Torção em Vigas 2016

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Concreto Armado II – Torção em Vigas 
 Uso exclusivo da disciplina Concreto Armado II do curso de Engenharia Civil da UFMG 
 
TORÇÃO EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO 
 
1 - INTRODUÇÃO 
Dizemos que uma peça de concreto armado está sujeita à torção pura, quando tem por 
solicitação única, um momento de torção T, isto é, está submetida a um momento cujo eixo é 
paralelo à diretriz da peça. Normalmente a torção ocorre acompanhada de outros esforços, tais 
como flexão e cisalhamento. 
Como para as demais solicitações, o dimensionamento à torção é feito no estado limite 
último. Assim sendo, a determinação das armaduras baseia-se, mais uma vez, no princípio 
fundamental de que o concreto não deve absorver as tensões de tração produzidas pelo 
carregamento. O aço se encarregará desta função. O cálculo da área de armadura será feito 
isoladamente para a torção. Porém se a peça estiver também sujeita à flexão e ao cisalhamento, a 
armadura final será obtida pela combinação das armaduras determinadas para cada uma das 
solicitações em separado. 
 
 
2 – SITUAÇÕES DE PROJETO A CONSIDERAR 
Dependendo do momento de torção ser ou não um esforço indispensável ao equilíbrio e 
estabilidade da peça em estudo, podemos dividir as solicitações de torção em dois grandes grupos: 
2.1 Torção de equilíbrio 
 Todas as vigas mostradas na figura 1 estão submetidas a momentos de torção. Estes 
momentos de torção são necessários para satisfazer às condições de equilíbrio. As vigas poderão 
entrar em colapso na falta de rigidez e capacidade resistente à torção. Essas vigas devem ser 
dimensionadas para absorver, integralmente, os momentos de torção. Portanto o dimensionamento 
à torção, nestes casos, é obrigatório. 
 
Figura 1 – Torção de equilíbrio 
 
marquise 
alvenaria 
viga 
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2.2 Torção de compatibilidade 
 Analisemos agora a situação mostrada na figura 2. Possuindo a Viga 1 rigidez à torção, não 
existe liberdade absoluta de rotação para a Viga 2 em torno do eixo x-x, correspondendo à 
deformação impedida o aparecimento de um momento de engastamento no ponto E para a Viga 2 
que se constituirá em um momento de torção concentrado para a Viga 1. Caso não se coloque, na 
Viga 2, armadura de combate a este momento de engastamento, ocorrerá fissuração desta viga 
fazendo com este momento decresça a zero permitindo, portanto, liberdade de giro da viga em torno 
do ponto E. Com isso nenhum momento de torção será transmitido a Viga 1. Neste caso, a torção 
despertada é um esforço oriundo da compatibilidade das deformações, por isto chamada de torção 
de compatibilidade. Verifica-se também que o equilíbrio do sistema é satisfeito, desde que se 
considere a Viga 2 simplesmente apoiada sobre a Viga 1. O dimensionamento à torção, nestas 
situações, é, portanto, desnecessário visto que o equilíbrio do sistema é obtido com torção nula. 
 
 
Figura 2 – Torção de compatibilidade 
 
 
3 – ESTUDO DA TORÇÃO PURA 
3.1 Dimensionamento à torção pura 
3.1.1 Resultados de ensaios de laboratório 
 Ensaios de laboratório, realizados na Europa, em peças de concreto submetidas à torção pura 
mostraram que, após a fissuração, somente uma casca delgada de concreto junto a face externa da 
peça colabora na resistência. Isso é demonstrado pelo fato de que uma barra com seção quadrada 
maciça, no Estádio II, apresenta a mesma capacidade portante de uma seção vazada de mesmo 
contorno externo e mesma área e disposição de armadura (Fig. 3). 
 Uma outra comprovação é a de que retângulos com áreas iguais, porém com lados b e h de 
dimensões variáveis, no Estádio II, têm a mesma capacidade resistente à torção pura (Fig. 4). 
Viga 2 
Viga 1 
x 
x 
E 
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Figura 3 – Resistência à torção pura de seções cheias e vazadas 
 
