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Lista de G.A.
“Lista do Mágico”
Esta lista contém 22 exercícios
provenientes de provas (P1) da FEI.
Lista de exercícios de G.A. (P1) “Lista do Mágico”
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Lista G.A - 2011
1) Demonstre, usando vetores, que o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos
de um trapézio é paralelo às bases e tem comprimento igual à semi-soma dos comprimento das
mesmas.
2) Demonstre, usando vetores, que o segmento que une os pontos médios das diagonais de um
trapézio é paralelo às bases e tem comprimento igual à semi-diferença dos comprimentos das
mesmas.
3)Dados os pontos A,B e C, escreva o vetor (X-A) em função dos vetores (B-A) e (C-A), sabendo
que .
4) No triângulo ABC, sejam M.N e P os pontos médios dos lados BC, AC e AB respectivamente.
Mostre que (M-A)+(N-B)+(P-C) = 0.
5)Considere um triângulo ABC e seja X um ponto pertencente ao lado BC, tal que e
. Escreva o vetor (X-A) em função dos vetores (B-A) e (C-A).
6) Prove, usando vetores, que as diagonais de um paralelogramo se encontram nos pontos médios.
7) Dados os pontos A,B e C não alinhados, seja X um ponto tal que
.
Escrever o vetor (X-A) como combinação linear dos vetores (B-A) e (C-A) e localize a posição do
ponto X no triângulo ABC.
8) Na figura, ABC é um triângulo equilátero de lado 6cm. O segmento AM mede 4cm e o segmento
BN mede 2cm. Se X é o ponto médio do segmento MN, escreva o vetor como uma combinação
linear dos vetores e .
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9) Na figura, ABCD é um quadrado de lado 6cm. O segmento AM mede 2cm e o segmento BN mede
2cm. Se X é o ponto médio do segmento MN, escreva o vetor (X-A) como uma combinação linear
dos vetores (B-A) e (C-A).
10) Determine e reais para que o conjunto seja linearmente dependente, com
 e .
11) Escreva o vetor como uma combinação linear dos vetores
, se for possível.
12) Escreva o vetor como uma combinação linear dos vetores
, se for possível. Se não for possível, explique porque.
13) Dado o vetor na base determine as coordenadas deste vetor na
base
 , sabendo que .
14) Dado o vetor na base determine as coordenadas deste vetor na
base
 , sabendo que .
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15)Dado o vetor na base e sabendo que
, pede-se:
a) Escrever as matrizes de mudança e .
b) Escreva o vetor na base .
16)Dado o vetor na base e sabendo que
, pede-se:
a) Escrever as matrizes de mudança e .
b) Escreva o vetor na base .
17) Em relação a uma base ortonormal , são dados os vetores . Pede-se:
a) Determinar o vetor , de comprimento 5cm, que é paralelo e tem sentido oposto ao vetor .
b) Calcular o cosseno do ângulo formado pelas direções dos vetores e .
c) Calcular o vetor , que tem comprimento 3cm e é simultaneamente ortogonal aso vetores e 
18) São dados, em relação a uma mesma base, os vetores
Pede-se:
a) Determinar para que o vetor seja paralelo ao vetor .
b) Escrever, se possível, o vetor como combinação linear dos vetores .
19) Dados em relação a uma base ortonormal os vetores: , e decompor o
vetor em dois vetores , de tal maneira que seja paralelo ao vetor e seja
perpendicular ao vetor .
20) Dados em relação a uma base ortonormal os vetores: , e decompor
o vetor em dois vetores , de tal maneira que seja paralelo ao vetor e seja
perpendicular ao vetor .
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21) São dados um ponto A e os vetores . Pede-se:
a) Determinar a área do triângulo ABC, onde e .
b) Sabendo que o volume do tetraedro ABCD é , onde , e ,
determine os valores de .
22) É dado o ponto O escolhido como origem e os vetores u = (4,2,0), v=(-2,4,1) e w =(1,1,3) em
relação á base ortonormal positiva B = (i,j,k). Considere o tetraedro OABC onde
A = O+u B = O+v, e C = O+w calcular: 
a) o volume do tetraedro OABC; 
b) a medida da altura relatíva à face OBC do tetraedro OABC; 
c) a medida do perímetro do triângulo OAC.
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