Geometria Analítica e Cálculo Vetorial - Aguinaldo H de Oliveira e Ayrton Barboni

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lombada 6 mm
Faculdade de Tecnologia de São Paulo
Geometria Analítica
 
Aguinaldo H. de Oliveira Ayrton Barboni
Cálculo Vetorial
DILEMA
Sempre ouvimos dizer que: “O caminho mais curto entre dois pontos é o segmento 
de reta com extremidades nestes pontos”. 
Assim, entendemos que a medida do segmento AC é menor que a soma das medidas 
dos segmentos AB e BC, conforme ilustra a figura do triângulo retângulo abaixo.
Observe que a linha poligonal azul tem o mesmo comprimento da linha poligonal de lados 
AB e BC, pois a soma das medidas dos segmentos verticais azuis é igual a m(AB) e a dos 
horizontais azuis igual a m(BC).
A linha poligonal verde também tem o comprimento da poligonal de lados AB e BC, pois 
a soma das medidas de seus segmentos verticais é igual a m(AB) e dos horizontais igual a m(BC).
A poligonal vermelha, mais próxima do segmento AC, também tem o mesmo comprimento 
da poligonal de lados AB e BC. O argumento é o mesmo que afirma terem as poligonais azul e 
verde o comprimento m(AB) + m(BC).
Presumimos que toda poligonal, assim construída, tem comprimento igual a m(AB) + 
m(BC).
Se imaginássemos uma seqüência de poligonais com os seus lados cada vez menores, 
tornando-se infinitamente pequenos e cada vez mais próximos de AC, então tenderíamos a uma 
poligonal X que, praticamente, coincidiria com o lado AC do triângulo. 
Assim, X tem o comprimento de AC e, também, o da poligonal de lados AB e BC. 
Portanto, m(AC) = m(AB) + m(BC). 
 Isto contradiz a afirmação inicial de que “O caminho mais curto entre dois pontos é o 
segmento de reta com extremidades nestes pontos”. 
O que você acha do exposto? Tem falha de raciocínio? Onde esta a falha?
Prof. Ayrton Barboni 
A
B C
m(AC) < m(AB) + m(BC)
O
liv
e
ira
 / B
a
rb
o
n
i G
e
o
m
e
tria
 A
n
a
lític
a
 
 
 
 APRESENTAÇÃO 
 
 Os professores da disciplina Física dos cursos de segundo grau introduzem o 
conceito de vetor, para explicar aos estudantes sobre os efeitos que as forças produzem 
quando são aplicadas num corpo. 
 
 Apresentam o vetor como se, praticamente, fosse uma “flecha”, cuja medida do 
comprimento indica a intensidade da força aplicada no corpo, com direção e sentido que 
possam impedir ou provocar o seu movimento. 
 
 É claro que, naquelas circunstâncias e objetivos, os professores de física prestaram 
um trabalho importante de apresentação e utilização do vetor, permitindo, agora, uma nova 
abordagem. 
 
 Devemos salientar que vetor não pode ser apenas entendido pela aparência de uma 
“seta” que atende a algumas aplicações de Física, mas sim pelas suas operações e 
propriedades, tratadas nos cursos de Álgebra e Álgebra Linear, com amplas aplicações em 
Geometria. 
 
 Veremos, nas considerações iniciais do capítulo I, as operações e propriedades que 
permitem aos elementos de um conjunto que sejam chamados de vetor. 
 
 A proposta desta obra foi a de estabelecer uma abordagem simples dos assuntos 
envolvidos, evitando demonstrações algébricas trabalhosas de teoremas, e dar preferência a 
exposições geométricas de situações problemas que permitam entender os conceitos e 
proposições estabelecidas. 
 
 Todos os conceitos apresentados são exemplificados e seguidos de um conjunto de 
exercícios propostos, com as respectivas respostas, que objetivam fixar a aprendizagem. 
Isto leva os estudantes a construírem o próprio conhecimento pela compreensão e dedução 
dos conceitos abordados. 
 
 São apresentadas muitas figuras que ilustram e facilitam o entendimento e a 
visualização dos conceitos, de forma a fixar os conhecimentos adquiridos. 
 
 Prof. Me Ayrton Barboni 
 SUMÁRIO 
 
 
 CAPÍTULO I: O que é vetor? , 1 
 
1. Espaço vetorial formado de segmentos de reta, 3 
1.1. Construção do conjunto V , 3 
1.1.1. Adição de classes de equivalência de segmentos 
 equipolentes de v (vetores) : A = (+) , 8 
1.1.2. Multiplicação de número real por uma classe de V : M = () , 10 
1.1.3. Vetor nulo e vetor unitário, 12 
1.1.4. Vetores paralelos, 12 
1.1.5. Versor de um vetor não nulo, 13 
1.1.6. Vetores coplanares, 13 
1.1.7. Ângulo entre dois vetores, 14 
1.1.8. Vetor diferença, 14 
 
CAPITULO II – Combinação Linear e Dependência Linear, 23 
 
2. Combinação linear e dependência linear de vetores, 23 
2.1. Combinação linear de vetores, 23 
2.2. Dependência linear, 24 
2.2.1. Conjunto de vetores linearmente dependente (LD), 24 
2.2.2. Conjunto de vetores linearmente independente (LI), 25 
 
CAPITULO III – Base e Sistema de Referência, 31 
 
3. Base e sistema de referência de um espaço vetorial, 31 
3.1. Espaço vetorial de dimensão 1 , 31 
3.2. Espaço vetorial de dimensão 2 , 31 
3.2.1. Sistema de referência – V2 , 32 
3.3. Espaço vetorial de dimensão 3 , 33 
3.3.1. Sistema de referência – V3 , 34 
3.4. Bases ortonormais , 36 
3.4.1. Obter um vetor a partir de dois pontos dados, 38 
3.5. Mudança de base, 46 
 
CAPITULO IV – Produto Escalar, 51 
 
4. Produto escalar, 51 
4.1. Propriedades do produto escalar, 51 
4.2. Projeção ortogonal de um vetor u

 na direção de v

 0

, 53 
4.3. Cossenos diretores de um vetor 0v 
 
, 54 
 
 
 
CAPITULO V – Produto Vetorial, 59 
 
5. Produto vetorial, 59 
5.1. Propriedades do produto vetorial, 60 
 
CAPÍTULO VI – Produto Misto, 67 
 
6. Produto misto, 67 
6.1. Propriedades do produto misto, 68 
 
CAPÍTULO VII – Reta, 75 
 
7.1. Equações da reta, 75 
7.1. 1. Equação vetorial da reta, 75 
7.1.2. Equações paramétricas da reta, 76 
7.1.3. Equação simétrica da reta, 76 
7.2. Posição relativa entre duas retas, 80 
7.3. Intersecção de retas, 82 
7.4. Perpendicularismo entre retas, 83 
 
CAPÍTULO VIII – Plano, 85 
 
8.1. Equações do plano, 85 
8.1.1. Equação vetorial do plano, 85 
8.1.2. Equação geral e linear do plano, 87 
8.1.3.Formas particulares da equação do plano, 88 
8.2. Posição relativa entre reta e plano, 93 
8.3. Intersecção entre reta e plano, 94 
8.4. Posição relativa entre plano e plano, 95 
8.5. Projeção ortogonal de uma reta num plano, 97 
 
CAPÍTULO IX – Distâncias, 99 
 
9.1. Distância entre dois pontos, 99 
9.2. Distância entre ponto e reta, 99 
9.3. Distância entre ponto e plano, 100 
9.4. Distância entre reta e plano, 101 
9.5. Distância entre dois planos, 102 
9.6. Distância ente duas retas, 103 
 
BIBLIOGRAFIA, 107 
 
 
 
 
 
 
 1
 
CAPÍTULO I 
 O que é Vetor? 
 
