Introdução a comunicações digitais Princípios de Telecomunicações Instituto Tecnológico de Aeronáutica

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ELE-31 Princ´ıpios de Telecomunicac¸o˜es
Prof. Manish Sharma
November 25, 2015
7 Introduc¸a˜o a comunicac¸o˜es digitais
Vimos no cap´ıtulo anterior que e´ poss´ıvel representar sinais cont´ınuos no tempo por um conjunto de amostras,
desde que a taxa de amostragem fs seja maior do que a banda a mensagem. A quantizac¸a˜o em amplitude
permitiria representar cada amostra com um nu´mero finito de bits, k introduzindo algum erro que depende do
nu´mero de n´ıveis de quantizac¸a˜o. Assim, aceitando algum erro, e´ poss´ıvel representar sinais cont´ınuos com uma
certa taxa de bits Rb = k · fs.
A melhor forma de transmitir bits e´ utilizando transmissa˜o digital. Isto pode ser afirmado pois a recepc¸a˜o
de sinais digitais e´ matematicamente a melhor poss´ıvel no sentido de reduzir ao ma´ximo erros de transmissa˜o.
Ale´m disso, te´cnicas de controle de erro permitem que os sistemas operem com taxas de erro ta˜o baixas quanto
necessa´rias1.
Neste cap´ıtulo veremos como a transmissa˜o e recepc¸a˜o de sinais digitais pode ser feita. Para isso e´ necessa´rio
utilizar algumas simplificac¸o˜es como a representac¸a˜o geome´trica de sinais. Algumas modulac¸o˜es digitais sa˜o
apresentadas.
7.1 Representac¸a˜o geome´trica de sinais
• Um espac¸o vetorial n dimensional pode ser gerado a partir de uma base {ui}, com i = 1, 2, ..., n. Qualquer
vetor deste espac¸o pode ser escrito como:
v =
n∑
1
ui · vi (1)
onde:vi e´ o produto interno entre v e ui. Podemos definir para este espac¸o vetorial relac¸o˜es como norma,
independeˆncia linear, a desigualdade triangular, entre outras.
• Uma base ortonormal2 com N elementos para um conjunto de m vetores vi pode ser obtido atrave´s do
processo de Gran-Schmidt:
1. Escolhemos arbitrariamente um vetor v1.
2. Definimos o primeiro elemento da base como:
u1 =
v1
||v1|| , (2)
onde ||v1|| e´ a norma do vetor v1.
3. O segundo elemento da base e´ obtido removendo a contribuic¸a˜o do primeiro elemento da base no
segundo vetor do conjunto, seguido de normalizac¸a˜o:
u′2 = v2 − (< v2,u1 >) · u1
u2 =
u′2
||u′2||
(3)
1Ha´ sistemas onde as taxas de erro sa˜o ta˜o baixas que sa˜o imensura´veis
2Onde todos os vetores sa˜o ortogonais entre si e tem mo´dulo unita´rio.
1
4. O j-e´simo elemento da base pode ser obtido de forma semelhante:
u′j = vj −
∑j−1
k=1(< vj ,uk >) · uk
uj =
u′j
||u′j ||
(4)
5. O processo continua ate´ N ≤ min(n,m).
• Este processo resulta em uma base capaz de gerar todos os vetores do conjunto fornecido.
• Todas as relac¸o˜es aplicadas acima para vetores pode ser aplicada para sinais cont´ınuos no tempo atrave´s
da definic¸a˜o do produto interno entre dois sinais:
< x1(t), x2(t) >=
∫ ∞
−∞
x1(t) · x∗2(t)dt (5)
e da definic¸a˜o da norma:
||x(t)|| =
(∫ ∞
−∞
|x(t)|2dt
)
=
√
εx (6)
onde εx e´ a energia do sinal x(t).
• Com estas definic¸o˜es temos a desigualdade triangular:
||x1(t) + x2(t)|| ≤ ||x1(t)||+ ||x2(t)|| (7)
e a desigualdade de Cauchy Schwarz:
| < x(t), y(t) > | ≤ ||x(t)|| · ||y(t)|| = √εx · εy (8)
• Podemos obter uma base para qualquer conjunto finito de sinais si(t), i = 1, 2, ...,M atrave´s do mesmo
processo anterior:
1. O primeiro elemento e´:
φ1(t) =
s1(t)√
ε1
(9)
onde ε1 e´ a energia de s1(t).
2. Para obtenc¸a˜o do segundo elemento, retiramos a contribuic¸a˜o do primeiro elemento em s2(t), obtendo
assim um vetor ortogonal a φ1(t). Apo´s, normalizamos (tornamos igual a 1) a energia do sinal obtidos.
Matematicamente:
c21 =< s2(t), φ1(t) >=
∫ ∞
−∞
s2(t) · phi∗1(t)dt
γ2(t) = s2(t)− c21 · φ1(t)
ε2 =
∫ ∞
−∞
|γ2(t)|2dt
φ2(t) =
γ2(t)√
ε2
(10)
onde c21 e´ a projec¸a˜o do segundo sinal no primeiro elemento da base φ1(t), γ2(t) e´ o vetor ortogonal
a φ1(t) e ε2 e´ a sua energia. O resultado e´ o segundo elemento da base, φ2(t).
