Movimentações para o cálculo no século XVII

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29/03/2018 Texto-base - Movimentações para o cálculo no século XVII | Fernanda Oliveira Simon: HISTÓRIA DA MATEMÁTICA - MHM001
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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
Para falarmos do prelúdio à matemática moderna, poderíamos discorrer sobre vários nomes, como
Galileu Galilei (1564-1642), Simon Stevin (1548-1620), Johann Kepler (1571-1630), entre vários outros.
Mas vamos voltar a falar rapidamente de Viète (1540-1603), já abordado na aula anterior, e também
sobre René Descartes (1596-1650), Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662).
 
2.1. FRANÇOIS VIÈTE
É considerando o maior matemático francês do século XVI. Nasceu em Fontenay, em 1540, estudou
advocacia e foi membro do parlamento provincial da Bretanha. Todavia, dedicava a maior parte do seu
tempo à matemática. Faleceu em Paris, em 1603. A vasta obra de Viète compreende trabalhos de
trigonometria, álgebra e geometria. 
Como já vimos, estudou Direito e era matemático por vocação. Sua
principal contribuição foi o seu trabalho sobre Álgebra, que merece
atenção pela generalidade de sua expressão e por novas formas de
resolver equações cúbicas. Todavia, a forma homogênea das suas
equações mostra que o pensamento de Viète sempre se mantinha
próximo da Geometria - mas não era uma Geometria de nível elementar.
Viète tinha desenvolvido um Geometria de nível elevado, comparada a
Apolônio e Papus, interpretando operações algébricas fundamentais a
partir de fundamentos geométricos (BOYER, 1974).
Excelente algebrista, conseguiu aplicar álgebra à trigonometria, dando
sua parcela de contribuição aos três problemas famosos da Antiguidade
ao mostrar que tanto o problema da trissecção como o da duplicação dependem da resolução de uma
cúbica. Nesse sentido, Viète introduz na História da Matemática uma tendência de associar a nova
Álgebra avançada com a Geometria clássica avançada. Assim, o surgimento da Geometria Analítica não
podia estar muito longe. (EVES, 2011).
Historiadores chegam a afirmar que Viète poderia ter descoberto a Geometria Analítica se não evitasse
o estudo geométrico de equações indeterminadas - ou seja, sempre que se deparava com um problema
geométrico que conduzia a uma equação final com duas incógnitas, Viète o abandonava, alegando que
o problema era indeterminado.
Mesmo assim, observou uma conexão muito importante entre suas fórmulas e a resolução de equações
cúbicas e percebeu que a Trigonometria poderia servir como auxiliar para a Álgebra em limites nos quais
esta última ainda esbarrava, como no caso irredutível da cúbica.
De toda forma, o ponto de partida para a consolidação da Geometria Analítica estava lançado. 
 
