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1 AVALIAÇÃO PRESENCIAL curso: Engenharia – Ciclo Básico bimestre: 6º bimestre data: / /2017 P1-1 polo: aplicador responsável: turma/ período: nome: RA: Utilize preferencialmente folhas sulfite, identificando cada uma delas, frente e verso, com seu R.A. Evite escrever no canto superior direito das folhas de resposta. Boa prova! disciplina Economia I NOTA (0-10): Questão 1 (2,5 pontos) O que acontece em um mercado se o preço corrente estiver acima do preço de equilíbrio? O que acontece se o preço corrente estiver abaixo do preço de equilíbrio? Questão 2 (2,5 pontos) Considere o mercado de extintores de incêndio. a) Por que os extintores de incêndio apresentam externalidades positivas? b) Represente graficamente o mercado de extintores de incêndio, indicando a curva de demanda, a curva de valor social, a curva de oferta e a curva de custo social. c) Indique o nível de produção de equilíbrio de mercado e o nível de eficiência de produção. Dê uma explicação de por que as duas quantidades são diferentes. d) Se o benefício externo é de R$ 10 por extintor, descreva uma política governamental que leve a um resultado eficiente. Questão 3 (2,5 pontos) Por que os economistas usam o PIB real, e não o nominal, para medir o bem-estar econômico? Questão 4 (2,5 pontos) Suponha que mudanças na regulamentação dos bancos expandam a disponibilidade de cartões de crédito, de modo que as pessoas precisem manter menos moeda em mãos. a) Como esse evento afetará a demanda de moeda? b) Se o BACEN não reagir a esse evento, o que acontecerá com o nível dos preços? c) Se o BACEN quiser manter o nível dos preços estável, o que deverá fazer? 2 disciplina Métodos Numéricos NOTA (0-10): • É permitido o uso de calculadora e formulário. Questão 1 (2,5 pontos) Utilizando o método dos Quadrados Mínimos, obtenha uma reta que se aproxime da curva 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 +8, no intervalo [a, b]=[4, 10]. Questão 2 (2,5 pontos) Dada a tabela de pontos (𝑥𝑥𝑖𝑖 ,𝑦𝑦𝑖𝑖), Tabela 1, determine pelo Método dos Quadrados Mínimos a equação da reta que melhor se ajusta a esses pontos. Tabela 1 𝒙𝒙𝒊𝒊 -1,0 -0,1 0,21 1,01 𝒚𝒚𝒊𝒊 1,010 1,100 0,810 1,010 Questão 3 (2,5 pontos) Determine um valor aproximado para a imagem da função dada na Tabela 2, no ponto x=1, usando uma interpolação de Newton. Tabela 2 x -3 -2 -1 0 y -4 0 1 5 Questão 4 (2,5 pontos) Determine um valor aproximado para a imagem da função dada pela Tabela 3, no ponto x=3, usando uma Interpolação Lagrangeana. Tabela 3 x 0 1 -1 -2 y 1 3 0 -6 ____________________ Formulário 𝑛𝑛 = �𝑙𝑙𝑙𝑙𝑏𝑏−𝑎𝑎𝜀𝜀 𝑙𝑙𝑙𝑙(2) − 1� 𝛼𝛼𝑖𝑖 = 𝑎𝑎𝑖𝑖+𝑏𝑏𝑖𝑖2 𝑥𝑥𝑖𝑖+1 = 𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖)𝑓𝑓′(𝑥𝑥𝑖𝑖); ℎ′(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥).𝑓𝑓′′(𝑥𝑥)[𝑓𝑓′(𝑥𝑥)]2 �𝑝𝑝(𝑥𝑥) = ∆0𝑦𝑦01! . 𝑛𝑛 + ∆1𝑦𝑦02! .𝑛𝑛. (𝑛𝑛 − 1) + ∆3𝑦𝑦03!𝑙𝑙−1 𝑥𝑥=0 .𝑛𝑛. (𝑛𝑛 − 1). (𝑛𝑛 − 2) + ⋯ + ∆𝑚𝑚𝑦𝑦0(𝑚𝑚 + 1)! .𝑛𝑛. (𝑛𝑛 − 1). … . (𝑛𝑛 −𝑚𝑚) 𝑥𝑥𝑖𝑖 ∆0𝑦𝑦𝑖𝑖 ∆1𝑦𝑦𝑖𝑖 ∆2𝑦𝑦𝑖𝑖 0 ................................. ................................ 1 .................................... 