APOSTILA_PROB_MJPD_MHRB

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS 
 
 ESCOLA DE CIÊNCIAS EXATAS E DA COMPUTAÇÃO 
 
 
 ELABORADA POR: MARIA JOSÉ PEREIRA DANTAS 
 MARIA HELENS RAMOS BITTENCOURT 
 
 
 
 
• NOÇÕES DE PROBABILIDADE 
 
• VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
 
• CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR 
 
 Notas de aula 
 
 
 
 
ALUNO(A): ................................................................................... MATRÍCULA: ............................... 
MAF1730 – PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
TURMA: ........... SALA ............ ÁREA ............ BLOCO ............ 
 
PROF(A).: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
 
2019/1 
 
 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
 
PPRROOBBAABBIILLIIDDAADDEE EE EESSTTAATTÍÍSSTTIICCAA 
 
NNoottaass ddee aauullaa 
 
AAssssuunnttooss:: EEXXPPEERRIIMMEENNTTOOSS AALLEEAATTÓÓRRIIOOSS,, EESSPPAAÇÇOO AAMMOOSSTTRRAALL,, 
EEVVEENNTTOOSS EE CCÁÁLLCCUULLOOSS DDEE PPRROOBBAABBIILLIIDDAADDEESS 
 
““UUmm eennggeennhheeiirroo éé aallgguuéémm qquuee rreessoollvvee pprroobblleemmaass ddee iinntteerreessssee ddaa ssoocciieeddaaddee,, ppeellaa aapplliiccaaççããoo 
eeffiicciieennttee ddee pprriinnccííppiiooss cciieennttííffiiccooss..”” 
 
 
 OObbjjeettiivvooss:: OObbtteennççããoo ddee ccoonncceeiittooss ppaarraa oo ddeesseennvvoollvviimmeennttoo ddee rraacciiooccíínniioo pprroobbaabbiillííssttiiccoo úúttiill nnaa 
ssoolluuççããoo ddee pprroobblleemmaass qquuee eennvvoollvvaamm vvaarriiaabbiilliiddaaddee ee iinncceerrtteezzaa,, ccoonnhheecciimmeennttoo ee aapplliiccaaççããoo ddooss mmooddeellooss 
pprroobbaabbiillííssttiiccooss qquuee ssããoo aaddeeqquuaaddooss ppaarraa mmooddeellaarr oo ccoommppoorrttaammeennttoo ddee mmuuiittooss ssiisstteemmaass ddoo mmuunnddoo rreeaall,, 
ee oobbtteennççããoo ddee ffuunnddaammeennttooss ppaarraa ooss mmééttooddooss eessttaattííssttiiccooss qquuee sseerrããoo eessttuuddaaddooss nnoo ccuurrssoo.. 
 
 DDee ffoorrmmaa ggeerraall,, ooss mmooddeellooss pprroobbaabbiillííssttiiccooss ee ooss mmééttooddooss eessttaattííssttiiccooss aauuxxiilliiaamm ooss pprroojjeettiissttaass 
nnaa ccoonnssttrruuççããoo oouu mmooddiiffiiccaaççããoo ddee ssiisstteemmaass ccoommpplleexxooss,, ddeessccrriittooss ppoorr vvaarriiáávveeiiss ee ppaarrââmmeettrrooss qquuee 
eennvvoollvveemm aallgguummaa iinncceerrtteezzaa ee vvaarriiaabbiilliiddaaddee,, ddee ttaall ffoorrmmaa qquuee sseejjaa ppoossssíívveell ssee cchheeggaarr eemm rreessuullttaaddooss 
iimmpplleemmeennttáávveeiiss ((aannaalliissaannddoo ddeesseemmppeennhhoo,, ccoonnffiiaabbiilliiddaaddee ee ccuussttoo)).. 
 CCiieennttiissttaass ee EEnnggeennhheeiirrooss ddee CCoommppuuttaaççããoo uuttiilliizzaamm aa PPrroobbaabbiilliiddaaddee ee EEssttaattííssttiiccaa ppaarraa ffaazzeerreemm 
aannáálliisseess ddee aallggoorriittmmooss ee ssiisstteemmaass ccoommppuuttaacciioonnaaiiss.. EEnnggeennhheeiirrooss ddee RReeddee ppaarraa aannaalliissaarreemm 
ccoommppoorrttaammeennttoo ddee pprroottooccoollooss,, aallggoorriittmmooss ddee rrootteeaammeennttooss,, ccoonnggeessttiioonnaammeennttooss eemm rreeddeess.. PPoorr oouuttrroo 
llaaddoo,, ssiisstteemmaass ddee ccoommppuuttaaddoorreess ee rreeddeess eessttããoo ssuujjeeiittooss ààaa ffaallhhaass,, ee ooss eessttuuddooss ddee ccoonnffiiaabbiilliiddaaddee,, 
ttaammbbéémm,, ttêêmm ssuuppoorrttee nnaa tteeoorriiaa ddaass pprroobbaabbiilliiddaaddeess ee eemm ttééccnniiccaass eessttaattííssttiiccaass.. 
 Por exemplo, antes de se fazer a análise de um algoritmo (ou protocolo) ou um sistema, 
vários modelos de probabilidade devem ser especificados. Mas, a questão relevante aqui é: como 
identificar os modelos adequados? Para o estudo do sistema (ou algoritmo) é possível coletar dados 
durante a sua operação. As medidas podem ser coletadas por monitores de hardware, monitores de 
software, ou ambos. Os dados podem ser analisados para se investigar que modelos podem ser 
utilizados. A Estatística Matemática disponibiliza técnicas para se viabilizar a investigação dos 
modelos, tais como planejamento de experimentos, testes de hipótese, estimação, análise de 
regressão, entre outras. Com alguns poucos modelos é possível descrever muitas situações reais e os 
problemas ficam relativamente simples. 
 
 EExxeemmpplloo:: QQuuaannddoo ssee ccoonnssiiddeerraa aa aannáálliissee ddee uumm sseerrvviiddoorr ddee wweebb,, ddiissppoonníívveell ppaarraa uumm ggrraannddee 
nnúúmmeerroo ddee uussuuáárriiooss,, mmuuiittooss ffeennôômmeennooss aalleeaattóórriiooss ddeevveemm sseerr ccoonnssiiddeerraaddooss.. PPrriimmeeiirroo,, oo ppaaddrrããoo ddee 
cchheeggaaddaass ddee rreeqquuiissiiççõõeess ddee sseerrvviiççoo ppoossssuuii ccoommppoorrttaammeennttoo aalleeaattóórriioo ddeevviiddoo àà qquuaannttiiddaaddee ee ddiivveerrssiiddaaddee 
ddee uussuuáárriiooss.. SSeegguunnddoo,, aass rreeqquuiissiiççõõeess ddee sseerrvviiççoo ddiiffeerreemm qquuaannttoo aaooss rreeccuurrssooss qquuee ddeemmaannddaamm ee aaoo 
tteemmppoo ddee dduurraaççããoo;; aapprreesseennttaannddoo,, ttaammbbéémm,, ccoommppoorrttaammeennttoo qquuee eennvvoollvvee iinncceerrtteezzaa ee vvaarriiaabbiilliiddaaddee.. PPoorr 
úúllttiimmoo,, ooss rreeccuurrssooss ddoo sseerrvviiddoorr ddee wweebb eessttããoo ssuujjeeiittooss aa ffaallhhaass qquuee ooccoorrrreemm aalleeaattoorriiaammeennttee ddeevviiddoo àà 
aattuuaaççããoo ccoonnjjuunnttaa ddee uummaa sséérriiee ddee ffaattoorreess.. CCaaddaa vveezz mmaaiiss,, ssoolliicciittaa--ssee oo ddeesseennvvoollvviimmeennttoo ddee pprroojjeettooss ee 
ddee pprroodduuttooss ppaarraa ssaattiissffaazzeerr aa nneecceessssiiddaaddee ddooss uussuuáárriiooss aa uumm ccuussttoo ccoommppeettiittiivvoo.. AA ggaarraannttiiaa ddee 
qquuaalliiddaaddee ddee sseerrvviiççoo ((ccoonnggeessttiioonnaammeennttooss,, aattrraassooss eemm cchhaammaaddaass,, ppeerrddaass ddee cchhaammaaddaass;; ddeennttrroo ddee 
lliimmiitteess aacceeiittáávveeiiss)) ddeeppeennddee ddoo uussoo ddee mmooddeellooss ccaappaazzeess ddee ddeessccrreevveerr ddee ffoorrmmaa rreeaallííssttiiccaa ttooddaa eessssaa 
vvaarriiaabbiilliiddaaddee.. 
 AAlléémm ddiissssoo,, ooss mmééttooddooss eessttaattííssttiiccooss,, qquuee ttêêmm sseeuuss ffuunnddaammeennttooss nnaa tteeoorriiaa ddaass pprroobbaabbiilliiddaaddeess,, 
ffoorraamm iinnccoorrppoorraaddooss nnooss pprroocceessssooss iinndduussttrriiaaiiss,, llooggoo aappóóss aa RReevvoolluuççããoo IInndduussttrriiaall,, ppaarraa ggaarraannttiirr aa 
qquuaalliiddaaddee ddooss pprroodduuttooss.. AAttuuaallmmeennttee,, aa aavvaalliiaaççããoo ddee qquuaalliiddaaddee ppaassssoouu aa sseerr ffeeiittaa aaoo lloonnggoo ddee ttooddoo oo 
pprroocceessssoo pprroodduuttiivvoo,, ddee ffoorrmmaa pprreevveennttiivvaa.. EEmm ddeeccoorrrrêênncciiaa,, ooss rreessuullttaaddooss mmoossttrraamm pprroodduuttooss ccoomm mmaaiiss 
qquuaalliiddaaddee ee ccoomm mmeennoorr ccuussttoo,, ppooiiss ssee rreedduuzziirraamm ddrraassttiiccaammeennttee aass ppeerrddaass ppoorr ddeeffeeiittooss.. HHoojjee,, aass 
iinnddúússttrriiaass ccoonnttrroollaamm sseeuuss pprroocceessssooss ee oobbttêêmm ddaaddooss aattrraavvééss ddee ppeessqquuiissaass ddee lleevvaannttaammeennttoo ee ddeeeexxppeerriimmeennttooss,, uuttiilliizzaannddoo llaarrggaammeennttee aa eessttaattííssttiiccaa ccoommoo ffeerrrraammeennttaa.. 
 NNaa vveerrddaaddee,, ooss pprróópprriiooss mmééttooddooss ddaa EEnnggeennhhaarriiaa jjáá iinnccoorrppoorraamm iinnttrriinnsseeccaammeennttee 
pprroocceeddiimmeennttooss pprroobbaabbiillííssttiiccooss oouu eessttaattííssttiiccooss.. 
 4 
 
MODELOS 
 
 Um modelo é uma descrição ou uma representação simplificada de um sistema. Pode ser uma 
maquete, uma equação matemática ou mesmo um programa de computador. 
 Conforme J. Neymann, toda a vez que se emprega Matemática com a finalidade de se 
estudar algum fenômeno deve-se começar por construir um modelo matemático, que pode ser 
determinístico ou probabilístico. 
 Durante a modelagem são feitas diversas hipóteses simplificadoras devido à impossibilidade 
de se considerar todos os detalhes do sistema no modelo. 
 Ao se construir um modelo uma das tarefas mais difíceis é a decisão sobre que elementos do 
sistema devem ser incluídos no modelo. A inclusão de um detalhe supérfluo pode causar um gasto de 
recursos desnecessários. Por outro lado, a exclusão de um elemento relevante pode conduzir a uma 
solução que não resolve o problema. 
 Assim, a modelagem de um sistema pode ser vista como uma “simplificação” que descarta as 
características julgadas irrelevantes, capturando o que é essencial no sistema a ser representado. 
 Os modelos matemáticos por sua vez podem ser reproduzidos por sistemas computacionais 
através de modelos de simulação por computador. Em geral, os modelos de simulação podem 
reproduzir os modelos matemáticos e, ainda, são capazes de representar os sistemas físicos mais 
complexos, com mais detalhes que os modelos matemáticos. E algumas vezes são preferidos. 
• Modelo determinístico: conhecendo-se as entradas x1, x2,..., xn é possível chegar a 
um resultado exato y, usando uma função y = f (x1, x2,..., xn). 
 