 
 Considerações: 
 
 O conceito de vetor é entendido quando se estuda as Estruturas Algébricas 
apresentadas nos cursos de Álgebra. 
 Tomando-se um conjunto V (podendo ser conjunto de matrizes, polinômios, 
números complexos, funções lineares, etc) e sobre ele definindo-se uma operação interna 
chamada de adição, podemos verificar a existência de alguma das propriedades tais como: 
associativa, comutativa, elemento neutro, elemento inverso aditivo (oposto). Podemos, 
também, definir sobre V uma operação externa chamada de multiplicação por escalar com 
propriedades que veremos abaixo. 
 Uma operação é chamada de interna de V se opera dois elementos de V e tem 
resultado em V e chamada de externa se opera um elemento de V com outro do conjunto K, 
diferente de V, e tem resultado em V. 
 O conjunto V, munido das operações de adição ou de adiçãoe multiplicação por 
escalar (elemento de K), terá uma determinada Estrutura Algébrica de acordo com as 
propriedades que possuir. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
EXEMPLO 1.1 
 
 Seja V o conjunto de matrizes quadradas de ordem 2 e K o conjunto de números 
reais. 
 Sejam as matrizes 1 2
3 4
a a
A
a a
 
  
 
, 1 2
3 4
b b
B
b b
 
  
 
, 1 2
3 4
c c
C
c c
 
  
 
, 
0 0
0
0 0
 
  
 
, com ia , ib e ic , 
1,2,3,4i  , reais e as operações habituais de adição de matrizes (operação interna) e 
multiplicação de número real por matriz (operação externa): 
 A: 1 2 1 2 1 1 2 2
3 4 3 4 3 3 3 4
a a b b a b a b
A B
a a b b a b a b
      
              
 
 M: 1 2
3 3
ka ka
kA
ka ka
 
  
 
, o número real k é chamado de escalar, Kk 
 
 Verificam-se as propriedades: 
 
1) Adição (+) : 
 
A1 : Associativa ( ) ( )A B C A B C     , , , VA B C  (“ ” lê-se: todo ou qualquer) 
 Exemplo numérico: 
 ( )A B C  
1 0 2 4 0 5
3 2 0 1 1 3
      
       
      
=
1 0 2 9
3 2 1 4
   
   
   
=
3 9
4 6
 
 
 
 
 2
 ( )A B C  =
1 0 2 4 0 5
3 2 0 1 1 3
      
       
      
=
3 4 0 5
3 3 1 3
   
   
   
=
3 9
4 6
 
 
 
 
 
 
A2 : Elemento neutro: 0 V, pois 0 0A A A    , VA  
 Exemplo numérico: 
 
1 0 0 0
0
3 2 0 0
A
   
     
   
= 
1 0
3 2
 
 
 
 = A = 
0 0 1 0
0 0 3 2
   
   
   
= 0 A 
 
A3 : Elemento inverso aditivo (oposto) 
 VA  existe ( ) VA  tal que ( )A A   ( ) 0A A   
 Exemplo numérico: 
 ( )A A   
1 0
3 2
 
 
 
+
1 0
3 2
 
   
= 
0 0
0 0
 
 
 
= 0 e ( )A A  
1 0
3 2
 
   
+
1 0
3 2
 
 
 
= 
0 0
0 0
 
 
 
= 0 
 
A4 : Comutativa A B B A   , , VA B  
 Exemplo numérico: 
 A B =
1 0 2 4
3 2 0 1
   
   
   
= 
3 4
3 3
 
 
 
 =
2 4 1 0
0 1 3 2
   
   
   
= B A 
 
2) Multiplicação (.) : 
 
M1 : VA  e ,   , tem-se  .( . ) .A A   
 Exemplo numérico: 
 
   
( ) 01 0 0
.( . ) . . .
3 23 2 3 2
A

    
  
     
        
      
=   1 0.
3 2

 
 
 
=  .A 
 
M2 : VA  e ,   , tem-se  . . .A A A      
 Exemplo numérico: 
  
 
   
01 0 0 0 1 0 1 0
. . .
3 2 3 2 3 2 3 2 3 23 2
   
   
      
          
                           
 
 
M3 : , VA B  e   , tem-se .( ) . .A B A B     
 Exemplo numérico: 
 .( )A B  
1 0 2 4
.
3 2 0 1

    
    
    
= .
3 4
3 3
 
 
 
=
3 4 2 0 4
3 3 3 0 2
    
    
    
       
= 
 = 
0 2 4
3 2 0
  
  
   
    
   
1 0 2 4
.
3 2 0 1
 
   
   
   
= .A B  . 
 
M4 : VA  , 1.A A , onde 1 é o elemento unidade de  
 
 3
 O conjunto V munido das operações A de adição e M de multiplicação por escalar 
têm a estrutura algébrica de ESPAÇO VETORIAL. Neste caso, os elementos de V são 
chamados de Vetores e, portanto, as matrizes de ordem 2 são vetores. 
 Assim, podemos construir Espaços Vetoriais de polinômios, números complexos, 
funções lineares, etc, com suas respectivas operações A e M. E, nestes casos, polinômios, 
números complexos, funções lineares, etc, são vetores também. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
1. ESPAÇO VETORIAL FORMADO DE SEGMENTOS DE RETA 
 
 Vamos apresentar um Espaço Vetorial V sobre  , onde cada elemento de V é um 
conjunto especial de segmentos de reta (segmentos eqüipolentes). 
 Faremos algumas analogias utilizando o conjunto Q dos números racionais para 
melhor entendermos os elementos de V e as suas operações de adição e multiplicação por 
escalar. 
 
1.1. CONSTRUÇÃO DO CONJUNTO V 
 
 Consideremos uma reta l e sejam A e B dois de seus pontos. Teremos, então, o 
segmento de reta AB. 
 Necessitamos do elemento oposto de AB para garantir a propriedade do elemento 
inverso da adição a ser definida. Isto pode ser conseguido associando-se ao segmento AB 
um sentido de A para B e indicado por AB

. Diz-se que AB

 é segmento orientado de 
origem A e extremidade B. 
 
 
 
 
 
 
 
 Se A não coincide com B, então BA

 é o segmento orientado de origem B e 
extremidade A e tem sentido oposto de AB

. Desse modo o segmento orientado AB

 é 
distinto de BA

. Assim, denotamos que BA

 =  AB

. 
 
 Necessitamos também do elemento neutro para a adição. 
 
 Admitiremos, para contornar este problema, o segmento nulo, que são segmentos 
orientados da forma AA

 (ou BB

), onde a origem destes segmentos coincide com a 
extremidade. Notação: AA

= BB

 = ... = 0

. 
 Fixada uma unidade de comprimento, a cada segmento orientado pode-se associar 
um número real  positivo ou zero que é a sua medida em relação à unidade estabelecida. 
O número  é o comprimento do segmento orientado. O comprimento do segmento 
orientado AB

 é indicado por m( )AB AB  
 
. No caso AA

 se tem m( ) 0AA 

. 
 l 
 B 
 
 A 
 Fig 1.1 
 4
 
 Vamos entender, agora, como devem ser os elementos de V. 
 
 Sejam AB

 e CD

 não nulos. Diz-se que os segmentos orientados AB

 e CD

 têm 
mesma direção (ou que são paralelos) se os segmentos de reta AB e CD são paralelos (inclui 
o caso das retas suportes de AB e CD coincidirem). 
 Os sentidos de dois segmentos orientados só podem ser comparados se possuírem 
mesma direção. 
 
 mesmo sentido Fig 1.2 sentidos contrários 
 
 Observamos que dois segmentos orientados AB

 e CD

 coincidem se, e só se, 
coincidem A com C e B com D. 
 
Definição 1.1 
 
 Consideremos todos os segmentos orientados que possuem mesma direção, mesmo 
sentido e mesmo comprimento de AB

 (existem infinitos). Diz-se que cada um destes 
segmentos é eqüipolente ao AB

. 
 O conjunto dos segmentos que são equipolentes a um dado segmento orientado 
constitui uma classe de equivalência (ver nota abaixo). 
 Define-se que dois segmentos nulos são equipolentes. 
 Notação de segmentos equipolentes: AB

CD

. 
 