3. O j-e´simo elemento pode ser obtido como:
φj(t) =
γj(t)√
εj
(11)
2
onde:
cji =< sj(t), φ(t) >=
∫ ∞
−∞
sj(t) · φ∗i (t)dt
γj(t) = sj(t)−
j−1∑
i=1
cji · φi(t)
εj =
∫ ∞
−∞
|γj(t)|2dt
(12)
• Para M sinais, precisaremos de uma base com N ≤ M elementos, com igualdade se todos os M sinais
si(t) fornecidos forem linearmente independentes.
• Assim, um sinal si(t) pode ser representado pelo vetor si:
si = [ci1 ci2 · · · ciN ] (13)
• Chamamos o vetor si de s´ımbolo.
• Um conjunto de sinais pode enta˜o ser representado como um conjunto de pontos no espac¸o M -dimensional,
chamado de espac¸o de sinais. O conjunto de pontos e´ chamado de constelac¸a˜o.
• A base obtida na˜o e´ a u´nica poss´ıvel: a ordem de escolha dos sinais determina a base. Entretanto, a base
sempre tera´ N elementos. Ale´m disso, a constelac¸a˜o tera´ sempre o mesmo formato, isto e´, a distaˆncia da
origem de cada um dos pontos e o produto interno entre dois pontos(vetores) quaisquer sera˜o sempre os
mesmos.
• A energia de um sinal pode ser calculada no espac¸o de sinais via:
||si(t)|2 = εi =
N∑
n=1
|sin|2 = ||si||2 (14)
7.2 Modulac¸o˜es Digitais
• Um modulador digital pode ser visto como uma func¸a˜o que tem como entrada uma sequeˆncia de bits e
tem como sa´ıda uma sequeˆncia de s´ımbolos.
• Caso haja M = 2k s´ımbolos poss´ıveis, o modulador agrupa os bits de entrada em blocos com k bits.
• Algumas definic¸o˜es ba´sicas:
– Durac¸a˜o de s´ımbolos = Ts =
Durac¸a˜o da transmissa˜o
Nu´mero de s´ımbolos transmitidos
– Taxa de s´ımbolos = Rs =
1
Ts
– Durac¸a˜o de um bit = Tb =
Ts
k
=
Ts
log2M
– Taxa de bits = Rb = Rs · k
– Probabilidade de transmitir o m-e´simo s´ımbolo: pm
– Energia do m-esimo simbolo = εm
– Energia me´dia = εavg =
M∑
m=1
pm · εm
– Energia me´dia por bit = εbavg =
εavg
k
– Poteˆncia me´dia = P =
εavg
Ts
=
εbavg
Tb
• Na˜o ha´ a princ´ıpio nenhuma restric¸a˜o sobre a escolha de sm(t). Na pra´tica, os sinais diferem em amplitude,
fase, frequeˆncia, ou uma combinac¸a˜o dos mesmos.
3
7.2.1 Modulac¸a˜o de amplitude (PAM)
• O caso cont´ınuo foi analisado no cap´ıtulo anterior.
• No caso digital, em banda base, podemos limitar os s´ımbolo a:
sm(t) = Am · p(t) (15)
onde Am = ±1,±3, ...,±(M − 1) O pulso p(t) e´ um pulso de durac¸a˜o T com energia εp.
• Se todos os sinais forem equiprova´veis, a energia me´dia desta modulac¸a˜o e´F:
εavg =
1
M
M∑
m=1
A2m · εp =
(M2 − 1)εp
3
(16)
• O valor por bit e´:
εbavg =
(M2 − 1)εp
3 · log2[M ] (17)
• Todos os s´ımbolos desta modulac¸a˜o podem ser representados por uma base com um u´nico elemento
φ(t) = p(t)√εp , o que resulta nos sinais:
sm(t) = Am
√
εp · φ(t) (18)
• Logo, os pontos da constelac¸a˜o sa˜o:
sm = [Am
√
εp] (19)
isto e´, sa˜o pontos igualmente espac¸ados em cima de uma reta. A dimensa˜o desta constelac¸a˜o e´ 1.
• Uma poss´ıvel escolha para p(t) em banda base (em torno de f = 0) e´ escolher p(t) = Π
(
t
Ts
)
. Uma
poss´ıvel escolha em banda passante seria p(t) = Π
(
t
Ts
)
· cos(2pifct)
• Um paraˆmetro importante para o desempenho e´ a distaˆncia Euclidiana entre dois pontos m e n da
constelac¸a˜o, definida como:
dmn =
√
||sm − sn||2 (20)
o que, neste caso, vale dmn = |Am − An|√εp. A menor distaˆncia entre dois pontos e´ a distaˆncia mı´nima
dmin:
dmin = min
m,n;m 6=n
[dmn] (21)
que no caso PAM vale dPAMmin = 2
√
εp. Podemos escrever a distaˆncia mı´nima em func¸a˜o da energia me´dia
via:
dPAMmin = 2
√
εp
= 2
√
εavg3log2[M ]
M2−1
=
√
12log2[M ]
M2−1 εbavg
(22)
• Desta equac¸a˜o vemos que, quanto maior εbavg, maior dmin. Esta relac¸a˜o e´ comum para quase todas as
modulac¸o˜es utilizadas na pra´tica.