Exemplo: Lei de Ohm, dados x1 = tensão, x2 = resistência, y = fluxo de corrente, 
y = f(x1, x2), define-se 
2
1
x
x
y = . 
• Modelos probabilísticos: nesse caso, não é possível se chegar a um resultado 
exato, pois se associam às entradas algum tipo de incerteza ou variabilidade. Mas, pode-se determinar 
o conjunto de resultados possíveis e a chance (ou a probabilidade) de cada resultado em particular, 
devido ao que chamamos regularidade estatística, ou seja, os resultados, mesmo variáveis, apresentam 
um padrão de comportamento, que pode ser capturado por um modelo matemático. 
 Não existe um modelo determinístico para se determinar o número de pacotes que chegam 
em um servidor por segundo. As fontes possuem um comportamento variável e a demanda flutua ao 
longo do tempo. Neste caso, utiliza-se um modelo probabilístico. Sob certas condições e admitindo-se 
uma taxa média de chegadas por segundo, é possível calcular a probabilidade de se chegar 
exatamente k pacotes num dado segundo, usando o modelo de Poisson (este modelo será estudado 
mais tarde). 
 
 Exemplos de situações que envolvem algum tipo de incerteza ou variabilidade. 
 
•• CCaallccuullaarr aa vvaazzããoo,, tteemmppoo ddee rreessppoossttaa,, oocciioossiiddaaddee ddee uumm sseerrvviiddoorr ddee ccoomméérrcciioo 
eelleettrrôônniiccoo ddee uummaa eemmpprreessaa eemm ffuunnççããoo ddaa ddeemmaannddaa 
•• CCaallccuullaarr oo nnúúmmeerroo ddee ccaaiixxaass ddee uumm bbaannccoo ppaarraa aatteennddeerr aa ddeemmaannddaa ddooss cclliieenntteess,, 
ccoonnssiiddeerraannddoo uummaa ddaaddaa qquuaalliiddaaddee ddee sseerrvviiççoo.. 
•• PPrroojjeettaarr uumm ssiisstteemmaa ddee ccoommuunniiccaaççõõeess qquuee eesstteejjaa lliivvrree ddee eerrrrooss ccoonnssiiddeerraannddoo qquuee ooss 
ccaannaaiiss eessttããoo ssuujjeeiittooss aa iinntteerrffeerrêênncciiaass ee rruuííddooss.. 
•• PPrroojjeettaarr uumm ssiisstteemmaa ddee rreeccoonnhheecciimmeennttoo ddee vvoozz qquuee ddeeccooddiiffiiqquuee ssuuaass eennttrraaddaass ccoomm 
aallttaa ccoonnffiiaabbiilliiddaaddee.. 
•• AA ooppeerraaççããoo ddee uumm ssiisstteemmaa ddeeppeennddee ddaa ooppeerraaççããoo ddee aallgguunnss oouu ttooddooss ooss sseeuuss 
ccoommppoonneenntteess.. NNããoo éé ppoossssíívveell pprreeddiizzeerr eexxaattaammeennttee qquuaannddoo uumm ccoommppoonneennttee iirráá ffaallhhaarr.. AA tteeoorriiaa ddaass 
pprroobbaabbiilliiddaaddeess ppeerrmmiittee aa aavvaalliiaaççããoo ddee mmeeddiiddaass ddee ccoonnffiiaabbiilliiddaaddee ttaaiiss ccoommoo oo tteemmppoo mmééddiioo eennttrree 
ffaallhhaass ee aa pprroobbaabbiilliiddaaddee ddee ttooddooss ooss ccoommppoonneenntteess eessttaarreemm ffuunncciioonnaannddoo aappóóss cceerrttoo ppeerrííooddoo ddee tteemmppoo.. 
ÉÉ ppoossssíívveell aassssiimm,, aavvaalliiaarr uumm ssiisstteemmaa ddoo ppoonnttoo ddee vviissttaa ddee ccoonnffiiaabbiilliiddaaddee,, ee eennttããoo,, pprroojjeettaarr ssiisstteemmaass 
qquuee sseejjaamm mmaaiiss ccoonnffiiáávveeiiss.. 
 5 
 TTeerrmmiinnoollooggiiaa 
 EXPERIMENTO ALEATÓRIO 
 
 Um experimento aleatório pode ser pensado como um teste para demonstrar uma afirmativa, 
examinar a validade de uma hipótese, ou para determinar a eficácia de alguma coisa nunca tentada 
previamente. Exemplos desse tipo de experimento são: jogar uma moeda, lançar um dado, ou ainda o 
sorteio cego de uma bola a partir de uma urna com múltiplas bolas coloridas. Um ingrediente 
fundamental na teoria da probabilidade é a noção de um experimento que, hipoteticamente, pode ser 
repetido sob condições essencialmente idênticas, mas com resultados diferentes. Quando se diz que é 
possível repetir um experimento sob condições essencialmente idênticas, naturalmente, está se 
pensando no controle de certo número de fatores. São justamente esses fatores não controlados 
(chamados de variáveis de confusão, variáveis estranhas ou variáveis espúrias) que irão construir a 
aleatoriedade do fenômeno. 
 
 Regularidade estatística: Suponha que um experimento aleatório seja repetido n vezes sob 
as mesmas condições. Se observarmos um particular conjunto de resultados A, a frequência relativa 
de A, 
n
An
Af r
)(
)( = tende a se estabilizar em torno de um valor constante à medida que n tende 
para o infinito, ou seja, quando se repete um experimento um número suficientemente grande de 
vezes (passagem ao limite), é possível, na equação acima, substituir a expressão “frequência relativa” 
por “probabilidade” com erro desprezível. 
n
An
AfAP
n
r
n
)(
lim)(lim)(
→→
== 
 
Exercício: Simular o lançamento de uma moeda 1000 vezes e calcular a frequência relativa do 
resultado A = {cara}. 
 
Reguralidade estatística 
E = lançamento de uma moeda
P(cara) = 0,5
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 200 400 600 800 1000
n (número de repetições)
fr
(A
)
 
 
 
Exemplos de experimentos aleatórios não-triviais: 
 
 (E1) Contar o número de mensagens que são transmitidas corretamente por dia em uma rede de 
computadores. 
(E2) Medir o tempo para carregar uma página da web. 
(E3) Contar o número de pacotes de voz contendo somente silêncio e produzidos por um grupo 
de N-usuários em um período de 10 ms. 
(E4) Contar o números de capacitores fora da especificação em uma amostra de 20 
componentes. 
(E5) Medir o tempo de vida do chip de memória de um dado computador em um ambiente 
específico. 
 6 
(E6) Um bloco de informações é repetido sobre um canal ruidoso até que seja recebido sem erro 
pelo receptor. Contar o número de transmissões requeridas. 
(E7) Medir o tempo entre as chegadas de duas mensagens. 
(E8) Escolher um número aleatório X entre 0 e 1 e então escolher outro número aleatório Y 
entre 0 e X. 
(E9) Um componente é instalado em um sistema no tempo t = 0. Para t  0, X(t) = 1 se o 
componenteestá funcionando, e X(t) = 0 se o componente está fora de serviço. 
(E10) Numa linha de produção, em um período de 1 hora, 5 peças inspecionadas. As peças são 
etiquetadas com (D) se são defeituosas e com (P) se são perfeitas. 
 
 
 ESPAÇO AMOSTRAL 
 
 Um espaço amostral de um experimento é o conjunto formado por todos os resultados 
possíveis e depende do tipo de observação que é realizada quando da realização de experimento. 
Denota-se por S ou  . 
 
 No experimento lança se uma moeda e: 
 (1) Registra-se a face voltada para cima, o espaço amostral é S = {C, K} 
 (2) Conta-se o número de caras, o espaço amostral é S = {0, 1} 
 
 Podemos observar que espaços amostrais podem ser numéricos (2) ou não-numéricos (1). No 
último caso, para se chegar a um modelo matemático é necessário transformar o espaço não-numérico 
em um espaço numérico. 
 Além disso, os espaços podem ser: 
 Espaços discretos 
• Finitos. São os espaços contáveis. 
• Infinitos enumeráveis (seus elementos podem ser enumerados) 
 
 Espaços contínuos 
• Infinitos não-enumeráveis (ou não contáveis). 
 
 Na construção de modelos probabilísticos para espaços discretos usamos as técnicas de 
contagem provenientes da análise combinatória. No caso de espaços contínuos usamos resultados do 
cálculo diferencial e integral. 
 
 Veja a seguir os espaços amostrais associados aos exemplos dos diferentes experimentos 
aleatórios anteriores: (Pág. 04) 
 (E1), S1 = {0, 1, 2, ... }, infinito enumerável. 
 (E2), S2 = {t   / t  0}, infinito não-enumerável 
 (E3), S3 = {0, 1, 2, ..., N }, finito 
 (E4), S4 = {0, 1, 2, ..., 20} 
 (E5), S5 = {t   / t  0} 
 (E6), S6 = {1, 2, 3, ... } 
 (E7), S7 = {t   / t  0} 
 (E8), S8 = {(x, y) / 0  y  x  1} 
 (E9), S9 = { x / x = 1 para 0  t  to e x = 0 para t  to , onde to é o momento onde ocorre a 
falha} 
 (E10) = {DDDDD, ... (*), PPPPP}, neste caso o espaço possui 25 pontos e a árvore de 
possibilidades pode ser utilizada para obter os pontos em (*). 
 