Nota: Podemos fazer analogia entre um conjunto de segmentos equipolentes e um conjunto 
de números racionais de mesmo valor: Se tomarmos, por exemplo, o número 12 veremos 
infinitos outros de igual valor ( 2 4 , 
3
6 , 
4
8 , ... ) formando uma classe de equivalência 
semelhante ao que ocorre com os segmentos equipolentes a AB

. 
Exemplificando: Considere a figura abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
a) AB

 é eqüipolente a CD

. (mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento) 
 
 B D E IH 
 
 
 
 
 A C F G J 
 Fig 1.3
 5
 a) AB

 é eqüipolente a CD

. (possuem mesma direção, mesmo sentido e comprimento) 
 b) AB

 não é eqüipolente a EF

. (sentido oposto) 
 c) AB

 não é eqüipolente a GH

. (comprimentos diferentes) 
 d) AB

 não é eqüipolente a I J

. (direções diferentes) 
 Pode-se afirmar, pela eqüipolência, que: Se AB

CD

 e os pontos A, B, C e D não 
estão alinhados, então os pontos A, B, D e C, nesta ordem, são vértices consecutivos de um 
paralelogramo. 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig 1.4 
 
 Existe uma infinidade de segmentos orientados que diferem em tamanhos, direções 
ou sentidos. Cada um destes diferentes segmentos representa uma classe de equivalência 
formada com os seus respectivos equipolentes. Fig 1.5. 
 
 Entendemos, deste modo, que o conjunto V é constituído por conjuntos de classes 
de equivalência de segmentos equipolentes. 
 Os segmentos AB

, CD

, EF

, 0

, ....etc, distintos em tamanho, direção ou sentido, 
são representantes de classes de equivalência. 
 
 Então, V = { AB

,  AB

, CD

, CD

, 0

, EF

, ... , XY

, ... } 
 
NOTAÇÃO: As classes de equivalência de segmentos orientados são usualmente 
denotadas por AB

, CD

, EF

, 0

, ... ou por ( )v AB

, ( )v CD

, ( )v EF

, 0

, ... ou , então, 
por u

, v

, w

, ... . 
 
 
AB

CD

EF

 
I J

FE EF 
 
0

. . . XY

 
Fig 1.5 
 
 B D 
 
 
 
 A B C D 
 
 A C 
V 
 6
 Analogamente, o conjunto Q dos números racionais é formado por classes de 
equivalência de números racionais. Fig 1.6. 
 Exemplificando: 1
2
 é representante da classe de equivalência 1
2
, 2
4
, 3
6
, 4
8
, ... 
 
 1
3
 é representante da classe de equivalência 1
3
, 2
6
, 3
9
, 4
12
, ... 
 
 Fig 1.6 
 
 O conjunto V é formado por infinitas classes de equivalência de segmentos 
equipolentes, quer sejam considerados os segmentos orientados sobre uma reta, um plano 
ou espaço. 
 
 a) Reta: V1 
 
 A B C D F E r 
 
 Fig 1.7 
 b) Plano: V2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 c) Espaço: V3 
 
1
2
1
3
1
2

5
3
0 
5
3

5
 . . .
 
 
Q 
 y B 
 D E 
 C 
 A 
 F 
 
x
Fig 1.8 
 7
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição 1.2 
 
 Chama-se módulo (norma ou comprimento) de uma classe v

 ao comprimento de 
qualquer um de seus representantes. Indica-se o módulo de v

 por  v

. 
 Se  v

= 1, então a classe v

 diz-se unitária (ou unidade). Se  v

= 0, então v

 é 
a classe nula. 
 A direção de uma classe AB

 é dada pela direção da reta que contém o segmento 
AB e o sentido da classe AB

 pelo sentido do segmento orientado de A para B. 
 Não é definido a direção e o sentido da classe 0

. 
 
Definição 1.3 
 
 Diz-se que as classes u

 e v

 não-nulas têm mesma direção (são paralelas), indica-
se por u

// v

 , se um representante de u

 é paralelo a um representante de v

. 
 
 Sendo u

// v

, as classes u

 e v

 têm o mesmo sentido ou sentidos contrários se, 
respectivamente, seus representantes possuírem mesmo sentido ou sentidos contrários. 
 A classe BA

 é chamada de oposta de AB

. É conveniente considerar que a classe 
nula 0

 ( 0

= AA

= BB

= ...) é oposta de si mesma. 
 A notação  AB

 deve indicar a classe (ou o segmento orientado) BA

 oposta de 
AB

. Assim, u

= AB

= ( )v AB

, u

=  AB

= BA

= ( )v BA

= ( )v AB

=  ( )v AB

 e 0

= 0

. 
 z 
 C D 
 A B 
 
 E 
 
 
 
 F 
 
 
 y 
 
 
 
 
 Fig 1.8 
x
 8
 Definiremos abaixo as operações A de adição e M de multiplicação por escalar 
sobre o conjunto V dos segmentos orientados, satisfazendo as propriedades citadas para se 
ter um espaço vetorial. 
 Nestas condições, cada classe de segmentos equipolentes de V será chamada de 
VETOR. 
 
 
1.1.1. ADIÇÃO DE CLASSES DE EQUIVALENCIA DE SEGMENTOS 
 EQUIPOLENTES DE V (VETORES) : A = (+) 
 
 Dadas as classes de segmentos equipolentes u

 e v

. 
 
Definição 1.4 
 Considere um segmento orientado representante da classe u

 com origem num 
ponto O. A sua extremidade estará num ponto P. Tome um representante de v

 que tenha 
origem em P. A sua extremidade estará num ponto Q do plano OPQ. 
 A classe de equivalência do segmento orientado OQ

 é chamada de soma de u

 e 
v

, representada por u

+ v

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 u

+ v

 = OP

 + PQ

 = OQ

 
 
 A operação de adição acima definida não depende da escolha dos representantes 
das classes u

 e v

. Tomando-se outro ponto 'O , distinto de O, e um representante ' 'O P

 
de u

 e outro representante de v

 com origem em 'P , cuja extremidade é 'Q , teremos o 
segmento orientado ' 'O Q

 que também é um representante de u

+ v

. 
 u

+ v

 = ' 'O P

 + ' 'P Q

 = ' 'O Q

 
 
Nota: 
 A adição de classes de equivalênciade segmentos equipolentes pode, por analogia, 
ser comparada com a adição das classes de equivalência de números racionais. 
 
 u

 v

 u

 
 v

 
 P 
 u

 v

 u

 v

 
 O P Q 
 O u

+ v

 Q u

+ v

 
 Fig 1.9 
 9
 Consideremos, por exemplo, as classes 
1
2
 e 
1
3
 de racionais. 
 A substituição de representantes das classes u

 e v

 para se obter a soma u

+ v

 a 
partir do ponto O pode ser comparada com a substituição de 
1
2
 e 
1
3
 pelos representantes 
3
6
 
e 
2
6
 para se obter a classe 
1 1
2 3
 , ou seja, 
1 1 3 2 5
2 3 6 6 6
    . 
 O fato da soma u

+ v

 ser obtida a partir de qualquer outro ponto O’, não 
dependendo da escolha dos representantes de u

 e v

, é interpretada, nos racionais, pela 
obtenção da soma 
1 1
2 3
 , utilizando-se outros representantes: 
6
12
+
4
12
 , 
9
18
+
6
18
 , etc. 
 
 
1.1.1.1. PROPRIEDADES DA ADIÇÃO: A = (+) 
 
A1 : Associativa:  u

, v

, w

V, (u

 + v

) + w

 = u

 + ( v

 + w

) 
 
 Sejam u

 = AB

, v

 = BC

 e w

 = CD

 elementos de V. 
 
 (u

 + v

) + w

 = ( AB

+ BC

) + CD

 e u

 + ( v

 + w

) = AB

+ ( BC

+CD

) 
 = AC

 + CD

 = AB

 + BD

 
 = AD

 ( I) = AD

 (II) 
 Comparando ( I ) e (II), vemos que ( u

 + v

) + w

 = u

 + ( v

 + w

) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A2 : Elemento neutro: 0

 
 Existe 0

 V tal que  u

 V, u

 + 0

 = 0

 + u

 = u

. 
 
 Sejam u

 = AB

 e 0

 = BB

 = AA

 elementos de V. 
 u

 + 0

 = AB

 + BB

 = AB

 = u

 e 0

 + u

 = AA

 + AB

 = AB

 = u

. 
 Portanto, u

 + 0

 = 0

 + u

 = u

. 
 