2 3 𝑓𝑓′(𝜉𝜉) = 𝑓𝑓(𝑏𝑏)−𝑓𝑓(𝑎𝑎) 𝑏𝑏−𝑎𝑎 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑝𝑝(𝑥𝑥) + 𝑓𝑓(𝑛𝑛+1)(𝜉𝜉)(𝑙𝑙+1)! . (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1)(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2). … . (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑙𝑙) 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎|𝑓𝑓(𝑏𝑏)| + 𝑏𝑏|𝑓𝑓(𝑎𝑎)||𝑓𝑓(𝑏𝑏)| − |𝑓𝑓(𝑎𝑎)| = 𝑎𝑎𝑓𝑓(𝑏𝑏) − 𝑏𝑏𝑓𝑓(𝑎𝑎)𝑓𝑓(𝑏𝑏)− 𝑓𝑓(𝑎𝑎) 𝑛𝑛 = 1; 𝑝𝑝1(𝑥𝑥) = 𝑦𝑦0𝐿𝐿0(𝑥𝑥) + 𝑦𝑦1𝐿𝐿1(𝑥𝑥); 𝐿𝐿0(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥−𝑥𝑥1)(𝑥𝑥0−𝑥𝑥1); 𝐿𝐿1(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥−𝑥𝑥0)(𝑥𝑥1−𝑥𝑥0).] 𝑝𝑝1(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥)𝑦𝑦0 + (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)𝑦𝑦1(𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥0) 𝑝𝑝2(𝑥𝑥) = 𝑦𝑦0𝐿𝐿0(𝑥𝑥) + 𝑦𝑦1𝐿𝐿1(𝑥𝑥) + 𝑦𝑦2𝐿𝐿2(𝑥𝑥) 𝐿𝐿0(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1)(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2)(𝑥𝑥0 − 𝑥𝑥1)(𝑥𝑥0 − 𝑥𝑥2) 𝐿𝐿2(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2)(𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥0)(𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2) 𝐿𝐿2(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1)(𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥0)(𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1) 𝑠𝑠1(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥0 + 𝑓𝑓(𝑥𝑥1) 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥0 𝑠𝑠2(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥1) 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1 + 𝑓𝑓(𝑥𝑥2) 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1 ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 𝑛𝑛𝑎𝑎0 + ��𝑥𝑥𝑖𝑖𝑙𝑙 𝑖𝑖=1 � 𝑎𝑎1 = �𝑦𝑦𝑖𝑖𝑙𝑙 𝑖𝑖=1 ��𝑥𝑥𝑖𝑖 𝑙𝑙 𝑖𝑖=1 � 𝑎𝑎0 + ��𝑥𝑥𝑖𝑖2𝑙𝑙 𝑖𝑖=1 � 𝑎𝑎1 = �𝑥𝑥𝑖𝑖𝑦𝑦𝑖𝑖𝑙𝑙 𝑖𝑖=1 I 𝑥𝑥𝑖𝑖 𝑦𝑦𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑖𝑖2 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑦𝑦𝑖𝑖 1 2 3 � 4 � 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑥𝑥𝑚𝑚 𝑥𝑥0 = ℎ2 {𝑓𝑓(𝑥𝑥0) + 2[𝑓𝑓(𝑥𝑥1) + 𝑓𝑓(𝑥𝑥2) + ⋯+ 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑚𝑚−1)] + 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑚𝑚)}𝑥𝑥 Fórmula de Euler: 𝑦𝑦𝑙𝑙+1 = 𝑦𝑦𝑙𝑙 + ℎ𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑙𝑙,𝑦𝑦𝑙𝑙) Fórmula de Euler Aprimorada: 𝑦𝑦𝑙𝑙+1 = 𝑦𝑦𝑙𝑙 + 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑛𝑛,𝑦𝑦𝑛𝑛)+𝑓𝑓[𝑥𝑥𝑛𝑛+ℎ,𝑦𝑦𝑛𝑛+ℎ𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑛𝑛,𝑦𝑦𝑛𝑛)]3 . ℎ Fórmula de 3 termos da série de Taylor: 𝑦𝑦𝑙𝑙+1 = 𝑦𝑦𝑙𝑙 + ℎ𝑦𝑦𝑙𝑙′ + ℎ22 𝑦𝑦𝑙𝑙′′ onde 𝑦𝑦𝑙𝑙′ = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑙𝑙,𝑦𝑦𝑙𝑙) Runge-Kutta: 𝑘𝑘𝑙𝑙4 = 𝑓𝑓 �𝑥𝑥𝑙𝑙 + 12 ℎ,𝑦𝑦𝑙𝑙 + 12 ℎ𝑘𝑘𝑙𝑙3� (33) 5 GABARITO curso: Engenharia – Ciclo Básico bimestre: 6o bimestre P1-1 disciplina Economia I NOTA (0-10): Questão 1 Se o preço corrente estiver acima do preço de equilíbrio, há um excesso de oferta. Se o preço corrente estiver abaixo do preço de equilíbrio, há um excesso de demanda. Questão 2 a) Porque eles servem para exterminar incêndios que, se se propagam, danificam a propriedade de terceiros. Extintores ajudam, portanto, a evitar danos à propriedade de outros. b) c) No gráfico acima: Qmercado é o nível de produção