AV1 Juros Simples e Compostos

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Juros Simples e Compostos
Os juros simples e compostos são cálculos efetuados com o objetivo de corrigir os valores envolvidos nas transações financeiras, isto é, a correção que se faz ao emprestar ou aplicar uma determinada quantia durante um período de tempo.
O valor pago ou resgatado dependerá da taxa cobrada pela operação e do período que o dinheiro ficará emprestado ou aplicado. Quanto maior a taxa e o tempo, maior será este valor.
Diferença entre juros simples e compostos
Enquanto nos juros simples a correção aplicada em todo o período leva em consideração apenas o valor inicial envolvido, nos juros compostos a correção é feita em cima de valores já corrigidos.
Por isso, os juros compostos também são chamados de juros sobre juros, ou seja, o valor é corrigido sobre um valor que também já foi corrigido.
Sendo assim, para períodos maiores de aplicação ou empréstimo a correção por juros compostos fará com que o valor final a ser recebido ou pago seja bem maior que o valor inicialmente aplicado ou emprestado.
A grande maioria das operações financeiras utiliza a correção pelo sistema de juros compostos. Os juros simples se restringem as operações de curto período de tempo.
Fórmula de juros simples
Os juros simples são calculados aplicando a seguinte fórmula:
J = C.i.t
Sendo,
J: juros
C: valor inicial da transação, chamado em matemática financeira de capital
i: taxa de juros (valor normalmente expresso em porcentagem)
t: período da transação
Podemos ainda calcular o valor total que será resgatado (no caso de uma aplicação) ou o valor a ser quitado (no caso de um empréstimo) ao final de um período predeterminado.
Esse valor, chamado de montante, é igual a soma do capital com os juros, ou seja:
M = C + J
Podemos substituir o valor de J, na fórmula acima e encontrar a seguinte expressão para o montante:
M = C + C.i.t
M= C (1+i.t)
A fórmula que encontramos é uma função afim, desta forma, o valor do montante cresce linearmente em função do tempo.
Exemplo: Se o capital de R$ 1 000,00 rende mensalmente R$ 25,00, qual é a taxa anual de juros no sistema de juros simples?
Solução
Primeiro, vamos identificar cada grandeza indicada no problema.
C = R$ 1 000,00
J = R$ 25,00
t = 1 mês
i = ?
Agora que fizemos a identificação de todas as grandezas, podemos substituir na fórmula dos juros:
J= C.i.t
25=1000.i.1
i = 25_ 
 1000
i = 0,025 = 2,5%
Entretanto, observe que essa taxa é mensal, pois usamos o período de 1 mês. Para encontrar a taxa anual precisamos multiplicar esse valor por 12, assim temos:
i = 2,5.12= 30% ao ano
Fórmula de juros compostos
O montante capitalizado a juros compostos é encontrado aplicando a seguinte fórmula:
M = C(1+i)t
Sendo,
M: montante
C: capital
i: taxa de juros
t: período de tempo
Diferente dos juros simples, neste tipo de capitalização, a fórmula para o cálculo do montante envolve uma variação exponencial. Daí se explica que o valor final aumente consideravelmente para períodos maiores.
Exemplo: Calcule o montante produzido por R$ 2 000,00 aplicado à taxa de 4% ao trimestre, após um ano, no sistema de juros compostos.
Solução
Identificando as informações dadas, temos:
C = 2 000
i = 4% ou 0,04 ao trimestre
t = 1 ano = 4 trimestres
M = ?
Substituindo esses valores na fórmula de juros compostos, temos:
M= 2000 (1+0,04)4
M= 2000.1,1698
M= 2339,71
Portanto, ao final de um ano o montante será igual a R$ 2 339,71.
Exercícios de Juros Simples
1) João aplicou R$20 000,00 durante 3 meses em uma aplicação a juros simples com uma taxa de 6% ao mês. Qual o valor recebido por João ao final desta aplicação?
 Solução: Podemos resolver esse problema, calculando quanto de juros João irá receber em cada mês aplicado. Ou seja, vamos descobrir quanto que é 6% de 20 000.
Lembrando que porcentagem é uma razão cujo o denominador é igual a 100, temos:
6%= 6/100 = 0,06
Assim, para saber quanto de juros receberemos por mês, basta multiplicar o valor aplicado pela taxa de correção.