Figura 4 – Resistência à torção pura de retângulos de mesma área no Estádio II 
 Estes resultados dos ensaios mostram que, após a fissuração, as seções cheias podem ser 
calculadas através de um modelo de seção vazada quadrada com praticamente a mesma solicitação. 
O padrão de fissuração desta seção vazada quadrada está mostrado na figura 5. 
A fissuração, em cada face da seção vazada quadrada (Fig. 5), é muito similar ao padrão 
encontrado para o esforço cortante em vigas de concreto armado. Na torção, porém, isto ocorre em 
cada uma das faces da seção. Assim as paredes delgadas da seção vazada quadrada, considerada 
para dimensionamento, serão constituídas por treliças de diagonais simples que quando superpostas 
formam uma treliça espacial. 
ρρρρ 
h 
h 
h 
h 
h 
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Figura 5 – Padrão de fissuração de uma seção vazada quadrada. 
3.1.2 Analogia de treliça 
 Apresenta-se a seguir o modelo de dimensionamento de uma viga de concreto armado, com 
seção vazada quadrada, quando submetida à torção pura. É importante frisar que este modelo 
servirá para o dimensionamento não só de elementos maciços, mas também para diferentes formas 
de seção transversal (retangular, circular, poligonal, etc). O modelo assume que, após a fissuração 
do concreto, o funcionamento da viga seja equivalente ao de uma treliça espacial na periferia da 
seção, com diagonais comprimidas a 45° (representadas pelo concreto) e forças de tração absorvidas 
por armações, decompostas em duas direções: uma longitudinal, e outra transversal, estribos, (vide 
Fig. 6). A decomposição da armadura em duas direções se deve ao fato de ser construtivamente 
complicada a armação a 45°, em torno do eixo da peça. 
 
 
Figura 6 – Armadura de combate à torção pura 
 
he 
TSd TSd 
he 
TSd 
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 A figura 7 representa a treliça espacial gerada no interior da peça, com diagonais 
comprimidas a 45° (representada pela força Dd ) e tração resistida pelos estribos e barras 
longitudinais (força Hld ) existentes nos quatro vértices do eixo médio do núcleo. Vale frisar que, 
devido à simetria existente, o conjunto de forças convergentes no nó A será o mesmo para os 
demais nós B, C e D. 
 
Figura 7 – Treliça espacial formada no interior da peça submetida à torção pura 
Apesar da NBR 6118/2014 permitir que as diagonais comprimidas tenham inclinação no 
intervalo entre 30° e 45° com o eixo da peça, foi escolhido o valor de 45° por ser este, segundo 
Süssekind, o que leva ao dimensionamento mais econômico. 
As condições de equilíbrio estático da treliça espacial levam à determinação das forças tanto 
nas diagonais comprimidas quanto nas barras tracionadas. Senão vejamos: 
a) Equilíbrio do nó A 
O equilíbrio do nó A, conforme mostra a figura 8, indica: 
 
Figura 8 – Equilíbrio do nó A 
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wdd HsenD ====45 (1) 
dd HD l====45cos (2) 
 ou seja 
2
2d
wddD
HH ========l (3) 
b) Equilíbrio no plano E F G H 
O equilíbrio, no plano E F G H, entre os esforços internos e o momento externo de 
torção TSd , conforme mostra a figura 9, indica que: 
 
Figura 9 – Equilíbrio no plano E F G H 
 Sdd T2/D
2
a4
==== (4) 
 ou seja 
a2
2T
D Sdd ==== (5) 
Combinando agora as equações 3 e 5 teremos: 
 
a
T
HH Sdwdd 2
========l (6) 
 
3.1.3 Critérios da NBR 6118/2014 
Com base nestas equações de equilíbrio, a NBR 6118/2014 admite satisfeita a resistência à 
torção pura, numa dada seção em peças de concreto armado, quando se verificam simultaneamente 
as seguintes condições. 
TSd 
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I - Verificação da resistência das diagonais comprimidas de concreto 
Nesta verificação estamos interessados em determinar o valor da tensão de 
compressão que a força Dd provoca no concreto. Esta força solicita uma faixa de 
largura y igual a 
2
2a
(vide fig. 10) . Portanto teremos: 
 
Figura 10 – Largura de atuação da força Dd 
a2
T2
2
h2a Sde
td ====σσσσ , (7) 
obtendo-se: 
ee
Sd
e
2
Sd
td
hA
T
ha
T
========σσσσ , (8) 
onde Ae (= a
2) é a área limitada pela linha média da parede da seção vazada. 
Segundo a resistência dos materiais, a tensão de cisalhamento τtd para uma seção 
vazada de parede fina submetida a um momento de torção TSd é dada por: 
ee
Sd
td
hA2
T
====ττττ , (9) 
onde, 
Ae é a área limitada pela linha média da parede da seção vazada; e 
he é espessura da parede. 
 