 C 
 v

 
 B 
 w

 
 Fig 1.10 
 (u

 + v

) ( v

 + w

) 
 u

 
 (u

 + v

) + w

 = u

 + ( v

 + w

) 
A D 
 10
A3 : Elemento inverso aditivo (oposto): 
  u

 V, existe (u

)  V tal que u

 + (u

) = (u

) + u

 = 0

. 
 
 Sejam u

 = AB

 e (u

) =  AB

 = BA

 elementos de V. 
 
 u

 + (u

) = AB

 + BA

 = AA

 = 0

 e (u

) + u

 = BA

 + AB

 = BB

 = 0

. 
 
 Portanto, u

 + (u

) = (u

) + u

 = 0

. 
 
A4 : Comutativa:  u

, v

  V, u

 + v

 = v

 + u

. 
 
 Sejam u

 = AB

 e v

 = BC

 elementos de V. 
 
 Temos que u

 + v

 = AB

 + BC

 = AC

 ( I ) 
 
Seja D um ponto tal que AB

 CD

. Logo, u

 = AB

 = CD

. (ver Fig 1.11) 
 
 Temos que v

 + u

 = BC

 + CD

 = BD

 (II) 
 
 Sendo AB

 CD

 e AC

  BD

 (lados opostos de um paralelogramo), segue 
que de ( I ) e (II) que 
 u

 + v

 = v

 + u

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.1.2. MULTIPLICAÇÃO DE NÚMERO REAL POR UMA CLASSE DE V : M = () 
 
 Serão utilizadas letras gregas minúsculas:  ,  ,  , ... para representar números 
reais. Os números reais são também chamados de escalares. 
 A multiplicação de um número real por uma classe de V é também uma classe de V 
Definição 1.5 
 Seja v

 V e    . A classe ( . v

) é produto de  por v

 tal que: 
a) Se  = 0 ou v

 = 0

, então  . v

 = 0

. 
 
 B v

 + u

 D 
 
 
 u

 v

 u

 
 
 u

 + v

 
A C Fig 1.11 
 11
b) Se   0 e v

  0

, então 
i)  . v

 // v

. 
ii)  . v

 e v

 têm mesmo sentido se  >0 e sentidos opostos se  < 0. 
 iii)  . v

 =    v

. 
 
Nota: Entendemos da definição acima que ao multiplicarmos um segmento orientado por 
3 , o segmento obtido terá a mesma direção e mesmo sentido do primeiro e comprimento 
três vezes maior. Mas, multiplicando-se por (3) o segmento obtido terá a mesma direção e 
sentido oposto ao primeiro e comprimento três vezes maior. 
 Fato análogo percebe-se com os números racionais. Multiplicando-se um racional 
por 3 , o racional obtido tem mesmo sinal do primeiro e módulo três vezes maior. Mas, 
multiplicando-se por (3) o número obtido tem sinal oposto ao primeiro e módulo três 
vezes maior. 
 
1.1.2.1. PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO: M = (.) 
 
M1 :   ,    e  v

 V ,  . (  . v

) = (  ) . v

 
 
 Exemplificando: Sejam  = 2,  = 3 e 
 
 3. v

 
 
 2. (3. v

) 
 
 ( 2 . 3) . v

 
 
 Fig 1. 12 
 
M2 :     e  u

, v

 V ,  . (u

 + v

) =  . u

 +  . v

 
 
 Exemplificando: Sejam  = 2, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig 1.13 
 
 Os triângulos ABC e A’B’C’ são semelhantes (lados respectivamente paralelos). 
 
 v

 
 
 u

 v

 
 B B’ 
 u

 v

 2 .u

 2 . v

 
 
 A u

 + v

 C A’ C’2. u

 + 2. v

 = 2 . (u

 + v

) 
 12
M3 :   ,    e  u

 V , ( +  ).u

 =  . u

 +  . u

 
 
 Exemplificando: Sejam  = 2 e  = 3 e 
 
 
 2 . u

 
 
 3 . u

 
 
 (2 + 3). u

 
 
 Fig 1.14 
 
M4 : 1  e  u

 V, 1. u

 = u

 
 
 As classes 1. u

 e u

 têm o mesmo módulo, direção e sentido. Logo, são iguais. 
 
 Portanto, satisfeitas as propriedades, (V, +, . ) é um espaço vetorial sobre  . E, 
daí, cada uma das classes de equivalência de segmentos equipolentes u

, v

, w

, ... são 
chamadas de VETORES. 
 
1.1.3. VETOR NULO E VETOR UNITÁRIO 
 
 Retomando a definição 1.2, vemos que o vetor v

é unitário se  v

= 1 ou que v

 é 
vetor nulo se  v

= 0. 
 
1.1.4. VETORES PARALELOS 
 
 Pela definição 1.3, dois vetores não nulos são paralelos se possuírem mesma 
direção não importando os seus sentidos. 
 
Definição 1.6 
 Dois vetores não nulos w

 e v

 são paralelos se existir um número real  tal que 
 w

 =  . v

 
 
Nota:Vemos, neste caso, que um deles é múltiplo escalar do outro. Se os vetores possuírem 
mesmo sentido, então  é positivo, mas se os vetores possuem sentidos opostos, então  é 
negativo. 
 
 
 
 
 
 
 u

 
 v

 v

 
 w

 =  . v

,  >0 w

 =  . v

,  <0 
 
Fig 1. 14
 13
 Temos que 0

 = 0. v

, para todo v

 V . Logo, estendendo a definição, pode-se 
dizer que o vetor nulo é paralelo a todo vetor de V. 
 
 
1.1.5. VERSOR DE UM VETOR NÃO NULO 
 
 Seja v

 um vetor não nulo de V. 
 
Definição 1.7 
 Chama-se versor de v

 ao vetor de modulo unitário com mesma direção e sentido 
de v

. 
 Se u

 é versor de v

, então u

 e v

são paralelos. Logo, existe o número real 
1
v
   tal que u

 =  . v

 = 
v
v

 . 
 
 
 
 
 
 
 
 1
vv
u
v v
  

  
 
 1.1.6. VETORES COPLANARES 
 
 Consideremos um conjunto com mais de um vetor de V. 
 
Definição 1.8 
 
 Diz-se que dois ou mais vetores são coplanares se existir um plano que possui 
representantes de cada um destes vetores. 
 
 É imediato entender que dois vetores quaisquer não nulos são coplanares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 u

 v

 
 
 
 
 u

 v

 
  
 Fig 1.16 
 
 v

 
 Fig 1.15 
 u

 
 14
1.1.7. ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES 
 
 Considerando-se que dois vetores u

 e v

não nulos são coplanares, podemos tomar 
seus respectivos representantes OA

 e OB

 de mesma origem. 
 
Definição 1.9 
 
 Chama-se ângulo entre os vetores u

 e v

 não nulos ao menor dos ângulos 
formados pelas semi-retas OA e OB . 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: Sendo  o ângulo entre os vetores não nulos u

e v

, ( , )u v 
 
 ,então o o0 180  . 
 Se o0  , então //u v
 
 e ambos têm o mesmo sentido. Se o180  , então //u v
 
 e 
possuem sentidos opostos. 
 Os vetores não nulos u

e v

são ditos ortogonais se o90  . Indicamos por u

 v

. 
 
 
 
 
 
 
 
1.1.8. VETOR DIFERENÇA 
 
Sejam u

 e v

 dois vetores de V. 
Chama-se vetor diferença dos vetores u

 e v

 do espaço vetorial V ao vetor 
u v
 
 tal que u v
 
 = u

 + ( v

). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig 1.19 
 
 A diagonal AC

 do paralelogramo representa o vetor u

 + v

 e a diagonal DB

 
representa o vetor diferença u v
 
. 
  v

 v

 B v

 C 
 
 u

 u

 u

 + v

 
 u v
 
 u

 + v

 u v
 
 
 A D 
 
 A u

 
 Fig. 1.17 
  v

 
 O B 
 v

 
 O u

 v

 v

 O u

 O u

 
 o0  o180  o90  
 Fig 1.18 
 15
 
Nota: Se o segmento da diagonal do paralelogramo fosse dado por BD

, ao invés de DB

, 
então o vetor diferença seria v u
 
. 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 EXEMPLO 1.2 
 
1) Obtenha o vetor resultante da soma indicada nas figuras abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Temos que AB BC CD DE AE   
    
 e AB BC CD AD  
   
. 
 A construção mostra que a extremidade de um vetor coincide com a origem do 
outro, logo o segmento que possui a origem do primeiro e a extremidade do último é o 
vetor resultante. Então, na Fig 1.20 o vetor resultante é AE

 e na Fig 1.21 é AD

. 
 