Juros recebido por mês = 20 000 . 0,06 = 1 200
Para 3 meses, temos:
1 200 . 3 = 3 600
Desta forma, o valor recebido no final de 3 meses será o valor aplicado mais os juros recebidos nos 3 meses:
Valor recebido (montante) = 20 000 + 3 600 = 23 600
Poderíamos, ainda, ter resolvido o problema utilizando a fórmula:
M = C ( 1 + i . t )
M = 20 000 ( 1 + 0,06. 3) = 20 000 . 1,18 = 23 600
2) Em uma loja, um aparelho de TV é vendido com as seguintes condições:
Qual a taxa de juros cobrada neste financiamento?
Solução
Para descobrir a taxa de juros, primeiro devemos conhecer o valor que será aplicado os juros. Esse valor é o saldo devedor no momento da compra, que é calculado diminuindo o valor relativo ao pagamento à vista do valor pago:
C = 1750 - 950 = 800
Após um mês, esse valor se converte num montante de R$ 950,00, que é o valor da 2ª parcela. Usando a fórmula do montante, temos:
M= C (1+i.t)
950=800(1+i.1) => i=950 – 1 => i= 1,1875-1
 800
i = 0,1875=18,75%
Assim, a taxa de juros cobrada pela loja para essa opção de pagamento é de 18,75% ao mês.
3) Um capital é aplicado, a juros simples, à taxa de 4% ao mês. Quanto tempo, no mínimo, ele deverá ser aplicado, a fim de que seja possível resgatar o triplo da quantia aplicada?
Solução: Para encontrar o tempo, vamos substituir o montante por 3C, pois queremos que o valor seja triplicado. Assim, substituindo na fórmula do montante, temos:
3C= C(1+0,04.t) => 3C/C = 1+0,04.t
0,04.t= 3-1 => t= 2/0,04 => t= 50
Desta forma, para triplicar de valor, o capital deverá permanecer aplicado por 50 meses.
4) Uma pessoa aplicou um capital a juros simples durante 1 ano e meio. Sendo corrigido a uma taxa de 5% ao mês, gerou no final do período um montante de R$ 35 530,00. Determine o capital aplicado nesta situação.
t = 1 ano e meio = 18 meses
j = 5% = 0,05
M = 35 530
C = ?
M = C (1 + it)
35 530 = C ( 1 + 0,05 . 18)
35 530 = 1,9 . C
C = 35 530 / 1,9
C = 18 7 00
Assim, o capital aplicado foi de R$ 18 7 00,00
5) A conta de água de um condomínio deve ser paga até o quinto dia útil de cada mês. Para pagamentos após o vencimento, é cobrado juros de 0,3% por dia de atraso. Se a conta de um morador for de R$580,00 e ele pagar essa conta com 15 dias de atraso, qual será o valor pago?
C = 580
i = 0,3% = 0,003
t = 15
M = ?
M = 580 (1 + 0,003 . 15)
M = 580 . 1,045
M = 606,10
O morador terá que pagar R$ 606,10 pela conta de água.
6) Uma dívida de R$13 000,00 foi paga 5 meses depois de contraída e os juros pagos foram de R$ 780,00. Sabendo que o cálculo foi feito usando juros simples, qual foi a taxa de juros?
J = 780
C = 13 000
t = 5 meses
i = ?
J = C . i . t
780 = 13 000 . i . 5
780 = 65 000 . i
i = 780/65 000
i = 0,012 = 1,2 %
A taxa de juros é de 1,2% ao mês.
7) Um terreno cujo preço é de R$ 100 000,00, será pago em um único pagamento, 6 meses após a compra. Considerando que a taxa aplicada é de 18% ao ano, no sistema de juros simples, quanto será pago de juros nessa transação?
C = 100 000
t = 6 meses = 0,5 ano
i = 18% = 0,18 ao ano
J = ?
J = 100 000 . 0,5 . 0,18
J = 9 000
Será pago R$ 9 000 de juros.
8) Na compra de um fogão, os clientes podem optar por uma das seguintes formas de pagamento:
• à vista, no valor de R$ 860,00;
• em duas parcelas fixas de R$ 460,00, sendo a primeira paga no ato da compra e a segunda 30 dias depois.