Cálculo: Arquimedes. Movimentações para o
cálculo no século XVII. Antecipações nos
trabalhos de Descartes, Fermat e Pascal.
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TEXTO-BASE
2. Movimentações para o cálculo no século XVII
[1]
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Contam-se algumas anedotas divertidas sobre Viète. Há, por exemplo, a história do embaixador dos
Países Baixos que se gabava ao rei Henrique IV de que a França não tinha nenhum matemático capaz
de resolver um problema proposto em 1593 por seu conterrâneo Adrianus Romanus (1561-1615) e que
requeria a resolução de uma equação de grau 45. Convocado, logo ao ver a equação Viète percebeu
ligações trigonométricas subjacentes e, em poucos minutos, foi capaz de descobrir duas raízes e,
posteriormente, encontrou mais 21. As raízes negativas lhe escaparam. Viète, por sua vez, desafiou
Romanus a resolver com os instrumentos euclidianos o problema de Apolônio; o matemático dos
Países Baixos, porém, não deu conta da tarefa. Quando lhe foi apresentada a elegante solução de seu
desafiante, Romanus fez questão de viajar até Fontenay para conhecê-lo. Há também a história de
como Viète conseguiu quebrar um código usado pela Espanha, formado de aproximadamente 600
caracteres, propiciando uma vantagem para a França, durante dois anos, na guerra travada então pelos
dois países. Tão seguro estava o rei Filipe II de que o código era indecifrável que se queixou ao Papa
de que a França estava usando magia contra seu país, “o que era contrário à fé cristã”. Consta que,
quando Viète se engolfava no estudo da matemática, era capaz de ficar dias seguidos trancado em seu
gabinete.
O mais famoso trabalho de Viète é In artem, ao qual o desenvolvimento do simbolismo algébrico muito
deve. Nesse texto, Viète introduziu a prática de se usar vogais para representar incógnitas e
consoantes para representar constantes. A convenção atual de se usar as últimas letras do alfabeto
para indicar as incógnitas e as primeiras para as constantes foi introduzida por Descartes em 1637.
Antes de Viète, era comum se usarem letras ou símbolos diferentes para as várias potências de uma
quantidade
(EVES, 2011, p.308-309)
2.2. RENÉ DESCARTES
René Descartes (1596-1650), nascido na França, em família nobre,
recebeu suas primeiras instruções no colégio jesuíta de La Flèche.
Graduou-se em Direito e participou ativamente de várias campanhas
militares como a de Maurice, do Príncipe de Nassau, a do Duque
Maximiliano I da Baviera e a do exército francês no cerco de La
Rochelle. Foi amigo de grandes sábios da época como Faulhaber,
Desargues e Mersenne e é considerado o "Pai da Filosofia Moderna".
Escreveu em 1637 sua mais célebre obra: O Discurso do Método. Nesse
trabalho, expõe sua teoria de que o universo era feito de matéria em
movimento e qualquer fenômeno poderia ser explicado através das
forças exercidas pela matéria contígua. Essa teoria só foi superada
posteriormente pelo raciocínio matemático de Isaac Newton. Suas ideias científicas e filosóficas eram
muito avançadas para a época. Por outro lado, sua matemática guardava características da antiguidade.
Foi Descartes que, segundo alguns autores, teria criado a Geometria Analítica, numa tentativa de volta
ao passado (BOYER, 1974).
Durante o período em permaneceu com o exército bávaro (1619), criou a fórmula sobre poliedros que
usualmente leva o nome de Euler: v + f = a + 2 em que v, f e a são respectivamente o número de
vértices, faces e arestas de um poliedro simples.
 
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Em uma tentativa de voltar ao passado, o objetivo de Descartes era uma construção geométrica e não
uma redução da geometria à álgebra. Comumente, a obra de Descartes é associada simplesmente à
aplicação da álgebra à geometria. Porém, na verdade, deve ser entendida como tradução de operações
algébricas em linguagem geométrica.
Descartes escreveu:
Todo problema de geometria pode facilmente ser reduzido a termos tais que o conhecimento dos
comprimentos de certos segmentos basta para a construção. 
Citado por Boyer (1974)
 
Em 1628, já estava de posse da Geometria Cartesiana (que hoje se confunde com a Analítica), embora
os verdadeiros objetivos fossem outros. Em O Discurso do Método, Descartes se posiciona de forma
imparcial quando discute os méritos da Geometria e da Álgebra. Tinha como verdadeiro objetivo libertar
a Geometria de excessivos processos algébricos, que utilizavam, a seu ver, muitos diagramas que
fatigavam a imaginação. Descartes queria dar significado às operações da Álgebra, então considerada
tão obscura e confusa para a mente, através de interpretações geométricas (BOYER, 1974).
René Descartes estavacerto de que toda as ciências matemáticas partem do mesmo princípio básico.
Aplicando seus conceitos, conseguiu resolver o problema das 3 e 4 retas de Pappus. Assim, percebendo
a eficiência de seus métodos, publicou A Geometria, obra composta por 3 livros, na qual apresenta
instruções detalhadas para a resolução de equações quadráticas por processos geométricos (sua
solução passava pelo uso de parábolas). Descartes também estudou as ovais, sendo estas importantes
para a óptica. Ensinou, ainda, como descobrir raízes racionais e encontrar solução algébrica de
equações cúbicas e quadráticas (BOYER, 1974).
Em 1649, convidado pela Rainha Cristina da Suécia, estabeleceu uma Academia de Ciências em
Estocolmo. A partir de então, nunca mais gozou de boa saúde, não suportando o inverno escandinavo e
vindo a falecer prematuramente em 1650.
 
