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Conceitos Fundamentais de Probabilidade
Introdução à Probabilidade
Quando precisamos estudar um fenômeno coletivo, verificamos a necessidade de descrever tal fenômeno por um modelo matemático que permita explorar da melhor forma possível este fenômeno. 
A Teoria das Probabilidades permite construir modelos matemáticos que explicam um grande número de fenômenos coletivos e fornecem estratégias para a tomada de decisões.
	Probabilidade é o estudo de fenômenos aleatórios (não determinísticos).
Definição de fenômenos 
Entendemos por fenômeno qualquer acontecimento natural.
Fenômenos determinísticos: são aqueles que repetidos nas condições iniciais conduzem sempre a um só resultado, ou seja, as condições iniciais determinam o único resultado possível do fenômeno.
Fenômenos aleatórios (não determinísticos): são aqueles que repetidos sob as mesmas condições iniciais podem conduzir a mais de um resultado, ou seja, as condições iniciais não determinam o resultado do fenômeno.
Exemplos de experimentos (fenômenos) não determinísticos 
E1 = Jogar um dado e observar o número mostrado na face de cima.
E2 = Jogar uma moeda 4 vezes e observar o número de caras obtido.
E3 = Jogar uma moeda 4 vezes e observar a sequência obtida de caras e coroas.
Espaço Amostral 
Para cada experimento E, definiremos o espaço amostral (S) como o conjunto de todos os resultados possíveis de E. 
S1 = { 1; 2; 3; 4; 5; 6 }
S2 = { 0; 1; 2; 3; 4 }
S3 = { todas as sequências possíveis da forma a1, a2, a3, a4, onde cada ai = Ca ou Co, conforme apareça cara ou coroa na i-ésima jogada } = { CaCaCaCa; CaCaCaCo; CaCaCoCa; CaCaCoCo; ... ; CoCoCoCo }
Eventos 
Um evento A (B, C,...) é simplesmente um conjunto de resultados possíveis ou, em outras palavras, um subconjunto do espaço amostral S.
A1 = { 2; 4; 6 } → um número par ocorra.
A2 = { 2 } → duas cara ocorram. 
A3 = { CoCoCoCo } → ocorrerem somente coroas.
OBSERVAÇÃO
O evento A consistindo do único espaço ponto amostral 
 é chamado de evento elementar. O conjunto vazio Ø e o espaço amostral S são eventos; Ø é chamado de evento impossível e S de evento certo. 
Podemos combinar eventos usando várias operações com conjuntos, como, por exemplo:
o evento 
 ocorre se e somente se ocorre A ou ocorre B (ou ambos);
o evento 
 ocorre se e somente se ocorrem A e B;
Eventos Mutuamente Excludentes (exclusivos)
Dois eventos A e B são ditos mutuamente excludentes se são disjuntos, isto é, se 
Ø. Em outras palavras, A e B são mutuamente excludentes se não ocorrem simultaneamente.
Conceito de Probabilidade
	Historicamente, a Teoria da Probabilidade começou com o estudo de jogos de azar, como a roleta e as cartas. A probabilidade P de um evento A, indicada por P(A), foi assim definida: se A pode ocorrer de n maneiras diversas (nA) dentre um total de n maneiras (nS) igualmente prováveis, então:
					
Exemplo 1
Considere o lançamento de um dado e a observação da face superior. Descreva, por seus elementos, o espaço amostral S e a probabilidade de ocorrência dos seguintes eventos: 
a) A: sair um número par = 
b) B: sair um número primo =
c) C: sair um número maior que 3 =
d) D: sair um número maior que 6 =
e) E: sair um número múltiplo de 3 =
f) F: sair um número menor ou igual a 4 =
Exemplo 2
Uma amostra de três calculadoras é selecionada da um a linha de fabricação e cada calculadora é classificada como defeituosa ou aceitável. Sejam os eventos:
A: a primeira calculadora é defeituosa;
B: a segunda calculadora é defeituosa;
C: a terceira calculadora é defeituosa.
a) Determine o espaço amostral para esse experimento.
b) Determine os eventos A, B e C.
c) Determine a probabilidade de ocorrência dos eventos A, B e C
Axiomas de Probabilidade
	Axiomas são proposições (propriedades), sugeridas por intuição ou experiência, que não se demonstram e se aceitam como verdadeiras.
(i) Para todo e qualquer evento A dentro de um espaço amostral S, a probabilidade de ocorrência de A é sempre maior ou igual a zero e menor ou igual a um.
 						Exemplo:
 
