Engenharia 6bim P1 1 gabarito

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AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
 
curso: Engenharia – Ciclo Básico bimestre: 6º bimestre data: / /2017 
P1-1 polo: aplicador responsável: turma/ período: 
nome: RA: 
 
Utilize preferencialmente folhas sulfite, identificando cada uma delas, frente e verso, com seu R.A. 
Evite escrever no canto superior direito das folhas de resposta. Boa prova! 
 
disciplina Economia I NOTA (0-10): 
 
Questão 1 (2,5 pontos) 
O que acontece em um mercado se o preço corrente estiver acima do preço de equilíbrio? O que acontece 
se o preço corrente estiver abaixo do preço de equilíbrio? 
 
Questão 2 (2,5 pontos) 
Considere o mercado de extintores de incêndio. 
 
a) Por que os extintores de incêndio apresentam externalidades positivas? 
b) Represente graficamente o mercado de extintores de incêndio, indicando a curva de demanda, a 
curva de valor social, a curva de oferta e a curva de custo social. 
c) Indique o nível de produção de equilíbrio de mercado e o nível de eficiência de produção. Dê uma 
explicação de por que as duas quantidades são diferentes. 
d) Se o benefício externo é de R$ 10 por extintor, descreva uma política governamental que leve a um 
resultado eficiente. 
 
Questão 3 (2,5 pontos) 
Por que os economistas usam o PIB real, e não o nominal, para medir o bem-estar econômico? 
 
Questão 4 (2,5 pontos) 
Suponha que mudanças na regulamentação dos bancos expandam a disponibilidade de cartões de crédito, 
de modo que as pessoas precisem manter menos moeda em mãos. 
 
a) Como esse evento afetará a demanda de moeda? 
b) Se o BACEN não reagir a esse evento, o que acontecerá com o nível dos preços? 
c) Se o BACEN quiser manter o nível dos preços estável, o que deverá fazer? 
 
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disciplina Métodos Numéricos NOTA (0-10): 
 
• É permitido o uso de calculadora e formulário. 
 
Questão 1 (2,5 pontos) 
Utilizando o método dos Quadrados Mínimos, obtenha uma reta que se aproxime da curva 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 +8, no intervalo [a, b]=[4, 10]. 
 
Questão 2 (2,5 pontos) 
Dada a tabela de pontos (𝑥𝑥𝑖𝑖 ,𝑦𝑦𝑖𝑖), Tabela 1, determine pelo Método dos Quadrados Mínimos a equação da 
reta que melhor se ajusta a esses pontos. 
Tabela 1 
𝒙𝒙𝒊𝒊 -1,0 -0,1 0,21 1,01 
𝒚𝒚𝒊𝒊 1,010 1,100 0,810 1,010 
 
Questão 3 (2,5 pontos) 
Determine um valor aproximado para a imagem da função dada na Tabela 2, no ponto x=1, usando uma 
interpolação de Newton. 
Tabela 2 
x -3 -2 -1 0 
y -4 0 1 5 
 
Questão 4 (2,5 pontos) 
Determine um valor aproximado para a imagem da função dada pela Tabela 3, no ponto x=3, usando uma 
Interpolação Lagrangeana. 
Tabela 3 
x 0 1 -1 -2 
y 1 3 0 -6 
 
____________________ 
Formulário 
 
𝑛𝑛 = �𝑙𝑙𝑙𝑙𝑏𝑏−𝑎𝑎𝜀𝜀
𝑙𝑙𝑙𝑙(2) − 1� 𝛼𝛼𝑖𝑖 = 𝑎𝑎𝑖𝑖+𝑏𝑏𝑖𝑖2 𝑥𝑥𝑖𝑖+1 = 𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖)𝑓𝑓′(𝑥𝑥𝑖𝑖); ℎ′(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥).𝑓𝑓′′(𝑥𝑥)[𝑓𝑓′(𝑥𝑥)]2 
 