2) Mostre que o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é 
paralelo ao terceiro lado e tem comprimento igual a sua metade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sejam M e N os pontos médios dos lados AC e BC do triângulo ABC. O segmento 
orientado MN

 representa o vetor resultante das somas: 
 
 MN MC CN 
  
 ( I ) 
 MN MA AB BN  
   
 ( II ) 
 Adicionando-se os respectivos membro de ( I ) e ( II ), temos: 
 C 
 B 
 
 
 D 
 
 A 
 
 
 E Fig 1.20 
 B 
 
 D 
 
 
 
 
 A 
 C 
 Fig 1.21 
 C 
 
 
 M N 
 
 
 AB 
 
 Fig 1.22 
 16
 2MN MC MA AB CN BN    
     
 ( III ) 
 Visto serem opostos os segmentos MC

 e MA

, também, os segmentos BN

 e CN

, 
segue que: 
 MC

 + MA

 = 0

 e CN

 + BN

 = 0

 ( IV ) 
 
 Substituindo ( IV ) em ( III ) tem-se 2MN AB
 
 ( V ) 
 
 A relação (V) evidencia que MN

 é paralelo a AB

, pois AB

 é resultado do 
produto do número real 2 por MN

, e que o módulo de AB

 é o dobro de MN

, conforme 
pretendíamos demonstrar. 
 
3) Mostre que num quadrilátero qualquer (de um plano) os pontos médios dos seus lados 
são vértices de um paralelogramo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O quadrilátero ABCD tem M, N, O e P como pontos médios dos lados AB, BC, 
CD e DA, respectivamente. 
 Considerando a diagonal AC do quadrilátero ABCD, vemos pelo exemplo 2 
acima, que os segmentos orientados MN

 e OP

 são paralelos a AC

. Logo, MN

 e OP

 são 
paralelos entre si. Temos também que MN OP
 
, pois são iguais a metade de AC

. 
 Considerando a diagonal BD do quadrilátero ABCD e, pelo mesmo raciocínio, 
temos que os segmentos PM

 e NO

 são paralelos e têm módulos iguais. 
 O quadrilátero formado pelos pontos médios dos lados de ABCD tem lados 
opostos paralelos e, respectivamente, de mesmo comprimento, logo, é um paralelogramo. 
 
3) Prove que as diagonais de um paralelogramo interceptam-se nos seus pontos médios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 D 
 O 
 
 C 
 P 
 N 
 
 A B 
 M Fig 1. 23 
 D C 
 
 
 
 
 M N Fig 1.24 
 
 
 A B
 17
 Seja ABCD um paralelogramo com M sendo o ponto médio da diagonal AC e N 
ponto médio da diagonal BD. 
 O segmento orientado MN

 representa o vetor resultante das somas: 
 
 MN MA AB BN  
   
 ( I ) 
 MN MC CD DN  
   
 ( II ) 
 Adicionando-se os respectivos membro de ( I ) e ( II ), temos: 
 2MN MA MC AB CD BN DN     
      
 ( III ) 
 
 Visto serem opostos os segmentos MA

 e MC

, os segmentos BN

 e DN

 e, 
também, AB

 e CD

, segue que: 
 
 MA

 + MC

 = 0

, BN

 + DN

 = 0

 e AB CD 0 
  
 ( IV ) 
 
 Substituindo ( IV ) em ( III ) tem-se 2MN 0
 
. Logo, MN 0
 
 e, daí, MN. 
 Portanto, os pontos médios das diagonais do paralelogramo coincidem. 
 
4) Se M e N são os pontos médios dos lados não paralelos do trapézio ABCD, conforme 
figura abaixo, então 
 
AB DC
MN
2


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O segmento orientado MN

 representa o vetor resultante das somas: 
 
 MN MA AB BN  
   
 ( I ) 
 MN MD DC CN  
   
 ( II ) 
 Adicionando-se os respectivos membro de ( I ) e ( II ), temos: 
 2MN MA MD AB DC BN CN     
      
 ( III ) 
 
 Visto serem opostos os segmentos MA

 e MD

, também, os segmentos BN

 e CN

, 
segue que: 
 
 D C 
 
 
 
 M N 
 
 
 
 A B 
 Fig 1.25 
 18
 MA

 + MD

 = 0

 e BN

 + CN

 = 0

 ( IV ) 
 
 Substituindo ( IV ) em ( III ) tem-se 2MN AB DC 
  
 ( V ) 
 
 Segue da relação (V) que 
AB DC
MN
2


 
 
 Entende-se, também, que o comprimento do segmento que une os pontos médios 
dos lados não paralelos de um trapézio é a média aritmética dos comprimentos dos seus 
lados paralelos. 
 
5) Seja M o ponto médio do lado AB do triângulo ABC. Supondo que CAu 
 
 e CBv 
 
, 
pede-se determinar o vetor CM

 como função dos vetores u

 e v

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Se M é ponto médio de AB, então AM MB
 
. Portanto, AM

 é oposto de BM

. 
O segmento orientado CM

 representa o vetor resultante das somas: 
 CM CA AM 
  
 ( I ) 
 CM CB BM 
  
 ( II ) 
 Adicionando-se os respectivos membros de ( I ) e ( II ), temos: 
 2CM CA CB AM BM   
    
 ( III ) 
 Visto serem opostos os segmentos AM

 e BM

, segue que: AM BM 0 
  
 ( IV ) 
 Substituindo ( IV ) em ( III ), tem-se 2CM CA CB 
  
 ( V ) 
 Segue da relação (V) que 
CA CB
CM
2


 
. Daí, CM
2
u v

 
. 
6) Considere o triângulo ABC. O ponto M esta a 2/3 de A para B. Supondo que CAu 
 
 e 
CBv 
 
, pede-se determinar o vetor CM

 como função dos vetores u

 e v

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 C 
 
 
 Fig 1.26 
 
 
 
 A M B
 C 
 
 
 Fig 1.27 
 
 
 
 A M B
 19
 
 Se M esta a 2/3 de A para B, então AM 2.MB
 
 e 
AM
BM
2



 ( I ) 
 O segmento orientado CM

 representa o vetor resultante das somas: 
 CM CA AM 
  
 ( II ) 
 CM CB BM 
  
 ( III ) 
 Adicionando-se os respectivosmembro de ( II ) e ( III ), temos: 
 2CM CA CB AM BM   
    
 ( IV ) 
 Substituindo ( I ) em ( IV ), tem-se 
AM
2CM CA CB AM
2

   
   
 . Logo, 
AM
2CM CA CB
2
  
  
 ( V ) 
 Temos que AB AC CB u v    
    
 e 
2 2
AM AB ( )
3 3
u v   
   
 (VI) 
 Substituindo (VI) em (V), segue que 
1
2CM ( )
3
u v u v    
    
. 
 Portanto, 
2
CM
3 3
u v
 
 
 
7) Considere o hexágono regular ABCDEF. Sabendo-se que AB u
 
 e AF v
 
, obter AE

 
em função dos vetores u

 e v

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Outro modo: 
 1) AE AB BE AB 2.BO AB 2.AF 2u v       
        
 
 
 2) AE AD DE 2.AO DE 2.[AF FO] DE 2.[ ] 2v u u v u           
            
 
 
