Exercícios Semana5 CálculoII aluno gabarito

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CÁLCULO II
LISTA DE EXERCÍCIOS DAS AULAS 17–20
Samuel Rocha de Oliveira & Adolfo Maia Jr.
Vídeo-Aula 17
EXERCÍCIO 1
Calcule ∫∫∫
E
z dV
em que E está limitado ao cilindro y2 + z2 = 9, os planos x = 0, y = 3x e
z = 0 no primeiro octante.
EXERCÍCIO 2
Encontre amassa e o centro demassa do sólido de densidadeρ(x , y, z) =
4 consistindo da região limitada pelo cilindro parabólico z = 1− y2 e os
planos x + z = 1, x = 0 e z = 0.
EXERCÍCIO 3 (portfólio)
(a) Encontre o volume de uma região limitada pelo paraboloide z = 1−
x2 − y2 e o plano z = 0.
(b) Expresse a integral iterada para calcular o valor médio da função
f (x , y, z) = pi(x2 + y2)z nessa região. É possível calcular esse valor
médio, mas as contas são tediosas apesar de simples a cada passo.
(c) Qual é o significado desse valor médio?
Cálculo II / Exercícios das aulas 17–20 2
Vídeo-Aula 18
EXERCÍCIO 1
Use coordenadas cilíndricas para representar graficamente o sólido limi-
tado pelos paraboloides z = x2 + y2 e z = 4− x2 − y2.
EXERCÍCIO 2
Calcule ∫∫∫
E
ydVem que E é o espaço limitado pelos planos z = 0 e z =
x + y + 5 e pelos cilindros x2 + y2 = 4 e x2 + y2 = 9.
EXERCÍCIO 3 (portfólio)
Use coordenadas cilíndricas para
(a) Encontra o volume de uma região limitada pelo paraboloide z = 1−
x2 − y2 e o plano z = 0.
(b) Calcular o valor médio da função f (x , y, z) = (x2 + y2)z nessa região.
Vídeo-Aula 19
EXERCÍCIO 1
(a) Apresente as igualdades e as desigualdades analíticas (fórmulas ge-
ométricas) que descrevem uma bola oca com diâmetro de 30 cm e
espessura de 0,5 cm. Explique como você posicionou o sistema de
coordenadas escolhido.
(b) Suponha que a bola seja cortada na metade. Apresente as fórmulas
geométricas que descrevem uma dessas metades.
EXERCÍCIO 2
Encontre o volume do sólido que está no interior da esfera x2+ y2+z2 = 4,
acima do plano x − y e abaixo do cone z =px2 + y2
EXERCÍCIO 3 (portfólio)
Cálculo II / Exercícios das aulas 17–20 3
Calcule o valor da seguinte integral tripla:
I =
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
p
x2 + y2 + z2 e−(x2+y2+z2) dx d y dz
Vídeo-Aula 20
EXERCÍCIO 1
Nessa vídeo-aula desenhamos alguns valores do campo vetorial ~F(x , y) =
sen(x)~i + sen(y)~j. Desenhe, de maneira similar, alguns valores do se-
guinte campo vetorial
~F(x , y) = (x − y)~i + x~j
EXERCÍCIO 2
Encontre o campo vetorial gradiente de f (x , y) = px2 + y2 e faça um
desenho esquemático desse campo vetorial.
EXERCÍCIO 3 (portfólio)
Nos instante t = 1, uma partícula está na posição (1,3). Se ela se move
no campo vetorial de velocidade
~F(x , y) = (x y − 2)~i + (y2 − 10)~j
encontre a sua posição aproximada em no instante t = 1,05.
GABARITO
Vídeo-Aula 17
EXERCÍCIO 1 ∫∫∫
E
z dV =
∫ 1
0
∫ 3x
0
∫ p9−y2
0
z dzd yd x =
45
8
EXERCÍCIO 2
O sólido tem massa m = 16/5 e o seu centro de massa é o ponto no
espaço com as coordenadas (5/14,0,2/7).
EXERCÍCIO 3 (portfólio)
Resposta não disponível: este exercício faz parte do portfólio.
Vídeo-Aula 18
EXERCÍCIO 1
os gráficos relevantes são das parábolas se encontrando:
EXERCÍCIO 2 ∫∫∫
E
ydV =
37
3
pi
EXERCÍCIO 3 (portfólio)
Resposta não disponível: este exercício faz parte do portfólio.
Vídeo-Aula 19
EXERCÍCIO 1
(a) Escolhemos um sistema de coordenadas com a origem no centro
geométrico da bola. As direções dos eixos Cartesianos podem ser
quaisquer pois a bola tem simetria esférica e também por essa ra-
zão vamos usar coordenadas esféricas (R,θ ,φ). Então os pontos do
material da bola são descritos pelas equações:
29,5≤ R≤ 30, ∀θ , ∀φ
(b) Vamos escolher agora o plano x − y como sendo o plano de corte e
vamos alinhar o eixo positivo de z com metade a ser descrita. Então
os pontos do material da metade da bola são descritos pelas equa-
ções:
29,5≤ R≤ 30, 0≤ θ ≤ pi
2
, ∀φ
EXERCÍCIO 2 ∫∫∫
E
dV =
43pi
�
2−p2�
3
EXERCÍCIO 3 (portfólio)
Resposta não disponível: este exercício faz parte do portfólio.
Vídeo-Aula 20
EXERCÍCIO 1
EXERCÍCIO 2
Para facilitar a escrita, seja r =px2 + y2. Então
∇ f (x , y) = x
r
~i +
y
r
~i
Observamos que esse campo é radial e unitário e aponta na direção cres-
cente da distância à origem.
EXERCÍCIO 3 (portfólio)
Resposta não disponível: este exercício faz parte do portfólio.
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