Introdução a comunicações digitais Princípios de Telecomunicações Instituto Tecnológico de Aeronáutica

ELE-31 Princ´ıpios de Telecomunicac¸o˜es
Prof. Manish Sharma
November 25, 2015
7 Introduc¸a˜o a comunicac¸o˜es digitais
Vimos no cap´ıtulo anterior que e´ poss´ıvel representar sinais cont´ınuos no tempo por um conjunto de amostras,
desde que a taxa de amostragem fs seja maior do que a banda a mensagem. A quantizac¸a˜o em amplitude
permitiria representar cada amostra com um nu´mero finito de bits, k introduzindo algum erro que depende do
nu´mero de n´ıveis de quantizac¸a˜o. Assim, aceitando algum erro, e´ poss´ıvel representar sinais cont´ınuos com uma
certa taxa de bits Rb = k · fs.
A melhor forma de transmitir bits e´ utilizando transmissa˜o digital. Isto pode ser afirmado pois a recepc¸a˜o
de sinais digitais e´ matematicamente a melhor poss´ıvel no sentido de reduzir ao ma´ximo erros de transmissa˜o.
Ale´m disso, te´cnicas de controle de erro permitem que os sistemas operem com taxas de erro ta˜o baixas quanto
necessa´rias1.
Neste cap´ıtulo veremos como a transmissa˜o e recepc¸a˜o de sinais digitais pode ser feita. Para isso e´ necessa´rio
utilizar algumas simplificac¸o˜es como a representac¸a˜o geome´trica de sinais. Algumas modulac¸o˜es digitais sa˜o
apresentadas.
7.1 Representac¸a˜o geome´trica de sinais
• Um espac¸o vetorial n dimensional pode ser gerado a partir de uma base {ui}, com i = 1, 2, ..., n. Qualquer
vetor deste espac¸o pode ser escrito como:
v =
n∑
1
ui · vi (1)
onde:vi e´ o produto interno entre v e ui. Podemos definir para este espac¸o vetorial relac¸o˜es como norma,
independeˆncia linear, a desigualdade triangular, entre outras.
• Uma base ortonormal2 com N elementos para um conjunto de m vetores vi pode ser obtido atrave´s do
processo de Gran-Schmidt:
1. Escolhemos arbitrariamente um vetor v1.
2. Definimos o primeiro elemento da base como:
u1 =
v1
||v1|| , (2)
onde ||v1|| e´ a norma do vetor v1.
3. O segundo elemento da base e´ obtido removendo a contribuic¸a˜o do primeiro elemento da base no
segundo vetor do conjunto, seguido de normalizac¸a˜o:
u′2 = v2 − (< v2,u1 >) · u1
u2 =
u′2
||u′2||
(3)
1Ha´ sistemas onde as taxas de erro sa˜o ta˜o baixas que sa˜o imensura´veis
2Onde todos os vetores sa˜o ortogonais entre si e tem mo´dulo unita´rio.
1
4. O j-e´simo elemento da base pode ser obtido de forma semelhante:
u′j = vj −
∑j−1
k=1(< vj ,uk >) · uk
uj =
u′j
||u′j ||
(4)
5. O processo continua ate´ N ≤ min(n,m).
• Este processo resulta em uma base capaz de gerar todos os vetores do conjunto fornecido.
• Todas as relac¸o˜es aplicadas acima para vetores pode ser aplicada para sinais cont´ınuos no tempo atrave´s
da definic¸a˜o do produto interno entre dois sinais:
< x1(t), x2(t) >=
∫ ∞
−∞
x1(t) · x∗2(t)dt (5)
e da definic¸a˜o da norma:
||x(t)|| =
(∫ ∞
−∞
|x(t)|2dt
)
=
√
εx (6)
onde εx e´ a energia do sinal x(t).
• Com estas definic¸o˜es temos a desigualdade triangular:
||x1(t) + x2(t)|| ≤ ||x1(t)||+ ||x2(t)|| (7)
e a desigualdade de Cauchy Schwarz:
| < x(t), y(t) > | ≤ ||x(t)|| · ||y(t)|| = √εx · εy (8)
• Podemos obter uma base para qualquer conjunto finito de sinais si(t), i = 1, 2, ...,M atrave´s do mesmo
processo anterior:
1. O primeiro elemento e´:
φ1(t) =
s1(t)√
ε1
(9)
onde ε1 e´ a energia de s1(t).
2. Para obtenc¸a˜o do segundo elemento, retiramos a contribuic¸a˜o do primeiro elemento em s2(t), obtendo
assim um vetor ortogonal a φ1(t). Apo´s, normalizamos (tornamos igual a 1) a energia do sinal obtidos.
Matematicamente:
c21 =< s2(t), φ1(t) >=
∫ ∞
−∞
s2(t) · phi∗1(t)dt
γ2(t) = s2(t)− c21 · φ1(t)
ε2 =
∫ ∞
−∞
|γ2(t)|2dt
φ2(t) =
γ2(t)√
ε2
(10)
onde c21 e´ a projec¸a˜o do segundo sinal no primeiro elemento da base φ1(t), γ2(t) e´ o vetor ortogonal
a φ1(t) e ε2 e´ a sua energia. O resultado e´ o segundo elemento da base, φ2(t).