• A equac¸a˜o para sm(t) apresentada se encontra em banda base. E´ poss´ıvel obter o sinal equivalente em
banda passante realizando a conversa˜o:
sBPm (t) = <{sm(t) · exp(j2pifct)} (23)
• Poder´ıamos ter obtido uma base para gerar os sinais diretamenteem banda passante. A relac¸a˜o entre
bases em banda base e banda passante pode ser obtida usando a relac¸a˜o pBP (t) = p(t) · cos(2pifct), o que
resulta em:
φBP (t) =
√
2
εp
· p(t) (24)
4
7.2.2 Modulac¸a˜o em fase
• Assim como no caso anterior, o sinal em banda passante seria sm(t) = <{Am·p(t)·exp(j2pifct}. Entretanto,
os valores de Am sa˜o:
Am = exp
(
j2pi(m− 1)
M
)
(25)
• Para p(t) real, ter´ıamos o seguinte sinal em banda passante:
sm(t) = g(t) · cos
(
2pifct+
2pi(m− 1)
M
)
= g(t)
[
cos
(
(
2pi
M
(m− 1)
)
cos(2pifct)− sin
(
2pi
M
(m− 1)
)
sin(2pifct)
] (26)
• Definimos a varia´vel auxiliar θm =
(
2pi
M (m− 1)
)
.
• E´ fa´cil verificar que seria necessa´ria uma base com dois elementos para gerar todos os sinais desta mod-
ulac¸a˜o se M > 2. Uma boa escolha de base em banda passante e´:
φ1(t) =
√
2
εp
· p(t) · cos(2pifct)
φ2(t) = −
√
2
εp
· p(t) · sin(2pifct)
(27)
o que resulta no sinal
sm(t) =
√
εp
2
cos(θm)φ1(t) +
√
εp
2
sin(θm)φ2(t) (28)
• Logo, os s´ımbolos desta modulac¸a˜o sa˜o:
sm =
[√
εp
2
cos(θm)
√
εp
2
sin(θm)
]
(29)
que, no plano bidimensional, seriam pontos igualmente distribu´ıdos em cima do c´ırculo com raio
√
εp
2 .
• Podemos calcular os seguintes valores F:
– εavg = εm =
1
2
εp.
– εbavg =
εavg
log2[M ]
• A distaˆncia entre dois pontos pode ser calculada como:
dm,n =
√
εp
(
1− cos
(
2pi
M
(m− n)
))
(30)
• Logo, a distaˆncia mı´nima e´:
dmin =
√
εp
(
1− cos
(
2pi
M
))
(31)
que pode ser escrita em func¸a˜o de εbavg como:
dmin = 2
√
log2[M ] · sin2
( pi
M
)
εbavg (32)
• Aumentar o valor de M na˜o aumenta a poteˆncia me´dia, mas diminui dmin.
5
7.3 Modulac¸a˜o QAM - Quadrature Amplitude Modulation
• Para o caso PSK poder´ıamos representar o sinal como:
sm(t) = Am,r
√
εp
s
· φ1(t) +Am,i
√
εp
s
· φ2(t) (33)
• onde Am = Am,r + j ·Am,i. A modulac¸a˜o PSK restringe os valores de Am ao c´ırculo complexo unita´rio.
• Eliminando esta restric¸a˜o, poder´ıamos redefinir os valores que Am pode assumir ao permitir que tanto
Am,r quanto Am,i assumam os valores de ±1,±3, · · · ,±
√
M − 1, para M poteˆncia par de 2. Nesta caso,
a constelac¸a˜o seria um conjunto de pontos em cima de uma ”‘grade”’ regular, dentro de um quadrado.
• Esta modulac¸a˜o se chama QAM pois tanto a amplitude como a fase dos sinais e´ alterada.
• Esta modulac¸a˜o e´ semelhante ao uso de duas modulac¸o˜es PAM em paralelo: uma com base φ1(t) =√
2
εp
· p(t) · cos(2pifct) e outra com
√
2
εp
· p(t) · sin(2pifct).
• Na˜o e´ necessa´rio que o padra˜o se limite a um quadrado: poder´ıamos ter M = M1 ·M2, com Am,r =
±1,±3, · · · ,±M1 − 1 e Am,i = ±1,±3, · · · ,±M2 − 1. Poder´ıamos restringir tambe´m os pontos a todos
aqueles dentro de um c´ırculo complexo com raio
√
εmax, que e´ uma restric¸a˜o na poteˆncia ma´xima de um
sinal qualquer F.
• Caracter´ısticas:
– S´ımbolos: sm =
[
Am,r
√
εp
s Am,i
√
εp
s
]
– Energia de cada s´ımbolos: εm = ||sm||2 = εp2 (A2m,r +A2m,i
– Energia me´dia para sinais equiprova´veis e M1 = M2 =
√
M : εavg =
M−1
3 εpF.
– Energia me´dia por bit nas mesmas condic¸o˜es: εbavg =
M−1
3·log2[M ]εp.