�𝑝𝑝(𝑥𝑥) = ∆0𝑦𝑦01! . 𝑛𝑛 + ∆1𝑦𝑦02! .𝑛𝑛. (𝑛𝑛 − 1) + ∆3𝑦𝑦03!𝑙𝑙−1
𝑥𝑥=0
.𝑛𝑛. (𝑛𝑛 − 1). (𝑛𝑛 − 2) + ⋯
+ ∆𝑚𝑚𝑦𝑦0(𝑚𝑚 + 1)! .𝑛𝑛. (𝑛𝑛 − 1). … . (𝑛𝑛 −𝑚𝑚) 
 
𝑥𝑥𝑖𝑖 ∆0𝑦𝑦𝑖𝑖 ∆1𝑦𝑦𝑖𝑖 ∆2𝑦𝑦𝑖𝑖 
0 ................................. 
 ................................ 
1 .................................... 
 
2 
 
 
 
3 
 
𝑓𝑓′(𝜉𝜉) = 𝑓𝑓(𝑏𝑏)−𝑓𝑓(𝑎𝑎)
𝑏𝑏−𝑎𝑎
 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑝𝑝(𝑥𝑥) + 𝑓𝑓(𝑛𝑛+1)(𝜉𝜉)(𝑙𝑙+1)! . (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1)(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2). … . (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑙𝑙) 
 
𝑥𝑥 = 𝑎𝑎|𝑓𝑓(𝑏𝑏)| + 𝑏𝑏|𝑓𝑓(𝑎𝑎)||𝑓𝑓(𝑏𝑏)| − |𝑓𝑓(𝑎𝑎)| = 𝑎𝑎𝑓𝑓(𝑏𝑏) − 𝑏𝑏𝑓𝑓(𝑎𝑎)𝑓𝑓(𝑏𝑏)− 𝑓𝑓(𝑎𝑎) 
 
𝑛𝑛 = 1; 𝑝𝑝1(𝑥𝑥) = 𝑦𝑦0𝐿𝐿0(𝑥𝑥) + 𝑦𝑦1𝐿𝐿1(𝑥𝑥); 𝐿𝐿0(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥−𝑥𝑥1)(𝑥𝑥0−𝑥𝑥1); 𝐿𝐿1(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥−𝑥𝑥0)(𝑥𝑥1−𝑥𝑥0).] 
 
𝑝𝑝1(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥)𝑦𝑦0 + (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)𝑦𝑦1(𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥0) 
𝑝𝑝2(𝑥𝑥) = 𝑦𝑦0𝐿𝐿0(𝑥𝑥) + 𝑦𝑦1𝐿𝐿1(𝑥𝑥) + 𝑦𝑦2𝐿𝐿2(𝑥𝑥) 
𝐿𝐿0(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1)(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2)(𝑥𝑥0 − 𝑥𝑥1)(𝑥𝑥0 − 𝑥𝑥2) 
𝐿𝐿2(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2)(𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥0)(𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2) 
𝐿𝐿2(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1)(𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥0)(𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1) 
 
 
𝑠𝑠1(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥0 + 𝑓𝑓(𝑥𝑥1) 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥0 
𝑠𝑠2(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥1) 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1 + 𝑓𝑓(𝑥𝑥2) 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1 
 
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ 𝑛𝑛𝑎𝑎0 + ��𝑥𝑥𝑖𝑖𝑙𝑙
𝑖𝑖=1
� 𝑎𝑎1 = �𝑦𝑦𝑖𝑖𝑙𝑙
𝑖𝑖=1
��𝑥𝑥𝑖𝑖
𝑙𝑙
𝑖𝑖=1
� 𝑎𝑎0 + ��𝑥𝑥𝑖𝑖2𝑙𝑙
𝑖𝑖=1
� 𝑎𝑎1 = �𝑥𝑥𝑖𝑖𝑦𝑦𝑖𝑖𝑙𝑙
𝑖𝑖=1
 
 
I 𝑥𝑥𝑖𝑖 𝑦𝑦𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑖𝑖2 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑦𝑦𝑖𝑖 
1 
2 
3 
� 
 