A taxa de juros mensal para pagamentos não efetuados no ato da compra é de:
a) 10%
b) 12%
c) 15%
d) 18%
9) Maria quer comprar uma TV que está sendo vendida por R$ 1500,00 à vista ou em 3 parcelas mensais sem juros de R$ 500,00. O dinheiro que Maria reservou para essa compra não é suficiente para pagar à vista, mas descobriu que o banco oferece uma aplicação financeira que rende 1% ao mês. Após fazer os cálculos, Maria concluiu que, se pagar a primeira parcela e, no mesmo dia, aplicar a quantia restante, conseguirá pagar as duas parcelas que faltam sem ter que colocar nem tirar um centavo sequer.
Quanto Maria reservou para essa compra, em reais?
a) 1450,20
b) 1480,20
c) 1485,20
d) 1495,20
e) 1490,20
10) Um boleto de mensalidadeescolar, com vencimento para 10.08.2006, possui valor nominal de R$740,00.
a) Se o boleto for pago até o dia 20.07.2006, o valor a ser cobrado será R$703,00. Qual o percentual do desconto concedido?
5%
b) Se o boleto for pago depois do dia 10.08.2006, haverá cobrança de juros de 0,25% sobre o valor nominal do boleto, por dia de atraso. Se for pago com 20 dias de atraso, qual o valor a ser cobrado?
R$ 777,00
Exercícios de Juros Compostos
1) Um contrato de empréstimo prevê que quando uma parcela é paga de forma antecipada, conceder-se-á uma redução de juros de acordo com o período de antecipação. Neste caso, paga-se o valor presente, que é o valor naquele momento, de uma quantia que deveria ser paga em uma data futura. Um valor presente P submetido a juros compostos com taxa i, por um período de tempo n, produz um valor futuro V determinado pela fórmula V = P. ( 1+i )n
Em um contrato de empréstimo com sessenta parcelas fixas mensais, de R$ 820,00, a uma taxa de juros de 1,32% ao mês, junto com a trigésima parcela será paga antecipadamente uma outra parcela, desde que o desconto seja superior a 25% do valor da parcela.
Utilize 0,2877 como aproximação para In(4/3) e 0,0131 como aproximação para ln (1,0132).
A primeira das parcelas que poderá ser antecipada junto com a 30ª é a
a) 56ª
b) 55ª
c) 52ª
d) 51ª
e) 45ª
2) Um jovem investidor precisa escolher qual investimento lhe trará maior retorno financeiro em uma aplicação de R$ 500,00. Para isso, pesquisa o rendimento e o imposto a ser pago em dois investimentos: poupança e CDB (certificado de depósito bancário). As informações obtidas estão resumidas no quadro:
Para o jovem investidor, ao final de um mês, a aplicação mais vantajosa é
a) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 502,80.
b) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 500,56.
c) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,38.
d) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,21.
e) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 500,87.
3) Um capital de C reais foi investido a juros compostos de 10% ao mês e gerou, em três meses, um montante de R$ 53240,00. Calcule o valor, em reais, do capital inicial C.
4) Maria quer comprar uma TV que está sendo vendida por R$ 1.500,00 à vista ou em 3 parcelas mensais sem juros de R$ 500,00. O dinheiro que Maria reservou para essa compra não é suficiente para pagar à vista, mas descobriu que o banco oferece uma aplicação financeira que rende 1% ao mês. Após fazer os cálculos, Maria concluiu que, se pagar a primeira parcela e, no mesmo dia, aplicar a quantia restante, conseguirá pagar as duas parcelas que faltam sem ter que colocar nem tirar um centavo sequer. Quanto Maria reservou para essa compra, em reais?
a) 1.450,20
b) 1.480,20
c) 1.485,20
d) 1.495,20
e) 1.490,20
5) Mário tomou um empréstimo de R$ 8.000,00 a juros de 5% ao mês. Dois meses depois, Mário pagou R$ 5.000,00 do empréstimo e, um mês após esse pagamento, liquidou todo o seu débito. O valor do último pagamento foi de:
a) R$ 3.015,00.
b) R$ 3.820,00.
c) R$ 4.011,00.
d) R$ 5.011,00.
e) R$ 5.250,00.
6) Um banco pratica sobre o seu serviço de cheque especial a taxa de juros de 11% ao mês. Para cada 100 reais de cheque especial, o banco cobra 111 no primeiro mês, 123,21 no segundo, e assim por diante. Sobre um montante de 100 reais, ao final de um ano o banco irá cobrar aproximadamente:
a) 150 reais.
b) 200 reais
c) 250 reais.
d) 300 reais.
e) 350 reais.