				S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } → nS = 6
 A = 2 → nA = 1 → 
(ii) A probabilidade de ocorrência de um evento A quando ele corresponder ao espaço amostral S e 1 (100%).
						Exemplo:
	
						S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } → nS = 6
						A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } → nA = 6 → 
	
(iii) Se A e B forem eventos mutuamente excludentes dentro de um espaço amostral S, então a probabilidade de
 é igual a zero.
	
Exercícios de fixação
01. Um lote é formado por 10 artigos bons, 4 artigos com defeitos menores e 2 artigos com defeitos graves. Escolhendo um artigo ao acaso, determine a probabilidade de que:
a) este artigo não tenha defeitos;
b) este artigo não tenha defeitos graves;
c) este artigo seja perfeito (bom) ou tenha defeitos graves.
02. Se de um lote de artigos idêntico ao do exercício anterior (exercício 01) forem escolhidos dois artigos (sem reposição), determine a probabilidade de que:
a) ambos os artigos sejam perfeitos (bons);
b) ambos os artigos tenham defeitos graves;
c) um artigo seja bom e o outro artigo tenha defeitos graves.
03. Três lâmpadas são escolhidas aleatoriamente dentre 15 lâmpadas, das quais 5 são defeituosas. Encontre a probabilidade de que:
a) nenhuma seja defeituosa;
b) exatamente uma seja defeituosa.
04. Amostras de espuma, provenientes de três fornecedores, são classificadas com relação a satisfazer ou não as especificações. Os resultados de 100 amostras são resumidos a seguir:
			 obedece
	
	sim 
	não
	1
	18
	2
	2
	17
	3
	3
	50
	10
	
 fornecedor
Faça A denotar o evento em que uma amostra seja proveniente do fornecedor 1 e faça B denotar o evento em que uma amostra atenda às especificações. Se uma amostra de espuma for selecionada ao acaso, determine as seguintes probabilidades:
a) 
			c) 
b) 
			d) 
			
05. Um dia de produção de 850 peças fabricadas contém 50 peças que não encontram os requerimentos dos consumidores. 
a) Se duas peças são selecionadas ao acaso, sem reposição, de uma batelada. Qual a probabilidade de que uma segunda peça seja defeituosa, dado que a primeira peça é defeituosa?
b) Se três peças são selecionadas ao acaso, sem reposição, qual a probabilidade de que as duas primeiras sejam defeituosas e que a terceira seja não defeituosa?
06. Vazamentos de tanques de gasolina subterrâneos em postos de gasolina prejudicam o meio ambiente. Estima-se que 20% dos tanques de gasolina em atividade atualmente apresentam vazamento. Foi realizada a inspeção em dois postos de gasolina, escolhidos aleatoriamente. Determine a probabilidade de que:
a) os dois postos inspecionados não apresentem vazamento; 
b) dos dois postos inspecionados, um apresente vazamento e outro não apresente. 
07. Foi realizado um estudo (em determinada região) para determinar a causa da incidência de câncer de fígado em peixes. Em uma amostra aleatória, foi verificado que 70% dos peixes apresentam câncer de fígado devido aos poluentes presentes na água. Se três peixes de um cardume desta região forem selecionados aleatoriamente, determine:
a) a probabilidade de que os três peixes apresentem câncer de fígado devido as poluentes presentes na água; 
b) a probabilidade de que somente dois peixes apresentem câncer de fígado devido aos poluentes presentes na água. 
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