4 
 
� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑥𝑥𝑚𝑚
𝑥𝑥0
= ℎ2 {𝑓𝑓(𝑥𝑥0) + 2[𝑓𝑓(𝑥𝑥1) + 𝑓𝑓(𝑥𝑥2) + ⋯+ 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑚𝑚−1)] + 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑚𝑚)}𝑥𝑥 
 
 
 
 
 
Fórmula de Euler: 𝑦𝑦𝑙𝑙+1 = 𝑦𝑦𝑙𝑙 + ℎ𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑙𝑙,𝑦𝑦𝑙𝑙) 
Fórmula de Euler Aprimorada: 𝑦𝑦𝑙𝑙+1 = 𝑦𝑦𝑙𝑙 + 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑛𝑛,𝑦𝑦𝑛𝑛)+𝑓𝑓[𝑥𝑥𝑛𝑛+ℎ,𝑦𝑦𝑛𝑛+ℎ𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑛𝑛,𝑦𝑦𝑛𝑛)]3 . ℎ 
Fórmula de 3 termos da série de Taylor: 𝑦𝑦𝑙𝑙+1 = 𝑦𝑦𝑙𝑙 + ℎ𝑦𝑦𝑙𝑙′ + ℎ22 𝑦𝑦𝑙𝑙′′ 
onde 𝑦𝑦𝑙𝑙′ = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑙𝑙,𝑦𝑦𝑙𝑙) 
 
Runge-Kutta: 
 
 𝑘𝑘𝑙𝑙4 = 𝑓𝑓 �𝑥𝑥𝑙𝑙 + 12 ℎ,𝑦𝑦𝑙𝑙 + 12 ℎ𝑘𝑘𝑙𝑙3� (33) 
 
 
 
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 GABARITO 
 
 
curso: Engenharia – Ciclo Básico bimestre: 6o bimestre P1-1 
 
 
disciplina Economia I NOTA (0-10): 
 
Questão 1 
Se o preço corrente estiver acima do preço de equilíbrio, há um excesso de oferta. Se o preço corrente estiver 
abaixo do preço de equilíbrio, há um excesso de demanda. 
Questão 2 
 
a) Porque eles servem para exterminar incêndios que, se se propagam, danificam a propriedade de 
terceiros. Extintores ajudam, portanto, a evitar danos à propriedade de outros. 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) No gráfico acima: Qmercado é o nível de produção de equilíbrio de mercado. Qótimo é o nível 
eficiente de produção. Essas duas quantidades diferem porque os consumidores não internalizam o 
benefício extra (social, além do privado) de suas decisões de consumo. 
d) Oferecer um subsídio de R$ 10 ao consumidor na aquisição de cada extintor. 
 
Questão 3 
Porque o PIB nominal pode variar de um ano para o outro apenas porque houve mudança de preços, sem 
que tenha ocorrido, necessariamente, aumento na quantidade física de bens e serviços produzidos. O uso do 
PIB real, ao manter constante a base de preços utilizados, revela, quando observado ao longo do tempo, as 
mudanças na riqueza real de um país, sendo, portanto, uma medida mais acurada de bem-estar. 
6 
 
Questão 4 
 
a) Reduzirá a demanda por moeda. 
b) O nível de preços reduzirá. 
c) Reduzir a oferta de moeda. 
 
disciplina Métodos Numéricos NOTA (0-10): 
 