 
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
 
 Determinar o espaço amostra dos experimentos seguintes: 
 7 
(E1) Jogar uma moeda e observar a face voltada para cima. 
(E2) Lançar um dado e observar a face voltada para cima. 
(E3) Jogar três moedas e observar as faces voltadas para cima. 
(E4) Jogar três moedas e observar o número de caras voltadas para cima. 
(E5) Jogar dois dados e observar a soma de pontos obtidos nas faces voltadas para cima. 
(E6) Observar o resultado de uma partida de futebol. 
(E7) Observar o resultado do concurso vestibular. 
(E8) Observar o resultado de um candidato que concorre a um cargo eletivo. 
(E9) Observar as possibilidades que o motorista tem quando chega a um cruzamento. 
(E10) Observar o número de filhos de uma pessoa. 
(E11) Uma lâmpada nova é ligada e observar o tempo gasto até queimar. 
(E12) Observar o número de peças defeituosas num intervalo de uma hora em determinada linha de 
produção. 
(E13) Numa entrevista telefônica com 200 assinantes, pergunta-se se o proprietário possui celular ou 
não. 
(E14) Um grupo com 4 pessoas: A, B, C e D sortear duas pessoas, uma após outra, com reposição. 
(E15) O mesmo enunciado anterior, mas sem reposição. 
(E16) Uma urna contém duas bolas brancas e três vermelhas. Retirar uma bola ao acaso da urna, se for 
branca, lançar uma moeda e se for vermelha ela é devolvida à urna e retirada outra bola. 
 
 
Respostas: 
(E1) → S1 = {c, k} 
(E2) → S2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
(E3) → S3 = {CCC, CCK, CKC, KCC, CKK, KCK, KKC, KKK} 
(E4) → S4 = {0, 1, 2, 3} 
(E5) → S5 = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} 
(E6) → S6 = {Ganhou, Perdeu, Empatou} 
(E7) → S7 = {Aprovado, Reprovado} 
(E8) → S8 = {Ganhou, Perdeu} 
(E9) → S9 = {Direita, Esquerda, em Frente} 
(E10) → S10 = {0, 1, 2, ..., m} 
(E11) → S11 = {t Є !R | t ≥0} 
(E12) → S12 = {0, 1, 2, ..., m} 
(E13) → S13 = {Sim, Não} 
(E14) → S14 = {AA, AB, AC, AD, BA, BB, BC, BD, CA, CB, CC, CD, DA, DB, DC, DD} 
(E15) → S15 = {AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC} 
(E16) → S16 = {BC, BK, VB, VV} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 EVENTOS 
 
 Para se tomar decisões estamos interessados em um conjunto de resultados (evento) do 
experimento aleatório. Por exemplo, no experimento E10 (pág. 5) a decisão pode ser: parar a linha de 
produção se mais de um defeito for registrado nas peças inspecionadas. 
 Um evento, então, é um subconjunto do espaço amostral, ou seja, é uma coleção de 
resultados. Todos os conceitos da teoria de conjuntos podem ser aplicados a eventos. São denotados 
pelas letras maiúsculas e iniciais do nosso alfabeto. 
 C 
 B 
 K 
 B 
 
 V V 
 
 8 
 São válidas, para os eventos, as operações com conjuntos. 
 
 DIAGRAMA DE VENN: é um diagrama que permite a representação geométrica dos 
conjuntos. O conjunto universal (neste caso o espaço amostral S) é representado por um retângulo, e 
os subconjuntos (neste caso os eventos) são representados por círculos. Na figura abaixo representam-
se dois subconjuntos A e B sombreados, a área duplamente hachurada representa a interseção AB e 
a área sombreada total representa a união AB. 
 
 
 
 REUNIÃO OU UNIÃO )( BA  
 A união de dois conjuntos quaisquer A e B, denotada por A U B, é o conjunto dos elementos 
x tais que x pertence a pelo menos um dos dois conjuntos A e B, ou seja, x Є A U B se e somente se 
x Є A V x Є B. 
 
 
 
INTERSECÇÃO )( BA  
A interseção de dois conjuntos quaisquer A e B, denotada por A∩B, é o conjunto dos 
elementos x tais que x pertence a ambos os conjuntos A e B. Em símbolos, A∩B = {x |(x Є A ) 
/\ (x Є B)}, ou {x Є A | x Є B}. Se A∩B = ø, dizemos que A e B são conjuntos disjuntos. 
 
 
COMPLEMENTAR DE A ( A ) A = S – A 
 
 _ 
DIFERENÇA (A – B) = (A∩B) = A – (A∩B) 
 Se A e B são conjuntos, o complemento relativo de B em A é o conjunto A – B, definido por: 
 
 A – B = {x Є A | x B} 
 
 9 
 Dizemos que um evento ocorre quando um dos resultados que compõem ocorre. Veja os 
conceitos sobre tipos de eventos 
• Eventos mutuamente exclusivos )( = BA , ou seja, quando um ocorre o 
outro não ocorre. 
• Eventos complementares AeA( tais que = AA e ).SAA = 
• Eventos dependentes: quando a ocorrência de um influencia a probabilidade de 
ocorrência do outro. 
• Eventos independentes: quando a ocorrência de um em nada interfere na ocorrência 
do outro. 
 Alguns exemplos de eventos: 
 Para o E1 (pág. 4), podemos definir A1 = {nenhuma mensagem foi transmitida com erro} ou 
{todas sem erro}. Nesse caso, se são transmitidas N mensagens, A1 = {N}. 
 Para o E4 (pág. 4), podemos definir A4 = {no máximo 1 capacitor está fora das 
especificações}. Nesse caso os elementos de A4 são: A4 = {0,1}. 
 
 Propriedades: Seja S um conjunto e A, B e C subconjuntos de S, então, temos: 
 (a) Os elementos neutros: A U ø = A A ∩ S = A 
 (b) As leis de idempotência: A U A = A A ∩ A = A 
 (c) As leis comutativas: A U B = B U A A ∩ B = B ∩ A 
 (d) As leis associativas: A∩(B∩C) = (A∩B)∩C AU(BUC) = (AUB)UC 
 (e) As leis distributivas: AU(B∩C) = (AUB)∩(AUC) A∩(BUC) = (A∩B)U(A∩C) 
 
 TEOREMA DE MORGAN 
Para quaisquer dois conjuntos A e B: 
a) 
___________
BABA = b) 
___________
BABA = 
 
 
 
 EXERCÍCIOSPROPOSTOS: 
01) Desenhe um diagrama de Venn para: 
.,,,,,,,,
________________________________
BAeBABABABABABABABABA 
 
 Nos problemas de 02 a 09, desenhe diagramas de Venn e dê argumentos heurísticos 
(verdadeiros) de que cada uma das afirmações é plausível. 
02) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C. 03) A U (B U C) = (A U B) U C. 
 _____ __ __ 
04) A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C). 05) A U B = A ∩ B. 
 ________ __ __ 
06) A ∩ B = A U B. 07) A ∩ (B – A) = ø. 08) A U ( B – A) = A U B. 
 
09) (A U B) – (A ∩ B) = (A – B) U (B – A). 
 
10) Se S = {1 a 10}, A = {1 a 5} e B = {4 a 7}, resolva os eventos do ex. 01) exceto 
AcB. 
 
 10 
 DEFINIÇÕES DE PROBABILIDADE: 
 
 Definição Clássica 
 
 Seja E um experimento aleatório e S um espaço amostral associado formado por “n” 
resultados igualmente prováveis. Seja A  S um evento com n(A) elementos. A probabilidade de A, 
denotada por P(A), lê-se “pê de A”, é definida como sendo: 
)(
)(
)(
Sn
An
AP = = 
possíveiscasosdeNúmero
favoráveiscasosdeNúmero
 
 A definição clássica de probabilidade é bastante simples e intuitiva, sendo fácil de 
compreender e empregar. No entanto, possui severas limitações. 
 (i) A definição clássica é dúbia, já que a idéia de “igualmente provável” é a mesma de “com 
probabilidade igual”, isto é, a definição é circular, porque está definindo essencialmente a 
probabilidade com seus próprios termos. 
 (ii) A definição não pode ser aplicada quando o espaço amostral é infinito. 
 
 
 Definição Frequentista ou Frequencialista (Teorema de Bernoulli) 
 
 Em 1692, Jacob Bernoulli demonstrou um teorema segundo o qual, se a probabilidade de 
ocorrência de um evento num experimento aleatório é conhecida, é possível indicar qual é a 
expectativa da frequência da sua ocorrência, se o mesmo experimento for repetido um número 
considerável de vezes, sob condições semelhantes. Por outro lado, se a probabilidade de um evento é 
desconhecida, mas se o número de repetições do experimento aleatório é muito grande, a frequência 
relativa de ocorrência de tal evento pode ser utilizada como aproximação da probabilidade de 
ocorrência. 
 O teorema de Jacob Bernoulli para o cálculo das probabilidades é conhecido como “Lei dos 
Grandes Números”, que numa série imensa de experimentos, a frequência relativa de um evento se 
aproxima cada vez mais da sua probabilidade. 
n
An
Af r
)(
)( = 
onde n(A) é o número de vezes que A ocorreu e n é o número de vezes que o experimento aleatório foi 
repetido. 
 
 Quando se repete um experimento um número suficientemente grande de vezes (passagem ao 
limite), é possível, na equação acima, substituir a expressão “frequência relativa” por “probabilidade” 
com erro desprezível. 
n
An
AfAP
n
r
n
)(
lim)(lim)(
→→
== 
 
 Em se tratando de Probabilidade e Estatística talvez o maior mérito da Lei dos Grandes 
Números seja o fato dela permitir, através da observação ou experimentação, a estimativa da 
probabilidade associada a fenômenos onde não há uma simetria que auxilie o uso da definição 
clássica. 
 
 Probabilidade subjetiva 
 
 É frequentemente a mais usada em sistemas baseados em conhecimento (para aplicação em 
inteligência artificial), representando a crença de um determinado indivíduo na ocorrência de um 
evento. 
 
 DEFINIÇÃO AXIOMÁTICA DE PROBABILIDADE 
 
 11 
 Em 1933 o matemático russo Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903-1982) lançou as bases 
axiomática da probabilidade e desenvolveu toda uma teoria que constitui um enorme avanço na área, 
estabelecendo um marco histórico. Independentemente de como são calculadas, as probabilidades 
devem satisfazer os axiomas (axiomas são proposições que são consideradas verdadeiras sem 
necessidade de demonstração). 
 Os Axiomas são: 
 Seja E um experimento aleatório com um espaço amostral associado S. A cada evento A  S 
associa-se um número real, representado por P(A) e denominado “probabilidade de A”, que satisfaz 
as seguintes propriedades (axiomas): 
 
 (1) 0 ≤ P(A) ≤ 1 
 (2) P(S) = 1 
 (3) P(A U B) = P(A) + P(B), se A e B forem eventos mutuamente excludentes → A∩B = ø 
 (4) Se A1, A2, A3, ..., An , ... , forem, dois a dois, eventos mutuamente excludentes, então: 
 n n 
 P(U Ai) = ∑ P(Ai) 
 i=1 i=1 
 
 Dos axiomas têm-se os seguintes teoremas fundamentais da probabilidade: 
 
 
 TEOREMAS DE PROBABILIDADES: 
 
 Seja E um experimento aleatório, 
S o espaço amostral associado a E 
e A e B eventos, ou seja, A  S e B  S, então: 
 
(1) A probabilidade de um evento impossível é zero: 0)( =P 
 Demonstração: 
 Qualquer que seja o conjunto S, 
SS = 
 )()( SPSP = 
 )()()( SPPSP =+  , como S e  são mutuamente excludentes, implica em: 0)( =P 
 
(2) Se A e 
__
A são eventos complementares, então: 1)()(
__
=+ APAP 
Demonstração: 
 Qualquer que seja o evento A, 
SAA =
__
 
 )()(
__
SPAAP = 
 1)()(
__
=+ APAP , onde A e 
__
A são mutuamente excludentes e )(SP =1, axioma (2). 
 