– Distaˆncia entre dois s´ımbolos:
dmn =
√
||sm − sn||2 =
√
εp
2
[(Am,r −An,r)2 + (Am,i −An,i)2] (34)
– Distaˆncia mı´nima:
dmin =
√
εp
2
[(2)2 + (0)2] =
√
2εp =
√
6log2[M ]
M − 1 · εbavg (35)
7.4 Sinalizac¸a˜o Multidimensional
• As modulac¸o˜es anteriores tem dimensa˜o 2. O aumento de M , mantendo εavg, reduz a distaˆncia mı´nima
da constelac¸a˜o.
• Comparando o 8−PAM(unidimensional) com o 8−PSK(bidimensional), observamos a seguinte relac¸a˜o
entre distaˆncias mı´nimas:
d8−PAMmin =
√
36
63
εbavg <
√
1.14εbavg ≈ d8−PSKmin (36)
• Assim, parece ser mais eficiente distribuir pontos em espac¸os com dimensa˜o maior. No limite, poder´ıamos
ter uma constelac¸a˜o com dimensa˜o igual ao nu´mero de s´ımbolos.
• Como consequeˆncia, todos os sinais seriam ortogonais entre si. Uma forma de obter esta ortogonalidade
e´ usar frequeˆncias diferentes, que e´ o que acontece na modulac¸a˜o FSK (Frequency Shift Keying).
6
• Nesta modulac¸a˜o, o sinal em banda base e´:
sml(t) =
√
2ε
T
· exp(j2pim∆ft) 0 ≤ t ≤ T ; m = 1, 2, ..,M. (37)
onde ε e´ a energia desejada do sinal e T e´ a durac¸a˜o deste sinal. O valor de ∆f sera´ definido em breve.
• O sinal em banda passante vale:
sm(t) = <{sml(t) · exp(j2pifct)}
=
√
2ε
T
cos(2pi[fc +m∆f ]t)
(38)
• O requisito de ortogonalidade exige que:
<
{∫ T
0
sml(t) · snl(t)
}
=
{
0 m 6= n
ε m = n
(39)
• O desenvolvimento matema´tico resulta na seguinte necessidade:
2εsinc(2T (m− n)∆f) = 0 para m 6= n (40)
o que so´ pode ser verdadeiro se 2T (m− n)∆f e´ um nu´mero inteiro. Logo:
∆f =
k
2T
(41)
para qualquer k inteiro diferente de zero. A menor separac¸a˜o de frequeˆncias ocorre quando k = 1,
resultando em ∆f = (2T )−1.
• A base desta constelac¸a˜o e´, em banda passante:
φm(t) =
√
2
T
cos(2pi[fc +m∆f ]t) 0 ≤ t ≤ T ; m = 1, 2, ..,M. (42)
• Os s´ımbolos podem ser escritos na forma:
sm = [0 · · · 0
√
ε 0 · · · 0] (43)
com o termo diferente de zero na m-e´sima posic¸a˜o do vetor.
• Todos os sinais tem a mesma energia ε. Logo, εavg = ε e εbavg = εlog2[M ]
• A distaˆncia entre qualquer par de sinais e´ a distaˆncia mı´nima, que valeF 3:
dmn = dmin =
√
2ε =
√
2εavg =
√
2εbavg · log2[M ] (44)
• Aqui, diferentemente dos outros casos, o aumento de M aumenta a distaˆncia mı´nima, mantendo o valor
de εbavg. Isto acontece pois, ao aumentar M , aumentamos o nu´mero de bits que cada s´ımbolo carrega,
aumentando assim a energia de cada s´ımbolo e consequentemente a distaˆncia.
• Este aumento em dmin em func¸a˜o de M na˜o e´ gratuita: precisamos de M subcanais com largura ∆f para
transmitir estes sinais.
3Vide os s´ımbolos sm para determinar esta distaˆncia mı´nima
7
7.5 Rotulac¸a˜o bina´ria dos s´ımbolos
• Ate´ agora tratamos da transmissa˜o de um d´ıgito m, sem nos preocupar qual seria a relac¸a˜o entre os bits
transmitidos e os s´ımbolos correspondentes.
• Ha´ duas formas principais de rotulac¸a˜o de s´ımbolos: natural e rotulac¸a˜o de Gray.
• Na rotulac¸a˜o natural, uma poss´ıvel relac¸a˜o entre bits e s´ımbolo e´:
m = 1 +
k−1∑
j=0
bj · 2j (45)
• Variac¸o˜es sa˜o poss´ıveis: o valor de m pode variar de 0 a M − 1, o primeiro bit fornecido pode ser o mais
ou o menos significativo, etc..
• A grande vantagem deste rotulamento e´ a facilidade de escolha de sinal a ser transmitido a partir da
sequeˆncia de bits de entrada. A desvantagem e´ que, caso ocorra um erro de transmissa˜o, a troca de um
s´ımbolo pelo seu vizinho pode causar muitos erros de bit. Isto aconteceria por exemplo ao trocar um
s´ımbolo rotulado por 011 pelo seu vizinho com ro´tulo 100, causando treˆs erros de bit.
