbolo de cada expressão Ai
2-Se todos os símbolos coincidem, passe para o próximo símbolo
Senão o conjunto de diferenças é D={E1,...,En}
D pode ser vazio
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Exemplo de conjunto de diferenças
S={p(f(x),y,x),p(z,g(z),a)}
D1={f(x),z}
D2=...
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Unificação 
Dado um conjunto de expressões S, se S é unificável, acha-se um Unificador mais geral (ou indica-se a impossibilidade) fazendo:
1- k=0, O0={}
2-Se SOk=1, Ok é este unificador
Senão ache o conjunto de diferenças Dk de SOk
3-Se existe uma variável x e um termo t em Dk de forma que x não ocorra em t, então faça Ok+1=Ok{xt} e incremente k
Se não existir, S não é unificável
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Exemplo de unificação
S={p(f(x),y,x), p(z,g(z),w)}
k=0, O0={}, SO0=S <>1, D0={f(x),z}
z não ocorre em f(x), O1=O0{zf(x)}
k=1, O1={}{zf(x)}={zf(x)}
SO1={p(f(x),y,x), p(f(x), g(f(x)),w)}
SO1<>1, D1={y,g(f(x))}
y não ocorre em g(f(x))
O2={zf(x)}{yg(f(x))} ={zf(x),yg(f(x))}, k=2
SO2={p(f(x),g(f(x)),x), p(f(x), g(f(x)),w)} <> 1
D2={x,w}
x não ocorre em w, O3={zf(x)}{yg(f(x))}{xw}
O3={zf(w)}{yg(f(w)),xw}, k=3
SO3={p(f(w), g(f(w)),w)} = 1 
O3 é o unificador mais geral 
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Exemplo não-unificável
S={p(f(x)),p(x)}
D0={f(x),x} e x ocorre em f(x)
Se continuamos ??
Prolog normalmente não testa a ocorrência, para dar mais eficiência
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Cenas dos próximos capítulos
Agora que temos a unificação, a resolução terá um passo só...