 
 
 
(3) Se A  B, então P(A) ≤ P(B) 
Demonstração: 
 12 
)(
__
BAAB = )]([)(
__
BAAPBP = 
)()()(
__
BAPAPBP += , como A e BA
__
 são mutuamente excludentes, implica em: 
)()()()( BPAPouAPBP  
 
 
 _ 
(4) Se A e B são dois eventos quaisquer, então: P(A – B) = P(A) – P(A ∩ B) = P(A ∩ B) 
 _ 
 OU P(B – A) = P(B) – P(A ∩ B) = P(A ∩ B) 
Demonstração: 
)()(
__
BABAA = 
)]()[()(
__
BABAPAP = , como
__
BA  e BA  são mutuamente excludentes, 
implica em: )()()(
__
BAPBAPAP += , então: 
)()()(
__
BAPAPBAP −= 
 
 
 
(5) Se A e B são dois eventos quaisquer de S, então: P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) 
 
Demonstração: 
BBABA = )(
__
 
 ])[()(
__
BBAPBAP = , como 
__
BA  e B são mutuamente excludentes, implica em: 
)()()(
__
BPBAPBAP += , pelo teorema (4), temos: 
 
 )()()()( BPBAPAPBAP +−= ou )()()()( BAPBPAPBAP −+= 
 
 
 
 
Corolário do teorema (5) 
 
 13 
 P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) – P( AB) – P(BC) – P(AC) + P(ABC) 
 
 ])[()( CBAPCBAP = 
])[()()()( CBAPCPBAPCBAP −+= 
 ]()[()()()()(]( CBCAPCPBAPBPAPCBAP −+−+= 
 
)[()()([)()()()(]( CAPCBPCAPCPBAPBPAPCBAP −+−+−+=
 )]( CB  
)()()()()()()(]( CBAPCBPCAPCPBAPBPAPCBAP +−−+−+=
 
)()()()()()()(]( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPCBAP +−−−++=
 
 
 
Extensão para n eventos: 
 
(6) Se A1, A2, A3, ..., An são eventos de um espaço amostra S, então: 
 n n n n 
 P(A1 U A2 U A3 U ... U An ) = P(U Ai) = ∑ P(Ai) + ∑ P(Ai ∩ Aj) + ∑ P(Ai ∩ Aj ∩ Ar) + ... + 
 i=1 i=1 i<j=2 i<j<r=3 
(– 1)k + 1P(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An). 
 
 
 PROBABILIDADE CONDICIONAL 
 
 Na maioria das vezes, o fato de se saber que certo evento ocorreu faz com que se modifique a 
probabilidade que se atribui a outro evento. 
 Digamos que a probabilidade de ocorrer congestionamento em um sistema com três 
servidores de correio eletrônico seja p. Mas, se sabemos que um dos servidores está inoperante a 
probabilidade de congestionamento é maior que p. 
 Denota-se por P(A/B) e representa a probabilidade da ocorrência de A quando se sabe que o 
evento B já ocorreu, ou probabilidade de A condicionada a B. O cálculo é dado por: 
 
 
)(
)(
)/(
BP
BAP
BAP

= , 0)( BP De outra forma: 
)(
)(
)/(
AP
BAP
ABP

= , 0)( AP 
 
 
PROBABILIDADE DA INTERSEÇÃO – EVENTOSDEPENDENTES 
 
 )/().()/().()( ABPAPBAPBPBAP == 
 
 
 TEOREMA DO PRODUTO – EVENTOS INDEPENDENTES 
 
 Se A e B são eventos independentes, então a probabilidade de que ambos aconteçam ao 
mesmo tempo é necessariamente igual à probabilidade isolada de um deles ocorrer multiplicada pela 
probabilidade isolada do outro, ou seja, em notação matemática: 
 14 
 
)().()( BPAPBAP = 
 Se ),()/()/( APBAPBAP == o evento A é estatisticamente independente do evento B. 
Isso implica ser B também estatisticamente independente de A. Para k eventos independentes, o 
teorema do produto fica. 
).()...().()....( 2121 kk APAPAPAAAP =
 
 
 
 
 TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL 
 
 Sejam nAAA ,....., 21 eventos mutuamente exclusivos e exaustivos dois a dois, ou seja, 
(AiAj) = , para todo ij; tal que SAAA n = .....21 , com P(Ai) > 0. Agora considere que B 
seja um evento qualquer de S. 
 
 
 
 
 Então: 
=
=
n
i
ii ABPAPBP
1
)./().()( 
 
 
 TEOREMA DE BAYES 
 
 É uma das relações mais importantes envolvendo probabilidades condicionais. Em algumas 
análises de decisão, a informação probabilística pode ser obtida de uma ou mais fontes, sendo 
interessante combinar informações já conhecidas (as probabilidades a priori) com informações 
adicionais, calculando-se assim novas probabilidades (as probabilidades a posteriori). 
 Este teorema está intimamente relacionado com o teorema da probabilidade total. Supõem-se 
as mesmas condições. Neste caso, é possível determinar a probabilidade de que um dos Ai ocorra, 
sabendo que o evento B ocorreu. Veja a figura anterior. 
)(
)/().(
)/(
BP
ABPAP
BAP iii = . 
 
 Desenvolvendo o denominador tem-se 
 
)/().(
)/().(
)/(
1
jj
n
j
ii
i
ABPAP
ABPAP
BAP

=
= ( j = 1, 2, ... , n) 
 
 Esta equação simples é a base de todos os sistemas modernos de Inteligência Artificial (IA) 
para inferência probabilística. Ela exige uma probabilidade condicional e duas incondicionais para 
calcular uma quarta probabilidade condicional. A regra de Bayes é útil na prática, pois, existem 
muitos casos em que fazemos boas estimativas de probabilidades para esses três números e 
precisamos calcular o quarto número. 
 15 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 
 
 
1) Sejam “A” e “B” eventos de um mesmo espaço amostral, tais que P(B) = 0,5; P(A U B) = 0,6 e 
P(A) = 0,3, faça o diagrama de Venn e determine: 
a) )(BP b) )( BAP  c) )( BAP  d) )( BAP  e) )/( BAP f) )( BAP  
Resolução: 
 
 
 
a) )(BP = (T2) 1 –- 0,5 = 0,5 b) P(A∩B) = (T5) 0,3 + 0,5 – 0,6 = 0,2 
 
c) )( BAP  = (T4) 0,5 – 0,2 = 0,3 d) )( BAP  = (T2) 1 – 0,6 = 0,4 
 
 e) )/( BAP = (P.C.) 0,3 : 0,5 = 0,6 
 
f) )( BAP  = (Morgan) )( BAP  = (T2) 1 – 0,2 = 0,8 
 
 
 
 
2) P(A) = 0,3 e P(B) = 0,5, qual a P(A U B) se “A” e “B” são: 
 a) mutuamente exclusivos? b) eventos independentes? 
 
Resolução: 
 
a) Para serem ME a 0)( = BAP , então pelo axioma 3 temos: P(AUB) = P(A) + P(B) 
P(AUB) = 0,3 + 0,5 P(AUB) = 0,8 
 
b) Para serem E.I. a )().()( BPAPBAP = , então pelo teorema 5 temos: 
 P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) P(AUB) = 0,3 + 0,5 – 0,3.0,5 = 08 – 0,15 P(AUB) = 0,65 
 
 
 
3) Dos 500 alunos matriculados, 155 mulheres cursam Cálculo (C), 150 cursam Estatística (E), 10 
Física (F) e 35 Química (Q). 45 homens (H) cursam Cálculo e 70 Estatística. Os alunos matriculados 
em Física são 30 e 50 em Química. Um aluno é sorteado ao acaso. 
 a) Apresente esses dados em uma tabela. 
 Encontre a probabilidade de: 
 b) não ser mulher. c) ser do curso de Estatística. 
 d) ser mulher do curso de Química. e) ser mulher, se é de Física. 
 f) ser do curso de Cálculo, dado que é homem. g) ser homem ou do curso de Química. 
 
Resolução: 
 
 16 
 _ 
a) b) P(M) = 150 / 500 = 0,3 
 C E F Q Total 
Mulher (M) 155 150 10 35 350 c) P(E) = 220 / 500 = 0,44 
Homem (H) 45 70 20 15 150 
Total 200 220 30 50 500 d) P(M∩Q) = 35 / 500 = 0,07 
 
e) P(M/F) = 10 / 30 = 0,3333 f) P(C/H) = 45 / 150 = 0,3 g) P(HUQ)= (150+50–15)/500=0,37 
 
 
4) O sistema mostrado aqui opera somente se houver um caminho de componentes funcionais da 
esquerda para a direita. A probabilidade de cada componente funcionar é mostrada a seguir. 
Considere que os componentes funcionem ou falhem independentemente. Qual a probabilidade de 
que o sistema opere (O)? 
 Bloco A = A Bloco B = B Bloco C = C 
 
 
 0,9 
 C1 0,9 
 C4 
 0,8 0,99 
 C2 C6 
 0,95 
 0,9 C5 
 C3 
 
 
OBS.: O sistema pode ser dividido em blocos (A e B) que sejam exclusivamente subsistemas em 
paralelo. O resultado para um sistema em paralelo pode ser aplicado a cada bloco e os resultados dos 
blocos podem ser combinados pela análise para um sistema em série. Para o bloco A = A, a 
confiabilidade é obtida a partir do resultado para um sistema em paralelo como P(A) = P(C1UC2UC3) 
= 1 – )( 321 CCCP  = 1 – )().().( 321 CPCPCP = 1 – 0,1 . 0,2 . 0,1 = 1 – 0,002 = 0,998. 
 Similarmente, para o bloco B = B, a confiabilidade é P(B) = P(C4UC5) = 1 – )( 54 CCP  = 
1 – )().( 54 CPCP = 1 – 0,1 . 0,05 = 1 – 0,005 = 0,995. 
 
 A confiabilidade do sistema é determinada a partir do resultado para um sistema em série. O 
sistema em série só opera(O) se: 
 
 P(O) = P(A∩B∩C) = P(A).P(B).P(C) P(O) = 0,998 . 0,995 . 0,99 P(O) = 0,9831. 
 