• Uma alternativa comum e´ utilizar o rotulamento Gray. No rotulamento Gray, o ro´tulo e´ constru´ıdo
iterativamente de forma a garantir que s´ımbolos vizinhos possuam apenas um bit de diferenc¸a entre os
ro´tulos. Assim, trocar um s´ımbolo pelo seu vizinho (que e´ o erro mais prova´vel) causaria o erro de apenas
um bit.
• Para a modulac¸a˜o 8-PAM, um ro´tulo pode ser constru´ıdo nos seguintes passos:
1. Inicia-se com dois valores: 0 · 1
2. Reflete-se4 a sequeˆncia de ro´tulos anteriores e adicionamos ao final do ro´tulo o bit 0 aos termos da
esquerda e o bit 1 aos termos da direita do ”‘espelho”’, resultando na sequeˆncia de ro´tulos:
0 · 1 o 1 · 0
00 · 10 o 11 · 01 (46)
3. Repetindo o processo novamente chegamos a:
00 · 10 · 11 · 01
00 · 10 · 11 · 01 o 01 · 11 · 10 · 00
000 · 100 · 110 · 010 o 011 · 111 ·101 · 001
(47)
• Este mesmo ro´tulo poderia ser usado para rotular os s´ımbolos da constelac¸a˜o 8-PSK no sentido hora´rio,
por exemplo.
• Para a modulac¸a˜o QAM, poder´ıamos usar dois ro´tulos de Gray em paralelo. Para o caso de 64-QAM,
ter´ıamos, por exemplo, a seguinte relac¸a˜o:
000000 100000 110000 010000 011000 111000 101000 001000
000100 100100 110100 010100 011100 111100 101100 001100
000110 100110 110110 010110 011110 111110 101110 001110
000010 100010 110010 010010 011010 111010 101010 001010
000011 100011 110011 010011 011011 111011 101011 001011
000111 100111 110111 010111 011111 111111 101111 001111
000101 100101 110101 010101 011101 111101 101101 001101
000001 100001 110001 010001 011001 111001 101001 001001
(48)
• O ro´tulo de qualquer par de vizinhos difere somente por um bit.
• No caso da modulac¸a˜o FSK, a distaˆncia dmn e´ a mesma para todos os s´ımbolos. Qualquer rotulac¸a˜o pode
ser utilizada, pois na˜o ha´ nenhum vizinho que seja mais pro´ximo.
4Na˜o se reflete a ordem dos bits dentro de cado ro´tulo, somente a ordem dos ro´tulos
8
7.6 Modelo de canal AWGN
• O sinal recebido e´ diferente do sinal transmitido.
• Um modelo de canal muito simples e´ o canal AWGN - Additive White Gaussian Noise. Neste modelo, o
sinal recebido r(t) vale:
r(t) = sm(t) + n(t) (49)
onde n(t) e´ um processo aleato´rio Gaussiano com densidade espectral de poteˆncia constante valendo N02 .
E´ suficiente para o entendimento do que segue saber a relac¸a˜o entre densidade espectral de poteˆncia e a
autocorrelac¸a˜o do processo aleato´rio, o que foi visto no cap´ıtulo 3.
• O objetivo do receptor e´ estimar da melhor forma poss´ıvel o valor de m ( e consequentemente dos bits
associados) atrave´s da observac¸a˜o de r(t).
• Uma forma de se realizar a estimativa e´ representar r no espac¸o de sinais. O problema e´ que a base do
espac¸o, embora seja capaz de representar exatamente todos os sinais sm(t), na˜o e´ capaz de representar
exatamente todas as possibilidades de n(t).
• O ru´ıdo poderia ser decomposto em n(t) = n1(t) + n2(t), onde:
n1(t) =
∑N
j=1 njφj(t)
nj =< n(t), φj(t) >
(50)
isto e´, a parte do ru´ıdo que pode ser representada pela base. O resto e´ n2(t) = n(t) − n1(t). Com esta
representac¸a˜o, podemos escrever o sinal recebido como:
r(t) =
 N∑
j=1
(sj + nj)φj(t)
+ n2(t)
=
 N∑
j=1
(rj)φj(t)
+ n2(t)
(51)
onde rj = sj + nj .
• E´ poss´ıvel mostrar que:
– As varia´veis nj sa˜o Gaussianas com me´dia zero e variaˆncia
N0
2 , isto e´, a sua pdf e´:
p(nj) =
1√
piN0
· exp
(
− n
2
j
N0
)
(52)
– nj e ni sa˜o descorrelacionadas, se j 6= i, que implica em independeˆncia estat´ıstica;
– o resto n2(t) na˜o traz nenhuma informac¸a˜o sobre nenhum nj , podendo assim ser ignorado.
• Logo, o canal r(t) = sm(t) + n(t) cont´ınuo no tempo equivale ao canal vetorial r = sm + n, onde:
r = [r1 r2 · · · rN ]
sm = [sm1 sm2 · · · smN ]
n = [n1 n2 · · · nN ]
(53)
9
7.7 Receptor o´timo
• O objetivo do receptor e´ estimar da melhor forma poss´ıvel o valor de m.
• A estimativa feita pelo detector e´ m̂. Ocorre um erro de transmissa˜o se m̂ 6= m, o que acontece com
probabilidade Pe = P [m̂ 6= m]. Logo, o melhor receptor e´ aquele que minimiza Pe, ou equivalentemente,
que maximiza a probabilidade de acerto.