 3) AE AB BC CD DE   
    
 
 Tem-se que: 
 AB u
 
, BC AO AF FO v u    
     
, CD AF v 
  
, DE AB u   
  
 
Portanto, 
 AE [ ] ( ) 2u v u v u v u       
       
. 
 C 
 
 
 B D 
 
 O 
 
 A E 
 
 
 F Fig 1.28 
Temos que 
 
 AE AF FE 
  
, 
 onde 
 AF v
 
 e 
 FE AO AF FO v u    
     
 
Portanto, 
AE ( ) 2v v u v u    
     
 20
8) Seja o paralelogramo ABCD. Considere o ponto X á 1/3 de A para D e o ponto Y tal que 
C esta a 2/3 de D para Y. Sendo ABu 
 
 e ADv 
 
, escrever o vetor XY

 em função de u

 e 
v

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1.1 
 
1) Obtenha, utilizando propriedades, o vetor resultante nos exercícios abaixo 
a) AB BC CD 
  
 R. AD

 
b) AB AC
 
 R. CB

 
c) RB CM RM 
  
 R. CB

 
d) XB RB DR XR  
   
 R RD

 
e) ZR CD RC DZ  
   
 R. 0

 
f) BD LC LD 
  
 R. BC

 
g) BD AD DB CA  
   
 R. DC

 
 
2) Considerando a figura do paralelogramo ABCD, complete cada uma das igualdades: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 g) DB ..........v  
 
 h) AC ..........u 
 
 i) BM .......... v 
 
 
 j) AD DC CB BA ..........   
   
 
 
 R. a) DC

, b) BC

, c) MC

, d) MD

, e) AC

, f) DB

, g) u

, h) v

 , i) MC

, j) 0

 
 
 Temos que 
 
 XY XD DY 
  
 
 
2 3
AD DC
3 2
 
 
 
 
2 3
3 2
v u 
 
 
 Y 
 
 
 B C 
 
 
 
 
 
 A X D Fig 1.29 
 B C 
 
 
 M 
 
 
 
 A D 
 Fig 1.30 
a) AB ..........u  
 
 
b) AD ..........v  
 
 
c) AM ..........

 
d) BM ..........

 
e) ..........u v 
 
 
f) ..........u v 
 
 21
3) As fig 1.31 e fig 1.32 nos sugerem que o vetor resultante c

 dado em função de a

 e b

 é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 R. Fig1.31: 2
2
a
c b 
 
 e Fig 1.32: 
2
b
c a 
 
 
4) Seja o paralelogramo ABCD. Considere o ponto F tal que D é ponto médio de AF e o 
ponto E médio de BC. Sendo ABu 
 
 e ADv 
 
, obter EF

 em função dos vetores u

 e 
v

. 
 R. 
3
EF
2
v u 
  
 
5) Sejam os pontos A, B, C e D do espaço. Considere o ponto Y a 1/4 de A para D e X tal 
que B está a 3/4 de C para X. Sendo ABu 
 
, ACv 
 
 e ADw 
 
, obter o vetor XY

 em 
função de u

, v

 e w

. 
 R. 
4 1 1
XY
3 3 4
u v w   
   
 
 
6) Sejam os pontos A, B, C e D do espaço. Considere o ponto F tal que A é ponto médio de 
FB e G a 1/4 de C para D. Sendo ABu 
 
, CBv 
 
 e CDw 
 
, obter o vetor FG

 em 
função de u

, v

 e w

. 
 R. 
1
FG 2
4
u v w  
   
 
7) Sejam os pontos A, B, C e D do espaço. Considere X ponto médio de AB e Y tal que 
D esta a 1/3 de Y para C. Sendo ABu 
 
, BCv 
 
 e DCw 
 
, obter o vetor XY

 em 
função de u

, v

 e w

. 
 R. 
1 3
XY
2 2
u v w  
   
 
8) Considere os pontos A, B, C e D do espaço. Os pontos R e S tais que B é ponto médio de 
AR e S esta a 3/4 de C para D. Sendo ABu 
 
, ACv 
 
 e ADw 
 
, obter o vetor RS

 em 
função de u

, v

 e w

. 
 R. 
1 3
RS 2
4 4
u v w   
   
 
 
 
 a

 
 
 c

 
 
 
 
 O b

 
 Fig 1.31 
 
 a

 
 c

 
 
 
 
 
 O b

 
 Fig 1. 32 
 22
9) Considere os pontos A, B, C e D do espaço. Os pontos M e N tais que A esta a 2/3 de M 
para C e B esta a 2/3 de D para N. Sendo ABu 
 
, BCv 
 
 e ADw 
 
, obter o vetor 
MN

 em função de u

, v

 e w

. 
 R. 
7 1
MN 2
2 2
u v w  
   
 
10) Num triângulo ABC tem-se que M , N e P são, respectivamente, os pontos médios dos 
lados AB, BC e AC. Mostre que AN BP CM 0  
   
. 
 
11) Sejam A, B, C e D vértices consecutivos de um trapézio. Sabendo-se que M é ponto 
médio da diagonal AC e N ponto médio da diagonal BD, prove que 
1
MN [AD BC]
2
 
  
. 
12) Marque nas figuras abaixo a soma u v w 
  
 dos vetores u

, v

 e w

 indicados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 R. Fig 1.33: AC

, Fig 1.34: AH

 e Fig 1.35: AG

 
 
 
 Ew

 
 v

 
 D C
 
 
 u

 
 A B 
 Fig 1.33 
 
 H G 
 w

 
E F 
 
 v

 
 D C 
 
 u

 
A B 
 
 Fig 1.34 
 
 H G 
 
 E F 
 
 
 w

 
 D C 
 v

 
 u

 
 A B 
 Fig 1.35 
 23
 CAPITULO II 
 
 
2. COMBINAÇÃO LINEAR E DEPENDÊNCIA LINEAR DE VETORES 
 
 Acreditamos que os conceitos de Combinação Linear (CL) e de Dependência 
Linear serão melhor entendidos se forem apresentados a partir de dois vetores e, depois, 
generalizados para uma quantidade finita qualquer. 
 
2.1. COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES 
 
 Sejam u

 e v

 dois vetores não nulos e não paralelos de V. Considerando dois 
números reais 1 e 2 quaisquer, teremos os vetores 1u

 e 2 v

, respectivamente, 
paralelos a u

 e v

. 
 O vetor 1 2w u v  
  
 representa todas as somas obtidas com os vetores u

 e v

. 
 Chamamos a cada vetor w

 de Combinação Linear (CL) dos vetores u

 e v

. 
 
Exemplificando: 
 
 
 
 
 u

 
 w

 ½ u

 
 w

 = ½ u

+ 1. v

 
 v

 w

 
 v

 
 1. 1.w u v 
  
 
 
 u

 w

 
 
 1. u

 v

 u

 
 
 
 w

 v

 
 
 w

 = 1. u

 + 1. v

 w

 = 2. u

 + 0 . v

 
 Fig 2.1 
 Portanto, a cada par de números reais 1 e 2 estará associado um vetor w

. 
Nestas condições, imagina-se uma infinidade de vetores w

 que são gerados por u

 e v

. 
 
 
 
 u

 v

 
 24
Definição 2.1. Generalizando: 
 Sejam 1 2 3 4, , , , ... , nv v v v v
    
 , (n1), vetores distintos de V e escalares (números 
reais) 1 2 3 4, , , , ... , n     , (n 1). O vetor w

 tal que 
 1 2 3 41 2 3 4. . . . ... . nnw v v v v v         
     
 
chama-se Combinação Linear dos vetores 1 2 3 4, , , , ... , nv v v v v
    
, com coeficientes 1 2, ,  
3 4, , ... , n   . 
 