 
 
5) Um supermercado com o intuito de controlar a validade de seus produtos, toma diariamente e de 
forma aleatória, 3 embalagens de cada produto. O lote é todo vistoriado se for encontrado pelo menos 
1 com data vencida. Na seção de frios tem 10 hamburguês, dos quais 2 estão vencidos. Ache a 
probabilidade deste lote ser totalmente vistoriado. R. 0,5333 
 
Resolução: 
 
2 vencidos (V) + 8 não vencidos )(V = 10 hamburguês 
 17 
P(≥1V) = 1 – )( VVVP  = 5333,0
15
7
1
8
6
.
9
7
.
10
8
1 =−=− 
6) Três máquinas “A”, “B” e “C” produzem respectivamente 40%, 50% e 10% da produção da 
empresa X. Historicamente as porcentagens de peças defeituosas (F = fora das especificações) 
produzidas em cada máquina são de: 5%, 3% e 3%. A empresa contratou um Engenheiro para fazer 
uma revisão das máquinas e no processo de produção. O Engenheiro pretende utilizar conhecimentos 
de Estatística para formalizar, calcular probabilidades e tomar decisões. 
a) Faça a árvore de possibilidades. 
b) Qual é a probabilidade de que um item da produção, selecionado ao acaso, esteja dentro 
das especificações? 
 c) Se um dos engenheiros pretende escolher uma máquina para manutenção durante o período 
de férias coletivas, qual deve ser escolhida? Justifique sua resposta. 
 
Resolução: 
 
 F = fora das especificações F’ = dentro das especificações 
 
a) b) P(F’) = P(A).P(F’/A) + P(B).P(F’/B) + P(C).P(F’/C) 
 P(F/A) = 0,05 P(F’) = 0,4.0,95 + 0,5.0,97 + 0,1.0,97 
 P(F’/A) = 0,95 P(F’) =0,38 + 0,485 + 0,097 
 P(A) = 0,4 P(F’) = 0,962 
 P(F/B) = 0,03 
 P(B) = 0,5 P(F’/B) = 0,97 c) P(A/F) = P(A).P(F/A) : P(F) 
 P(C) = 0,1 P(A/F) = (0,4.0,05) : (1 - 0,962) 
 P(F/C) = 0,03 P(A/F) = 0,02 : 0,038 
 P(F’/C) = 0,97 P(A/F) = 0,5263 → P(A/F) = 0,5264 
 
 
 P(B/F) = P(B).P(F/B) : P(F) P(C/F) = P(C).P(F/C) : P(F) 
 
 P(B/F) = (0,5.0,03) : 0,038 P(C/F)= (0,1.0,03) : 0,038 
 
 P(B/F) = 0,015 : 0,038 P(B/F) = 0,3947 P(C/F) = 0,003 : 0,038 P(C/F) = 0,0789 
 
 
R. Escolher a máquina "A" para manutenção, pois a probabilidade de fora das especificações é 
maior. 
 
 
 
 Exercício para fixação: 
 __ 
Se P(A) = 0,55 e P(B) = 0,40, ache as probabilidades seguintes para que “A” e “B” sejam E.I. 
Responda todos os itens do exercício nº 11, da pág. 18, exceto m, n, o. 
 
 
 
 
 
 Neste texto (Notas de aula) discutimos os resultados introdutórios da teoria das 
probabilidades. Em seguida vamos estudar as variáveis aleatórias e alguns modelos de 
probabilidade discretos e contínuos (Notas de aula). Para o estudo dos modelos discretos vamos 
usar resultados da análise combinatória e para o estudo dos modelos contínuos resultados do 
cálculo integral e diferencial. 
 
 18 
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
 
 
01) Dos seguintes valores, qual é probabilidade? Justifique cada item. 
a) 0,00001 b) – 0,2 c) 3/2 d) 3/4 e) √ 2 f) √ 0,2 R. Sim: a – d – f Não: b – c – e 
 
02) Dois eventos são complementares se, e somente se, a intersecção entre eles for vazia e a união 
der o espaço amostral. Considere o espaço amostral: S = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. 
a) Sejam os eventos: A = {4, 6, 7} e B = {2, 3, 5, 8, 9}. Os eventos A e B são complementares? Faça 
os cálculos. R. Sim, ... 
b) Sejam os eventos: A = {4, 6} e B = {2, 3, 5, 6, 7, 8, 9}. Os eventos A e B são complementares? 
Faça os cálculos. R. Não, pois A∩B = {6} ≠ { } 
 
03) Seja o seguinte espaço amostral: S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. A probabilidade de sair um 
número ímpar(I) ou superior(S) a 6 é de 6/10 ou 0,6 ou 60%. Formalize, calcule e conclua. 
R. P(I U > 6) Sim, ... 
 
04) Se A, B e C forem eventos mutuamente excludentes, será possível obter: 
a) P(A) = 0,1, P(B) = 0,3 e P(C) = 0,5? Justifique. R. Sim 
b) P(A) = 0,3, P(B) = 0,4 e P(C) = 0,5? Justifique. R. Não, U > 1 
 
05) Se A, B e C forem eventos mutuamente excludentes, com P(A) = 0,2, P(B) = 0,3 e P(C) = 0,4, 
determine as seguintes probabilidades: 
a) P(AUB) R. 0,5 b) P(AUC) R. 0,6 c) P(BUC) R. 0,7 d) P(AUBUC) R. 0,9 
e) P(A∩B) R. φ f) P(A∩C) R. φ g) P(A∩B∩C) R. φ h) P[(AUB)∩C)] R. φ 
 
06) Qual a P(AUB), se P(A) = 0,33 e P(B) = 0,52, para que “A” e “B” sejam eventos: 
a) mutuamente exclusivos? R. 0,85 b) independentes? R. 0,6784 
 
07) P(A) = 0,6 e P(AUB) = 0,9 qual a P(B) se “A” e “B” são eventos: 
a) mutuamente exclusivos? R. 0,3 b) independentes? R. 0,75 
 
08) P(B) = 0,5 e P(A U B) = 0,6, qual a P(A) se “A” e “B” são: 
a) mutuamente exclusivos? R. 0,1 b) eventos independentes? R. 0,2 
 
09) Classifique os eventos em dependente e independente cada par de eventos: 
a) Assistir a aula de estatística. – Passar em um curso de estatística. R. D 
b) Furar um pneu no trajeto para a aula. – Acordar tarde demais para as aulas. R. I 
c) Eventos A e B, com P(A) = 0,40, P(B) = 0,60 e P(A∩B) = 0,20. R. D 
d) Eventos A e B, com P(A) = 0,90, P(B) = 0,80 e P(A∩B) = 0,72. R. I 
 
10) Se P(A) = 0,30, P(B) = 0,25, P(C) = 0,60, P(AUB) = 0,55 e P(BUC) = 0,70, determine as 
seguintes probabilidades: 
a) P( A ) R. 0,70 b) P( B ) R. 0,75 c) P( C ) R. 0,40 
d) P(AUC), sendo eventos independestes. R. 0,72 
e) Os conjuntos A e B são mutuamente excludentes? R. Sim, ... 
f) Os conjuntos B e C são mutuamente excludentes? R. Não, ... 
 _ 
11) Se P(A) = 0,8 e P(B) = 0,7, ache as probabilidades seguintes para que “A” e “B” sejam E.I.: 
 _ _ _ 
a) P(A) = (......) b) P(B) = (......) c) P(A∩B) = (.....) d) P((A∩B) = (.....) e) P(A∩B) = (.....) 
 ____ ____ _ _ _ _ 
f) P(AUB) = (......) g) P(AUB) = (......) h) P(A∩B) = (.....) i) P(AUB) = (.....) j) P(A∩B) = (......) 
 
k) Montar uma tabela. l) Fazer o diagrama de Venn. 
 19 
 
“P” 
 S 
 
 
 
 
 1,00 
 
 
 Se os eventos “A” e “B” são mutuamente exclusivos, então: 
 ____ 
m) P(AUB) = (......) n) P(AUB) = (.......) o) Faça o diagrama de Venn. 
 
 
 
 
R. a) (T2) 0,2 b) (T2) 0,3 c) (E.I.) 0,14 d) (T4) 0,56 e) (T4) 0,06 f) (T5) 0,76 g) 
(T2) 0,24 h) (T2) 0,86 i) (T5 ou M) 0,86 j) (T5 ou M) 0,24 m) (A3) 0,9 n) (T2) 0,1 
 
 __ 
12) Se P(A) = 0,37 e P(B) = 0,58, ache as probabilidades seguintes para que “A” e “B” sejam E.I.: 
 _ _ _ 
a) P(A) = (......) b) P(B) = (......) c) P(A∩B) = (.....) d) P((A∩B) = (.....) e) P(A∩B) = (.....) 
 ____ ____ _ _ _ _ 
f) P(AUB) = (......) g) P(AUB) = (......) h) P(A∩B) = (.....) i) P(AUB) = (.....) j) P(A∩B) = (......) 
 
k) Montar uma tabela. l) Fazer o diagrama de Venn. 
 
“P” 
 S 
 
 
 
 
 1,0000 
 
 
 Se os eventos “A” e “B” são mutuamente exclusivos, então: 
 ____ 
m) P(AUB) = (.......) n) P(AUB) = (.......) o) Faça o diagrama de Venn. 
 
 
 R. a) 0,63 b) 0,42 c) 0,1554 d) 0,2646 e) 0,2146 f) 0,6346 
 g) 0,3654 h) 0,8446 i) 0,8446 j) 0,3654 m) 0,79 n) 0,21 
 
13) Sejam P(A) = 0,50, P(B) = 0,40 e P(AUB) = 0,70. 
a) A e B são eventos mutuamente exclusivos? Por que? R. Não, ... 
b) A e B são eventos independentes? Por que? R. Sim, ... 
Calcule: b.1) P(A/B) R. 0,5 b.2) P(B/A) R. 0,4 
 
14) Os eventos A e B são independentes? Justifique. 
a) Se P(A/B) = 0,6, P(B) = 0,5 e P(A) = 0,6. R. Sim, ... 
b) Se P(A/B) = 0,4, P(B) = 0,8 e P(A) = 0,6. R. Não, ... 
 _____ 
15) Sejam “A” e “B” eventos de um mesmo espaço amostral tais que P(A U B) = 0,1; P(A) = 0,5 e 
P(B) = 0,7, faça o diagrama de Venn, monte uma tabela e determine: 
a) P(A U B) R. 0,9 b) P(A ∩ B) R. 0,3 c) P(B – A) R. 0,4 
 _ _ _ _ _ 
d) P(A ∩ B) R. 0,2 e) P(A ∩ B) R. 0,1 f) P(A/B) R. 0,3333 
 S 
 
 
 
 S 
 
 
 
 2016) Se P(A) = 0,3, P(B) = 0,2 e P(A∩B) = 0,1, determine as seguintes probabilidades: (Faça o 
diagrama de Venn e elabore uma tabela.) 
a) P( A ) b) P )(B c) P BA( ) d) P(AUB) e) P( BA  ) f) P( BA  ) 
g) P( BA  ) h) P(A/B) i) P( BA  ) j) P( )/ BA 
 R. a) 0,7 b) 0,8 c) 0,9 d) 0,4 e) 0,6 f) 0,1 g) 0,2 h) 0,5 i) 0,8 j) 0,5 
 
 
17) Se P(A) = 0,45, P(B) = 0,35 e P(A∩B) = 0,15, determine as seguintes probabilidades: (Faça o 
diagrama de Venn e elabore uma tabela.) 
a) P( A ) R. 0,55 b) P )(B R. 0,65 c) P BA( ) R. 0,85 d) P(AUB) R. 0,65 
e) P( BA  ) R. 0,35 f) P( BA  ) R. 0,2 g) P( BA  ) R. 0,3 h) P(A/B) R. 0,4286 
i) P( BA  ) R. 0,7 j) P(B/A) R. 0,3333 k) P( BA / ) R. 0,4615 
 