• A decisa˜o do receptor pode ser vista como a aplicac¸a˜o de uma func¸a˜o sobre o vetor recebido, isto e´,
m̂ = g(r). Desta forma, podemos dividir o espac¸o em regio˜es de decisa˜o definidos como:
Dm̂ = {r ∈ <N |g(r) = m̂} (54)
ou, literalmente, a regia˜o de decisa˜o pela estimativa m̂ e´ o conjunto de valores de r tal que a decisa˜o do
receptor g(r) e´ m̂.
• A decisa˜o correta ocorre enta˜o se, dado m, o vetor r esta´ dentro da regia˜o Dm. Na me´dia, a probabilidade
de acerto pode ser calculada como:
P [acerto] =
M∑
m=1
P [acerto|m] · P [m]
=
M∑
m=1
P [r ∈ Dm|m] · P [m]
=
M∑
m=1
(∫
Dm
p(r|m)dr
)
· P [m]
=
M∑
m=1
(∫
Dm
p(r|m) · P [m]dr
)
(55)
• Como um valor qualquer de r so´ pode estar dentro de uma regia˜o de decisa˜o, ele deve estar naquela que
maximiza a expressa˜o acima. Isto e´, r deve pertencer a Dm̂ se:
p(r|m̂) · P [m̂] > p(r|m̂′) · P [m̂′], ∀m̂′ = 1, 2, ...,M ; m̂′ 6= m̂ (56)
• Esta expressa˜o permite definir as regio˜es de decisa˜o o´timas como:
Dm̂ = {r ∈ <N |p(r|m̂) · P [m̂] > p(r|m̂′) · P [m̂′];∀m̂′ 6= m̂} (57)
• Esta expressa˜o facilita a tarefa do receptor pois ele pode substituir a tarefa de encontrar em qual regia˜o de
decisa˜o o vetor r se encontra pela tarefa de encontrar o valor de m que maximiza p(r|m̂) · P [m̂]. Usando
o teorema de Bayes temos:
p(r|m̂) · P [m̂]
p(r)
= P [m̂|r] (58)
• Como o valor de r e´ constante para todo m̂, o valor de m̂ que maximiza p(r|m̂) ·P [m̂] tambe´m maximizara´
P [m̂|r]. Logo, a estimativa o´tima e´:
m̂ = argmax
m
[P [m|r]] (59)
• Este crite´rio e´ chamado de ma´xima a posteriori (MAP) pois a decisa˜o e´ tomada a partir de um ma´ximo
apo´s a observac¸a˜o do sinal r e com o conhecimento das probabilidades a priori Pm.
• Quando todos os sinais sa˜o equiprova´veis, Pm = 1M . O crite´rio de decisa˜o pode ser simplificado para:
m̂ = argmax
m
[p(r|sm)] (60)
10
• Este crite´rio e´ chamado de Maxima Verossimilhanc¸a (ML - Maximum Likelihood) pois ele procura o valor
de sm mais parecido com r.
• O crite´rio ML so´ e´ o´timo (e equivalente ao MAP) quando os sinais a˜o equiprova´veis.
• E´ tambe´m um bom chute quando na˜o sabemos a estat´ıstica dos sinais.
• Ale´m disso, e´ de fa´cil implementac¸a˜o.
7.8 Receptor ML para o canal Gaussiano
• Na maioria das vezes, os receptores utilizam o crite´rio ML
• No caso Gaussiano, isto equivale a encontrar o valor de m que maximiza f(m) = p(r|sm), que vale:
p(r|sm) = p(n = r− sm)
=
N∏
j=1
p(nj = rj − sm,j)
= (piN0)
−N2 · exp
(
−
∑N
j=1(rj − sm,j)2
N0
)
= (piN0)
−N2 · exp
(
−||r− sm||
2
N0
)
(61)
• O valor dem que maximiza f(m) tambe´m maximizara´ log[f(m)], pois o logaritmo e´ uma func¸a˜o monotoˆnica
crescente. Ale´m disso, se m maximiza f(m), ele minimizara´ log[f(m)]. Utilizando o logaritmo natural,
poder´ıamos encontrar o valor de m que minimiza:
−log[p(r|sm)] = N
2
log[piN0] +
||r− sm||2
N0
(62)
• O primeiro termo e´ constante para todo valor de m. O valor de N0 tambe´m e´. A conclusa˜o e´ que o valor
de m que maximiza p(r|sm) sera´ aquele que resulta no s´ımbolo sm mais pro´ximo do sinal recebido r.
• As regio˜es de decisa˜o podem ser facilmente definidas como sendo:
Dm̂ = {r ∈ <N | ||r− sm|| < ||r− sm′ ||,∀m′ 6= m} (63)
• No caso de uma modulac¸a˜o 8-PSK, por exemplo, as regio˜es de decisa˜o seriam semelhantes a fatias de
pizza.
7.8.1 Evento de erro
• Como as regio˜es de decisa˜o sa˜o definidas pela proximidade com os sinais, um evento de erro ocorre se o
sinal recebido r estiver mais pro´ximo de sm′ do que de sm, quando sm foi transmitido.
