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Matemática Financeira Prof. Esp. Leonardo T. Otsuka Tema 4 – Sequência de Pagamentos – (Juros Compostos) Sequência de Pagamentos • Sequência de Pagamentos Postecipada; • Sequência de Pagamentos Antecipada; • Valor Futuro (Postecipada) – Plano de Poupança; Também conhecido como Série Uniforme de Pagamentos. Sequência de Pagamentos – Postecipada • Quando o pagamento for postecipado, o primeiro pagamento ocorre somente no final do primeiro período (GIMENES, 2012, p. 95). • As parcelas são iguais e sucessivas: 0 1 2 3 ... n PMT PMT PMT PMT PV Sequência de Pagamentos Postecipada – Fórmula • PV – Valor Presente, Valor Inicial ou valor que será financiado. • PMT – pagamento ou recebimento (prestação). • i – Taxa de juros. • n – Período ou nº de parcelas. Cálculos do “n” – quantidade de parcelas (Postecipado) ou ln = logarítmo natural log = logarítmo Exemplo 1 Um colega lhe pede R$ 1.000,00 emprestados. Para correr o risco, você cobra dele uma taxa de juros de 10,0% a.m. Ele vai lhe pagar em 5 parcelas iguais sucessivas, sendo que a primeira parcela vence após 30 dias da data do empréstimo. Determine o valor das parcelas. (GIMENES, 2012, p. 95, Livro-Texto) Exemplo 1 – Resolução PV = 1000 n = 5 meses i = 10,% a.m. PMT = ? = 10/100 = 0,1 1.000 0 meses1 2 3 4 5 PMT = ? Exemplo 1 – Resolução pela Fórmula PMT=1000. 0,263797 PMT= 263,79 Programando a HP12C para Sequência Postecipada Se no visor da HP12C estiver escrito “Begin”, é necessário digitar: BEGIN g 8 END Exemplo 1 – Resolução pela HP12c PMT PV1 000 5 n i10 = -263,79 f Clx g 8 END Programando a HP12c para série Postecipada Exemplo 2 – Cálculo do “n” Quantas prestações de R$ 314,75 serão necessárias para pagar um microcomputador que custa $2.500,00 à vista? O plano é sem entrada e a taxa de juros é de 7% a.m. (GIMENES, 2012, p. 112). n = ? PMT = 314,75 PV = 2500 i = 7,0% a.m.= 7/100 = 0,07 Exemplo 2 – Resolução pela Fórmula Continua... Exemplo 2 – Resolução pela Fórmula Exemplo 2 – Resolução pela Fórmula Exemplo 2 – Resolução pela HP 12C n PV2 500 7 i = 12 meses f Clxn = ? PMT = 314,75 PV = 2500 i = 7,0% a.m. CHS314,75 PMT g 8 END Sequência de Pagamentos Antecipada Continuando Sequência de Pagamentos Antecipada • A denominação “pagamento antecipado” se refere a uma situação em que o primeiro pagamento/recebimento é feito no instante inicial (GIMENES, 2012, p. 120). • As parcelas são iguais e sucessivas. 0 1 2 3 ... n PMT PMT PMT PMT PV PMT Sequência de Pagamentos Antecipada • PV – Valor Presente, Valor Inicial ou valor que será financiado. • PMT – pagamento ou recebimento (prestação). • i – Taxa de juros. • n – Período. Exemplo 1 Um imóvel de R$ 110.000,00 será financiado em 120 parcelas mensais iguais e sucessivas. Calcule o valor das parcelas, sabendo que o banco cobra uma taxa de 1,0% ao mês e que a primeira parcela vence no ato da compra. (GIMENES, 2012, p. 123, Livro-Texto, adaptado) Exemplo 1 – Resolução PV = 110.000,00 n = 120 meses (1+119) i = 1,0% a.m. 100 = 0,01 PMT = ? 110.000 0 meses119 PMT = ? Exemplo 1 – Resolução pela Fórmula Continua... Exemplo 1 – Resolução pela fórmula (Repetindo a linha anterior) PMT = 1.562,55 Exemplo 1 – Resolução pela HP12C PMT PV110 000 120 n i1 = - 1.562,55 f Clx Programando a HP12c para série Antecipada g 7 BEG Sequência de Pagamentos – Valor Futuro (Plano de Poupança) Existe uma variação da fórmula da Sequência de pagamentos que visa ao valor futuro, mantendo as parcelas iguais postecipadas sobre uma taxa de juros. 0 1 2 ... n PMT PMT FV PMT PMT 3 Sequência de Pagamentos – Plano de Poupança – Fórmula • FV – Valor Futuro ou Montante. • PMT – Valor do depósito/parcela. • i – Taxa de juros. • n – Período. Exemplo 1: Plano de Poupança Se eu depositar mensalmente R$ 150,00 em um banco durante três anos, quanto terei ao final do período, se a taxa for de 0,75% ao mês? (GIMENES, 2012, p. 117) Exemplo 1: Plano de Poupança PMT = 150,00 FV = ? i = 0,75% ao mês i = 0,75/100 = 0,0075 n = 3 anos n = 3.12 = 36 meses Exemplo 1: Resolução pela Fórmula FV = 6.172,91 Exemplo 1: Resolução pela HP12c 36 n = 6.172,91 f Clx CHS150 PMT i0,75 FV Programando a HP12c para série Postecipada = g END g 8 END Sequência de Pagamentos Agora é a sua vez Exercício 1 Um empréstimo de R$ 2.000,00 deve ser pago em seis prestações mensais, iguais e sucessivas. Sabendo-se que a taxa de juros é de 3% ao mês, determine o valor da prestação mensal desse financiamento, sendo que o pagamento da 1ª prestação ocorre no ato da liberação dos recursos. • Série Antecipada. Exercício 1 – Resolução pela HP12c PV = 2 000 n = 6 meses i = 3,0% a.m. PMT = ? 