 
18) Se P(A) = 0,55, P )(B = 0,4 e P(AUB) = 0,77, determine as seguintes probabilidades: (Faça o 
diagrama de Venn e elabore uma tabela.) 
a) P( A ) R. 0,45 b) P(B) R. 0,6 c) P( BA  ) R. 0,23 d) P(A∩B) R. 0,38 
e) P(B/A) R. 0,6909 f) P BA( ) R. 0,62 g) P( )BA R. 0,17 
h) P( )BA R. 0,22 i) P( )BA R. 0,83 j) P )/( BA R. 0,3667 
k) P( )/( BA R. 0,425 l) P )/( AB R. 0,4889 
 
 _ 
19) Sabendo-se que “A” e “B” eventos de um mesmo espaço amostral e que P(A ∩ B) = 1/2; P(B) = 
1/3 e P(A) = 3/5, determine: 
a) P(A ∩ B) R. 0,1 b) P(A U B) R. 0,8333 c) P(A – B) R. 0,5 
 _ _ _ _ _ 
d) P(A/B) R. 0,75 e) P(B/A) R. 0,4167 f) P(A U B) R. 0,9 
 
 
20) Suponha que P(A/B) = 0,4, P(A) = 0,4 e P(B) = 0,5. Determine: (Faça o diagrama de Venn e 
elabore uma tabela.) 
a) P(A∩B) R. 0,2 b) P(B/A) R. 0,5 c) P(AUB) R. 0,7 
d) P( )BA R. 0,3 e) P( )BA R. 0,2 f) P( BA  ) R. 0,3 
 
 
21) Suponha que P(A/B) = 0,8, P(A) = 0,5 e P(B) = 0,2. Determine: (Faça o diagrama de Venn e 
elabore uma tabela.) 
a) P(A∩B) R. 0,16 b) P(AUB) R. 0,54 c) P(B/A) R. 0,32 
d) P( )BA R. 0,04 e) P( )BA R. 0,34 f) P )/( BA R. 0,425 
 
 
22) Uma montagem eletrônica é formada de 2 subsistemas A e B. De procedimentos de ensaio 
anteriores, as seguintes probabilidades se admitem conhecidas: _ 
P(A falhe) = 0,20 P(A e B falhem) = 0,15 P(B falhe sozinho) = 0,15 = P(A e B). 
Calcule as seguintes probabilidades: 
a) P(B falhe) b) P(AUB) c) P(A falhe sozinho) d) P(A falhe/ B tenha falhado) e) P(B/A) 
 R. a) 0,3 b) 0,35 c) 0,05 d) 0,5 e) 0,75 
 
23) Suponha que P(A/B) = 0,2, P )/( BA = 0,3 e P(B) = 0,8. Qual é P(A)? R. 0,22 
 
 
24) Uma fábrica produz quatro tipos de pneus. A tabela seguinte mostra a produção de um dia. 
 
 21 
Tipo W X Y Z Total 
 Bom(B) 90 180 270 360 900 
 Ruim(R) 10 20 30 40 100 
Total 100 200 300 400 1.000 
 O fabricante escolhe ao acaso um pneu para testar. Ache a probabilidade de ser: 
a) ruim. R. 0,1 b) do tipo Z. R. 0,4 c) ruim do tipo Y. R. 0,03 
d) do tipo W, sabendo que é bom. R. 0,1 e) bom, dado que é do tipo X. R. 0,9 
f ) não ser bom e do tipo Z. R. 0,04 
 
25) A tabela seguinte lista a história de 940 pedidos de opcionais de computadores. 
 
Processador opcional de 
alta velocidade 
Memória extra Total 
Não )(B Sim (B) 
Não )(A 514 68 582 
Sim (A) 112 246 358 
Total 626 314 940 
 
 Faça A denotar o evento em que um pedido requer o opcional de processador de alta 
velocidade e faça B denotar o evento em que um pedido requer o opcional de memória extra. 
Determine as seguintes probabilidades: 
a) P(A∩B) R. 0,2617 b) P(AUB) R. 0,4532 
c) )( UBAP R. 0,8809 d) )(
__
BAP  R. 0,5468 
e) Qual é a probabilidade de que um pedido requeira um processador de alta velocidade, dado que o 
pedido requer memória extra? R. 0,7834 
f) Qual é a probabilidade de que um pedido requeira memória extra, dado que o pedido requer um 
processador de alta velocidade? R. 0,6872 
 
26) A análise de eixos para compressor está resumida de acordo com as especificações: 
 
Obedece ao 
acabamento da 
superfície 
Obedece ao aspecto arredondado Total 
Sim (C) Não (D) 
Sim (A) 345 5 350 
Não (B) 12 8 20 
Total 357 13 370 
 
a) Se o eixo for selecionado ao acaso, qual será a probabilidade de que o eixo atenda aos requisitos de 
acabamento da superfície? R. 0,9459 
b) Qual é a probabilidade de que o eixo selecionado atenda aos requisitos de acabamento da 
superfície ou aos do aspecto arredondado? R. 0,9784 
c) Qual é a probabilidade de que o eixo selecionado atenda aos requisitos de acabamento da superfície 
ou não atenda ao aspecto arredondado? R. 0,9676 
d) Qual é a probabilidade de que o eixo relacionado atenda tanto aos requisitos de acabamento de 
superfície como aos de aspecto arredondado? R. 0,9324 
e) Se soubermos que um eixo satisfaz o requerimento de aspecto arredondado, qual será a 
probabilidade de que o eixo atenda aos requerimentos de acabamento na superfície? R. 0,9664 
f) Se soubermos que um eixo não satisfaz o requerimento de aspecto arredondado, qual será a 
probabilidade de que o eixo selecionado atenda aos requerimentos de acabamento na superfície? R. 
0,3846 
 
27) Amostras de uma peça de alumínio fundido são classificadas com base no acabamento (em 
micropolegadas) da superfície e nas medidas de comprimento. Os resultados se 100 peças são 
resumidas a seguir: 
 
 22 
Acabamento da 
superfície 
Comprimento Total 
Excelente (B) Bom (D) 
Excelente (A) 75 7 82 
Bom (C) 10 8 18 
Total 85 15 100 
 Determine as seguintes probabilidades: 
a) P(A) R. 0,82 b) P(B) R. 0,85 c) P(A/B) R. 0,8824 d) P(B/A) R. 0,9146 
e) Qual será a probabilidade de que o acabamento na superfície seja excelente e a probabilidade do 
comprimento ser excelente? R. 0,75 
f) Qual a probabilidade de a peça selecionada ter bom comprimento e ter bom acabamento na 
superfície? R. 0,08 
g) Se a peça selecionada tiver bom acabamento na superfície, qual será a probabilidade do 
comprimento ser excelente? R. 0,5556 
h) Se a peça selecionada tiver bom comprimento, qual será a probabilidade de que o acabamento na 
superfície seja excelente? R. 0,4667 
 
28) A Master Card Internacional efetuou um estudo de fraudes em cartões de crédito distribuídos 
entre as mulheres e homens. Os resultados estão consubstanciados na tabela a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 Selecionado aleatoriamente um caso de fraude, qual a probabilidade de a fraude resultar de 
um cartão: (Formalize cada item.) 
a) falsificado? R. 0,1995 b) de um homem? R. 0,5962 
c) roubado ou de uma mulher? R. 0,7465 d) de um homem pedido por correio? R. 0,0117 
e) roubado, sabendo que é de um homem? R. 0,5748 
f) de uma mulher, se é um cartão falsificado? R. 0,2 
 
29) Suponha duas estações metereológicas A e B, em certa região. As observações mostraram que a 
probabilidade de chuva em A é 0,55 e em B é 0,4. A probabilidade de ocorrência de chuva simultânea 
nas duas regiões é 0,25. A partir destas informações, 
a) Monte uma tabela. b) Façao diagrama de Venn. 
 Determine a probabilidade de: 
c) não ocorrer chuva em A. R. 0,45 d) ocorrer chuva pelo menos em uma das duas regiões A 
ou B. R. 0,7 
 
30) A probabilidade de um aluno A resolver uma questão de prova é de 0,8, enquanto que a do outro 
B resolvê-la é 0,6. Qual é a probabilidade da questão ser resolvida se ambos tentam resolvê-la 
independentemente? R. 0,92 
 
31) Em uma pesquisa entre estudantes de uma faculdade, 1.162 afirmaram que “colavam” nos 
exames, enquanto 2.468 afirmaram não “colar”. Selecionado aleatoriamente um desses estudantes, 
determine de ele ou ela ter “colado” em um exame. R. 0,3201 
 
32) Em seu trajeto para a aula, um estudante deve passar por dois sinais de tráfego que operam 
independentemente. Para cada sinal, a probabilidade de “verde” é 0,4. Ele deve encontrar os dois 
sinais abertos para chegar a tempo na aula. 
a) Qual a probabilidade de não se atrasar? R. 0,16 b) Qual a probabilidade de se atrasar? R. 0,84 
 
33) Um estudante tem dificuldade com o mau funcionamento de despertadores. Em lugar de utilizar 
um despertador, ele decide utilizar 3. Cada despertador tem 96% de chance de funcionar. Qual a 
probabilidade de: 
Tipo de fraude Mulher (M) Homem (H) Total 
Cartão roubado (R) 97 146 243 
Cartão falsificado (F) 17 68 85 
Pedido por correio (C) 47 5 52 
Outras (O) 11 35 46 
 Total 172 254 426 
 23 
a) todos funcionarem? R. 0,8847 b) somente o terceiro funcionar? R. 0,0015 
c) apenas 1 não funcionar? R. 0,1106 d) ao menos 1 despertador funcionar? R. 0,9999 
 
34) A probabilidade de que um pedido de um consumidor não seja despachado no tempo 
especificado é de 0,05. Um consumidor particular faz três pedidos, em longos intervalos de tempo, 
de modo que os eventos podem ser considerados independentes. Qual é a probabilidade de que: 
a) todos os pedidos sejam despachados no tempo especificado? R. 0,8574 
b) exatamente um pedido não seja despachado no tempo especificado? R. 0,1354 
 
35) Os problemas de assédio sexual têm recebido muita atenção nos últimos anos. Em uma pesquisa, 
420 trabalhadores, dos quais 240 homens (H) consideram uma simples batida no ombro como uma 
forma de assédio (A) sexual, enquanto que 580 trabalhadores, dos quais 280 homens não consideram 
isso como assédio ( A ). Monte uma tabela. Escolha aleatoriamente um dos trabalhadores 
pesquisados e determine a probabilidade de: (formalize cada item) 
a) obter alguém que não considere uma simples batida no ombro como uma forma de assédio sexual. 
R. 0,58 
b) ser mulher (M). R. 0,48 
c) ser um homem ou alguém que não considere uma simples batida no ombro como uma forma de 
assédio. R. 0,82 
d) ser um homem que considere uma simples batida no ombro como uma forma de assédio sexual. 
R. 0,24 
e) ser uma mulher, sabendo que ela não considera uma simples batida no ombro como uma forma de 
assédio sexual. R. 0,5172 
f) ser alguém que considere uma simples batida no ombro como uma forma de assédio sexual, dado 
que ela é mulher. R. 0,375 
 
