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1 UFBA – Departamento de Estatística Noções de Probabilidade – Modelos Rosemeire L. Fiaccone Modelos Probabilísticos Uma forma de caracterizar matematicamente situações envolvendo variáveis de um mesmo tipo. A maioria das variáveis na área de saúde produz valores diferentes quando observadas em repetições feitas mesmo sob condições idênticas. Exemplo: Crianças de mesma idade, mesmo sexo, mesma classe social, medidas pelo mesmo pediatra têm pesos diferentes Fiaccone,R.L. (Departamento de Estatística-UFBA) Modelos Probabilísticos Assim o peso de uma criança deve ser estudado através do conceito de variável aleatória. A palavra aleatória indica apenas que peso está sujeito à variabilidade. Variável Aleatória : variável intrinsecamente sujeita a variabilidade. Fiaccone,R.L. (Departamento de Estatística-UFBA) Variável Aleatória Uma função X que associa a cada elemento do espaço amostral um valor x pertencente ao conjuntos dos reais é denominada uma variável aleatória. Fiaccone,R.L. (Departamento de Estatística-UFBA) Variável Aleatória De uma maneira geral uma variável aleatória é uma característica numérica de um experimento aleatório A variável aleatória pode ser classificada em: • Variável aleatória discreta: São aquelas que assumem um número finito de valores. Ex.: número de consultas médicas anuais de um plano de saúde. • Variável aleatória contínua: São aquelas que podem assumir todos os valores de um intervalo. Ex.: Tempo de vida de uma célula humana, Pressão arterial de um homem. Fiaccone,R.L. (Departamento de Estatística-UFBA) Variável Aleatória Fiaccone,R.L. (Departamento de Estatística-UFBA) 2 Variável Aleatória Fiaccone,R.L. (Departamento de Estatística-UFBA) Modelos Probabilísticos e Variáveis Aleatórias As variáveis aleatórias referem-se ao resultado de um fenômeno ou experimento aleatório. A cada resultado da variável aleatória tem-se uma probabilidade associada de ocorrência. A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória especifica seus possíveis valores e probabilidades correspondentes. A distribuição de probabilidade ou modelo probabilístico de uma variável aleatória depende do tipo de variável. Os modelos probabilísticos são fundamentais para a realização de inferência estatística. Fiaccone,R.L. (Departamento de Estatística-UFBA) Modelos Probabilísticos de Variável Aleatória Discreta Seja X o número de meninos em uma família com duas crianças. Os possíveis valores de X : 0 , 1, 2. A distribuição de probabilidade de X pode ser representada por: X é uma variável aleatória discreta. Número de meninos Probabilidade 0 1/4 1 2/4 2 1/4 Fiaccone,R.L. (Departamento de Estatística-UFBA) Modelos Probabilísticos de Variável Aleatória Discreta Exemplo 2: O Departamento de Estatística é formado por 35 professores, sendo 21 homens e 14 mulheres. Uma comissão de 3 professores será constituída sorteando, ao acaso, três membros do departamento. Qual é a probabilidade da comissão ser formada por pelo menos pelo menos duas mulheres duas mulheres? Vamos definir uma variável aleatória representanto X: nº. de mulheres na comissão. Quais são os possíveis valores que X pode assumir? Fiaccone,R.L. (Departamento de Estatística-UFBA) Modelos Probabilísticos de Variável Aleatória Discreta Fiaccone,R.L. (Departamento de Estatística-UFBA) Modelos Probabilísticos de Variável Aleatória Discreta Seja X uma v. a. discreta que assume valores no conjunto {x1, x2, ... , xn}. Função de probabilidade: É a função que atribui a cada valor xi da v. a. discreta X sua probabilidade de ocorrência. Pode ser representada pela tabela: Fiaccone,R.L. (Departamento de Estatística-UFBA) 3 Modelos Probabilísticos de Variável Aleatória Discreta Exemplo 3: Um dado é lançado duas vezes, de forma independente. Defina uma variável aleatória representando a soma dos pontos nos dois lançamentos