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Combinando agora as equações 8 e 9 teremos: 
ee
Sdtd
td
hA2
T
2
========
σσσσ
ττττ . (10) 
Esta tensão tdττττ , segundo a NBR 6118/2014, deve ser menor ou igual a 2tdττττ , dada 
por: 
 cd2v2td f..25,0 ααααττττ ==== , (11) 
com 




 −−−−====
250
f
1 ck2vαααα sendo fck em megapascal. Embora para o cálculo de 2vαααα a 
unidade utilizada seja o MPa, a unidade da tensão 2tdττττ é kN/cm2. 
A tabela 1 apresenta os valores da tensão máxima 2tdττττ para valores usuais de fck. 
 Tabela 1 – Valores de 2tdττττ 
fck (MPa) τtd2 (KN/cm2) 
20 0,3286 
25 0,4018 
30 0,4714 
35 0,5375 
 
II - Verificação da parcela resistida pelos estribos normais ao eixo do elemento estrutural 
Com base nas figuras 7 e 8 bem como na equação 6, pode-se ver que a força de tração 
Hwd deve ser resistida num trecho de comprimento a ao longo do elemento estrutural 
por estribos normais ao eixo deste elemento. Considerando o espaçamento entre os 
estribos igual a s, tendo cada estribo uma área A90 e sendo fywd sua tensão de cálculo 
teremos: 
 ywd
Sd
wd fA
s
a
a
T
H 902
======== , (12) 
obtendo-se: 
 
fA2
T
fa2
T
s
A
ywde
Sd
ywd
2
Sd90 ======== . (13) 
A tensão de cálculo do aço dos estribos fywd está limitada a 435 MPa. 
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III - Verificação da parcela resistida pelas barras longitudinais paralelas ao eixo do 
elemento estrutural 
Com base nas figuras 7 e 8, pode-se ver que a força de tração H
lllld existe em cada 
vértice da seção vazada. Esta força será deve ser resistida por uma armadura de área 
A1. Sendo a tensão de cálculo desta armadura fywd teremos: 
 ywd
Sd
d fA
a
T
H 12
========l , (14) 
obtendo-se: 
 
fa2
T
A
ywd
Sd
1 ==== . (15) 
Portanto a área total de armadura longitudinal Asllll será igual a 4 A1. Se no sentido de 
reduzir a fissuração entre os vértices da seção vazada, substituirmos esta armadura 
concentrada nos cantos por uma armadura uniformemente distribuída ao longo do 
perímetro u da área Ae , sendo u neste caso igual a 4a, chegamos à seguinte relação: 
 
ywde
Sd
ywd
Sds
fA
T
fa
T
a
A
u
A
28
4
4
4
2
1 ============l (16) 
A tensão de cálculo do aço da armadura longitudinal está também limitada a 435 MPa. 
 
De acordo com a NBR 6118/2014, as áreas calculadas acima para os estribos e para as 
barras longitudinais devem satisfazer um valor mínimo dado por: 
 
ywk
ctm
e
s
f
f
h
s
A
u
A
2,090 >>>>====l , (17) 
onde fctm é a resistência média à tração do concreto e fywk é resistência ao escoamento do aço da 
armadura. A resistência média à tração do concreto fctm, de acordo com o item 8.2.5 da NBR 
6118/2014, pode ser avaliada pela seguinte relação: 
 3
2
ckctm f.3,0f ==== ( fck em MPa) (18) 
A resistência ao escoamento do aço da armadura fywk deve ser sempre ≤ 500 MPa. 
 
