ESTATISTICA resumo geral de estatística

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ESTATÍSTICA BÁSICA- 2017-2
ENGENHARIA DE PRODUÇÃO NOTURNO - DTI
adaptado de vários autores
Prof:Ayres Geraldo Loriato
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amostra ou população
Em alguma fase de seu trabalho, o pesquisador se vê às voltas com o problema de analisar e entender um conjunto de dados. Se forem informações sobre uma amostra ou população, ele necessitará resumir os dados para que eles sejam informativos, ou para compará-los com outros resultados, ou ainda para julgar sua adequação a alguma teoria
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CLASSIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS
Uma variável é denominada qualitativa Nominal quando não existe qualquer possibilidade de ordenação nas possíveis realizações. É considerada qualitativa Ordinal quando existe alguma ordem nos possíveis resultados.
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ESTATÍSTICA DESCRITIVA
 Medidas de Tendência Central
 Medidas de Dispersão
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Uma medida de Tendência Central é um valor no centro ou no meio de um conjunto de dados.
 Busca-se um valor representativo para este conjunto de dados. Sendo um medida central:
 	 	Média
 		Mediana
 		Moda
 		Ponto Medio
MÉDIA ARITMÉTICA
	A média aritmética de um conjunto de valores é o valor obtido somando-se todos eles e dividindo-se o total pelo número de valores.
 x é a variável usada para representar valores individuais dos dados
 n representa o número de valores em uma amostra
Amostra
População
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Neste momento serão abordadas as características da variação, de grande importância para Estatística.
	Busca-se um valor representativo para este conjunto de dados. Sendo uma medida de dispersão:
 	 	Amplitude
 		Variância
 		Desvio-Padrão
DESVIO-PADRÃO E VARIÂNCIA
O desvio-padrão é a mais importante medida de variação. Leva em consideração todos os valores e por isso possui os cálculos mais trabalhosos.
Definição: O desvio-padrão de um conjunto de valores é uma medida da variação dos valores em relação à média.
Dados amostrais
Dados populacionais
MEDIDAS DE POSIÇÃO
Permitem a comparação de valores mais facilmente.
 Escores z
 Quartis
 Decis 
 Percentis
DEFINIÇÃO
O escore padronizado, ou escore z é o número de desvios-padrão pelo qual um valor x dista da média (para mais ou para menos). 
Amostra
População
É recomendável o seguinte processo para achar probabilidades de uma variável aleatória com distribuição de probabilidades normal:
 Trace uma curva normal, assinale a média e outros valores de interesse, e sombreie a região que representa a probabilidade desejada.
 Para cada valor x fronteira da região sombreada, aplique a fórmula de padronização para achar o escore z correspondente.
 Recorra a tabela para achar a área da região sombreada. Essa área será a probabilidade desejada.
EXEMPLO
As alturas das mulheres têm distribuição normal com média de 63,6 in. e desvio-padrão de 2,5 in., (dados do Serviço Nacional de Saúde dos EUA). Selecionada ao acaso uma mulher, determine a probabilidade de a sua altura estar entre 63,6 e 68,6 in.
z
0
2
63,6
68,6 
x altura
1°
2°
Recorremos a tabela e para z = 2 temos a área de 0,4772