do dado. Determine a função de probabilidade. Fiaccone,R.L. (Departamento de Estatística-UFBA) Modelo Binário Na prática, existem muitos experimentos que admitem apenas dois resultados. Exemplos: • uma peça é classificada como boa ou defeituosa; • o resultado de um exame médico para detecção de uma doença é positivo ou negativo; • um paciente submetido a um tratamento, durante um período de tempo fixo, cura-se ou não da doença; • um entrevistado concorda ou não com a afirmação feita; • no lançamento de um dado ocorre ou não a face 5. Situações com alternativas dicotômicas podem ser representadas, genericamente, por respostas do tipo sucesso-fracasso. Fiaccone,R.L. (Departamento de Estatística-UFBA) Modelo Binário Esses experimentos recebem o nome de Ensaios de Bernoulli e originam uma v.a. com distribuição Bernoulli Variável aleatória de Bernoulli: É uma v.a. que assume apenas dois valores: • 1 se ocorrer sucesso, • 0 se ocorrer fracasso. Geralmente, a probabilidade de sucesso é representada por p, 0 < p < 1. Repetições independentes de um ensaio de Bernoulli (com a mesma probabilidade de ocorrência de “sucesso”) dão origem ao modelo de probabilidade binomial. Fiaccone,R.L. (Departamento de Estatística-UFBA) Modelo Binomial Consideremos experimentos que têm por objetivo verificar se uma determinada característica está presente nos resultados. Vejamos alguns exemplos 1) Uma pessoa é escolhida ao acaso entre os pacientes de uma clínica e verifica-se se ela possui ou não de uma determinada doença. 2) Uma pessoa é escolhida ao acaso entre os moradores de uma certa cidade e pergunta-se se ela é a favor ou contra certo projeto governamental. Agora suponha que repetimos um experimento deste tipo n vezes independentemente, ou seja, obtemos uma amostra de tamanho n. 30 pacientes são selecionados ao acaso da clínica (n=30) Fiaccone,R.L. (Departamento de Estatística-UFBA) Modelo Binomial Chama-se experimento binomial ao experimento que se constitui de : i ) n repetições de um experimento básico que tem apenas dois resultados possíveis; ii ) as repetições são independentes; iii) a probabilidade de ocorrer o evento no qual estamos interessados (sucesso) em cada repetição é sempre igual a p. Se estas condições forem satisfeitas podemos associar a este experimento uma variável aleatória X correspondente ao número de ocorrências do evento de interesse nas n repetições (“número de sucessos”). Fiaccone,R.L. (Departamento de Estatística-UFBA) Modelo Binomial Fiaccone,R.L. (Departamento de Estatística-UFBA) 4 Modelo Binomial Utilizando a fórmula acima podemos resolver as seguintes questões: Dez pacientes são escolhidos ao acaso da clínica; qual a probabilidade de que 3 pacientes, dentre os selecionados, tenham a doença, sabendo-se que10% dos pacientes são doentes ? Número de repetições - n=10 Probabilidade de ter a doença em cada repetição - p = 0,10 ou 10% X = número de pessoas doentes selecionadas nas 10 repetições (X pode ser 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10) Então 73 )90,0()10,0( 3 10 )3X(P 0,0574 ou 5,74% Fiaccone,R.L. (Departamento de Estatística-UFBA) Modelo Binomial Sabe-se que 90% das pessoas de uma cidade são favoráveis a um projeto governamental. Escolhendo-se 20 pessoas ao acaso entre os moradores, qual a probabilidade de que 18 sejam favoráveis ao projeto? Número de repetições - n=20 Probabilidade de favorável em cada repetição - p = 0,90 ou 90% X = número de pessoas favoráveis nas vinte repetições 218 )10,0()90,0(18 20 )18X(P 0,2852 ou 28,52% Fiaccone,R.L. (Departamento de Estatística-UFBA) Modelo Binomial Fiaccone,R.L. (Departamento de Estatística-UFBA) Modelo Binomial Fiaccone,R.L. (Departamento de Estatística-UFBA) Modelo Binomial Fiaccone,R.L. (Departamento de Estatística-UFBA) Modelo Binomial Fiaccone,R.L. (Departamento de Estatística-UFBA)
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