Introdução a comunicações digitais Princípios de Telecomunicações Instituto Tecnológico de Aeronáutica

em banda passante. A relac¸a˜o entre
bases em banda base e banda passante pode ser obtida usando a relac¸a˜o pBP (t) = p(t) · cos(2pifct), o que
resulta em:
φBP (t) =
√
2
εp
· p(t) (24)
4
7.2.2 Modulac¸a˜o em fase
• Assim como no caso anterior, o sinal em banda passante seria sm(t) = <{Am·p(t)·exp(j2pifct}. Entretanto,
os valores de Am sa˜o:
Am = exp
(
j2pi(m− 1)
M
)
(25)
• Para p(t) real, ter´ıamos o seguinte sinal em banda passante:
sm(t) = g(t) · cos
(
2pifct+
2pi(m− 1)
M
)
= g(t)
[
cos
(
(
2pi
M
(m− 1)
)
cos(2pifct)− sin
(
2pi
M
(m− 1)
)
sin(2pifct)
] (26)
• Definimos a varia´vel auxiliar θm =
(
2pi
M (m− 1)
)
.
• E´ fa´cil verificar que seria necessa´ria uma base com dois elementos para gerar todos os sinais desta mod-
ulac¸a˜o se M > 2. Uma boa escolha de base em banda passante e´:
φ1(t) =
√
2
εp
· p(t) · cos(2pifct)
φ2(t) = −
√
2
εp
· p(t) · sin(2pifct)
(27)
o que resulta no sinal
sm(t) =
√
εp
2
cos(θm)φ1(t) +
√
εp
2
sin(θm)φ2(t) (28)
• Logo, os s´ımbolos desta modulac¸a˜o sa˜o:
sm =
[√
εp
2
cos(θm)
√
εp
2
sin(θm)
]
(29)
que, no plano bidimensional, seriam pontos igualmente distribu´ıdos em cima do c´ırculo com raio
√
εp
2 .
• Podemos calcular os seguintes valores F:
– εavg = εm =
1
2
εp.
– εbavg =
εavg
log2[M ]
• A distaˆncia entre dois pontos pode ser calculada como:
dm,n =
√
εp
(
1− cos
(
2pi
M
(m− n)
))
(30)
• Logo, a distaˆncia mı´nima e´:
dmin =
√
εp
(
1− cos
(
2pi
M
))
(31)
que pode ser escrita em func¸a˜o de εbavg como:
dmin = 2
√
log2[M ] · sin2
( pi
M
)
εbavg (32)
• Aumentar o valor de M na˜o aumenta a poteˆncia me´dia, mas diminui dmin.
5
7.3 Modulac¸a˜o QAM - Quadrature Amplitude Modulation
• Para o caso PSK poder´ıamos representar o sinal como:
sm(t) = Am,r
√
εp
s
· φ1(t) +Am,i
√
εp
s
· φ2(t) (33)
• onde Am = Am,r + j ·Am,i. A modulac¸a˜o PSK restringe os valores de Am ao c´ırculo complexo unita´rio.
• Eliminando esta restric¸a˜o, poder´ıamos redefinir os valores que Am pode assumir ao permitir que tanto
Am,r quanto Am,i assumam os valores de ±1,±3, · · · ,±
√
M − 1, para M poteˆncia par de 2. Nesta caso,
a constelac¸a˜o seria um conjunto de pontos em cima de uma ”‘grade”’ regular, dentro de um quadrado.
• Esta modulac¸a˜o se chama QAM pois tanto a amplitude como a fase dos sinais e´ alterada.
• Esta modulac¸a˜o e´ semelhante ao uso de duas modulac¸o˜es PAM em paralelo: uma com base φ1(t) =√
2
εp
· p(t) · cos(2pifct) e outra com
√
2
εp
· p(t) · sin(2pifct).
• Na˜o e´ necessa´rio que o padra˜o se limite a um quadrado: poder´ıamos ter M = M1 ·M2, com Am,r =
±1,±3, · · · ,±M1 − 1 e Am,i = ±1,±3, · · · ,±M2 − 1. Poder´ıamos restringir tambe´m os pontos a todos
aqueles dentro de um c´ırculo complexo com raio
√
εmax, que e´ uma restric¸a˜o na poteˆncia ma´xima de um
sinal qualquer F.
• Caracter´ısticas:
– S´ımbolos: sm =
[
Am,r
√
εp
s Am,i
√
εp
s
]
– Energia de cada s´ımbolos: εm = ||sm||2 = εp2 (A2m,r +A2m,i
– Energia me´dia para sinais equiprova´veis e M1 = M2 =
√
M : εavg =
M−1
3 εpF.
– Energia me´dia por bit nas mesmas condic¸o˜es: εbavg =
M−1
3·log2[M ]εp.
– Distaˆncia entre dois s´ımbolos:
dmn =
√
||sm − sn||2 =
√
εp
2
[(Am,r −An,r)2 + (Am,i −An,i)2] (34)
– Distaˆncia mı´nima:
dmin =
√
εp
2
[(2)2 + (0)2] =
√
2εp =
√
6log2[M ]
M − 1 · εbavg (35)
7.4 Sinalizac¸a˜o Multidimensional
• As modulac¸o˜es anteriores tem dimensa˜o 2. O aumento de M , mantendo εavg, reduz a distaˆncia mı´nima
da constelac¸a˜o.