2.2. DEPENDÊNCIA LINEAR 
 
 Queremos discutir 0w 
 
 como combinação linear de um conjunto finito com n 
vetores de V, isto é, 
 1 2 3 41 2 3 40 . . . . ... . nnv v v v v         
     
. 
 A pergunta que se faz é : A única maneira de se obter o vetor 0

 é tornando todos 
os coeficientes dos vetores iguais a zero ?. 
 Exemplificaremos, utilizando dois vetores, que existe a possibilidade de obtermos 
0

 sem que todos os coeficientes destes vetores sejam zeros. 
 
a) Seja o conjunto {u

, v

}, com u

 e v

 não nulos e paralelos. 
 Se u

 é paralelo a v

, então existe um número real (escalar) k 0 tal que v

 = k .u

. 
Assim, 0

 = 1. v

 + k . u

. Note que os coeficientes de u

 e v

 não são zeros. 
 A outra possibilidade de se escrever o vetor nulo é: 0

 = 0. v

 + 0.u

. 
b) Seja o conjunto {u

, v

}, com u

 e v

 não nulos e não paralelos. 
 Neste caso, a única maneira de se escrever o vetor nulo é 0

= 0. v

 + 0.u

. Vejamos: 
imaginemos a possibilidade de se obter 0

= r. u

+ s. v

 sem que os coeficientes r e s sejam 
zeros, então, teríamos s. v

 =  r. u

e, daí, ( / ).v r s u 
 
, evidenciando que u

 e v

 são 
paralelos, mas isto é uma contradição, pois u

 não é paralelo a v

. O tal fato ocorreu porque 
admitimos que r e s eram diferentes de zero. Logo, r e s são ambos iguais a zeros. 
 
2.2.1. CONJUNTO DE VETORES LINEARMENTE DEPENDENTE (LD). 
 
 O exemplo (a) acima mostra que certos conjuntos de vetores possuem dois modos 
de se escrever o vetor 0

: com algum coeficiente não zero e, o caso óbvio, com todos os 
coeficientes zeros. Nestas condições o conjunto de vetores é chamado de Linearmente 
Dependente (LD). 
 
Definição 2.2: 
 Dado um conjunto com n , n1, vetores 1 2 3 4{ , , , , ... , }nv v v v v
    
e escalares 1 , 
2 , 3 , 4 , ... , n . Diz-se que o conjunto de vetores é Linearmente Dependente (LD) 
se existirem escalares não todos iguais a zeros tal que 
 1 2 3 41 2 3 40 . . . . ... . nnv v v v v         
     
 
 25
2.2.2. CONJUNTO DE VETORES LINEARMENTE INDEPENDENTE (LI). 
 
 O exemplo (b) acima mostrou que certos conjuntos de vetores possuem uma só 
maneira de se escrever o vetor 0

: com todos os coeficientes iguais a zero. Neste caso o 
conjunto de vetores é chamado de Linearmente independente (LI). 
 
Definição 2.3: 
 Dado um conjunto com n , n 1, vetores 1 2 3 4{ , , , , ... , }nv v v v v
    
e escalares 1 , 
2 , 3 , 4 , ... , n . Diz-se que o conjunto de vetores é Linearmente Independente (LI) 
se 
 1 2 3 41 2 3 40 . . . . ... . nnv v v v v         
     
 
sómente quando os coeficientes forem todos iguais a zeros. 
 
Nota: Segue das definições 2.2 e 2.3 que “Se um conjunto de vetores não é LD, então é LI”. 
 É usual dizer que os vetores 1 2 3 4, , , , ... , nv v v v v
    
são LI ou LD se o conjunto destes 
vetores for LI ou LD, respectivamente. (ver HOFMANN / KUNGE, página 43 – Álgebra 
Linear). 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
EXEMPLO 2.1 
 
1) Apresente, geometricamente, situações que permitam entender a proposição: “Um 
conjunto de três vetores {u

, v

, w

}, sendo u

, v

 e w

 não nulos e coplanares, é LD”. 
 Solução: 
 a) Os três vetores coplanares possuem direções distintas 
 Podemos imaginar representantes 1u

 e 2 v

 de cada um dos vetores u

 e v

 num 
mesmo plano, de modo que se obtenha o vetor w

, isto é, 1 2w u v  
  
 paraalgum par de 
reais 1 e 2 
 v

 w

 
 u

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sendo 1 2w u v  
  
, teremos 1 21. 0w u v   
   
, onde se vê que um dos 
coeficientes da combinação linear dos vetores é diferente de zero. Então, {u

, v

, w

} é LD. 
 
 b) Apenas dois dos três vetores coplanares têm mesma direção 
 
 1u

 
 
 u

 1 2w u v  
  
 
 
 v

 
 2 v

 Fig 2.2 
 26
1º. Caso : //u w
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Temos que 1 0u w  
  
. Fazendo 0 1 0u v w   
   
 vê-se que ao menos um 
dos coeficientes da combinação linear não é zero, evidenciando que {u

, v

, w

} é LD. 
 Nesta situação, w

 =  u

+ 0 v

 é escrito como combinação linear de u

e v

. Mas 
v

 não pode ser escrito como combinação linear de u

 e w

. Verifique!. 
2º. Caso : //u v
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Temos que 1 0u v  
  
. Fazendo 1 0 0u v w   
   
 vê-se que ao menos 
um dos coeficientes da combinação linear não é zero, evidenciando que {u

, v

, w

} é LD. 
 Nesta situação, w

 não pode ser escrito como combinação linear de u

e v

. 
Contudo, tem-se que v

 =  u

+ 0 w

 ou u

 = (1/ ) v

 + 0 w

. 
 
 c) Os três vetores possuem mesma direção ( // //u v w
  
) 
 
 
 
 
 
 
 
 Assim, w

+ v

 = 0

 e 2 u

+ v

 = 0

. Adicionando as igualdades, Temos a 
combinação linear 1 2 2 0w u v  
   
, onde nem todos os coeficientes são zeros. 
 Neste caso, muitas são as maneiras de se escrever w

 como combinação linear de 
u

e v

. Por exemplo, w

 = v

  4 u

, w

 = 2 v

  6 u

, w

=  v

 + 0 u

, etc. 
 
 u

 w

 v

 
 w

 Supor w

 =  u

, *  
 u

 
 
 
 v

 Fig 2.3 
 
 u

 v

 w

 Supor w

=  v

 e 
 v

 = 2 u

 
 
 Fig 2.4 
 
 u

 v

 w

 
 v

 Supor v

 =  u

, *  
 u

 
 
 
 w

 Fig 2.3 
 27
 
Nota: Todas as situações apresentadas mostram o vetor 0

 escrito como combinação linear 
de u

, v

 e w

 sem que todos os coeficientes sejam zeros, mostrando que {u

, v

, w

} é LD. 
 
 
 É importante ressaltar que {u

, v

, w

} é LD se um dos vetores for nulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Se, por exemplo, 0v 
 
, então podemos escrever 0 0 0w u v  
   
, *  , 
evidenciando que nem todos os coeficientes da combinação linear de u

, v

 e w

 seja zero. 
 Podemos afirmar que “todo conjunto de vetores que possuir o vetor nulo é LD”, 
visto que 0

 pode ser obtido pela combinação linear, onde se associa o coeficiente diferente 
de zero ao vetor nulo e coeficientes iguais a zero a cada um dos demais vetores do 
conjunto. 
 
2) Justifique a proposição: “Um conjunto de três vetores {u

, v

, w

}, sendo u

, v

 e w

 não 
nulos e não coplanares, é LI”. 
 Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Suponhamos, por absurdo, que os vetores u

, v

 e w

 não nulos e não coplanares 
formam um conjunto LD. Sendo assim, existem escalares 1 2 3, e   não todos iguais a 
zeros tais que 
 1 2 3. . . 0w u v    
   
. 
 Caso 1 seja um dos coeficientes diferente de zero, então, 2 3
1 1
( ) ( )w u v
 
 
 
 
  
. 
 
 u

 w

 Supor 0v 
 
 
 
 Fig 2.5 
 
 w

 
 
 
 v

 
 
 
  u

 Fig 2.6 
 28
 A relação acima diz que w

 é combinação linear dos vetores u

 e v

, portanto, os 
três vetores são coplanares, contradizendo a hipótese de que não eram coplanares. Tal 
contradição ocorreu pelo fato de termos admitido {u

, v

, w

} LD. Então, {u

, v

, w

} é LI. 
 