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 IV Geometria da seção vazada resistente 
 Seções poligonais convexas cheias 
A seção vazada equivalente se define a partir da seção cheia com espessura da parede he 
dada por: 
 
u
A
hc e ≤≤≤≤≤≤≤≤12 , 
onde, 
A é a área da seção cheia; 
u é o perímetro da seção cheia; e 
c1 é a distancia entre o eixo da barra longitudinal do canto e a face lateral do 
elemento estrutural. 
Caso 
u
A resulte menor que 2c1, pode-se adotar 12cbh wu
A
e −−−−≤≤≤≤==== e a superfície média 
da seção vazada equivalente Ae definida pelos eixos das armaduras do canto (respeitando-
se o cobrimento exigido nos estribos). 
 
 Seções vazadas 
Deve ser considerada a menor espessura de parede entre a espessura real da parede e a 
espessura equivalente calculada supondo a seção cheia de mesmo contorno externo da 
seção vazada. 
 
4 – PRESCRIÇÕES DA NBR 6118/2014 
4.1 - Solicitações combinadas 
4.1.1 Flexão e Torção 
 Nos elementos estruturais submetidos à torção e à flexão simples ou composta, as 
verificações podem ser efetuadas separadamente para a torção e para as solicitações normais. Porém 
no detalhamento final devem ser observadas as seguintes prescrições: 
• Na zona tracionada pela flexão, a armadura longitudinal de torção deve ser 
acrescentada à armadura necessária para as solicitações normais, considerando 
em cada seção os esforços que agem concomitantemente. 
• No banzo comprimido pela flexão, a armadura longitudinal de torção pode ser reduzida 
em função dos esforços de compressãoque atuam na espessura efetiva he e no trecho 
de comprimento ∆∆∆∆u correspondente à barra ou feixe de barras consideradas 
 
4.1.2 Torção e Força Cortante 
 Na combinação de torção com força cortante, o projeto deve prever ângulos de inclinação 
das bielas de concreto θθθθ coincidentes para os dois esforços. Quando for utilizado o modelo I para a 
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força cortante, que subentende θθθθ = 45°, esse deve ser o valor considerado também para a torção. 
Além disso, devem ser observadas as seguintes prescrições: 
• A resistência à compressão diagonal do concreto deve ser satisfeita atendendo à 
expressão: 
 1
2td
td
2wd
wd ≤≤≤≤++++
ττττ
ττττ
ττττ
ττττ , 
onde τwd e τtd são as tensões de cálculo que agem concomitantemente numa 
mesma seção. 
• A armadura transversal pode ser calculada pela soma das armaduras determinadas 
separadamente para VSd e TSd . 
4.2 - Detalhamento das armaduras 
 No detalhamento das armaduras de torção, consideram-se efetivos na resistência os ramos 
dos estribos e as barras longitudinais contidos no interior da parede fictícia da seção vazada 
equivalente. Além disso, devem ser observadas as seguintes prescrições: 
• Os estribos para a torção devem ser fechados em todo o contorno, envolvendo as barras 
das armaduras longitudinais de tração, e com as extremidades adequadamente 
ancoradas por meio de ganchos em ângulo de 45°. 
• O diâmetro φφφφ dos estribos deve ser ≥ 5 mm e ≤ bw/10. 
• O espaçamento s dos estribos deverá ser de: 
para ττττtd ≤≤≤≤ 0,67.ττττtd2 ⇒ smáx = 0,6.d (ou 0,6.b) <<<< 30 cm 
para ττττtd > 0,67.ττττtd2 ⇒ smáx = 0,3.d (ou 0,3.b) <<<< 20 cm 
 
Figura 11 – Possibilidade de ruptura do canto devido ao empuxo ao vazio 
• As barras longitudinais da armadura de torção devem ser espaçadas de no máximo 35 
cm. 
• Deve-se respeitar a relação ∆∆∆∆Asllll/∆∆∆∆u, onde ∆∆∆∆u é o trecho de perímetro da seção efetiva 
correspondente a cada barra ou feixe de barras de área ∆∆∆∆Asllll, exigida pelo 
dimensionamento. 
• As seções poligonais devem conter, em cada vértice dos estribos de torção, pelo menos 
uma barra. 
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Torção em Vigas – Exemplo 1 
 
A passarela da figura está submetida a uma sobrecarga de 5,0 kN/m2. Dimensioná-la somente 
à torção e esboçar a armadura que será constante em todo o seu comprimento. 
 
