6 Flexão Simples

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Concreto Armado
Prof. M.Sc. Leonardo Alexandre
Prof. M.Sc. Paulo de Tarso
Flexão Simples
Referências
• Profa. Rovadávia Aline Jesus Ribas
• Prof. Libânio M. Pinheiro
• Prof. Paulo Sérgio dos Santos Bastos
Estádios
A seção de concreto é caracterizada aplicando-se um 
carregamento que vai do zero até a ruptura. Denomina-se 
Estádios as três fazes pelas quais a seção de concreto passa 
ao longo do carregamento: Estádio I, Estádio II e Estádio III 
Estádio I
I. Corresponde ao início do carregamento;
II. O concreto resiste às tensões de tração;
III. Diagrama de tensões linear ao longo da seção;
IV. Cálculo do momento de fissuração e da armadura 
mínima;
V. Termina quando a seção fissura.
Estádio II
I. A seção se encontra fissurada na região tracionada;
II. Diagrama de tensões linear ao longo da seção;
III. Cálculo dos estados limites de serviço (abertura de 
fissuras e deformações excessivas);
IV. Termina com o início da plastificação do concreto 
comprimido.
Estádio III
I. Plastificação da zona comprimida;
II. Concreto próximo da ruptura;
III. Diagrama de tensões do concreto na forma parabólico-
retangular ou retangular equivalente;
IV. Realização do dimensionamento, denominado “cálculo 
na ruptura” ou “cálculo no estádio III”.
Domínios de deformação na ruína
Domínios de deformação na ruína
Domínios de deformação na ruína
Domínios de deformação na ruína
Domínios de deformação na ruína
Domínios de deformação na ruína
Domínios de deformação na ruína
Domínio 1 (Força normal de tração com pequena 
excentricidade)
i. Seção tracionada;
ii. O estado limite último é caracterizado pela deformação 
máxima do aço (εs = 10‰);
iii. A linha neutra é externa à seção transversal;
iv. A seção resistente consiste apenas das armaduras de 
aço, não havendo participação do concreto que é 
admitido como inteiramente fissurado (10‰ < εc ≤ 0‰, 
na tração);
v. A ruptura é devido a falha do aço.
Domínios de deformação na ruína
Domínios de deformação na ruína
Domínio 2 (Flexão simples ou flexão composta com grande 
ou média excentricidade)
i. O estado limite último é caracterizado pela deformação 
máxima do aço (εs = 10‰);
ii. A linha neutra corta a seção transversal;
iii. A seção resistente é composta pelo aço tracionado e pela 
zona de concreto comprimido, mas o concreto não atinge 
o limite do esmagamento (0‰ ≤ εc < 3,5‰, na 
compressão);
iv. A ruptura é devido a falha do aço.
Domínios de deformação na ruína
Domínios de deformação na ruína
Domínio 3 (Flexão simples ou flexão composta com grande 
ou média excentricidade)
i. O estado limite último é caracterizado pelo 
esmagamento do concreto (εc = 3,5‰);
ii. A linha neutra corta a seção transversal;
iii. A seção resistente é composta pelo aço tracionado e pela 
zona de concreto comprimido, com o aço entre a 
deformação de início de escoamento e o limite do 
escoamento (εyd ≤ εs < 10‰).
Domínios de deformação na ruína
Domínio 3
iv. A ruptura do concreto ocorre simultaneamente com o 
escoamento da armadura;
v. A ruína ocorre com aviso (Ruptura Dúctil), com grandes 
deformações e fissuração;
vi. Os dois materiais atingem sua capacidade resistente;
vii. Esta é a situação desejável; 
viii. As peças que atingem o ELU neste domínio são ditas 
subarmadas.
Domínios de deformação na ruína
Domínios de deformação na ruína
Domínio 4 (Força normal de compressão com média ou 
pequena excentricidade)
i. O estado limite último é caracterizado pelo 
esmagamento do concreto (εc = 3,5‰) ;
ii. A linha neutra corta a seção transversal;
iii. A seção resistente é composta pelo aço tracionado e pela 
zona de concreto comprimido, mas o aço não atinge o 
escoamento (0 ≤ εs < εyd).