36) Foi realizada uma pesquisa na indústria X, tendo sido feitas aos seus operários apenas duas 
perguntas. Dos operários, 92 responderam sim à primeira, 80 responderam sim à segunda, 35 
responderam sim a ambas e 33 responderam não a ambas as perguntas feitas. Monte uma tabela e o 
diagrama de Venn. Formalize e responda: 
a) Qual o número de operários da indústria? R. 170 
 Ache a probabilidade dos que responderam: 
b) sim à primeira pergunta. R. 0,5412 c) apenas uma sim. R. 0,6 
d) não à segunda pergunta. R. 0,5294 e) no máximo uma não. R. 0,8059 
f ) não à primeira e sim à segunda. R. 0,2647 g) pelo menos uma sim. R. 0,8059 
h) não à primeira, se responderam não à segunda. R. 0,3667 
i ) sim à primeira, dado que responderam não à segunda. R. 0,6333 
 
37) Há 80% de chance de uma máquina fabricar um prego sem defeitos. Se a fabricação de peças 
sucessivas constitui um processo independente, calcule a probabilidade de: (Formalize cada item.) 
a) duas peças numa sequência serem defeituosas. R. 0,04 
b) uma peça boa e uma peça defeituosa, nesta ordem. R. 0,16 
c) uma peça defeituosa e uma peça boa, em qualquer ordem. R. 0,32 
d) três peças boas em sequência. R. 0,512 
e) em três peças, pelo menos duas defeituosas. R. 0,104 
f) em cinco peças, apenas a segunda e a quarta não serem defeituosas. R. 0,0051 
 
38) As falhas de diferentes máquinas são independentes umas das outras. Se há quatro máquinas, e se 
suas respectivas probabilidades de falhas são 10%, 5%, 2% e 1% em determinado dia, calcule as 
probabilidades de: (Formalize cada item.) 
a) nenhuma falhar. R. 0,8295 
b) nesta ordem, falhar a primeira, não falhar a segunda, falhar a terceira e não falhar a quarta. R. 
0,0019 
c) no máximo três não falharem. R. 0,1705 
 
 24 
39) Uma ferramenta de inserção robótica contém 10 componentes principais. A probabilidade de que 
qualquer componente falhe durante o período de garantia é 0,01. Considere que os componentes 
falhem independentemente e que a ferramenta falhe se qualquer componente falhar. Qual é a 
probabilidade de que a ferramenta falhe durante o período de garantia? R. 0,0956 
 
40) Uma empresa produz 5% de peças defeituosas. O controle de qualidade da empresa é realizado 
em duas etapas independentes. A primeira etapa acusa uma peça defeituosa com 90% de acerto. A 
segunda etapa acusa uma peça defeituosa com 80% de acerto. Calcule a probabilidade de que: 
a) uma peça defeituosa passe pelo controle de qualidade. R. 0,02 
b) ao adquirir uma peça produzida por esta empresa, ela seja defeituosa. R. 0,001 
 
41) Um plano de amostragem consiste em se extrair uma amostra de tamanho n de um lote de 
tamanho N grande (neste caso supor que os itens da amostra foram retirados com reposição). Se 
nenhum dos itens verificados na amostra for defeituoso (D) aceitar o lote. Qual a probabilidade de se 
aceitar o lote se a: 
a) P(D) = 0,01 e n = 5. R. 0,9510 b) P(D) = 0,10 e n = 5. R. 0,5905 
c) P(D) = 0,30 e n = 5. R. 0,1681 d) Compare as probabilidades calculadas e conclua. 
 
42) Suponha um sistema de produção onde se tenha duas etapas conectadas em série (suponha 
independência entre as etapas), para a fabricação de um alimento. A probabilidade de falha de cada 
etapa é, P(F1) = 0,02 e P(F2) = 0,05. Qual é a probabilidade de que o sistema de produção funcione? 
R. 0,931 
 
 
 
O sistema opera somente se houver um caminho de componentes funcionais da esquerda para 
direita. A probabilidade de cada componente funcionar é mostrada no diagrama. Considere que os 
componentes funcionem ou falhem independentemente. Para o exercício de nº 43 e nº 44, encontre a 
probabilidade de que: 
 
43) a) o sistema opere. R. 0,8928 
 b) o sistema não opere. R. 0,1072 
 
44) a) o sistema funcionar. R. 0,8862 
 b) o sistema não funcionar. R. 0,1138 
 
 
45) Suponha um sistema em série que tem três componentes C1, C2 e C3, cada um com uma 
probabilidade de funcionamento independente igual a 0,90, 0,99 e 0,96, respectivamente. Ache a 
probabilidade de: 
a) o sistema operar. R. 0,8554 b) o sistema não operar. R. 0,1446 
 
46) (Confiabilidade de sistemas) O Sistema de purificação de uma usina de tratamento de água tem 
três componentes em série (R1, R2, R3). As confiabilidades dos componentes são 0,9; 0,7 e 0,9, 
respectivamente. Qual é a probabilidade de falha no sistema de purificação se os componentes falham 
de forma independente? R. 0,433 
 
47) Num circuito elétrico, 3 componentes são ligados em série e trabalham independentemente um 
do outro. As probabilidades de falharem são 0,1; 0,1 e0,2 respectivamente. Qual a probabilidade de 
que não passe corrente pelo circuito? R. 0,352 
 
48) (Confiabilidade de sistemas) A chance de falha mecânica num sistema de prevenção contra 
vazamento em uma usina nuclear é de 0,003. Um sistema sensorial adicional instalado para detectar 
qualquer falha no sistema mecânico e acionar um dispositivo para interromper qualquer vazamento 
tem 0,045 de probabilidade de falha. Qual a probabilidade de ocorrer um vazamento da usina? R. 
0,0001 
 
 0,02 0,05 
 E1 E2 
 0,93 0,96 
 C1 C2 
 0,955 0,928 
 C1 C2 
 25 
O sistema opera somente se houver um caminho de componentes funcionais da esquerda para 
a direita. A probabilidade de cada componente funcionar é mostrada a seguir. Considere que os 
componentes funcionem ou falhem independentemente. Para o exercício de nº 49 até nº 51, encontre 
probabilidade de: 
 
49) a) o componente C1 falhar. R. 0,1 
 b) o componente C2 falhar. R. 0,05 
 c) o sistema não operar. R. 0,005 
 d) o sistema opere. R. 0,995 
 
 
 
50) a) o componente C1 falhar. R. 0,075 
 b) o componente C2 falhar. R. 0,085 
 c) o sistema não operar. R. 0,0064 
 d) o sistema opere. R. 0,9936 
 
 
 
 
51) a) o componente C1 falhar. R. 0,15 
 b) o componente C2 falhar. R. 0,08 
 c) o sistema não operar. R. 0,012 
 d) o sistema opere. R. 0,988 
 
 
 
 
52) (Confiabilidade/eventos independentes) O circuito abaixo opera somente se houver um 
caminho de equipamentos funcionais, da esquerda para direita. A probabilidade de que cada aparelho 
funcione é mostrada na figura. Suponha que os equipamentos falhem independentemente. Qual será a 
probabilidade de que o circuito opere (O)? R. 0,9865 
 
 Bloco A = A Bloco B = B Bloco C = C 
 
 
 0,9 
 C1 0,95 
 C4 
 0,9 0,99 
 C2 C6 
 0,95 
 0,9 C5 
 C3 
 
 
53) Suponham que um sistema em paralelo tenha três componentes C1, C2 e C3, cada um com uma 
probabilidade de funcionamento igual a 0,90, 0,99 e 0,93, respectivamente. Qual a probabilidade de o 
sistema operar? R. 0,9999. 
 
54) Um gerente de controle de qualidade utiliza equipamento de teste para detectar modems de 
computador defeituosos. Retiram-se aleatoriamente 3 modems diferentes de um grupo onde há 12 
defeituosos e 18 sem defeito. Qual a probabilidade de, sem reposição: 
a) todos os 3 serem defeituosos? R. 0,0542 
b) ao menos um dos modems escolhidos ser defeituoso? R. 0,7990 
 0,9 
 C1 
 
 
 0,95 
 C2 
 0,925 
 C1 
 
 
 0,915 
 C2 
 0,85 
 C1 
 
 
 0,92 
 C2 
 26 
c) somente 1 defeituoso? R. 0,4522 
d) apenas o primeiro modem sem defeito? R. 0,0975 
 
55) Uma arcada dentária é formada por 32 dentes, sendo superior direito e esquerdo e inferior direito 
e esquerdo com oito dentes cada. Três dentes têm manchas brancas, encontre a probabilidade de 
serem: 
a) todas no superior direito. R. 0,0113 b) nenhum inferior. R. 0,1129 
c) os três no mesmo local. R. 0,0452 
d) os dois no inferior direito e um superior esquerdo. R. 0,0151 
 
56) Uma indústria farmacêutica produz o creme dental “A”, que são distribuídos em embalagens de 
12 unidades. Para fazer o controle de qualidade um inspetor seleciona uma embalagem e dela extrai 3 
pastas que são testadas. No dia em que a embalagem selecionada houver 4 pastas danificadas, ache a 
probabilidade de serem testadas: 
a) nenhuma danificada. R. 0,2545 b) exatamente uma danificada. R. 0,5091 
c) no máximo uma danificada. R. 0,7636 
 
57) Um pacote contém 4 sementes de flores vermelhas, 3 de flores amarelas, 2 de flores brancas e 
uma de flores cor de laranja. 
a) Escolhida ao acaso uma semente do pacote, qual a probabilidade de ser de flor vermelhas ou cor de 
laranja? R. 0,5 
b) Escolhida duas sementes: 
 b.1) Qual a probabilidade de serem ambas de flor amarela? R. 0,0667 
 b.2) E vermelhas? R. 0,1333 
c) Escolhidas 3 sementes, qual a probabilidade de 1 ser de flor laranja e 2 de amarela? R. 0,025 
 
58) (Probabilidade condicional) Em um lote de 100 chips semicondutores, 20 são defeituosos. Dois 
deles são selecionados ao acaso, sem reposição. 
a) Qual é a probabilidade de que o primeiro chip seja defeituoso? R. 0,2 
b) Qual é a probabilidade de que o segundo Chip seja defeituoso, dado que o primeiro deles foi 
defeituoso? R. 0,1919 
c) Como a resposta do item b mudaria se os chips selecionados fossem repostos antes da próxima 
seleção? R. 0,2 
 
59) Considere uma urna contendo 3 bolas pretas e 5 vermelhas. Retire duas bolas da urna, sem 
reposição. 
a) Obtenha o espaço amostral e atribua probabilidades. 
b) Mesmo problema para extrações com reposição. 
c) Calcule as probabilidades dos seguintes eventos, nos dois casos: com e sem reposição: 
 A: bola preta na primeira e segunda extração. 
 B: bola preta na segunda extração. 
 C: bola vermelha na primeira extração. 
 R. c) com rep. 0,1406 0,375 0,625 sem rep. 0,1071 0,375 0,625 
 