Dados: Concreto fck = 25 MPa 
 Aço CA 50 
 C1 = 5 cm 
 
Seção Transversal Típica 
 
Vista Longitudinal 
 
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SOLUÇÃO: 
O maior momento de torção por unidade de comprimento ocorre quando meio passadiço 
estiver carregado como indicado na figura. As outras cargas atuantes estão equilibradas e não 
produzem momento de torção. 
 
t = 5,00 x 1,90² / 2 = 9,025 kN.m / m. 
Os valores máximos dos momentos de torção, neste caso, se encontram nos apoios. Serão 
comparados os valores à esquerda e à direita do apoio. 
 
 
 
Tmáx = 85,74 kN.m ⇒ Td = γγγγf x Tmáx = 1,4 x 85,74 kN.m = 120 kN.m 
Geometria da seção a considerar: 
 
 
Determinação de he 
 ▪ menor espessura real = 15 cm 
 ▪ 2 c1 = 2 x 5 = 10 cm 
 ▪ A/ u = (60 x 90)/[2 x (60 + 90)] = 18 cm 
 10 cm ≤ he ≤ 15 cm ⇒ he = 12 cm 
Parametros da seção 
 ▪ Ae = (60 - 12) x (90 – 12) = 3744 cm2 
 ▪ u = 2 x [(60 - 12) + (90 – 12)] = 252 cm 
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Verificação da resistência das bielas com θθθθ = 45°°°°: 
2
ee
d
td cm/kN134,0
12x3744x2
12000
hA2
T
============ττττ 
2
2td cm/kN4018,0====ττττ ⇒ 2tdtd ττττττττ ≤≤≤≤ OK !!!! 
 0,6 d 
2tdtd
3
2
ττττττττ 




≤≤≤≤ ⇒ s ≤ 0,6 b 
 30 cm 
Determinação da armadura transversal (estribos) com θθθθ = 45°°°°: 
037,0
5,43x3744x2
12000
fA2
T
s
A
ywde
d90 ============ 
para s = 100 cm ⇒ A90 = 3,70 cm2 / metro ⇒ φφφφ 8,0 mm c/ 13 cm 
Determinação da armadura longitudinal com θθθθ = 45°°°°: 
037,0
5,43x3744x2
12000
fA2
T
u
A
ywde
ds ============l 
para u = 252 cm ⇒ 2s cm32,9A ====l ⇒ 12 φφφφ 10 mm 
Verificação da armadura mínima: 
(((( ))))
011,0
500
fx3,0
x12x2,0
f
f
h2,0
u
A
s
A
3/2
ck
ywk
ctm
e
s90 ========≥≥≥≥==== l OK !!!! 
Detalhamento: 
 
{ 
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Torção em Vigas – Exemplo 2 
 
Dimensionar e detalhar a viga (seção 40/75 cm) mostrada na figura. Centrada sobre a viga 
existe uma alvenaria de tijolos maciços com largura igual a 0,25 m e altura de 3,0 m. 
Dados: Concreto fck = 25 MPa 
 Aço CA 50 
 γγγγtijolo = 18 kN/m3 
 Largura do apoio = 0,4 m 
 
 Esquema da viga Seção transversal típica 
 
 
 
SOLUÇÃO: 
Análise dos balanços 
 
 
 
 
 
 
q = 0,40 x 0,75 x 25 = 7,5 kN/m 
R = 60 + 7,50 x 1,3 = 69,75 kN 
X = - 60 x 1,3 - 7,50 x 1,30² / 2 = - 84,34 kN.m 
 
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Esquema de carregamentos 
 
 
kNm5,30775,69x2
8
8x21
75,69x2
8
ql
M
22
máx ====++++====++++==== 
 
Dimensionamento à flexão 
Md = 1,4 x 307,5 = 430,5 kN.m = 43050 kN.cm 
b = 40 cm 
d = 75 – 5 = 70 cm 
2ck
c cm/kN52,1
4,1
5,2
x85,0
4,1
f
85,0f ============ 
145,0'295,0145,0
704052,1
43050
22
========⇒⇒⇒⇒====<<<<============ kkk
xxdxbxf
M
k L
c
d 
(((( )))) 2
yd
'
c
s cm34,15
5,43
145,0x21170x40x52,1
f
k211dxbxf
A ====
−−−−−−−−
====