Domínios de deformação na ruína
Domínio 4
iv. A ruptura do concreto ocorre sem o escoamento da 
armadura;
v. A ruína ocorre sem aviso (Ruptura Frágil), com pequenas 
deformações e pouca fissuração ;
vi. Esta é situação deve ser evitada; 
vii. As peças que atingem o ELU neste domínio são ditas 
superamadas;
viii. As peças que atingem o ELU na fronteira entre os 
domínios 3 e 4 são ditas normalmente armadas.
Domínios de deformação na ruína
Domínios de deformação na ruína
Domínio 4a (Força normal de compressão com pequena 
excentricidade)
i. O estado limite último é caracterizado pelo 
esmagamento do concreto (εc = 3,5‰) ;
ii. A linha neutra corta a seção transversal, abaixo da 
armadura (fora da altura útil);
iii. A seção resistente é composta pela zona de concreto 
comprimido e pelo aço comprimido;
iv. O concreto rompe com o encurtamento da armadura;
v. Ruptura frágil.
Domínios de deformação na ruína
Domínios de deformação na ruína
Domínio 5 (Força normal de compressão com pequena 
excentricidade)
i. A seção transversal é solicitada apenas a tensão de 
compressão;
ii. εc = 2‰ na linha distante 3h/7 da borda mais 
comprimida;
iii. A linha neutra não corta a seção transversal;
iv. A ruptura da seção ocorre devido ao esmagamento do 
concreto .
Domínios de deformação na ruína
• Flexão Simples (Vigas e Lajes)
– Domínios 2, 3 e 4
• Domínio 2 é aceitável
• Domínio 3 é desejável
• Domínio 4 deve ser evitado
Domínios de deformação na ruína
Compatibilidade de Deformações
Limites entre os Domínios
Limites entre os Domínios
Limites entre os Domínios
Limites entre os Domínios
Limites entre os Domínios
• NBR 6118:2014
 βxlim = 0,45  βx ≤ 0,45
Diagrama Retangular Simplificado 
Diagrama Retangular Simplificado 
Para realizar o dimensionamento, as forças internas devem 
estar em equilíbrio com as solicitações externas. Duas 
condições de equilíbrio devem ser cumpridas:
Desta forma, tem-se duas equações para resolver:
Equações de Equilíbrio
Equações da Flexão Simples
Armadura Dupla
Armadura Simples (A’s = 0)
Equações da Flexão Simples
Aproximar
Domínios 2 e 3
• Dimensionamento
– Armadura simples
• Incógnitas: As e βx
• βx ≤ βxlim = 0,45
• Se βx > βxlim = 0,45  armadura dupla ou aumentar altura 
útil (d)
– Armadura dupla
• Incógnitas: As e A’s
• βx = βxlim = 0,45
• Verificação
– Incógnitas: Mk e βx
– Mk = Md/1,4
Equações da Flexão Simples
Equações da Flexão Simples
Reescrevendo as equações para armadura simples:
Resumindo
• Flexão Simples (Vigas e Lajes): Domínios 2, 3 e 4
• Dom. 2 é aceitável, Dom. 3 é desejável, Dom. 4 deve ser 
evitado
• βx ≤ βxlim = 0,45 (Dom. 2 e 3)
• Se βx > βxlim = 0,45 
– Aumentar a altura útil (d)
– Armadura dupla
Exemplos
Calcular a área de aço e determinar o domínio de deformação. 
Dados: Concreto C25, Aço CA-50, b = 30 cm, h = 45, d = 42 cm, 
d’ = 3 cm.
Ex. 1: Mk = 120 kN.m
Ex. 2: Mk = 150 kN.m
Ex. 3: Mk = 252 kN.m
Ex. 4: Mk = 315 kN.m
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	Referências
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