2.3. PIERRE DE FERMAT
Pierre de Fermat nasceu em Beaumont-de-Lomages, no dia 17 de agosto de 1601, na França. Morreu
no dia 12 de janeiro de 1665 em Castres, também na França. Foi advogado e oficial do governo em
Toulouse pela maior parte de sua vida. A Matemática era o seu passatempo. Foi um entusiasta da
Matemática e das ciências.
Em 1636, propôs um sistema de Geometria Analítica semelhante àquele que seria proposto por René
Descartes um ano depois. No entanto, o ponto de vista de Fermat não concordava inteiramente com o
de Descartes: Fermat dava ênfase ao esboço de soluções de equações indeterminadas, em vez de usar
construções geométricas das soluções algébricas determinadas. Assim, o trabalho de Fermat baseava-
se na reconstrução do trabalho de Apolônio, a partir dos pressupostos algébricos de Viète (enquanto
Descartes construía sua geometria a partir do difícil problema de Papus). Esforço semelhante levou
Fermat a descobrir métodos similares para diferenciação e integração por máximos e mínimos (BOYER,
1974).
É possível que Fermat estivesse de posse de sua Geometria Analítica desde 1629.
Pierre de Fermat sempre é mais lembrado pelo seu trabalho em teoria de número, em particular pelo
Último Teorema de Fermat.
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Este teorema diz que x + y = z não tem nenhuma solução de inteiro
(não zero) para x, y e z quando n>2. Fermat escreveu, na margem da
tradução de Bachet de Diofanto:
Eu descobri uma prova verdadeiramente notável, que esta margem é
muito pequena conter.
Hoje, acredita-se que a "prova" de Fermat estava errada, embora seja
impossível estar completamente certo disso. Foi demonstrada a
veracidade da afirmação de Fermat em junho de 1993, por Andrew
Wiles (matemático britânico). Não obstante, Wiles retirou a reivindicação
de ter uma prova quando problemas surgiram mais tarde. Depois,
novamente, em novembro 1994, Wiles reivindicou novamente ter uma
prova correta. E, enfim, após alguns meses de apreciação das 200 páginas propostas por ele, sua
demonstração foi definitivamente aceita.
Segundo Boyer (1974), Fermat foi verdadeiramente o “príncipe dos amadores” em Matemática. Nenhum
matemático profissional de seu tempo fez maiores descobertas ou contribuiu mais para o assunto.
Todavia, Fermat era tão modesto que quase nada publicou ao longo de toda sua vida. Satisfazia-se em
anunciar suas descobertas aos amigos por meio de cartas. Algumas vezes, anotava resultados nas
margens dos seus livros. O trabalho dele foi esquecido até ser redescoberto na metade do século XIX.
 
2.4. BLAISE PASCAL
Blaise Pascal nasceu em 1623 (Clermont) e faleceu em 1662 (Paris).
Foi um filósofo e matemático francês, filho de Étienne Pascal, também
Matemático. Em 1632, toda a família foi viver em Paris.
O pai de Pascal tinha uma concepção educacional pouco ortodoxa, e
decidiu que seria ele mesmo o responsável pela educação dos filhos.
Decidiu também que Pascal não estudaria Matemática antes dos 15
anos. Por isso, mandou remover de casa todos os livros e textos
matemáticos. Porém, movido pela curiosidade, Blaise Pascal começou a
trabalhar com Geometria a partir dos 12 anos. Assim, descobriu sozinho
que a soma dos ângulos de um triângulo é igual a dois ângulos retos.
Somente então seu pai resignou-se e ofereceu a Pascal uma cópia do livro de Euclides.
Pascal passou a acompanhar seu pai nas reuniões de Mersenne a partir dos 14 anos. Nessas reuniões,
encontravam-se muitas personalidades importantes. Aos 16 anos, numa das reuniões, Pascal
apresentou uma única folha de papel contendo vários teoremas de Geometria Projetiva (incluindo o
"Hexagrama místico", como é conhecido atualmente). O Hexagrama místico demonstra que se um
hexágono estiver inscrito numa cônica, então as intersecções de cada um dos 3 pares de lados opostos
são colineares (BOYER, 1974).
Em 1639, a família de Pascal deixou Paris e mudou-se para Rouen (cidade onde seu pai tinha sido
nomeado coletor de impostos da Normandia Superior). Em fevereiro de 1640, com 17 anos, publicou seu
trabalho Ensaio sobre secções cônicas (no qual trabalhou durante 3 anos).
Aos dezoito anos, pensando em ajudar o pai na tarefa de cobrar impostos, Pascal inventou a primeira
máquina digital, chamada Pascalinne, para levar a cabo o processo de adição e subtração.
Posteriormente, organizou a produção e a comercialização dessas máquinas de calcular (que se
assemelhavam a uma calculadora mecânica dos anos 1940) (Figura 1). Pelo menos 7 dessas máquinas
ainda existem; uma foi apresentada à rainha Cristina da Suécia em 1652.
n n n
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Figura 1. Máquina de calcular de Pascal.
 