2.000 0 meses1 2 3 4 5 PMT = ? (1+5) PMT PV2 000 6 n i3 = -358,44 f Clx g 7 BEG Exercício 1 – Resolução pela Fórmula PMT=2000.0,179221 PMT= 358,44 Exercício 2 Um sítio é vendido por R$ 348.000,00 à vista. Você propõe 40% de entrada e o restante em 120 parcelas fixas e postecipadas, que devem ser calculadas à taxa de 1% a.m. Qual é o valor das prestações? (GIMENES, 2006, p. 106) Exercício 2 – Resolução: entrada não faz parte do financiamento. Valor à vista = 348.000,00 n = 120 meses i = 1,0% a.m. /100 = 0,01 PMT = ? Cuidado com a entrada: Entrada de 40% de 348.000 = 139.200,00 PV = Valor à vista - Entrada PV = 348.000 - 139.200 = 208.800,00 Exercício 2 – Resolução pela Fórmula Continua... Exercício 2 – Resolução pela Fórmula PMT = 208800 . 0,014347 PMT = 2.995,68 O Livro-Texto mostra o PMT = 2.995,67. Essa diferença ocorre por causa do arredondamento. Exercício 2 – Resolução pela HP12c PMT PV208 800 120 n i1 = -2.995,67 f Clx 8g Exercício 3 – Postecipado com Entrada Um carro é vendido por R$ 30.000,00 à vista. A concessionária possui um financiamento em que exige 40% de entrada e o saldo restante financiado em 24 prestações mensais iguais e sucessivas. Sabendo que a taxa de juros é de 1,0% ao mês, qual o valor das prestações? Exercício 3 - Postecipado com Entrada 30.000 à vista 1 24PMT = ? Entrada=12.000 (Subtrair) PV= 30000 - 12000 = 18.000 40% de entrada Entrada=12.000 n = 24 meses meses0i = 1,0% a.m. PV= 18.000 i = 0,01 PMT = ? Exercício 3 – Postecipado com Entrada 24 n = - 847,32 f Clx PV18 000 i1 PMT Programando a HP12c para série Postecipada = g END8END g Sequência de Pagamentos Finalizando Sequência de Pagamentos Aprendemos, neste tema, os seguintes assuntos: • Sequência de Pagamentos Postecipada. • Sequência de Pagamentos Antecipada. • Plano de Poupança (Valor Futuro). Sequência de Pagamentos • Vocês perceberam que não calculamos o a taxa = i; • Os cálculos são mais complexos, porém muito úteis para verificar se as empresas estão cobrando realmente as taxas anunciadas; • Portanto, para se calcular o “i”, recomenda-se o uso da Calculadora HP12c. Sequência de Pagamentos – Carência A carência significa que as parcelas serão cobradas a partir de período estipulado. 0 1 2 3 5 PV = 10 000 PMT=? 28 FV = 12.762,82 n= 24meses n= 5 meses 4 Carência de 5 meses PV = 10.000 n = 24 meses i = 5% a.m. *carências de 5 meses Exemplo Você possui R$ 162,00 na poupança, que rende 0,5% ao mês. Você pagaria à vista ou a prazo? Justifique sua escolha. À Vista no boleto com desconto de 15%161,35 1x s/ juros: 189,82 2x s/ juros: 94,91 3x s/ juros: 63,27 4x s/ juros: 47,46 5x s/ juros: 37,96 6x s/ juros: 31,64 Exemplo – Resolução – HP12c Trata-se de uma sequência de pagamentos. Vamos analisar o pagamento em 2x: PV = 161,35 n = 2 PMT = 94,91 i = ? À Vista no boleto com desconto de 15% 161,35 1x s/ juros: 189,82 2x s/ juros: 94,91 3x s/ juros: 63,27 4x s/ juros: 47,46 5x s/ juros: 37,96 6x s/ juros: 31,64 Exemplo – Resolução – HP12c PV = 161,35 n = 2 PMT = 94,91 i = ? PV161,35 2 n i =11,55% a.m. f Clx CHS94,91 PMT 8g Exemplo – Comprar à vista! PV161,35 2 n i =11,55% a.m. CHS94,91 PMT i 3 n =8,58% a.m. CHS PMT63,27 À Vista no boleto com desconto de 15% 161,35 i 1x s/ juros: 189,82 17,64% 2x s/ juros: 94,91 11,55% 3x s/ juros: 63,27 8,58% 4x s/ juros: 47,46 6,84% 5x s/ juros: 37,96 5,67% 6x s/ juros: 31,64 4,85% Referências • GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática financeira com HP12C e Excel. São Paulo: Pearson Education, 2012. Pearson – PLT – Programa do Livro-Texto • Caderno de Atividades.
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