3) Quatro vetores do espaço V3 forma um conjunto LD (quaisquer que sejam os vetores) 
 Solução: 
 
 O fato de três vetores num plano (dimensão 2) formarem um conjunto LD é 
análogo ao de quatro vetores no espaço (dimensão 3) formarem um conjunto LD. Isto é, 
podemos mostrar que um destes quatro vetores pode ser escrito como combinação linear 
dos demais. 
 Seja o conjunto { , , , }u v w t
   
 formado de vetores não nulos de V3. 
 
 a) Se três vetores são coplanares, por exemplo, u

, v

 e w

, onde se tem 
1 2w u v  
  
, então podemos escrever 
 1 21. 0 0w u v t    
    
 
evidenciando que pelo menos um dos coeficientes não é zero, figuras 2.7 a e 2.7 b. 
 
 Portanto, { , , , }u v w t
   
 é LD. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig 2.7 a Fig 2.7 b 
 
 
 
 Nota: Entendemos do exposto que se um dado conjunto possuir um subconjunto 
LD, então será também LD (Fig. 2.7b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 t

 
 
 u

 w

 
 
 v

 
 
 u

, v

, w

 e t

 são coplanares 
 
 t

 
 
 u

 
 w

 
 
 v

 
 Só u

, v

 e w

 são coplanares 
 29
b) Não possui três vetores coplanares 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Consideremos os representantes dos quatro vetores com origem num ponto P. 
Temos que u

= PA

, v

 = PB

, w

 = PT

 e t

 = PQ

. 
 Conduzindo pela extremidade Q do vetor t

 uma paralela ao vetor w

, obtemos o 
ponto R no plano PAB. Conduzindo por R paralelas aos vetores v

 e u

obtemos D e C tais 
que PD

 = 1u

 e PC

 = 2 v
. Conduzindo por Q plano paralelo a PAB, temos o ponto E tal 
que PE

= 3 w

. 
 Temos, por construção, que t

 = PR

 + RQ

, sendo PR

= 1u

+ 2 v

 e RQ

= 3w

. 
Assim, t

 = 1u

 + 2 v

 + 3 w

. 
 Então, 1. t

 1u

  2 v

  3 w

 = 0

. O fato da combinação linear dos quatro 
vetores ser 0

 e ter coeficientes não todos iguais a zeros, segue que { , , , }u v w t
   
 é LD. 
 
4) Mostre que se o conjunto { , }u v
 
é LI, então o conjunto { , ( )}u u v
  
 é LI. 
 Solução: 
 
 A condição para que { , ( )}u u v
  
 seja LI é que ocorra ( ) 0u u v   
   
 somente 
se 0   . 
 Vejamos: ( ) 0u u v   
   
  0u u v    
   
  ( ) 0u v    
  
. 
Sendo por hipótese que { , }u v
 
é LI, então 
 
0
0
 

 
 
  0   . Portanto, o conjunto { , ( )}u u v
  
 é LI. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
 T 
 
 w

 Q 
 E 
 
 t

 
 3 w

 B 
 v

 
 
 2 v

 C 
 R 
 P Fig 2.8 
 1u

 D 
 u

 A 
 30
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 2.1 
 
 Prove que: 
 
1) O conjunto { , }u u
 
 é LD. 
 
2) Se { , }u v
 
 é LI, então o conjunto { , , ( )}u v u v
   
 é LD. 
 
3) Se { , , }u v w
  
 é LI, então o conjunto {( ), ( ), ( )}u v u v u w  
     
 é LI. 
 
4) Se A é um conjunto de vetores e 0

A, então A é LD. 
 
5) O conjunto { 0

} é LD. 
 
6) Se A é um conjunto de vetores e B um subconjunto LD de A, então A é LD. 
 
7) Se { , , }u v w
  
 é LI, então para cada vetor g

 de V3 existe uma única terna de 
 números reais 1 2 3, e   tal que 1 2 3. . .g u v w    
   
. 
 
8) O conjunto { ( )u v
 
, ( )u v
 
} é LI somente se { ,u v
 
} é LI. 
 
9) Se S é um conjunto de vetores LI, então todo subconjunto não vazio de A é LI. 
 
 
 31
CAPITULO III 
 
 
3. BASE E SISTEMA DE REFERÊNCIA DE UM ESPAÇO VETORIAL 
 
 Consideremos um conjunto de vetores linearmente independentes de um espaço 
vetorial V. Diz-se que este conjunto de vetores constitui uma base E de V, se todo vetor de 
V for uma combinação linear dos vetores de E. 
 O fato de E ser uma base de V equivale dizer que E gera V e que a dimensão de V, 
indicada por dimV, é igual ao número de vetores de E. 
 Os conceitos acima motivam os exemplos que seguem: 
 
3.1. ESPAÇO VETORIAL DE DIMENSÃO 1 
 
 Suponha que V1 é o espaço vetorial sobre  , cujos vetores são classes de 
equivalência de segmentos orientados equipolentes consideradas numa reta r. 
 
 
 
 
 Fig 3.1 
 
 Os vetores de V1 têm a direção de r. 
 Se v

 for um vetor não nulo (forma um conjunto LI ), então v

 pode constituir uma 
base E de V1 que será denotada por E = ( v

). 
 A Fig 3.1 sugere que E = ( v

) é uma base de V1, pois os demais vetores de V1 
podem ser escritos a partir de v

. Isto é, a cada vetor w

 de V1, existe  real tal que 
w v
 
. O número  é chamado de coordenada de w

 em relação a E. 
 Uma base de V1 possui exatamente um vetor não nulo, logo, dimV1= 1. 
 
3.2. ESPAÇO VETORIAL DE DIMENSÃO 2 
 
 Suponha que V2 é o espaço vetorial sobre  , cujos vetores são classes de 
equivalência de segmentos orientados equipolentes consideradas num plano  . 
 
 
 
 
 
 
 Fig 3.2 
 
Os vetores de V2 estão no plano  . 
Vimos em 2.2.2, exemplo (b) citado, que dois vetores não nulos e não paralelos 
 r r 
 ,w v  
 
 
 v

 
 r 
 v

 w

 
 
 
  u

 s 
 
 32
formam um conjunto LI e, em exemplo 2.1(1), exercícios resolvidos, que três vetores 
coplanares formam um conjunto LD. Portanto, se considerarmos vetores u

 e v

 não nulos e 
não paralelos e qualquer outro vetor w

 de V2, segue que {u

, v

, w

} é LD. Assim, existem 
1 , 2 e 3 reais não todos iguais a zero tal que 1 2 3 0u v w    
   
. 
 Sendo 3 0  , então 1 2
3 3
w u v
 
 
    
    
   
  
. Entende-se que os vetores u

 e v

 
formam um conjunto LI e constituem uma base E para V2 e que os demais vetores de V2 
são escritos como combinação linear de u

 e v

. A base E é denotada por E = (u

, v

). 
 
3.2.1. SISTEMA DE REFERÊNCIA – V2 
 
 Observe a construção abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Consideremos os vetores 1OUu 
 
 e 2OUv 
 
 com as respectivas direções das retas 
r e s não paralelas. Seja ABw 
 
 um vetor de V2. 
 Existe um único ponto P em  tal que AB OPw  
  
. 
 Conduzindo por P paralelas as retas s e r têm-se os pontos P1 em r e P2 em s. Os 
vetores 1OP

 e u

 são paralelos, logo, 1OP

 =  u

 para algum  real. Analogamente, 
2OP

 =  v

 para algum real. 
 Os pontos O, P1, P e P2 (nesta ordem) são vértices de um paralelogramo, logo, 
2 1OP P P v 
  
. 
 Temos que 1 1OP OP P Pw   
   
, assim, OPw u v   
   
. Isto mostra que E 
gera V2, isto é, todo vetor de V2 é uma combinação linear dos vetores u

 e v

 de E. 
 A Fig 3.3 sugere que ao adotar um referencial (O, u

, v

) em V2, onde O é um 
ponto fixo e os vetores u

 e v

 (nesta ordem) formam uma base E de V2, se estabelece uma 
correspondência biunívoca entre os vetores de V2 e os pontos do plano  . Assim, a cada 
vetor w u v  
  
, ,   , fica associado, univocamente, um ponto P de coordenadas 
( , )E  do plano . Isto é, se (u

, v

) é base de V2, então todo vetor w

 se exprime de 
maneira única como combinação linear de u

e v

. 
 
 s 
 B 
 P2 P ( , )  
 U2 w

 
 w

 
 v

 A