Em 1651, quando seu pai faleceu, Pascal escreveu para uma de suas irmãs uma carta sobre a morte
com um profundo significado cristão sobre a morte do pai. Essas suas ideias religiosas foram base para
a sua grande obra filosófica Pensées, que se constitui como um conjunto de reflexões pessoais acerca
do sofrimento humano e da fé em Deus.
Em Física, destacou-se pela sua obra Tratado sobre o equilíbrio dos líquidos, relacionado com a
pressão dos fluidos e hidráulica. O princípio de Pascal afirma que:
 
A alteração de pressão produzida em um fluido em equilíbrio transmite-se integralmente a todos os
pontos do fluido e às paredes do seu recipiente.
 
Pascal estudou e demonstrou no trabalho do Triângulo aritmético (1654) diversas propriedades do
triângulo, aplicando-as no estudo das probabilidades. Antes de Pascal, Tartaglia já usara o triângulo nos
seus trabalhos (e muito antes, os matemáticos árabes e chineses já o utilizavam).
Este famoso triângulo que se pode continuar indefinidamente, aumentando o número de linhas, é
conhecido como Triângulo de Pascal ou Triângulo de Tartaglia. Trata-se de um arranjo triangular de
números em que cada número consiste na soma do par de números acima de si.
O triângulo de Pascal apresenta inúmeras propriedades e relações. Por exemplo, podemos apontar aqui
que as somas dos números dispostos ao longo das diagonais do triângulo resultam na Sucessão de
Fibonacci.
O triângulo de Pascal é um triângulo numérico infinito formado por números binomiais em que n
 representa o número da linha e k representa o número da coluna, iniciando a contagem a partir do zero.
O triângulo foi descoberto pelo matemático chinês Yang Hui, e 500 anos depois, várias de suas
propriedades foram estudadas por Blaise Pascal.
Pascal descobriu algumas propriedades novas, como:
 
Em todo triângulo aritmético, se duas células são contíguas na mesma base, a superior estápara a
inferior como o número de células desde a superior até o topo da base está para o número de células do
inferior, até o ponto mais baixo inclusive.
 
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O triângulo também pode ser representado como:
 
Figura 2. Triângulo de Pascal.
 
Pascal chamava posições na mesma coluna vertical de células do mesmo posto perpendicular. As de
uma mesma horizontal, de células de mesmo posto paralelo. As células na mesma diagonal apontando
para cima ele chamava de células da mesma base (BOYER, 1974).
Também podemos dizer que Pascal define os números no triângulo por recursão
(https://pt.wikipedia.org/wiki/Recurs%C3%A3o) :
Pascal conclui com a prova:
Durante o verão de 1654, trocando correspondência com Fermat, Blaise Pascal estabeleceu os
fundamentos da Teoria das Probabilidades.
Seu último trabalho foi sobre a Cicloide: a curva traçada por um ponto da circunferência que gira, sem
escorregar, ao longo de uma linha reta.
Durante esse ano, desinteressou-se da ciência e passou os últimos anos da vida praticando caridade.
Foi então que decidiu dedicar-se a Deus e à religião.
Faleceu com 39 anos porque um tumor maligno que tinha no estômago foi estendido ao cérebro.
 
REFERÊNCIAS
BOYER, C.B. História da Matemática. Trad. GOMIDE, E.F. São Paulo: Ed. Edgard Blücher, 1974.
Chame o número na (m+1)-ésima linha e na (n+1)-ésima coluna por t .1. mn
Então t = t + t , para m = 0, 1, 2... e n = 0, 1, 2…2. mn m-1,n m,n-1
As condições de contorno são t = 0, t = 0 para m = 1, 2, 3... e n = 1, 2, 3... O gerador t =
1.
3. m, −1 −1, n 00
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EVES, H. Introdução à História da Matemática. Trad. DOMINGUES, H.H. 5ª. edição. Campinas: Ed.
UNICAMP. 2011.
[1] Vietè também é conhecido pelo seu nome semilatinizado, Vieta