60) Em uma pesquisa foram encontrados os seguintes resultados: 60% das pessoas entrevistadas 
bebem leite do tipo A; 50% do tipo B; 45% do tipo C; 20% bebem A e B; 30% bebem A e C; 15% 
bebem B e C e 8% bebem dos três tipos. Foram pesquisadas 5.000 pessoas. Faça o diagrama de 
Venn com o número de pessoas. Formalize e responda: a probabilidade dos que: 
a) não bebem nenhum dos três tipos de leite. b) bebem somente um tipo de leite. 
c) bebem exatamente dois tipos. d) bebem pelo menos um dos tipos de leite. 
e) bebem apenas o leite do tipo B. f ) bebem leite do tipo A. 
 R. a) 0,02 b) 0,49 c) 0,41 d) 0,98 e) 0,23 f) 0,6 
 
61) Num grupo com 80 jovens, 11 jovens gostam somente de esporte(E), 12 gostam somente de 
leitura(L), 13 gostam apenas de música(M), 20 jovens gostam de esporte, leitura e música, 25 gostam 
de esporte e leitura, 27 de leitura e música e 29 de esporte e música. 
 27 
a) Apresente os dados em diagrama de Venn com o número de pessoas. 
 Formalize e responda: a probabilidade de que um desses jovens, selecionado ao acaso, goste: 
b) de música. R. 0,6125 e) de música e não goste de leitura. R. 0,275 
c) apenas de leitura. R. 0,15 f) de esporte e leitura e não goste de música. R. 0,0625 
d) de esporte e música. R. 0,3625 g) de música, se também gosta de esporte. R. 0,6444 
h) de esporte, sabendo que gosta de música. R. 0,5918 
 
62) Uma firma de consertos tem 3 empregados, “A”, “B” e “C”. As probabilidades de fazerem um 
conserto mal(M) feito são respectivamente de 1%, 2% e 3%. “A” e “B” repartem entre si 80% dos 
consertos e o restante de “C”. 
a) Faça a árvore de possibilidades. 
b) Qual a probabilidade de um conserto mal feito? R. 0,018 
c) Dado que o conserto foi mal feito, qual a probabilidade de ter sido consertado pelo empregado 
“B”? R. 0,4444 
d) Qual a probabilidade de ter sido consertado pelo empregado “C”, sabendo que o conserto não foi 
mal feito? R. 0,1976 
 
63) Uma loja possui 74% dos clientes do sexo feminino (F), destas 36% preferem efetuar pagamento 
de suas compras a prazo (P), enquanto que esta forma de pagamento é a preferida por 31% dos 
homens(H). 
a) Faça a árvore de possibilidades. 
b) Calcular a probabilidade de que o pagamento das compras seja efetuado a prazo. R. 0,347 
c) Se o cliente prefere o pagamentoa prazo, qual a probabilidade de ser homem? R. 0,2323 
d) Qual a probabilidade de ser mulher, sabendo que o cliente prefere o pagamento à vista? R. 0,7253 
e) Qual a probabilidade de ser homem, se ele prefere o pagamento à vista? R. 0,2747 
f) Com base nos resultados dos itens d e e, que conclusão tirar? R. 1 
 
64) Uma empresa de consultoria, especialista em resolver problemas relativos à lançamentos de 
novos produtos, classifica os problemas apresentados em três categorias A, B e C. 50% dos 
problemas são classificados na categoria A, 40% na categoria B e o restante na categoria C. A 
capacidade histórica de resolver (R) problemas das diversas categorias são de: 80% se o problema é 
da categoria A, 90% se for da categoria B e 10% da categoria C. 
a) Faça a árvore de possibilidades. 
b) Chegou um problema, qual é a probabilidade dele ser resolvido? R. 0,77 
c) Se foi resolvido, qual é a probabilidade de ser da categoria C? R. 0,0130 
 
65) Em uma grande fabrica antiga, as verificações in loco determinaram que a probabilidade de 
fiação defeituosa é de 0,20. Dado que uma fábrica tenha fiação defeituosa, a probabilidade de ocorrer 
um incêndio é de 0,7 e, se a fiação não for defeituosa, a probabilidade de um incêndio fica reduzida 
para 0,1. Um incêndio recente queimou gravemente um operário e causou prejuízos. Embora não 
haja provas, o gerente de operações foi solicitado por uma companhia de seguros para calcular a 
probabilidade do incêndio ter sido provocado por fiação defeituosa. Qual é então, esta probabilidade? 
R. 0,6364 
 
66) Uma companhia petrolífera obteve a concessão para explorar certa região. Estudos anteriores 
estimam que a probabilidade de existir (E) petróleo nessa região em 0,20. A companhia pode optar 
por um teste, sendo que, se realmente existir petróleo, esse teste dirá com probabilidade de 0,80 que 
existe (foi favorável F), e, se realmente não existe, dirá com probabilidade de 0,70 que não existe 
(teste foi desfavorável). 
a) Faça a árvore de possibilidades 
b) Ache a probabilidade do teste ser favorável R. 0,4 
c) Se o teste for desfavorável, qual é a probabilidade de realmente existir petróleo na região? R. 
0,0667 
 
67) Um programa computacional para detectar fraudes em cartões telefônicos dos consumidores 
rastreia, todo dia, o número de áreas metropolitanas de onde as chamadas originam. Sabe-se que 1% 
 28 
dos usuários legítimos faz suas chamadas de duas ou mais (≥ 2) áreas metropolitanas em um único 
dia. Entretanto, 30% dos usuários fraudulentos fazem suas chamadas de duas ou mais áreas 
metropolitanas em um único dia. A proporção de usuários fraudulentos (F) é de 0,01%. Se o mesmo 
usuário fizer suas chamadas de duas ou mais áreas metropolitanas em um único dia, qual será a 
probabilidade de que seja um usuário fraudulento? R. 0,0030 
 
 
 
 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
 
01) Os dados de 200 peças usinadas estão resumidos a seguir: 
Condição da 
extremidade 
Profundidade do orifício Total 
Acima do desejado (C) Abaixo do desejado (B) 
 Grosseira (G) 15 10 25 
 Moderada (M) 30 20 50 
 Lisa (L) 55 70 125 
 Total 100 100 200 
a) Qual é a probabilidade de que uma peça selecionada tenha uma extremidade em condição grosseira 
e uma profundidade do orifício abaixo do valor alvo? R. 0,05 
b) Qual é a probabilidade de que uma peça selecionada tenha uma extremidade em condição 
moderada ou uma profundidade do orifício acima do valor alvo? R. 0,6 
c) Qual é a probabilidade de que uma peça selecionada tenha uma extremidade em condição lisa, se 
tem uma profundidade do orifício abaixo do valor alvo? R. 0,7 
 
02) Os dados de 600 teclados de terminais de computador que são produzidos pelas máquinas estão 
resumidos a seguir: 
 
 
 
 
 
 
Quando o cliente recebe os teclados, eles são escolhidos ao acaso para a instalação. Encontre 
a probabilidade de um teclado escolhido: 
a) tenha sido produzido pela máquina Z e seja ruim. R. 0,05 
b) seja bom ou tenha sido produzido pela máquina X. R. 0,9083 
c) seja ruim, sabendo-se que foi produzido pela máquina Y. R. 0,1 
 
03) Das 200 empresas que atuam num dado setor industrial, 150 empresas possuem departamento de 
marketing(M), 102 empresas registram lucros(L) e 62 possuem departamento de marketing e 
registram lucros. | 
a) Monte uma tabela usando estes dados. 
Pretende-se calcular a probabilidade para uma empresa, escolhida ao acaso, estar nas 
seguintes condições: 
b) possuir departamento de marketing ou obter lucros. R. 0,8636 
c) possuir departamento de marketing e não obter lucros. R. 0,44 
d) não obter lucros, se não possuir departamento de marketing. R. 0,05 
 
04) Uma ferramenta de inserção robótica contém 4 componentes (C1, C2, C3 e C4) principais que 
funcionam em série. As probabilidades de funcionamento dos componentes são: 0,90, 0,92, 0,93 e 
0,99 respectivamente. Considerando que os componentes falhem independentemente, qual é a 
probabilidade de que a ferramenta falhe(F) durante o período de garantia? R. 0,2317 
 
05) Um sistema de frenagem é composto por um subsistema eletrônico (E), com uma confiabilidade 
de 0,97, um subsistema hidráulico (H), com uma confiabilidade de 0,96, um subsistema mecânico 
 Variável Máquina Total 
X Y Z 
 Bom (B) 45 225 270 540 
 Ruim (R) 5 25 30 60 
 Total 50 250 300 600 
 29 
(M), com uma confiabilidade de 0,95. O subsistema é em paralelo. Falham ou funcionam 
independente-mente. Qual a probabilidade do sistema de frenagem funcionar (F)? R. 0,9999 
 
06) Os problemas de assédio sexual têm recebido muita atenção nos últimos anos. Foram pesquisadas 
20 mulheres das quais 5 já sofreram algum tipo de assédio(A) sexual. 
 A) Eventos dependentes B) Eventos independentes 
a) Suponha que 3 mulheres sejam selecionadas ao acaso, ache a probabilidade de que todas não 
tenham sofrido assédio sexual. R. 0,3991 0,4219 
b) Escolhida 4 mulheres, encontre a probabilidade de que apenas a 3ª. tenha sofrido assédio sexual. 
R. 0,1174 0,1055 
 
07) Das 50 peças fabricadas em um dia contém 5 peças que não encontram (E) os requisitos 
esperados pelos consumidores. São selecionadas 3 peças, ao acaso. A probabilidade de serem 
encontradas: A) com reposição. B) sem reposição, 
a) todas as peças com os requisitos esperados pelos consumidores. R. 0,729 0,724 
b) a primeira encontra os requisitos e as outras não, nesta ordem. R. 0,009 0,0077 
 
08) Sob a hipótese de que certo programa de treinamento melhora o rendimento de 80% das pessoas a 
ele submetidas, qual a probabilidade de, numa amostra de quatro pessoas submetidas a este programa 
de treinamento, apenas a primeira não apresentar melhora(M) no rendimento? R. 0,1024 
 
09) Numa batelada de 15 peças moldadas por injeção, 5 delas sofreram excessivo (E) encolhimento. 
Se três peças forem escolhidas, ao acaso e sem reposição, qual a probabilidade de que somente a 
terceira tenha sofrido excessivo encolhimento? R. 0,1648 
 
10) A probabilidade de que um pedido de um consumidor seja despachado(D) no tempo especificado 
é de 0,95. Um consumidor particular faz três pedidos, em longos intervalos de tempo, de modo que os 
eventos podem ser considerados independentes. Qual a probabilidade de que todos os pedidos sejam 
despachados no tempo especificado? R. 0,8574 
 
11) Um lote de 15 calculadoras contém 5 delas com defeitos(D). Suponha que duas calculadoras 
sejam selecionadas, ao acaso, sem reposição no lote. Qual a probabilidade de que todas as duas sejam 
defeituosas? R. 0,0952 
 
12) Uma placa de aço contém 30 parafusos. Considere que 25 parafusos estejam apertados (A) até o 
limite apropriado.