3°
OS CINCO NÚMEROS DOS QUARTIS
Covariância e Correlação
Variância é uma medida unidimensional.
É calculada de maneira independente pois não leva em consideração as outras dimensões.
Covariância por sua vez, é uma medida bi-dimensional. Verifica a dispersão, mas levando em consideração duas variáveis aleatórias.
Também pode se escrever:
Coeficiente de determinação [adimensional],
O coeficiente de determinação (R2) tem interpretação física 
diferente do coeficiente de correlação, neste caso quando o 
coeficiente R2 assume o valor igual a um ele indica que as 
estimativas das concentrações observadas e modeladas têm 
uma relação linear e caso assuma o valor zero não existe uma 
relação linear. Pode representar o percentual de explicação do 
Modelo em relação aos dados observados.
DIAGRAMA EM ÁRVORE
São dadas 3 caixas, como segue:
A caixa I tem 10 lâmpadas, das quais 4 são defeituosas.
A caixa II tem 6 lâmpadas, das quais 1 é defeituosa.
A caixa III tem 8 lâmpadas, das quais 3 são defeituosas.
Selecionamos uma caixa aleatoriamente e então retiramos uma lâmpada, também aleatoriamente. Qual é a probabilidade (p) de a lâmpada ser defeituosa?
PROBABILIDADE CONDICIONAL
1- Selecionamos uma das 3 caixas
2- Selecionamos uma lâmpada que é defeituosa (D) ou não-defeituosa (ñD)
Caixa I
Caixa II
Caixa III
1/3
1/3
1/3
Lâmp. D
Lâmp. ñD
Lâmp. D
Lâmp. ñD
Lâmp. D
Lâmp. ñD
4/10
6/10
1/6
5/6
3/8
5/8
TEOREMA DE BAYES E PARTIÇÕES
A1
A2
An
A3
A4
......
B
Portanto
Teorema de Bayes
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS e CONTÍNUAS
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 1, se ocorrer “sucesso” 
 X = 
 0, se ocorrer “fracasso” 
e sua função de probabilidade pode ser representada pela tabela
 Repetições independentes de um ensaio de Bernoulli, com a mesma probabilidade de ocorrência de “sucesso”, dão origem ao modelo de probabilidade binomial.
Segue que
 E(X) = p,
 Var(X) = p(1 – p).
X
1
0
P(X=x)
p
1 -p
“X ~ Bernoulli (p)” indica uma v.a. com distribuição de Bernoulli com parâmetro p, isto é,
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DEFINIÇÃO
Um experimento binomial satisfaz as seguintes condições:
 O experimento deve comportar um número fixo de provas;
 As provas devem ser independentes;
 Cada prova deve ter todos os resultados classificados em duas categorias;
 As probabilidades devem permanecer constantes para cada prova.
FÓRMULA DA PROBABILIDADE BINOMIAL
Em um experimento binomial, as probabilidades podem ser calculadas utilizando-se a fórmula da probabilidade binomial
n = número de provas.
x = número de sucessos em n provas.
p = probabilidade de sucesso em qualquer prova.
q = probabilidade de falha em qualquer prova.
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
A distribuição de Poisson é uma distribuição discreta de probabilidade, aplicável a ocorrências de um evento em um intervalo especificado. A variável aleatória x é o número de ocorrências do evento em um intervalo. O intervalo pode ser o tempo, a distância, a área ou o volume ou outra unidade análoga.
Exemplos:
 Clientes chegando ao caixa de um supermercado;
 Carros chegando a um posto de gasolina;
 Os usuários de micro-computadores ligados a internet, ...
 Que a variável aleatória k seja o número de ocorrências de um evento em um intervalo de tempo;
 