Questão 1 
𝜑𝜑(𝑥𝑥) = 𝛼𝛼1𝑔𝑔1(𝑥𝑥) + 𝛼𝛼2𝑔𝑔2(𝑥𝑥) = 𝛼𝛼1 + 𝛼𝛼2𝑥𝑥, 
com 𝛼𝛼1 + 𝛼𝛼2 𝜖𝜖 ℝ;(𝑔𝑔1(𝑥𝑥) = 1; 𝑔𝑔2(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥) 
𝑎𝑎11 = � 𝑔𝑔12(𝑥𝑥)𝑏𝑏
𝑎𝑎
𝑑𝑑𝑥𝑥 = � 1 𝑑𝑑𝑥𝑥10
4
= 6 
𝑎𝑎12 = � 𝑔𝑔1(𝑥𝑥)𝑔𝑔2(𝑥𝑥)𝑏𝑏
𝑎𝑎
𝑑𝑑𝑥𝑥 = � 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥10
4
= �𝑥𝑥22 �104 = 50 − 8 = 42 = 𝛼𝛼21 
𝑎𝑎22 = � 𝑔𝑔22(𝑥𝑥)𝑏𝑏
𝑎𝑎
𝑑𝑑𝑥𝑥 = � 𝑥𝑥2 𝑑𝑑𝑥𝑥10
4
= 𝑥𝑥33 |104 = 10003 − 643 = 312 
𝑏𝑏1 = � 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑔𝑔1(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 = � 𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 8 𝑑𝑑𝑥𝑥10
4
=10
4
�
𝑥𝑥33 − 3𝑥𝑥2 + 8𝑥𝑥� 104 = 10003 − 300 + 80 − 643 + 48 − 32 
𝑏𝑏1 = 312 − 300 + 96 = 108 
𝑏𝑏2 = � 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑔𝑔2(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 = � 𝑥𝑥3 − 6𝑥𝑥2 + 8𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥10
4
=10
4
�
𝑥𝑥44 − 2𝑥𝑥3 + 4𝑥𝑥2� 104 = 2500 − 2000 + 400 − 64 + 128 − 64 
𝑏𝑏2 = 900 
Sistema: 
�
6𝛼𝛼1 + 42𝛼𝛼2 = 10842𝛼𝛼1 + 312𝛼𝛼2 = 900 
𝛼𝛼1 = −38 
𝛼𝛼2 = 8 
Resposta: 𝜑𝜑(𝑥𝑥) = 8𝑥𝑥 − 38. 
 
 
 
Questão 2 
∑ 𝑥𝑥𝑖𝑖 = −1 − 0,1 + 0,21 + 1,01 =41 0,12�𝑥𝑥𝑖𝑖
2
4
1
= (−1,0)2 + (−0,1)2 + (0,2)2 + (1,0)2 = 2,0742 
�𝑦𝑦𝑖𝑖 = 1,000 + 1,099 + 0,808 + 1,000 =4
1
3,93 
 
 
7 
 
�𝑥𝑥𝑖𝑖𝑦𝑦𝑖𝑖 = −1 − 0,1099 + 0,1616 + 1 =4
1
0,0702 
�
4𝑎𝑎 +0,12𝑏𝑏 = 3,930,12𝑎𝑎 +2,0742𝑏𝑏 = 0,0702 
A solução do sistema é: 
𝑎𝑎 = 0,983191e 𝑏𝑏 = −0,1908. 
Portanto, a reta que melhor se ajusta aos pontos da tabela dada é: 
𝑦𝑦 = 0,9832 − 0,1908𝑥𝑥. 
 
 
Questão 3 
A Tabela 2.2 ilustra o cálculo dos coeficientes do Polinômio Interpolador de Newton. 
Tabela 2.2 
xi Delta0yi Delta1yi Delta2yi Delta3yi 
-3 -4 
 4 
-2 0 -3 
 1 6 
-1 1 3 
 4 
0 5 
 
O valor aproximado para a imagem da função dada na Tabela 2.2 é dada pela imagem do polinômio: 
𝑝𝑝(1) = −4 + 4(1 + 3) − 32 (1 + 3)(1 + 2) + 66 (1 + 3)(1 + 2)(1 + 1) = −4 + 16 − 18 + 24 = 18 
 
 
 
Questão 4 
Tabela 3.1 
3-0=3 1-0=1 -1-0=-1 -2-0=-2 
0-1=-1 3-1=2 -1-1=-2 -2-1=-3 
0-(-1)=1 1-(-1)=2 3-(-1)=4 -2-(-1)=-1 
0-(-2)=2 1-(-2)=3 -1-(-2)=1 3-(-2)=5 
C0=-6 C1=12 C2=8 C3=30 
D = 180 
 
A imagem no ponto 3 é: 
p(3)=180[1/(-6)+3/12+0/8-6/30]=180(-1/6+1/4-1/5)=-21