de equilíbrio de mercado. Qótimo é o nível eficiente de produção. Essas duas quantidades diferem porque os consumidores não internalizam o benefício extra (social, além do privado) de suas decisões de consumo. d) Oferecer um subsídio de R$ 10 ao consumidor na aquisição de cada extintor. Questão 3 Porque o PIB nominal pode variar de um ano para o outro apenas porque houve mudança de preços, sem que tenha ocorrido, necessariamente, aumento na quantidade física de bens e serviços produzidos. O uso do PIB real, ao manter constante a base de preços utilizados, revela, quando observado ao longo do tempo, as mudanças na riqueza real de um país, sendo, portanto, uma medida mais acurada de bem-estar. 6 Questão 4 a) Reduzirá a demanda por moeda. b) O nível de preços reduzirá. c) Reduzir a oferta de moeda. disciplina Métodos Numéricos NOTA (0-10): Questão 1 𝜑𝜑(𝑥𝑥) = 𝛼𝛼1𝑔𝑔1(𝑥𝑥) + 𝛼𝛼2𝑔𝑔2(𝑥𝑥) = 𝛼𝛼1 + 𝛼𝛼2𝑥𝑥, com 𝛼𝛼1 + 𝛼𝛼2 𝜖𝜖 ℝ;(𝑔𝑔1(𝑥𝑥) = 1; 𝑔𝑔2(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥) 𝑎𝑎11 = � 𝑔𝑔12(𝑥𝑥)𝑏𝑏 𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑥𝑥 = � 1 𝑑𝑑𝑥𝑥10 4 = 6 𝑎𝑎12 = � 𝑔𝑔1(𝑥𝑥)𝑔𝑔2(𝑥𝑥)𝑏𝑏 𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑥𝑥 = � 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥10 4 = �𝑥𝑥22 �104 = 50 − 8 = 42 = 𝛼𝛼21 𝑎𝑎22 = � 𝑔𝑔22(𝑥𝑥)𝑏𝑏 𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑥𝑥 = � 𝑥𝑥2 𝑑𝑑𝑥𝑥10 4 = 𝑥𝑥33 |104 = 10003 − 643 = 312 𝑏𝑏1 = � 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑔𝑔1(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 = � 𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 8 𝑑𝑑𝑥𝑥10 4 =10 4 � 𝑥𝑥33 − 3𝑥𝑥2 + 8𝑥𝑥� 104 = 10003 − 300 + 80 − 643 + 48 − 32 𝑏𝑏1 = 312 − 300 + 96 = 108 𝑏𝑏2 = � 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑔𝑔2(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 = � 𝑥𝑥3 − 6𝑥𝑥2 + 8𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥10 4 =10 4 � 𝑥𝑥44 − 2𝑥𝑥3 + 4𝑥𝑥2� 104 = 2500 − 2000 + 400 − 64 + 128 − 64 𝑏𝑏2 = 900 Sistema: � 6𝛼𝛼1 + 42𝛼𝛼2 = 10842𝛼𝛼1 + 312𝛼𝛼2 = 900 𝛼𝛼1 = −38 𝛼𝛼2 = 8 Resposta: 𝜑𝜑(𝑥𝑥) = 8𝑥𝑥 − 38. Questão 2 ∑ 𝑥𝑥𝑖𝑖 = −1 − 0,1 + 0,21 + 1,01 =41 0,12�𝑥𝑥𝑖𝑖 2 4 1 = (−1,0)2 + (−0,1)2 + (0,2)2 + (1,0)2 = 2,0742 �𝑦𝑦𝑖𝑖 = 1,000 + 1,099 + 0,808 + 1,000 =4 1 3,93 7 �𝑥𝑥𝑖𝑖𝑦𝑦𝑖𝑖 = −1 − 0,1099 + 0,1616 + 1 =4 1 0,0702 � 4𝑎𝑎 +0,12𝑏𝑏 = 3,930,12𝑎𝑎 +2,0742𝑏𝑏 = 0,0702 A solução do sistema é: 𝑎𝑎 = 0,983191e 𝑏𝑏 = −0,1908. Portanto, a reta que melhor se ajusta aos pontos da tabela dada é: 𝑦𝑦 = 0,9832 − 0,1908𝑥𝑥. Questão 3 A Tabela 2.2 ilustra o cálculo dos coeficientes do Polinômio Interpolador de Newton. Tabela 2.2 xi Delta0yi Delta1yi Delta2yi Delta3yi -3 -4 4 -2 0 -3 1 6 -1 1 3 4 0 5 O valor aproximado para a imagem da função dada na Tabela 2.2 é dada pela imagem do polinômio: 𝑝𝑝(1) = −4 + 4(1 + 3) − 32 (1 + 3)(1 + 2) + 66 (1 + 3)(1 + 2)(1 + 1) = −4 + 16 − 18 + 24 = 18 Questão 4 Tabela 3.1 3-0=3 1-0=1 -1-0=-1 -2-0=-2 0-1=-1 3-1=2 -1-1=-2 -2-1=-3 0-(-1)=1 1-(-1)=2 3-(-1)=4 -2-(-1)=-1 0-(-2)=2 1-(-2)=3 -1-(-2)=1 3-(-2)=5 C0=-6 C1=12 C2=8 C3=30 D = 180 A imagem no ponto 3 é: p(3)=180[1/(-6)+3/12+0/8-6/30]=180(-1/6+1/4-1/5)=-21
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