• Vamos analisar a probabilidade do evento de erro para o caso mais simples: 2-PAM, com s´ımbolos s1 = [
√
ε]
e s2 = [−
√
ε].
• Supondo que s2 foi transmitido, ocorre um erro se r estiver mais pro´ximo de s1 do que de s2, ou seja, se
r > 0.
• Isto ocorrera´ se n = [n] for maior do que √ε. Este valor pode ser calculado pela seguinte integral:
P (n >
√
ε) =
∫ ∞
√
ε
p(n)dn = Q
(√
2ε
N0
)
(64)
11
onde Q(x) e´ por definic¸a˜o:
Q(x) =
1
2pi
∫ ∞
x
exp
(
−u
2
2
)
du (65)
• Devido a independeˆncia estat´ıstica dos componentes nj , podemos mostrar que a probabilidade de um
vetor recebido estar mais pro´ximo de um s´ımbolo errado do que do correto depende somente da distaˆncia
Euclidiana entre os s´ımbolos e da variaˆncia do ru´ıdo. Assim, para qualquer par de s´ımbolos si e sj com
distaˆncia entre eles dada por:
di,j =
√
||si − sj ||2(66)
a probabilidade do sinal recebido estar mais pro´ximo de sj , dado que si foi transmitido, e´:
P [(||r− sj || < ||r− si||)|si] = Q
√ d2i,j
2N0
 (67)
• A distaˆncia entre s´ımbolos depende da energia dos sinais. A variaˆncia do ru´ıdo depende da poteˆncia do
ru´ıdo. Assim, a probabilidade de erro e´ uma func¸a˜o da relac¸a˜o sinal ru´ıdo, seja ela por bit ou por sinal.
A relac¸a˜o sinal ru´ıdo por bit vale:
SNRb =
εbavg
N0
(68)
enquanto que a relac¸a˜o sinal ru´ıdo por s´ımbolo vale:
SNRs =
εavg
N0
(69)
• Na sec¸a˜o a seguir obtemos a probabilidade de erro para algumas modulac¸o˜es digitais.
7.8.2 Probabilidade de erro de bit para algumas modulac¸o˜es
• Devido a simetria da distribuic¸a˜o Gaussiana, P (n < −x) = P (n > x) quando n e´ uma varia´vel aleato´ria
Gaussiana.
• Para a modulac¸a˜o PAM, a distaˆncia entre um s´ımbolo e seu(s) vizinho(s) vale a distaˆncia mı´nima dmin =√
12log2[M ]
M2−1 εbavg.
• Erraremos o s´ımbolo mais a esquerda da constelac¸a˜o se n > dmin2 , o que acontece com probabilidade
Q
(√
d2min
2N0
)
.
• Erraremos o s´ımbolo mais a direita da constelac¸a˜o se n < −dmin2 , o que tambe´m acontece com probabili-
dade Q
(√
d2min
2N0
)
.
• Erraremos qualquer um dos s´ımbolos intermedia´rios (entre o s´ımbolo mais a esquerda e o mais a direita) se
n > dmin2 ou se n < −dmin2 , que sa˜o eventos disjuntos (os dois na˜o podem ocorrer ao mesmo tempo. Cada
um deles ocorre com probabilidade Q
(√
d2min
2N0
)
. Logo, a probabilidade de errar um s´ımbolo intermedia´rio
vale 2 ·Q
(√
d2min
2N0
)
.
12
• Ha´ M−2 s´ımbolos intermedia´rios. Ponderando a probabilidade de erro pela probabilidade de transmissa˜o
de s´ımbolo, temos a probabilidade de erro me´dia de s´ımbolo, que vale:
PM−PAMe =
1
M
1 ·Q
√d2min
2N0
+ 1 ·Q
√d2min
2N0
+ (M − 2) · 2 ·Q
√d2min
2N0

=
2(M − 1)
M
Q
√d2min
2N0
 (70)
• Substituindo o valor de dmin chegamos a :
PM−PAMe = Q
√6log2[M ]
M2 − 1 ·
εbavg
N0
 (71)
• Na expressa˜o anterior podemos destacar dois termos:
– 6log2[M ]M2−1 , que vai para zero quando M aumenta.
–
εbavg
N0
, a relac¸a˜o sinal ru´ıdo por bit, que deve aumentar caso M aumente para manter o mesmo valor
de Pe.