3. O j-e´simo elemento pode ser obtido como:
φj(t) =
γj(t)√
εj
(11)
2
onde:
cji =< sj(t), φ(t) >=
∫ ∞
−∞
sj(t) · φ∗i (t)dt
γj(t) = sj(t)−
j−1∑
i=1
cji · φi(t)
εj =
∫ ∞
−∞
|γj(t)|2dt
(12)
• Para M sinais, precisaremos de uma base com N ≤ M elementos, com igualdade se todos os M sinais
si(t) fornecidos forem linearmente independentes.
• Assim, um sinal si(t) pode ser representado pelo vetor si:
si = [ci1 ci2 · · · ciN ] (13)
• Chamamos o vetor si de s´ımbolo.
• Um conjunto de sinais pode enta˜o ser representado como um conjunto de pontos no espac¸o M -dimensional,
chamado de espac¸o de sinais. O conjunto de pontos e´ chamado de constelac¸a˜o.
• A base obtida na˜o e´ a u´nica poss´ıvel: a ordem de escolha dos sinais determina a base. Entretanto, a base
sempre tera´ N elementos. Ale´m disso, a constelac¸a˜o tera´ sempre o mesmo formato, isto e´, a distaˆncia da
origem de cada um dos pontos e o produto interno entre dois pontos(vetores) quaisquer sera˜o sempre os
mesmos.
• A energia de um sinal pode ser calculada no espac¸o de sinais via:
||si(t)|2 = εi =
N∑
n=1
|sin|2 = ||si||2 (14)
7.2 Modulac¸o˜es Digitais
• Um modulador digital pode ser visto como uma func¸a˜o que tem como entrada uma sequeˆncia de bits e
tem como sa´ıda uma sequeˆncia de s´ımbolos.
• Caso haja M = 2k s´ımbolos poss´ıveis, o modulador agrupa os bits de entrada em blocos com k bits.
• Algumas definic¸o˜es ba´sicas:
– Durac¸a˜o de s´ımbolos = Ts =
Durac¸a˜o da transmissa˜o
Nu´mero de s´ımbolos transmitidos
– Taxa de s´ımbolos = Rs =
1
Ts
– Durac¸a˜o de um bit = Tb =
Ts
k
=
Ts
log2M
– Taxa de bits = Rb = Rs · k
– Probabilidade de transmitir o m-e´simo s´ımbolo: pm
– Energia do m-esimo simbolo = εm
– Energia me´dia = εavg =
M∑
m=1
pm · εm
– Energia me´dia por bit = εbavg =
εavg
k
– Poteˆncia me´dia = P =
εavg
Ts
=
εbavg
Tb
• Na˜o ha´ a princ´ıpio nenhuma restric¸a˜o sobre a escolha de sm(t). Na pra´tica, os sinais diferem em amplitude,
fase, frequeˆncia, ou uma combinac¸a˜o dos mesmos.
3
7.2.1 Modulac¸a˜o de amplitude (PAM)
• O caso cont´ınuo foi analisado no cap´ıtulo anterior.
• No caso digital, em banda base, podemos limitar os s´ımbolo a:
sm(t) = Am · p(t) (15)
onde Am = ±1,±3, ...,±(M − 1) O pulso p(t) e´ um pulso de durac¸a˜o T com energia εp.
• Se todos os sinais forem equiprova´veis, a energia me´dia desta modulac¸a˜o e´F:
εavg =
1
M
M∑
m=1
A2m · εp =
(M2 − 1)εp
3
(16)
• O valor por bit e´:
εbavg =
(M2 − 1)εp
3 · log2[M ] (17)
• Todos os s´ımbolos desta modulac¸a˜o podem ser representados por uma base com um u´nico elemento
φ(t) = p(t)√εp , o que resulta nos sinais:
sm(t) = Am
√
εp · φ(t) (18)
• Logo, os pontos da constelac¸a˜o sa˜o:
sm = [Am
√
εp] (19)
isto e´, sa˜o pontos igualmente espac¸ados em cima de uma reta. A dimensa˜o desta constelac¸a˜o e´ 1.
• Uma poss´ıvel escolha para p(t) em banda base (em torno de f = 0) e´ escolher p(t) = Π
(
t
Ts
)
. Uma
poss´ıvel escolha em banda passante seria p(t) = Π
(
t
Ts
)
· cos(2pifct)
• Um paraˆmetro importante para o desempenho e´ a distaˆncia Euclidiana entre dois pontos m e n da
constelac¸a˜o, definida como:
dmn =
√
||sm − sn||2 (20)
o que, neste caso, vale dmn = |Am − An|√εp. A menor distaˆncia entre dois pontos e´ a distaˆncia mı´nima
dmin:
dmin = min
m,n;m 6=n
[dmn] (21)
que no caso PAM vale dPAMmin = 2
√
εp. Podemos escrever a distaˆncia mı´nima em func¸a˜o da energia me´dia
via:
dPAMmin = 2
√
εp
= 2
√
εavg3log2[M ]
M2−1
=
√
12log2[M ]
M2−1 εbavg
(22)
• Desta equac¸a˜o vemos que, quanto maior εbavg, maior dmin. Esta relac¸a˜o e´ comum para quase todas as
modulac¸o˜es utilizadas na pra´tica.
• A equac¸a˜o para sm(t) apresentada se encontra em banda base. E´ poss´ıvel obter o sinal equivalente em
banda passante realizando a conversa˜o:
sBPm (t) = <{sm(t) · exp(j2pifct)} (23)
• Poder´ıamos ter obtido uma base para gerar os sinais diretamente