 −−−−−−−−
==== 
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Dimensionamento ao esforço cortante 
Diagrama de esforço cortante para dimensionamento 
 
 Vface = 153,75 – 21 x 0,2 = 149,55 kN 
Verificação da resistência das bielas – modelo I (θθθθ = 45°) 
2
.
face
wd cm/kN075,0
70x40
55,149x4,1
db
Vx4,1
============ττττ 
2
2wd cm/kN4339,0====ττττ ⇒ 2wdwd ττττττττ ≤≤≤≤ OK !!!! 
Determinação da armadura transversal (estribos) com θθθθ = 45°: 
(((( )))) 23/2ck
ctd0c cm/kN0769,0MPa769,0
4,1
fx3,0x7,0
x6,0f6,0 ================ττττ 
(((( ))))
mínimoestribousar0
s
A
15,39
xb
s
A90s0cwd
w
90s ⇒⇒⇒⇒≤≤≤≤⇒⇒⇒⇒
−−−−
≥≥≥≥
ττττττττ
 
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Dimensionamento à torção 
 
 ⇓⇓⇓⇓ 
 Carregamento fictício 
 
 ⇓⇓⇓⇓ 
 
Geometria da seção a considerar: 
 
 
 
 
 
 
Verificação da resistência das bielas com θ = 45°: 
2
ee
d
td cm/kN151,0
10x1950x2
100x17,42x4,1
hA2
T
============ττττ 
2
2td cm/kN4018,0====ττττ ⇒ 2tdtd ττττττττ ≤≤≤≤ OK !!!!!!! 
Verificação conjunta : 
!!!OK155,017,038,0
434,0
075,0
402,0
151,0
2wd
wd
2td
td ⇒⇒⇒⇒≤≤≤≤========++++====++++====++++
ττττ
ττττ
ττττ
ττττ
 
Determinação de he 
 ▪ 2 c1 = 2 x 5 = 10 cm 
 ▪ A/ u = (40 x 75)/[2 x (40 + 75)] = 13 cm 
 10 cm ≤ he ≤ 13 cm ⇒ he = 10 cm 
 
Parametros da seção: 
 ▪ Ae = (40 - 10) x (75 – 10) = 1950 cm2 
 ▪ u = 2 x [(40 - 10) + (75 – 10)] = 190 cm 
Concreto Armado II – Torção em Vigas 
 Uso exclusivo da disciplina Concreto Armado II do curso de Engenharia Civil da UFMG 
 
Determinação da armadura transversal (estribos) com θ = 45°: 
0348,0
5,43x1950x2
100x17,42x4,1
fA2
T
s
A
ywde
d90 ============ 
para s = 100 cm ⇒ A90 = 3,48 cm2 / metro 
Determinação da armadura longitudinal com θ = 45°: 
0348,0
5,43x1950x2
100x17,42x4,1
fA2
T
u
A
ywde
ds ============l 
para u = 190 cm ⇒ 2s cm61,6A ====l 
Detalhamento final 
a) Estribos totais 
Verificação da armadura mínima de estribos: 
(((( ))))
m/cm05,2
500
fx3,0
x40x100x2,0
f
f
bs
2
2,0
A:tocisalhamen
2
3/2
ck
ywk
ctm
w90s ========≥≥≥≥
 
(((( ))))
m/cm03,1
500
fx3,0
x10x100x2,0
f
f
hs2,0A:torção
2
3/2
ck
ywk
ctm
e90 ========≥≥≥≥ 
Estribos totais = Estribocis. + Estribotorção = 0 + 3,48 = 3,48 cm
2/m ⇒ φφφφ 8,0 mm c/ 14 cm 
b) Armadura longitudinal 
mm168cm38,1661,6x
190
30
34,15AAinfface 2torçãosflexãos φφφφ⇒⇒⇒⇒====++++====++++====
 
mm82cm04,161,6x
190
30
Asupface 2torçãos φφφφ⇒⇒⇒⇒============ 
mm103cm26,261,6x
190
65
Alateraisfaces 2torçãos φφφφ⇒⇒⇒⇒============ 
 
 
8 φ φ φ φ 16 
2 φ φ φ φ 8 
3 φ φ φ φ 10 3 φ φ φ φ 10 
φ φ φ φ 8 c/ 14 cm