 Que as ocorrências sejam aleatórias;
 Que as ocorrências sejam independentes e
 Que as ocorrências sejam distribuídas uniformemente sobre o intervalo considerado.
A DISTRIBUIÇÃO DE POISSON EXIGE:
Fórmula:
EXEMPLO
Para fins de análise dos impactos de bombas V-1 na Segunda Guerra Mundial, o sul de Londres foi subdividido em 576 regiões com área de 0,25 Km2 cada. A área conjunta das 576 regiões foi atingida por 535 bombas. Escolhida aleatoriamente uma região, determine a probabilidade de ela ter sido atingida exatamente duas vezes.
Como tratamos de ocorrências de impactos de bomba no intervalo de uma região, adotamos a distribuição de Poisson
Precisamos do número médio de impactos por região
Logo a probabilidade de uma região particular ser atingida exatamente duas vezes é 0,170 = 1,7%
Principais Modelos Contínuos
Adaptado de Prof. Víctor Hugo Lachos Dávila
Modelo UNIFORME
Modelo EXPONENCIAL
Modelo NORMAL
Distribuição QUI-QUADRADO
Distribuição t-STUDENT 
28
 
Distribuições Marginais
• Se P(X=xi, Y=yj) para i=1,m e j=1,n representa a probabilidade conjunta do evento bivariado (X,Y)
• As funções abaixo representam as probabilidades marginais para X=xi e Y=yj
Y\X
0
1
2
3
P(y)
0
1/8
1/4
1/8
0
1/2
1
0
1/8
2/8
1/8
1/2
p(x)
1/8
3/8
3/8
1/8
1
Na tabela abaixo:
Basta olhar o final linha ou coluna que impõe a condição da probabilidade marginal (setas).
Probabilidade Marginal 
DISTRIBUIÇÃO CONDICIONAL
REPRESENTA A PROPORÇÃO DE UM ELEMENTO DE UMA LINHA OU COLUNA EM RELAÇÃO AO TOTAL DELAY\X
0
1
2
3
p(y)
0
1/8
1/4
1/8
0
1/2
1
0
1/8
2/8
1/8
1/2
p(x)
1/8
3/8
3/8
1/8
1
DA MESMA FORMA:
Distribuição Condicional
DENSIDADES CONDICIONAIS CONTÍNUAS
Densidade condicional de X, dado que Y=y é definida por:
Densidade condicional de Y, dado que X=x é definida por:
Símbolos dos parâmetros de população e amostra
INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
PRINCIPAIS CONCEITOS
HIPÓTESE ESTATÍSTICA
Trata-se de uma suposição quanto ao valor de um parâmetro populacional, ou quanto à natureza da distribuição de probabilidade de uma variável populacional.
TESTE DE HIPÓTESE
É uma regra de decisão para aceitar ou rejeitar uma hipótese estatística com base nos elementos amostrais.
LÓGICA DO TESTE DE SIGNIFICÂNCIA
ATRIBUEM-SE BAIXOS VALORES PARA , GERALMENTE 1-10%;
FORMULA-SE Ho COM A PRETENSÃO DE REJEITÁ-LA, DAÍ O NOME DE HIPÓTESE NULA;
SE O TESTE INDICAR A REJEIÇÃO DE Ho TEM-SE UM INDICADOR MAIS SEGURO DA DECISÃO;
CASO O TESTE INDIQUE A ACEITAÇÃO DE Ho, DIZ-SE QUE, COM O NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA , NÃO SE PODE REJEITAR Ho.
Os testes de hipóteses são normalmente realizados fixando o seu nível de significância. Os níveis de significância mais utilizados são de 5%, 1% e 0,1%. Por exemplo, ao fixar um nível de significância de 5% num determinado teste, estamos a afirmar que em 5% das vezes rejeitaremos a hipótese nula sendo esta verdadeira.
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Ex: Distribuição amostral da média
Se forem retiradas várias amostras aleatórias de n elementos da população.
Calculadas as médias de todas as amostras.
Distribuição das médias aproxima-se de uma uma normal.
Item 10.8
eq. 11.44
37
Pode dividir a partir daqui: 1-11, 12-24
Teorema do Limite Central (TLC) (n >30)
Para AAS (X1; : : : ;Xn), retiradas de uma população com média e variância finita, a distribuição amostral de aproxima-se, para n grande, de uma distribuição normal, com média e variância .
Distribuição Amostral de uma Estatística T
ASPECTOS GERAIS
Neste momento iremos descrever a relação entre variáveis traçando o gráfico e determinando a equação da reta que representa aquela relação.
A esta equação denominamos de reta de regressão. 
DEFINIÇÕES
Dada uma coleção de dados amostrais emparelhados, a equação de regressão
Descreve a relação entre duas variáveis. O gráfico da equação de regressão é chamado de reta de regressão ou reta de mínimos quadrados.
Variável dependente
Variável independente
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As equações normais podem ser resolvidas simultaneamente para b0 e b1(estimadores pontuais):
Outra forma de escrevermos:
coeficiente angular
intercepta y
1)
2) é mínima
3)
4) A reta de regressão passa sempre pelo ponto 
Propriedades da equação de regressão
X
Y
Yi
Abordagem da Análise de Variância na Análise de Regressão
0 20 40 60 80 
X
Y
SQTo = SQReg + SQRes
Coeficiente de determinação
0  R2  1
Interpretação: R2 mede a fração da variação total de Y explicada pela regressão.
Soma dos quadrados entre grupos
Soma dos quadrados dentro grupos
Abordagem da Análise de Variância na Análise de Regressão
se H0 verdadeiro E(F) = 1
se H0 falso E(F) >>>> 1
	Causas da Variação
	Soma de Quadrados
	Graus de Liberdade
	Quadrados Médios
	
Regressão
	
	
1
	
	
Resíduo
	
	
n - 2
	
	
Total
	
	
n - 1