• Comparando o 8−PAM(unidimensional) com o 8−PSK(bidimensional), observamos a seguinte relac¸a˜o
entre distaˆncias mı´nimas:
d8−PAMmin =
√
36
63
εbavg <
√
1.14εbavg ≈ d8−PSKmin (36)
• Assim, parece ser mais eficiente distribuir pontos em espac¸os com dimensa˜o maior. No limite, poder´ıamos
ter uma constelac¸a˜o com dimensa˜o igual ao nu´mero de s´ımbolos.
• Como consequeˆncia, todos os sinais seriam ortogonais entre si. Uma forma de obter esta ortogonalidade
e´ usar frequeˆncias diferentes, que e´ o que acontece na modulac¸a˜o FSK (Frequency Shift Keying).
6
• Nesta modulac¸a˜o, o sinal em banda base e´:
sml(t) =
√
2ε
T
· exp(j2pim∆ft) 0 ≤ t ≤ T ; m = 1, 2, ..,M. (37)
onde ε e´ a energia desejada do sinal e T e´ a durac¸a˜o deste sinal. O valor de ∆f sera´ definido em breve.
• O sinal em banda passante vale:
sm(t) = <{sml(t) · exp(j2pifct)}
=
√
2ε
T
cos(2pi[fc +m∆f ]t)
(38)
• O requisito de ortogonalidade exige que:
<
{∫ T
0
sml(t) · snl(t)
}
=
{
0 m 6= n
ε m = n
(39)
• O desenvolvimento matema´tico resulta na seguinte necessidade:
2εsinc(2T (m− n)∆f) = 0 para m 6= n (40)
o que so´ pode ser verdadeiro se 2T (m− n)∆f e´ um nu´mero inteiro. Logo:
∆f =
k
2T
(41)
para qualquer k inteiro diferente de zero. A menor separac¸a˜o de frequeˆncias ocorre quando k = 1,
resultando em ∆f = (2T )−1.
• A base desta constelac¸a˜o e´, em banda passante:
φm(t) =
√
2
T
cos(2pi[fc +m∆f ]t) 0 ≤ t ≤ T ; m = 1, 2, ..,M. (42)
• Os s´ımbolos podem ser escritos na forma:
sm = [0 · · · 0
√
ε 0 · · · 0] (43)
com o termo diferente de zero na m-e´sima posic¸a˜o do vetor.
• Todos os sinais tem a mesma energia ε. Logo, εavg = ε e εbavg = εlog2[M ]
• A distaˆncia entre qualquer par de sinais e´ a distaˆncia mı´nima, que valeF 3:
dmn = dmin =
√
2ε =
√
2εavg =
√
2εbavg · log2[M ] (44)
• Aqui, diferentemente dos outros casos, o aumento de M aumenta a distaˆncia mı´nima, mantendo o valor
de εbavg. Isto acontece pois, ao aumentar M , aumentamos o nu´mero de bits que cada s´ımbolo carrega,
aumentando assim a energia de cada s´ımbolo e consequentemente a distaˆncia.
• Este aumento em dmin em func¸a˜o de M na˜o e´ gratuita: precisamos de M subcanais com largura ∆f para
transmitir estes sinais.
3Vide os s´ımbolos sm para determinar esta distaˆncia mı´nima
7
7.5 Rotulac¸a˜o bina´ria dos s´ımbolos
• Ate´ agora tratamos da transmissa˜o de um d´ıgito m, sem nos preocupar qual seria a relac¸a˜o entre os bits
transmitidos e os s´ımbolos correspondentes.
• Ha´ duas formas principais de rotulac¸a˜o de s´ımbolos: natural e rotulac¸a˜o de Gray.
• Na rotulac¸a˜o natural, uma poss´ıvel relac¸a˜o entre bits e s´ımbolo e´:
m = 1 +
k−1∑
j=0
bj · 2j (45)
• Variac¸o˜es sa˜o poss´ıveis: o valor de m pode variar de 0 a M − 1, o primeiro bit fornecido pode ser o mais
ou o menos significativo, etc..
• A grande vantagem deste rotulamento e´ a facilidade de escolha de sinal a ser transmitido a partir da
sequeˆncia de bits de entrada. A desvantagem e´ que, caso ocorra um erro de transmissa˜o, a troca de um
s´ımbolo pelo seu vizinho pode causar muitos erros de bit. Isto aconteceria por exemplo ao trocar um
s´ımbolo rotulado por 011 pelo seu vizinho com ro´tulo 100, causando treˆs erros de bit.
• Uma alternativa comum e´ utilizar o rotulamento Gray. No rotulamento Gray, o ro´tulo e´ constru´ıdo
iterativamente de forma a garantir que s´ımbolos vizinhos possuam apenas um bit de diferenc¸a entre os
ro´tulos. Assim, trocar um s´ımbolo pelo seu vizinho (que e´ o erro mais prova´vel) causaria o erro de apenas
um bit.
• Para a modulac¸a˜o 8-PAM, um ro´tulo pode ser constru´ıdo nos seguintes passos:
1. Inicia-se com dois valores: 0 · 1
2. Reflete-se4 a sequeˆncia de ro´tulos anteriores e adicionamos ao final do ro´tulo o bit 0 aos termos da
esquerda e o bit 1 aos termos da direita do ”‘espelho”’, resultando na sequeˆncia de ro´tulos:
0 · 1 o 1 · 0
00 · 10 o 11 · 01 (46)
3. Repetindo o processo novamente chegamos a:
00 · 10 · 11 · 01
00 · 10 · 11 · 01 o 01 · 11 · 10 · 00
000 · 100 · 110 · 010 o 011 · 111 ·