• A probabilidade de erro da modulac¸a˜o M − QAM quadrada pode ser analisada ao consideramos que
ocorrem duas modulac¸o˜es
√
M − PAM em paralelo: uma em fase e outra em quadratura. Ocorrera´
um acerto na transmissa˜o de um s´ımbolo da modulac¸a˜o M − QAM se houver um acerto em ambas as
modulac¸o˜es
√
M −PAM . Ocorrera´ um erro de transmissa˜o na modulac¸a˜o M −QAM se houver um erro
em qualquer uma das duas modulac¸o˜es
√
M −PAM . Assim, temos a seguinte probabilidade de erro para
a modulac¸a˜o M −QAM quadrada:
PM−QAMe = 1− (1− P
√
MPAM
e )
= 4
(
1− 1√
M
)
Q
√3log2[M ]
M − 1
εbavg
N0
×
1− 1(1− 1√
M
)
Q
√3log2[M ]
M − 1
εbavg
N0

≤ 4 ·Q
√3log2[M ]
M − 1
εbavg
N0

(72)
• A ana´lise da probabilidade de erro da modulac¸a˜o M-PSK e´ um pouco mais trabalhosa. Apresentamos o
resultado aproximado da probabilidade de erro de s´ımbolo:
PM−PSKe ≈ 2Q
(√
(2log2[M ])sin2
( pi
M
) εbavg
N0
)
(73)
• Podemos obter uma aproximac¸a˜o para a probabilidade de bit se assumirmos que:
– O evento de erro mais prova´vel e´ aquele em que a troca ocorre pelo vizinho
– O rotulamento de Gray esta´ sendo utilizado, isto e´, um erro de s´ımbolo pelo vizinho causa o erro de
somente um bit.
• Neste caso a probabilidade de erro de bit pode ser aproximada como:
Pb =
1
log2[M ]
Pe =
1
K
Pe (74)
13
7.9 Comparac¸a˜o entre modulac¸o˜es
• E´ poss´ıvel comparar o desempenho de modulac¸o˜es diferentes, mas a comparac¸a˜o so´ faz sentido se paraˆmetros
como
εbavg
N0
, taxa e banda de transmissa˜o forem levados em conta.
• Uma grandeza u´til para comparac¸a˜o e´ a eficieˆncia espectral, definida como:
η =
Taxa de transmissa˜o
Banda de transmissa˜o
[bits/s/Hz] (75)
• A eficieˆncia depende do nu´mero de dimenso˜es no espac¸o de sinais. Faremos a conta considerando a durac¸a˜o
de um s´ımbolo.
• O teorema da amostragem diz que, para um sinal com banda W, precisamos de 2W amostras por segundo
para representa-lo bem. Se o sinal tem durac¸a˜o T , precisar´ıamos de N = 2WT amostras para representa-
lo perfeitamente. O valor de N pode ser interpretado como o nu´mero de dimenso˜es aproximado (graus
de liberdade) do sinal.
• Considerando a taxa de s´ımbolos de Rs = 1Ts , temos que:
W =
N
2Ts
=
RsN
2
=
Rb ·N
2log2[M ]
(76)
• Assim, podemos obter a eficieˆncia espectral como:
η =
Rb
W
=
2log2[M ]
N
(77)
• Para as modulac¸o˜es PAM, QAM e PSK, a dimensa˜o do espac¸o de sinais e´ constante (vale 1 ou 2). O
aumento de η so´ pode ser obtido com o aumento de M .
• Para a modulac¸a˜o FSK, o nu´mero de dimenso˜es e´ igual a M . Assim, a eficieˆncia espectral sempre diminui
quando M aumenta.
• Por outro lado, o aumento de M piora o desempenho das modulac¸o˜es PAM, QAM e PSK. E´ necessa´rio
aumentar o valor de
εbavg
N0
para mantermos o mesmo desempenho.
• No caso FSK, aumentar M melhora o desempenho.
• Assim, ha´ contrapartida entre desempenho e eficieˆncia espectral em todos os casos.
• Os resultados podem ser condensados na figura 1
• A curva mostra o valor de εbavgN0 necessa´rio para que Pb = 10−5 para va´rias modulac¸o˜es, e a sua eficieˆncia
espectral.
• O limite de Shannon nunca pode ser passado. Ele vem do fato que εbavgN0 > 2
η−1
η , no limite quando η → 0.
• O gra´fico pode ser dividido em duas grandes partes:
– A regia˜o limitada em banda, onde e´ necessa´rio alta eficieˆncia espectral
– A regia˜o limitada em poteˆncia: na˜o e´ necessa´rio conservar banda, mas precisar´ıamos de mais energia
para melhorar o desempenho do sistema.
14
7.10 Refereˆncias e exerc´ıcios
A refereˆncia desta parte da mate´ria e´ o segundo livro da bibliografia: Haykin, S., Sistemas de comunicac¸a˜o:
analo´gicos e digitais, 4a. edic¸a˜o, Editora Bookman, 2004. (nu´mero da biblioteca e´ 621.39 H419c, em ingleˆs).
A parte correspondente a mate´ria da P4 corresponde aos cap´ıtulos:
• 5, ate´ a sec¸a˜o 5.4, inclusive;
• 6, ate´ a sec¸a˜o, 6.5, partes vistas em sala.
A parte correspondente ao exame inclui o restante do cap´ıtulo 5 e as partes do cap´ıtulo 6 correspondentes
a probabilidade de erro de s´ımbolo/bit.
A refereˆncia acima e´ muito mais extensa do que as notas de aula e possui muito mais conteu´do do que o
apresentado. Use estas notas de aula como base do que deve ser estudado ou na˜o.
Os exerc´ıcios para a segunda prova sa˜o, do livro acima:
5.3 5.6 5.8 6.4(a) 6.5 6.15
Os exerc´ıcios para o exame sera˜o fornecidos em breve.
15
Figure 1: Comparac¸a˜o de eficieˆncia espectral e desempenho de diversas modulac¸o˜es16